y
x
x
y

  




  

Câu 2
: (4,0 điểm)
1) Tìm số tự nhiên n lớn nhất sao cho 2015 viết được dưới dạng:

1 2
2015
n
a a a   
, với các số
1 2
, , ,
n
a a a
đều là hợp số.
2) Tìm số dư khi chia


www.VNMATH.com


2 3 10 21 25 1 3 3 7 25x x x x x x x x          

  
   
 
 
2 2
2 2
2
2
2
2
2 2
1 2
2 2
3
4 3 4 21 25
4 9 12 4 9 12 25
4 9 144 25
4 9 169
4 9 13 4 22 0
2 26, 2 26
4 9 13 4 4 0
2
x x x x
x x x x
x x
x x
x x x x
x x

x y
 
     
 
 
. Hệ trở thành:
2 2
2 2
4 10 4 5 10 4 5 4
4 10 4 5 10 4 5 4
a b b a
b a a b
 
     
 

 
     
 
 

2 2
2 2
10 4 25 16 40
5 5
0 ,0
4 4
10 4 25 16 40
b a a
a b



 


+)
a b
, ta có:
1
2 2 2
2
3
2
10 4 25 16 40 4 8 3 0
1
2
a
a a a a a
a




        










Câu 2
: (4,0 điểm)
1) Ta có hợp số nhỏ nhất là 4 mà 2015 4 503 3 503n    
www.VNMATH.com
+) Nếu n = 502, ta có:
2015 4 500 6 9   
. Vậy n = 502
2) Ta có:
 
 
2014
2013 2014 2013
2012 2015 2012 1 2013 2 1     

Mà
     
2013
2012 1 2012 1 2013 11B B B    

   
2014
2014 2014
2013 2 1 2013 2 1 (11) 2 1B B       

       
201
2014 10 201
2 1 16 2 1 16 11 1 1 16 11 1 1 11 15 11 4B B B B

                
   

(Vì
 

a y b x abxy
    
       
   

 
2
0ay bx   (bất đẳng thức đúng). Dấu “=” xảy ra khi
0
a b
ay bx
x y
   
Áp dụng (1) ta chứng minh
 
 
2
2 2 2
2
a b c
a b c
x y z x y z
 
  
 
với a, b, c, x, y, z là các số
dương.
Thật vậy
   
2 2

Lại có






2 2 2
0 2a b b c c a a b c ab bc ca            
Do đó
2
1
2
1 1 1
a b c
b c a
a b c
   
  
. Dấu “=” xảy ra khi
2
3
2
a b c
a b b c c a
a b c a b c
ab bc ca

 



Ta có



1
2
CBM COM COD  (góc nội tiếp và góc
ở tâm, OD là phân giác

cân và các tam giác PMI, PLN, PKS là các tam giác
đều có PF, PD, PE lần lượt là các đường cao
 BL = AS, LD = ND, CK = BI, KE = SE, AM = NC,
MF = IF
 BL + LD + CK + KE + AM + MF = AS + ND + BI
+ SE + NC + IF
 BD + CE + AF = AE + BF + CD
Mà (BD + CE + AF) + (AE + BF + CD) = BC + AC + AB = 3a
3
BD+CE+AF= a
2
 (*)
Lại có
 
2
ABC BPC APC APB
a 3 1 a 3
S =S +S +S = a(PD+PE+PF) PD+PE+PF= **
4 2 2
 
Từ (*) và (**) có
BD+CE+AF 3a a 3
= : = 3
PD+PE+PF 2 2
N
M
K