BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ


o0o



KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Giáo viên hướng dẫn:
ThS. HOÀNG ĐỖ NGỌC TRẦM
Sinh viên thực hiện:
TRƯƠNG MẠNH TUẤN
Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn.
Trương Mạnh Tuấn
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 2

MỞ ĐẦU

Ngày nay với sự phát triển như vũ bão của khoa học kỹ thuật, các hệ lượng tử
ñược xét ñến ngày càng ña dạng, trong ñó có nhiều bài toán chưa tìm ñược lời giải, từ
ñó phát sinh nhu cầu xây dựng và phát triển các phương pháp giải các bài toán cơ học
lượng tử - cụ thể là giải các phương trình Schrödinger. Một trong những phương pháp
mạnh và phổ biến có thể kể ñến là phương pháp lý thuyết nhiễu loạn. Ý tưởng chính
của lý thuyết nhiễu loạn là tách Hamiltonian của bài toán thành hai thành phần: một
phần có thể xác ñịnh ñược nghiệm chính xác, phần còn lại là “nhiễu loạn” sẽ ñóng góp
vào kết quả thông qua các bổ chính; trong ñó ñiều kiện áp dụng là thành phần “nhiễu
loạn” phải nhỏ so với thành phần chính. Đây cũng chính là hạn chế lớn của phương
pháp này, vì trong thực tế một số trường hợp thành phần tách ra không ñủ nhỏ ñể coi là
“nhiễu loạn”. Như vậy, việc xây dựng một phương pháp ñể giải các bài toán phi nhiễu
loạn là cần thiết.
Phương pháp toán tử (Operator Method, viết tắt là OM) ñược xây dựng từ thập
niên 80 của thế kỉ trước. Đây là một trong các phương pháp mạnh cho một dải rất rộng
các bài toán phi nhiễu loạn nêu trên [7].
Ý tưởng chính của OM [7] nằm trong bốn bước sau: (1) - Biểu diễn toán tử
Hamiltonian qua các toán tử sinh hủy:
ˆ ˆ
( , ) ( , , )H x p H a a
ω
+

là thành phần nhiễu loạn và tính các bổ chính bậc cao theo các sơ ñồ thích
hợp.
Qua nghiên cứu và ứng dụng trong một loạt các bài toán cụ thể về lý thuyết
trường, chất rắn, vật lý nguyên tử… OM ñã chứng tỏ tính ưu việt và hiệu quả của nó [7]
. Một số ưu ñiểm có thể kể ra như: (1) - Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận
phức tạp, ñưa về các phép biến ñổi thuần ñại số. Vì vậy có thể sử dụng các chương trình
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 3

tính toán trên biểu tượng như Matlab, Mathematica ñể tự ñộng hóa quá trình tính toán;
(2) - Cho phép xét các hệ lượng tử với trường ngoài có cường ñộ bất kì. Từ ñây có thể
tìm giá trị năng lượng và hàm sóng của hệ trong toàn miền thay ñổi của tham số trường
ngoài.

Một trong những khó khăn chung khi áp dụng OM là ña phần các bài toán có
toán tử Hamilton chứa các biến ñộng lực ở mẫu số hoặc trong trong dấu căn nên nếu
ñơn thuần chuyển sang biểu diễn các toán tử sinh hủy thì sẽ gây khó khăn khi tính toán.
Để giải quyết vấn ñề này, trong các công trình trước [2], [7] các tác giả ñã sử dụng mối
liên hệ giữa bài toán nguyên tử hydro và bài toán dao ñộng tử ñiều hòa thông qua phép
biến ñổi Levi-Civita giúp ñưa các phương trình về dạng bài toán dao ñộng tử phi hòa
khá quen thuộc – cách giải này khá “ñẹp mắt” về hình thức và cũng ñã phát huy tác
dụng ñối với một số bài toán [7]. Tuy nhiên, ñối với các bài toán phức tạp hơn, việc
xác ñịnh năng lượng một cách gián tiếp như vậy gây một số khó khăn khi tính toán, lập
trình ñể tìm nghiệm. Do ñó, trong ñề tài này tôi sử dụng phương pháp toán tử tìm năng
lượng E một cách trực tiếp bằng cách sử dụng phép biến ñổi Laplace ñể ñưa phần tọa
ñộ ra khỏi mẫu số và dấu căn. Đây ñược coi là một bước phát triển OM.
Với ý nghĩa ñóng góp vào sự phát triển của OM, luận văn này chỉ áp dụng OM
cho một bài toán ñơn giản, dễ dàng tìm nghiệm chính xác bằng phương pháp giải tích

