TỔNG HỢP 30 ðỀ THI TUYỂN SINH VÀO
LỚP 10 THPT CHUYÊN

MÔN TOÁN ðỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
HỆ THPT CHUYÊN ðHKHTN, ðHQG HÀ NỘI
NĂM HỌC 2007-2008 – Thời gian 150 phút
NGÀY THỨ NHẤT
Câu 1. (3 ñiểm)
Giải hệ phương trình và phương trình sau
a)
4 x
2
- 1
+
x
=

2 x
2
- x
+

2 x
+
1
.

ì
xy( x
+
y

– 4x + 1 = 0. Chứng minh rằng
5 5

x
1
+
x
2

là một số nguyên.
b)
Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn a + 1 và b + 2007 ñều chia hết cho 6.
Chứng minh rằng 4
a
+ a + b chia hết cho 6.
Câu 3. (3 ñiểm)
Cho M là trung ñiểm của cung nhỏ AB của ñường tròn tâm O (AB không phải là ñường
kính). C và D là 2 ñiểm phân biệt, thay ñổi nằm giữa A và B. Các ñường thẳng MC, MD cắt (O)
tương ứng tại E, F khác M.
a) Chứng minh các ñiểm C, D, E, F nằm trên một ñường tròn.
b)
Gọi O
1
và O
2
lần lượt là tâm các ñường tròn ngoại tiếp các tam giác ACE và BDF.
Chứng minh rằng khi C và D thay ñổi trên ñoạn AB thì giao ñiểm của hai ñường
thẳng AO
1
và BO

)

2

(

bc
+
b
+
1
)

2

(

ca
+
c
+
1
)

2
2
- 2 x m
+
2 m ( m
+
1) - 3

=
0
(1)

x - 1
a)
Tìm m ñể x = -1 là một nghiệm của phương trình (1)
b)
Tìm m ñể phương trình (1) vô nghiệm

Câu 2. a) Giải bất phương trình :

( x
+
3)( x - 1) - 2 x - 1
<
x
2
- 7

ì
ï


b
2
+
a - b
=
a
2
- 2ab
+
b
2
- 5a
+7
b
=
0
Chứng tỏ rằng :
ab - 12a
+
15b
=
0

b) Cho :

A
=

b) Gọi E và K lần lượt là trung ñiểm của PB và NC . Chứng minh các ñiểm I , M , E và K
cùng thuộc một ñường tròn
c) Giả sử IA là phân giác của góc NIP . Hãy tính số ño của góc BCP

Câu 5. Một công ty may giao cho tổ A may 16800 sản phẩm , tổ B may 16500 sản phẩm và bắt
ñầu thực hiện công việc cùng một lúc . Nếu sau 6 ngày , tổ A ñược hỗ trợ thêm 10 công nhân
may thì họ hoàn thành công việc cùng lúc với tổ B . Nếu tổ A ñược hỗ trợ thêm 10 công nhân
may ngay từ ñầu thì họ sẽ hoàn thành công việc sớm hơn tổ B 1 ngày. Hãy xác ñịnh số công
nhân ban ñầu của mỗi tổ . Biết rằng , mỗi công nhân may mỗi ngày ñược 20 sản phẩm .

-
HẾT
-

2

+

ỗ

-

S Giỏo dc-ủo to K THI TUYN SINH LP 10 thpt thnh ph hu
Tha Thiờn Hu Khúa ngy 12.7.2007

1 1
ử

ữ
:
x
-
1

3 3
+
3(

x

>
0
và
x

ạ
1
)



B
(

4 ; 0
)

v
C
(

- 1 ; 4
)

.

a)
Vit phng trỡnh ủng thng (d) ủi qua ủim C v song song vi ủng thng
y
=
2x - 3
. Xỏc ủnh ta ủ giao ủim A ca ủng thng (d) vi trc honh Ox.

b) Xỏc ủnh cỏc h s a v b bit ủ th hm s y = ax + b ủi qua 2 ủim B v C. Tớnh gúc
to bi ủng thng BC v trc honh Ox (lm trũn ủn phỳt).
c) Tớnh chu vi ca tam giỏc ABC (ủn v ủo trờn cỏc trc ta ủ l xentimột) (kt qu lm
trũn ủn ch s thp phõn th nht).
Bi 3: (2 ủim)
a)
Tỡm hai s