- Khảo sát tính hội tụ của phương pháp toán tử theo tham số
ω
.
Phương pháp nghiên cứu:
- Tính toán ñại số ñể tìm biểu thức giải tích.
- Sử dụng ngôn ngữ lập trình FORTRAN 77 ñể tìm nghiệm số.
- Đối chiếu, so sánh kết quả số thu ñược bằng lời giải giải tích và lời giải theo OM.
Bố cục của luận văn ñược tác giả chia làm 4 chương:
Chương 1: Giới thiệu phương pháp toán tử qua bài toán dao ñộng tử phi ñiều hòa
Tác giả giới thiệu OM thông qua ví dụ bài toán dao ñộng tử phi ñiều hòa, ñồng
thời ñối chiếu với phương pháp lý thuyết nhiễu loạn truyền thống ñể thấy ñược tính
hiệu quả của phương pháp này. Trước hết tác giả viết lại sơ ñồ lý thuyết nhiễu loạn
Rayleigh-Schrödinger và áp dụng cho bài toán nêu trên. Sau ñó tác giả ñưa ra các bước
cơ bản của OM và áp dụng cho cùng một bài toán. Kết quả bằng số cho thấy phương
pháp nhiễu loạn chỉ áp dụng ñược cho trường hợp tham số phi ñiều hòa
0.1
λ
≪
trong
khi phương pháp toán tử cho kết quả hội tụ nhanh hơn nhiều lần và ñúng cho mọi giá trị
của tham số
λ
. Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp này ñể giải quyết vấn ñề nêu ra trong
luận văn.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 5

Chương 2: Exciton – Bài toán exciton hai chiều

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 6 CHƯƠNG 1

GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ QUA BÀI
TOÁN DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU HÒA
Trong chương này ta sẽ giới thiệu các bước cơ bản của OM thông qua ví dụ bài
toán dao ñộng tử phi ñiều hòa. Để minh họa những ưu ñiểm của phương pháp mới này
ta sẽ trình bày song song với phương pháp lý thuyết nhiễu loạn [1], [4] và so sánh các
kết quả bằng số của hai phương pháp.
1.1 Sơ ñồ Rayleigh- Schrödinger cho phương pháp nhiễu loạn dừng
Xét phương trình Schrödinger dừng:

ˆ
( ) ( )H x E xΨ = Ψ
, (1.1)
ta tách toán tử Hamilton của bài toán thành hai thành phần:

0
ˆ ˆ ˆ
H H V
β
= +
; (1.2)
trong ñó thành phần
0
ˆ
H

<<
)
ñược thêm vào ñể chỉ thành phần
ˆ
V
là nhỏ . Khi ñó, nghiệm của
phương trình (1.3) sẽ gần với nghiệm của phương trình (1.1). Lúc này chúng ta xem
n
ε

và
n
ψ
là nghiệm gần ñúng bậc không của (1.1), các nghiệm gần ñúng bậc cao hơn sẽ
ñược tính bằng cách xét ñến ảnh hưởng của
ˆ
V
thông qua các bổ chính năng lượng và
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 7

hàm sóng. Ở ñây ta ñưa vào tham số nhiễu loạn
β
ñể coi thành phần nhiễu loạn là nhỏ
và dễ dàng nhìn thấy các bậc nhiễu loạn trong sơ ñồ tính toán qua số mũ của
β
.
Ta giả thiết rằng các trị riêng của

=
Ψ =
∑
.
Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết hàm sóng cho trạng thái
n
như sau:

0
( )
( ) ( ) ( )
n n k k
k
k n
x x C x
ψ ψ
+∞
=
≠
Ψ = +
∑
. (1.4)
Thế(1.4) vào phương trình (1.1) ta có:

0
0, 0,
ˆ ˆ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n k k n n k k
k k n k k n

   
   
∑ ∑
,
suy ra:

0 ( )
nn nn k nk n
k k n
H V C V E
β β
+∞
= ≠
+ + =
∑
. (1.6)
Bây giờ làm tương tự như trên cho
*
( ),
j
x j n
ψ
≠
ta ñược:
* *
0
0, 0,
ˆ ˆ
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
j n k k j n n k k

∑
,
( )
j n≠
(1.7)
với ký hiệu các yếu tố ma trận:

*
0
ˆ
( ) ( )
kk k k
H x H x dx
ψ ψ
+∞
−∞
=
∫
,
*
ˆ
( ) ( )
jk j k
V x V x dx
ψ ψ
+∞
−∞
=
∫
. (1.8)

,
s s
j j j
s
C C C j n
β
+∞
=
= + ∆ ≠
∑
. (1.10)
Ở ñây ta ký hiệu
(0) (0)
,
n j
E C
là năng lượng và hệ số gần ñúng bậc không, còn
( ) ( )
, , 1
s s
n j
E C s∆ ∆ ≥
là các bổ chính vào năng lượng và hệ số hàm sóng. Đem (1.9) và
(1.10) thế vào (1.7), (1.8) sau ñó ñồng nhất hai vế theo lũy thừa của tham số
β
ta ñược:

(0) (0)
, 0
n nn j

,

1
( ) ( 1) ( ) ( )
(0)
0 1
1
( )
s
s s s t t
j jk k n j
k t
n jj
k n
C V C E C j n
E H
+∞ −
− −
= =
≠
 
 
∆ = ∆ − ∆ ∆ ≠
 
−
 
 
∑ ∑
. (1.11)
Đ

1 1
ˆ
2 2
d
H x x
dx
λ
= − + +
, (1.12)
với hệ số phi ñiều hòa
0
λ
>
. Bài toán này có dạ
ng chuy
ể
n
ñộ
ng trong h
ố
th
ế
và có các
m
ứ
c n
ă
ng l
ượ
ng gián

t bài toán này.
Tr
ướ
c h
ế
t ta chia toán t
ử
Hamilton thành hai ph
ầ
n nh
ư
sau:

0
ˆ ˆ ˆ
H H V= +
,
v
ớ
i :

2
2
0
2
1 1
ˆ
2 2
d
H x

ñ
i
ề
u hòa:

( )
2
exp
2
n n n
x
A H x
ψ
 
= −
 
 
, (1.14)
v
ớ
i
( )
n
H x
là
ñ
a th
ứ
c Hermit:
( )

2
n
n
ε
= +
.
Các y
ế
u t
ố
ma tr
ậ
n c
ủ
a các toán t
ử

0
ˆ
H
và
ˆ
V

ứ
ng v
ớ
i các hàm s
ố
(1.14) có th

= + + + +
,

, 2
(2 3) ( 2)( 1)
2
n n
V n n n
λ
+
= + + +
,

2
(6 6 3)
4
nn
V n n
λ
= + + . (1.15)
Các yếu tố ma trận khác không khác thu ñược từ tính ñối xứng:
km mk
V V=
.
Kết quả: Trong các bảng sau chúng ta sẽ ñưa ra các số liệu thu ñược cho trường
hợp trạng thái cơ bản
0n =
và mộ
t tr
ạ

n n
λ
+
+ +
≪( )
2
2 2 1
6 6 3
n
n n
λ
+
→
+ +
≪
. (1.16)
V
ớ
i tr
ạ
ng thái c
ơ
b
ả
n:
0n =
thì 0.67

ng l
ượ
ng t
ươ
ng
ứ
ng
trong b
ả
ng 1.1.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 11

Bảng 1:1
Trạng thái cơ bản
0n =
thu ñượ
c b
ằ
ng lý thuy
ế
t nhi
ễ
u lo
ạ
n.
E

0.5072375000 0.5309375002 0.5487500013 4.8875000929
( )
3
0
E

0.5072583125 0.5335390626 0.5695624993 1.0506874797
( )
4
0
E

0.5072558996 0.5320310060 0.5454335949 -0.9037538228
( )
5
0
E

0.5072562577 0.5331500624 0.5812433983 7.7980283886
( )
6
0
E

0.5072561937 0.5321503309 0.5172605857 -38.8454419856
( )
7
0

i
ề
u ki
ệ
n ta thu
ñượ
c là 0.146
λ
→ ≪ . Ta s
ẽ
xét
các tr
ườ
ng h
ợ
p
ứ
ng v
ớ
i các giá tr
ị
0.01,
λ
=
0.03
λ
= , 0.06
λ
= , 0.1
λ