Chng minh rng:
AD
ì
BE = R
2
.
c)
Xỏc ủnh v trớ ca ủim M trờn na ủng trũn (O) sao cho din tớch ca t giỏc ADEB
nh nht.
Bi 5: (1,5 ủim)
Mt cỏi xụ dng hỡnh nún ct cú bỏn kớnh hai ủỏy l 19 cm v 9 cm, ủ di ủng sinh
l
=
26 cm
. Trong xụ ủó cha sn lng nc cú chiu cao 18 cm so vi ủỏy di (xem hỡnh v).
a) Tớnh chiu cao ca cỏi xụ. Hi phi ủ thờm bao nhiờu lớt nc ủ ủy xụ ?

3

A



17

12 2

3

17

12
2

2.
Rút gọn biểu thức sau:
P
1
1
1 1

1 5 5
9

9
1

x
3
3

2 x
2

3
x
2 0
Câu III. Giả sử tam giác ABC có diện tích bằng 1, gọi a,b,c và h
a
,h
b
,h
c
tương ứng là ñộ dài
các cạnh và các ñường cao của tam giác ABC. Chứng minh rằng: (a
2
+b
2
+c
2
).(ha
2
+ hb
2

1

2
m

7
x

2
y

z

ðề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 THPT CHUYÊN TOÁN - TIN TRƯờNG ðạI HọC VINH
Vòng II (150 phút) Câu V.
a) Tìm các giá trị của tham số m ñể tập nghiệm của phương trìng sau có ñúng một phần tử:

2 2 4

x m


y
2
z
2771

16Câu VI. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: P = x - y + 2004, trong ñó các số thực x và
y thỏa mãn các hệ thức:
2
2

x y
36

9
16Câu VII. Chứng minh rằng tồn tại các số tự nhiên a,b,c nghiệm ñúng phương trình:
x
2
+ y
2
+ z
2

2

z

x

y

2
z

y

z
ðề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 TRƯờNG THPT CHUYÊN HÀ TĨNH
Năm học: 2007 - 2008
Thời gian: 150'

Bài 1: a) Giải phương trình: x
4
- 2x
3
+ 4x
2
-3x - 4 = 0
b)Tìm những ñiểm M(x;y) trên ñường thẳng y = x +1 có tọa ñộ thỏa mãn ñẳng thức:
y


2008

y
20072007

z
20062006

2 y z

2007

x

2006

2 z
2008
x yBài 5: Từ một ñiểm P ở ngoài ñường tròn tâm O, vẽ hai tiếp tuyến PE và PF tới ñường tròn( E, F
là các tiếp ñiểm). Tia PO cắt ñường tròn tại A và B sao cho A nằm giữa P và O. Kẻ EH vuông

3
ðỀ DỰ THI
ðỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 ( khối chuyên)
MÔN THI : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút

Bài1: ( 1,5 ñiểm)Tìm x, y
¢
biết
a)
x
2


a) Tìm ñiều kiện của x ñể P có nghĩa.
b) Rút gọn P.

Bài3: ( 2,5 ñiểm)Cho Parabol (P) :y=

hoành ñộ lần lượt là -2 và 4

1
x

2

4và ñường thẳng (D) qua 2 ñiểm A và B trên (P) có
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñó.
b) Viết phương trình ñường (D).
c)
Tìm vị trí của ñiểm M trên cung AB của (P) tương ứng hoành ñộ x
Î
[-2 , 4] sao cho

AMB có diện tích lớn nhất .
Bài 4: ( 3, 5 ñiểm)
Cho hình vuông ABCD có tâm O , vẽ ñường d quay quanh O cắt 2 cạnh AD và BC lần lượt ở E
và F ( E,F không trùng các ñỉnh hình vuông).Từ E và F lần lượt vẽ các ñường thẳng song song
với BD và AC cắt nhau ở I.
a) Tìm quỹ tích của ñiểm I.

500

HẾT
4

SỞ GD VÀ ðT ðẮC LẮC KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
CHUYÊN NGUYỄN DU NĂM HỌC 2006-2007
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _


( z
-
x)
5

chia hết cho 5(x-y)(y-z)(z-x)
1 1 1

Bài 3: (1.5. ñiểm) Chứng minh phương trình :
x
2
+
xy
+

y
2=1 không có nghiệm nguyên dương Bài 4: (1.5. ñiểm) Tìm số tự nhiên có 4 chữ số thỏaa mãn các tính chất sau:
Chữ số hàng nghìn và hàng trăm giống nhau
Chữ số hàng chục và hàng ñơn vị giống nhau
Số ñó có thể viết ñược thành tích ba số, mỗi thừa số ñều làsố có hai chữ số
và chia hết cho 11.

5

Câu 4(3,5 ñiểm): Cho tam giác nội tiếp trong ñường tròn tâm , ñường cao
. Giả sử là một ñiểm trên cung nhỏ ( không trùng với và ), từ hạ
vuông góc với ( thuộc )
1) CM tứ giác nội tiếp ñược trong một ñường tròn.
2) CM góc bằng góc
3) CM rằng khi thay ñổi trên cung nhỏ th“ góc không ñổi
4) CM song sonh vớiCâu 5(1 ñiểm):1) CMR: Với , ta có:

2) CMR:
Câu 1(2,5 ñiểm): Cho biểu thức:
a) Với giá trị nào của th“ biểu thức có nghĩa?
b) Rút gọn P r?#8220;i so sánh với .

Câu 2(2,0 ñiểm): Cho là ba số thực ñôi một khác nhau thõa mãn:
CMR:

Câu 3(2,0 ñiểm): CMR, nếu và là các số nguyên tố th“ cũng là số nguyên tố. Câu 4(3,5 ñiểm): Cho ñường tròn có ñường kính cố ñịnh. ðiểm di ñộng trên
ñường tròn . là một ñiểm cố ñịnh giữa và (ñiểm không trùng với , không trùng
với và không phải là trung ñiểm của ñoạn thẳng ).
a) T“m vị trí của ñiểm trên ñường tròn sao cho ñộ dài của lớn nhất?
b) Gọi là một ñiểm trên ñường tròn sao cho vuông góc với . Gọi là trung
ñiểm của . CMR, khi ñiểm di ñộng trên ñường tròn th“ là một số
không ñổi.
c) CMR, khi ñiểm di ñộng trên ñường tròn th“ ñiểm di ñộng trên một ñường tròn cố
ñịnh có tâm là trung ñiểm của ñoạn thẳng .
Câu 3(1,0 ñiểm): T“m GTLN của biểu thức: (x>0).
Câu 4(3,5 ñiểm): Cho tam giác ABC nội tiếp trong ñường tròn tâm O. Các ñường phân giác
trong và ngoài của góc A cắt BC lần lượt tại D và E. Tiếp tuyến của (O) tại A cắt BC ở F.
a) CM tam giác FAD cân tại F.
b) CM:
c) ðặt AB=m, AC=n. Tính tỷ số theo m và n
Câu 5(1,0 ñiểm): Trong dãy số tự nhiên có thể t“m ñược 2005 số liên tiếp nhau mà không có số
nào nguyên tố không?

Ngày 2: Dành cho thí sinh dự thi vào lớp chuyên

Câu 1(1,5 ñiểm): Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh hai số sau:
và
Câu 2(2,0 ñiểm): Giải phương tr“nh:
Câu 3(2,0 ñiểm): Rút gọn biểu thức:
Câu 4(3,0 ñiểm): Cho ñoạn thẳng AB và ñiểm C nằm giữa A và B. Từ C kẻ tia Cx vuông góc với
AB. Trên tia Cx lấy hai ñiểm E, F sao cho CE=CA và CF=CB. Vẽ ñường tròn tâm ñi qua ba
ñiểm A, C, E và ñường tròn tâm ñi qua ba ñiểm B, C, F, chúng cắt nhau tại ñiểm thứ hai D.
a) CM ba ñiểm E, B, D thẳng hàng và ba ñiểm A, D, F thẳng hàng.
b) Khi C di ñộng trên ñoạn thẳng AB (C không trùng với A và C cũng không trùng với B), chứng
minh ñường thẳng CD luôn luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh.
Câu 5(1,5 ñiểm):
An hỏi B“nh: Bố của bạn năm nay bao nhiêu tuổi?
B“nh ñáp: Năm 1986, tuổi của bố m“nh là một số có hai chữ số và bẳng tổng các chữ số năm sinh
của bố m“nh. Hỏi bố của B“nh sinh năm nào và năm 2005 này bố của B“nh bao nhiêu tuổi?