u lo
ạ
n.0.01
λ
=

0.03
λ
=

0.06
λ
=

0.1
λ
=

( )
0
4
E

4.5000000000 4.5000000000 4.5000000000 4.5000000000
( )
1
4


4.7746833968 4.9040483689 -18.4791292566 -571.7761147298
( )
7
4
E

4.7750329077 5.6684285196 79.3615300321 2923.3320274444
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 12

( )
8
4
E

4.7748469756 4.4448528730 -232.9328160495 -15669.8670185477
( )
9
4
E

4.7749514618 6.5051300165 820.0470425212 888816.3030916408
( )
10
4
E


n xong
ñ
ã th
ấ
y có d
ấ
u hi
ệ
u phân kì, ch
ỉ
còn chính xác
ñế
n hai ch
ữ
s
ố
sau d
ấ
u ph
ẩ
y.
C
ụ
th
ể

ñế
n giá tr
ị
0.1

n không còn
ñ
úng n
ữ
a. Ta c
ũ
ng
nh
ậ
n th
ấ
y k
ế
t qu
ả
t
ươ
ng t
ự

ở
tr
ạ
ng thái kích thích
4n =
(b
ả
ng 1.2)
Nh
ư

chính
ñầ
u tiên. Các b
ổ
chính b
ậ
c cao không có ý ngh
ĩ
a, bên c
ạ
nh
ñ
ó t
ố
c
ñộ
h
ộ
i t
ụ
c
ủ
a n
ă
ng
l
ượ
ng không cao và ch
ỉ
áp d

ấ
t hi
ệ
n vào nh
ữ
ng n
ă
m 1979. Tuy nhiên, OM
ñượ
c
ñư
a ra
ñầ
u tiên vào n
ă
m 1982 b
ở
i m
ộ
t nhóm các giáo s
ư

ở
tr
ườ
ng
Đạ
i h
ọ
c Belarus và

i c
ấ
u trúc tinh th
ể
,...
trong v
ậ
t lý ch
ấ
t r
ắ
n; bài toán t
ươ
ng tác h
ệ
các boson trong trong lý thuy
ế
t tr
ườ
ng.
Ph
ươ
ng pháp này
ñượ
c phát tri
ể
n b
ở
i Fernandez, Meson và Castro, Gerryva Silverman,
Wistchel và nhi

t chi
ề
u. K
ế
t qu
ả
thu
ñượ
c s
ẽ
so sánh v
ớ
i ph
ươ
ng pháp nhi
ễ
u
lo
ạ
n
ở
trên.
Xét ph
ươ
ng trình Schrödinger (1.1) cho dao
ñộ
ng t
ử
phi
ñ

sau:
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 13

Bước một: Chuyển toán tử Hamilton về biểu diễn của các toán tử sinh - hủy bằng
cách ñặt biến số ñộng lực (tọa ñộ và toán tử ñạo hàm) thông qua các toán tử sau:

1
ˆ ˆ ˆ
;
2 2
1
ˆ ˆ ˆ
.
2 2
i d
a x p x
dx
i d
a x p x
dx
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
+
   
   

tính toán ñại số sau này. Từ ñây về sau ta gọi nó là dạng chuẩn (normal) của toán tử
Thế (1.17) vào (1.12) và sử dụng (1.18), ta ñược biểu thức dạng chuẩn của toán tử
Hamilton như sau( phụ lục 1):

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2
4
4 3 2
4 3 2
2
1 1 3
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2 1 2 2 1
4 4
4
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
4 4 6 6 .
4
H a a a a a a a a
a a a a a a a a
ω ω λ
ω ω
ω
λ
ω
+ + + +

( ) ( )
2
2
0
2
1 3
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2 1 2 2 1
4 4
OM
H a a a a a a
ω λ
ω ω
+ + +
 
 
 