Câu 5(3,5 ñiểm): Cho ñường tròn (O;R) và dây cung BC cố ñịnh không ñi qua tâm O. Gọi A là
ñiểm chính giữa của cung nhỏ BC. Lấy ñiểm M bất kỳ trên cung nhỏ AC (ñiểm M không trùng
với A và M cũng không trùng với C), kẻ tia Bx vuông góc với tia MA ở I cắt tia CM tại D.
a) CM: và MA là tia phân giác .

b) CMR ñiểm A là tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và góc BDC có ñộ lớn không phụ
thuộc vị trí ñiểm M.
c) CM tích p=AE.AF không ñổi khi ñiểm M di ñộng. Tính p theo bán kính R và góc ABC =Ngày thứ hai
Câu 1(2,0 ñiểm): Rút gọn biểu thức:
Câu 2(1,5 ñiểm): Cho ba số thực a, b, c thõa mãn ñiều kiện abc=1. CMR: Câu 3(1,5 ñiểm): Tính giá trị của biểu thức:Trong ñó x, y, z là các số thực dương thõa mãn:
Câu 4(1,5 ñiểm): Cả ba vòi nước cùng chảy vào một bể. Nếu vòi thứ nhất và vòi thứ hai cùng
chảy trong 6 giờ th“ ñầy bể. Nếu vòi thứ hai và vòi thứ ba cùng chảy trong 5 giờ th“ ñầy bể.
Nếu vòi thứ ba và vòi thứ nhất cung chảy trong 9 giờ th“ ñầy bể. Hỏi nếu cả ba vòi cùng chảy
th“ bao lâu bể sẽ ñầy nước.

Câu 5(3,5 ñiểm): Cho hai ñường tròn , cắt nhau tại A và B sao cho hai ñiểm ,
nằm về hai phía khác nhau ñ?#8220;i với ñường thẳng AB. ðường thẳng d quay quanh ñiểm B,
cắt các ñường tròn , lần lượt tại C và D (C không trùng với A, B và D cũng không
trùng với A, B).
a) CMR số ño các góc ACD, ADC và CAD không ñổi.


+
3
-
3-

5b) Giải phương trình :
x
+

Bài 02 : ( 1, 5 ñiểm)4x
2
- 4x
+
1
=
5
Cho phương trình : x
2
– 2mx + m - 1 = 0 (1)
a. Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b. Tìm m ñể phương trình có 2 trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt ñối.
c. ðặt A = (x
1

8

=
2
x -
1

+
4
y - 2
+
6
z -
3
HẾT

b) tìm m ñể pt có nghiệm. Câu 4:Cho
Tính S=x+y. Câu 5:Cho a,b là các số nguyên dương sao cho cũng là các số nguyên. Gọi d là ước số
chung của a và b. cmr

Câu 6:Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và nội tiếp(O)(AB<AC). Các tiếp tuyến với(O) tại B và
C cắt nhau tại N. Kẻ AM song song với BC. MN cắt(O) tại M và P.
a) Cho . Tính BC.
b) Cm

c) Cm BC,ON,AP ñồng quy.
Câu 7: cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao ñiểm AC và BD, = . Cm S(ABCD)= Câu 8:cho các số thực a,b,c thỏa a+2b+3c=0. Cm +8 +27 =18abc
Câu 9: Cm một số tự nhiên biểu diễn ñược dưới dạng tổng 2 số chính phương thì hai lần số ñó
cũng biểu diễn ñược dưới dạng tổng hai số chính phương.

Câu 10:cho 2 số dương x,y thỏa x+y=1. tìm GTNN của N=
Câu 11:hệ phương trình x-3y-3=0; + -2x-2y-9=0 có hai nghiệm (x1;y1);(x2;y2)

tính giá trị P=
Câu 12:cho nửa ñường tròn ñường kính AB, trên nửa mp chứa nửa ñường tròn bờ AB, kẻ hai tiếp
tuyến Ax, By. từ ñiểm J khác A và B trên nửa ñường tròn kẻ tiếp tuyến cắt Ax, By ở D,C. gọi I là
giao ñiểm của AC, BD.Cm IJ song song với AD.
Câu 13: a, b là hai nghiệm của pt +px+1=0 và b,c là hai nghiệm của pt +qx+2=0.Cm (b-a)
(b-c)=pq-6
Câu 14:Cm pt = +y+2+ không có nghiệm nguyên.

Câu 15:cho tam giác nhọn ABC, gọi AD, BE, CF là các ñường cao của tam giác.Cm tia DA là tia
phân giác góc


a. giải hệ khi a=-2
b. xác ñịnh tất cả các giá trị của a ñể hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn ñiều kiện x+y>0
Bài 3 :1 ñiểm
Giải bất phương trình: >x-1
Bài 4: 2,5 ñiểm
Cho phương trình mx^2-5x-(m+5) =0, trong ñó m là tham số, x là ẩn số
a.giải phương trình với m=5
b. chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với m
c. trong trường hợp phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2, hãy tính theo m giá trị của biểu
thức B= . Tìm m ñể B=0
Bài 5 : 3,5 ñiểm
Cho hình vuông ABCD có AB=1 cm . Gọi M và N lần lượt di ñộng trên các cạnh BC và CD của
hình vuông, P là ñiểm nằm trên tia ñối củatia BC sao cho BP=DN
a. c/m tứ giác ANCP nội tiếp ñược trong 1 ñường tròn
b. giá sử DN=x cm( 0 x 1), tính theo x ñộ dài ñường tròn ngoại tiếp tứ giác ANCP
c. c/m =45 ñộ khi và chỉ khi MP=MN

d. khi M và N di ñộng trên BC và CD sao cho =45 ñộ, tìm min và max của diện tích
MAN
Câu 2:Cho tam gáic ABC ko cân. ðường tròn nội típ tâm I t/xúc với BC,AB,AC theo thứ tự
D,F,E. ðường thẵng EF cắt AI tại J và BC tại K
1) cm tam giác IDA và IJD ñồng dạng
2) cm KI vuông góc với AD.

Câu 3: cho góc xAy vuông và 2 ñiểm B,C lần lượt trên các tia Ax,Ay.Hình vuông MNPQ có các
ñỉnh M thuộc AB, N thuộc AC và P,Q thuộc BC.
1) tính cạnh hình vuông MNPQ theo BC=a và ñường cao AH=h của tam gáic ABC.
2)cho B và C thay ñổi trên tia Ax và Ay sao cho các tích (k^2 ko ñổi). tìm GTLN
của diện tích MNPQ.

Câu 4: một số nguyên dương n ñược gọi là số bạch kim nếu n= tổng bình phươg các chữ số của
nó.
1) cmr ko tồn tại số bạch kim có 3 chữ số.
2) tìm tất cả các số nguyên dương n là số bạch kim.

Câu 5:
Trong 1 giãi vô ñịch bóng ñá có 6 ñội tham gia. theo ñiều lệ giải, 2 ñội bất kì ñấu với nhau ñúng 1
trận, ñội thắng ñc 3 ñ~, ñội hòa 1 ñiểm và thua 0 ñiểm. Kết thúc, số ñiểm các ñội lần lượt là
. biết rằng ñội bống với số ñiểm
thua ñúng 1 trận và . Hãy tìm và

Câu 7: cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao ñiểm AC và BD, = . Cm S(ABCD)= Câu 8:cho các số thực a,b,c thỏa a+2b+3c=0. Cm +8 +27 =18abc
Câu 9: Cm một số tự nhiên biểu diễn ñược dưới dạng tổng 2 số chính phương thì hai lần số ñó
cũng biểu diễn ñược dưới dạng tổng hai số chính phương.