+
= + + + +
. (1.20)
- Phần còn lại ta kí hiệu là
( )
( )
0
ˆ ˆ
ˆ ˆ
, ,
ˆ
ˆ ˆ

ˆ
ˆ ˆ
, , ,
OM
V a a
λ ω
+
ñược xem như thành
phần “nhiễu loạn” sẽ ñược ñiều chỉnh “ñủ nhỏ” ñể thỏa ñiều kiện của lý thuyết nhiễu
loạn thông qua việc chọn tham số
ω
.
Bước ba: Tìm nghiệm chính xác bậc không bằng cách giải phương trình:

( )
( ) ( ) ( )
0 0 0
0
ˆ
ˆ ˆ
, ,
OM
H a a E
λ ω ψ ψ
+
=
. (1.21)
Ta thấy
( )
0

ñược xác ñịnh bằng phương trình:

ˆ
( ) 0 0; 0 0 0
a
ω
= =
. (1.23)
Khi cần thiết chúng ta có thể sử dụng phương trình này ñể xác ñịnh dạng tường
minh của hàm sóng biểu diễn trạng thái chân không.
Từ các tính chất của toán tử sinh – hủy (1.18), ta dễ dàng kiểm chứng:

ˆ ˆ
;a a n n n
+
=
(1.24)
ñiều này có nghĩa là trạng thái (1.23) là nghiệm riêng của toán tử
ˆ ˆ ˆ
n a a
+
=
, nghĩa là nó
cũng là nghiệm riêng của toán tử
( )
0
ˆ
ˆ ˆ
, ,H a a
λ ω

ω λ
ω ω
ω λ
ω ω
+ + +
 
 
=
 
 
 
 
=
+
= + + + +
+
+ + + +
(1.25)
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 15

là năng lượng gần ñúng bậc không, phụ thuộc vào tham số
ω
(xem phụ lục 3). Như ñã
nói, ñây là tham số ñược ñưa vào ñể tối ưu hóa quá trình tính toán, ta xác ñịnh
ω
từ
ñiều kiện:

số tự do
ω
ñể ñiều khiển tốc ñộ hội tụ, ta có thể sử dụng sơ ñồ vòng lặp ñể giải trực
tiếp hệ phương trình (1.6)-(1.7).
Hàm sóng có thể viết dưới dạng chuỗi của các vector trạng thái như sau:

( ) ( )
0
( )
n s
s s
n k
k
k n
n C k
+
=
≠
Ψ = +
∑
. (1.28)
Thế (1.28) vào phương trình (1.1) ta có:

( ) ( )
0
0 0
( ) ( )
ˆ ˆ
( )
n s n s

k n k n
n H V n C k n E n C k
β
+ +
= =
≠ ≠
   
   
+ + = +
   
   
   
∑ ∑
,
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 16

suy ra:

( )
( )
0,
n s
s
s
n nn nn
k nk
k k n

   
   
∑ ∑
,
suy ra:

( ) ( 1) ( )
0
( )
n s
s s s
n jj j jn
k jk
k
k n
E H C V C V
+
+
=
≠
− = +
∑
,
( )
j n≠ (1.31)
Vì
( )
s
k
C

E H V C V
+
= ≠
= + +
∑
,

( ) ( 1) ( )
0
( )
n s
s s s
n jj j jn
k jk
k
k n
E H C V C V
+
+
=
≠
− = +
∑
, (1.32)

với ñiều kiện ban ñầu là
( )
( )
0
0,

các phần tử ma trận này có thể tính một cách dễ dàng bằng các biến ñổi thuần ñại số
dựa vào các tính chất (1.18), (1.23). Cụ thể là hai công thức sau :
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 17 ˆ ˆ
1 1 ; 1 .a n n n a n n n
+
= + + = −
(1.34)
Việc tính các phần tử ma trận bằng các phép tính thuần ñại số là một trong những
ưu ñiểm của OM. Thật vậy, thay vì ñịnh nghĩa các phần tử ma trận như (1.6) và tính các
tích phân tương ứng với các hàm sóng ở dạng tường minh, ở ñây ta chỉ dựa vào các
biến ñổi ñại số nhờ các hệ thức (1.18) và (1.23) và cụ thể là sử dụng (1.26) và (1.34).
Kết quả ta có các phần tử ma trận khác không như sau (xem phụ lục 3):