Câu 10:cho 2 số dương x,y thỏa x+y=1. tìm GTNN của N=
Câu 11:hệ phương trình x-3y-3=0; + -2x-2y-9=0 có hai nghiệm (x1;y1);(x2;y2)

tính giá trị P=
Câu 12:cho nửa ñường tròn ñường kính AB, trên nửa mp chứa nửa ñường tròn bờ AB, kẻ hai tiếp
tuyến Ax, By. từ ñiểm J khác A và B trên nửa ñường tròn kẻ tiếp tuyến cắt Ax, By ở D,C. gọi I là
giao ñiểm của AC, BD.Cm IJ song song với AD.
Câu 13: a, b là hai nghiệm của pt +px+1=0 và b,c là hai nghiệm của pt +qx+2=0.Cm (b-a)
(b-c)=pq-6
Câu 14:Cm pt = +y+2+ không có nghiệm nguyên.

Câu 15:cho tam giác nhọn ABC, gọi AD, BE, CF là các ñường cao của tam giác.Cm tia DA là tia
phân giác góc


+
3
.

x - 9

1. Tìm ñiều kiện của x ñể biểu thức P có nghĩa. Rút gọn P.
1

2.
Tìm tất cả giá trị của x ñể
P
£
-
.

2
Bài 2: 1. Giải phương trình:

x
+
1
+

x
2
-

Chứng minh:
AM .AM '
=
AE
2
.

2. Chứng minh 4 ñiểm M, M’, N, N’ cùng thuộc một ñường tròn (C).
3. ðường tròn (C) cắt AB tại P, Q. Tính theo R ñộ dài PQ.
Bài 4: 1. Tìm Min
Q
=

x
2
-2 x - 2

.

x - 1
2. Với 3 số dương a, b, c tuỳ ý, chứng minh:

b
+
16
Câu 1 : (4 ñiểm)

ðỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG PTTH CHUYÊN
LÊ HỒNG PHONG HẢI DƯƠNG

a) Thu gọn biểu thức A=

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của


Câu 6 : (2 ñiểm) Cho hình thang ABCD có hai ñường chéo AC và BD cùng bằng cạnh ñáy lớn
AB. Gọi M là trung ñiểm của CD.
Cho biết . Tính các góc của hình thang ABCD.

17 ðề THI VÀO TRƯờNG ðạI HọC KHOA HọC Tự NHIÊN NĂM 1996-1997

Bài 1: Cho x>0, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biêu thức: Bài 2:Giải hệ PT:
1/ +
và
18

THI THử CHUYÊN TOÁN KHTN
Vòng 1: (toán chung)

Bài 1,(2ñ)
Tính S=

Bài 2,(2ñ)Tìm nghiệm nguyên dương:



19
ðề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYÊN TOÁN - ðHKHTN - ðHQGHN
Năm học 1989-1990

Ngày thứ I :
Bài 1 :Tìm tất cả các giá trị nguyên của x ñể biểu thức là số nguyên

Bài 2 : Tìm min của
ðề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYÊN TOÁN - ðHKHTN - ðHQGHN
Năm học 1993-1994
Ngày thứ I :
Bài 1 :

dài các ñường cao hạ từ ñỉnh A, B, C tới các cạnh ñối diện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Bài 5: Trên ñường tròn cho 16 ñiểm và màu : xanh, ñỏ, vàng ñể tô các ñiểm này (mỗi ñiểm tô
một màu) . Giữa mỗi cặp ñiểm ñược nối bằng một ñoạn thẳng ñược tô bằng màu tím hoặc màu
nâu . Chứng minh rằng với mọi cách tô màu trên các ñiểm (chỉ dùng 3 màu : xanh, ñỏ, vàng) và
mọi cách tô trên mỗi ñoạn thẳng nối giữa hai cặp ñiểm (chỉ dùng 2 màu : tím, nâu) ta ñều tìm
ñược trên hình vẽ một tam giác có ñỉnh là các ñiểm ñã cho mà các ñỉnh ñược tô bằng cùng một
màu và các cạnh cũng ñược tô bằng cùng một màu (khác màu tô trên ñỉnh) .