( )
( ) ( )
( )
( )
2
2
0
2
2
2
2

( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( )( )
2
2 3 2
, 2
2
2 2
2 2
2
2
1
ˆ ˆ ˆ ˆ
4 6 2
4 4
2 !
1 1
4 6 2 1 2 3
4 4 4 2 !
1
= 2 3 2 1 ,
4 2
n n
V n a a a a n
n
n n n n
n
n n n
ω λ
ω ω

n n
n
V n a n n n n n
n
λ λ λ
ω ω ω
+
+
= + = = + + + +
(1.35)
các phần tử ma trận khác thu ñược dựa vào tính ñối xứng
nm mn
V V=
.
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 18

Bảng 1.3: Năng lượng trạng thái cơ bản
0n =
thu ñượ
c b
ằ
ng OM.

0.01
λ
=


E

0.5072563014 0.5323777399 0.558838596 0.6373408787 0.8817884333
( )
3
0
E

0.5072562707 0.5326638127 0.559112766 0.6378326682 0.8840817664
( )
4
0
E

0.5072562023 0.5326424521 0.559151382 0.6380153133 0.8849480705
( )
5
0
E

0.5072620492 0.5326424823 0.559146495 0.6379948737 0.8848112845
( )
6
0
E

0.5072620448 0.5326427790 0.559146278 0.6379914404 0.8847892918
( )
7
0

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 19 Bảng 1.4: Năng lượng trạng thái kích thích
4n =
thu ñượ
c b
ằ
ng OM

0.01
λ
=

0.03
λ
=

0.06
λ
=

0.1
λ
=

1.5
λ
=

( )
5
4
E

4.7749139015 5.2051516636 5.7011304336 6.2203200633 12.3576222919
( )
6
4
E

4.7749129456 5.2051514395 5.7009480693 6.2203017742 12.3577769104
( )
7
4
E

4.7749131151 5.2051511291 5.7010151586 6.2202996521 12.3574810758
( )
8
4
E

4.7749131114 5.2051511437 5.7010178067 6.2203009392 12.3574842521
( )
9
4
E

4.7749131114 5.2051511499 5.7010146470 6.2203009652 12.3575265919

ng c
ơ
b
ả
n n=0 (b
ả
ng 1.3)
và tr
ườ
ng h
ợ
p kích thích
ứ
ng v
ớ
i n = 4 (b
ả
ng 1.4)
ứ
ng v
ớ
i các giá tr
ị

λ
khác nhau, sau
b
ổ
chính b
ậ

ươ
ng pháp nhi
ễ
u lo
ạ
n
ñ
ã thu
ñượ
c
ở

b
ả
ng 1.1 và b
ả
ng 1.2 b
ằ
ng vi
ệ
c xét thêm tr
ườ
ng h
ợ
p
1.5
λ
=

ñố

có giá tr
ị
nh
ỏ
.
Nh
ư
v
ậ
y OM cho phép tìm giá tr
ị
n
ă
ng l
ượ
ng
ứ
ng v
ớ
i các giá tr
ị
tham s
ố
nhi
ễ
u
lo
ạ
n
λ

giữa dải dẫn và giải
hóa trị ở khoảng năng lượng kéo dài từ vùng hồng ngoại tới vùng ánh sáng khả kiến.
Một photon năng lượng
g
h E
ω
>
có thể kích thích một ñiện tử trong dải hóa trị nhảy lên
dải dẫn và ñể lại trong dải hóa trị một lỗ
trống thể hiện như một ñiện tích dương.
Một ñiện tử liên kết với một lỗ trống bởi
tương tác Coulomb sẽ cho ra một hệ
tương tự như nguyên tử hydro. Ở giới
hạn mật ñộ thấp, khi ñó ta bỏ qua hiệu
ứng nhiều hạt, cặp ñiện tử - lỗ trống
ñược coi như môt giả hạt tự do gọi là
exciton.
Hình 2.1- Các mức năng lượng của exciton [7]
2.1.2 Phân loại
Exciton ñược phân làm hai loại tùy thuộc vào tính chất và vật liệu ñang xét:
- Trong chất bán dẫn: ñiện tử và lỗ trống tương tác với nhau ở khoảng cách lớn
hơn nhiều lần hằng số mạng, cộng thêm thế màn chắn (thế tương tác) của môi trường
mạng nên năng lượng liên kết của exciton thường nhỏ hơn nhiều so với năng lượng của
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 21

hydro, loại này gọi là exciton Mott-Wannier ( hình 2.2), thường xảy ra trong tinh thể
ñồng hóa trị.

với mức năng lượng tạp chất donor nhóm V hoặc các bán dẫn nguyên tố nhóm IV như Si,
Ge (cỡ 0.005eV).
- Không phải chỉ có một mức exciton mà có cả một dải các mức exciton gián
ñoạn. Phổ hấp thụ exciton là phổ gián ñoạn, gồm một dải các vạch như phổ hấp thụ của
hydro.
- Sự tồn tại của exciton ñược chứng tỏ trong thực nghiệm qua việc phát hiện một
vùng phổ hấp thụ gần bờ hấp thụ cơ bản về phía bước sóng dài với các mũi nhọn (peak)
hấp thụ (ở nhiệt ñộ thấp) mà không làm thay ñổi nồng ñộ hạt dẫn. Phổ vạch dạng giống
như nguyên tử Hydro ñã ñược phát hiện trong các bán dẫn có vùng cấm rộng như CdS,
HgI
2
, PbI
2
, CdI
2
, CuO
2
,...[7].
2.2 Bài toán exciton hai chiều
2.2.1 Phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều
Theo cơ học cổ ñiển, năng lượng của hệ gồm electron và lỗ trống tương tác

( )
2 2
1 2
1 2
2 2
p p
E U r
m m

Viết lại (2.2) trong hệ tọa ñộ chuyển ñộng khối tâm và chuyển ñộng tương ñối của
hai hạt (xem phụ lục 4):
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 2010

SVTH: Trương Mạnh Tuấn
Trang 23 ( )
2 2
2 2
2 1
ˆ
2 2( )
r G
H U r
m m
µ
 
= − ∇ − ∇ Ψ +
 
+
 
ℏ ℏ
. (2.3)
Trong ñó:
+
r
∇
xung lượng ứng với chuyển ñộng tương ñối của hai hạt

2
,
+
( )
2
2
ˆ
2
r r
H U r
µ
= ∇ +
ℏ
: chuyển ñộng tương ñối của hạt trong trường thế Coulomb
với khối lượng rút gọn
1 2
1 2
.m m
m m
µ
=
+
.
Khi ñó phương trình Schrödinger có dạng:

( )
2 2
2 2
2 1
2( ) 2

,
G r
H H
.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
2
2 1
2.6
2
2.7
2( )
r r r r
G G G G
U r r E r
R E R
m m
ψ ψ
µ
ψ ψ

 
− ∇ + =
 


 

thể dễ dàng tìm ñược năng lượng và hàm sóng của nó như sau [5]:
2 2
2
2
1 2
2
( )
G r
E n
L m m
π
=
+
ℏ
,

( )
( )
1
2
ikr
G
r e
ψ
π
=
. (2.8)
Như vậy, ta chỉ cần xác ñịnh nghiệm của phương trình chuyển ñộng tương ñối
(2.6). viết dưới dạng không thứ nguyên sau ( xem phụ lục 4):


+
là thế Coulomb.
2.2.2 Phương pháp giải tích cho bài toán exciton hai chiều.

Trong phần này ta sẽ tiến hành giải (2.9) theo phương pháp giải tích ñể ñối chiếu
với phương pháp toán tử ở phần sau.
* Phương trình Schrödinger của exciton hai chiều trong tọa ñộ cực:
Chuyển toán tử Hamiton trong phương trình (2.9) qua biểu diễn trong tọa ñộ cực
ta ñược

2
2 2
1 1
ˆ
2 2
Z
H r
r r r r r
ϕ
∂ ∂ ∂
 
= − − −
 
∂ ∂ ∂
 
. (2.10)
Với toán tử có dạng như trên, khi thay vào phương trình Schrödinger ñể tìm
nghiệm sẽ khó vì trong phương trình chứa hai biến số. Ta sẽ sử dụng một nguyên lý
trong cơ học lượng tử: “Nếu hai toán tử giao hoán với nhau thì chúng có chung hệ hàm
riêng”, vì vậy ta ñi tìm các toán tử giao hoán với toán tử