Download Ebook Chuyên Nghiệp Nhất VN

ðẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2008
TRƯỜNG PHỔ THÔNG Môn thi: TOÁN CHUYÊN
NĂNG KHIẾU
Th
ời gian làm bài: 150 phút,không kề thời gian giao ñề.

Câu I
1) Cho phương trình
2
2 2 0
x mx m
− + − =

(
)
1
.
a) Chứng minh rằng (1) không thể có 2 nghiệm ñều âm.
b) Giả sử
1 2
,
x x
là 2 nghiệm của pt (1). Chứng minh rằng biểu thức sau:

2 2



= +




Câu II Cho tam giác ABC không cân. ðường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần
lượt tại D, E, F. ðường thẳng EF cắt AI tại J và cắt BC nối dài tại K.
1) Chứng minh rằng các tam giác IDA ñồng dạng với tam giác IJD.
2) Chứng minh rằng KI vuông góc với AD.
Câu III
Cho góc xAy vuông và 2 ñiểm B và C lần lựot trên các tia Ax, Ay. Hình vuông MNPQ có các
ñỉnh M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC và các ñỉnh P, Q thuộc cạnh BC.
1) Tính cạnh hình vuông MNPQ theo cạnh BC = a và ñường cao AH = h của tam giác ABC.
2) Cho B và C thay ñổi lần lượt trên các tia Ax, Ay sao cho tích AB.AC =
2
k
= const. Tìm giá trị
lớn nhất của diện tích hình vuông MNPQ.
Câu IV
Một số nguyên dương n ñựoc gọi là số bạch kim nếu n bằng tổng bình phuơng các chữ số của nó.
1) Chứng minh rằng không tồn tại số bạch kim có 3 chử số.
2) Tìm tất cả các số nguyên dương n là số bạch kim.
Câu V
Trong một giải vô ñịch bóng ñá có 6 ñội tham gia. Theo ñiều lệ của giải, hai ñội bóng bất kỳ thi
ñấu với nhau ñúng một trận, ñội thắng ñược 3 ñiểm, ñội thua 0 ñiểm và ñội hòa ñược 1 ñiểm. Kết
thúc giả, số ñiểm của mỗi ñội lần lượt là
1 2 3 4 5 6
, , , , ,
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu I

1) a) Xét phương trình có 2 nghiệm ñều âm. Tức là:
(
)
2
2
4 2 2 0
0 8 8 0
0 0 0
0 2 2 0 1
m m
m m
S m m m
P m m

− − >

∆ > − + >




< ⇔ < ⇔ < ⇔ ∈∅

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 4 4
x x x x x x x x x x x x x x x x
− + − + = − + + + + − + +
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 4 4
x x x x x x x x x x
= − + + + − + +

( ) ( )
2
2
2 2 2 2 2 2 4 4
m m m m m
= − − − + − +

2 2 2
4 8 4 4 4 2 4 4
m m m m m m
= − + − + + + +

( )
2
2
2 8 8 2 2
m m m= − + = −

Mặt khác

x x x x
m
x x
m
− + − +
−
= =
+
−

(
)
2
m
≠

Không phụ thuộc vào giá trị của m (ñpcm).
2)
(
)
( )
( )
2 2
2 2
2 2
1
2 , , 0
3
x y z
y z x x y z

. Nên
x y
=
y z
⇒ =
x y z
= =
. Khi ñó (1) thành:
( )
2 2
0
2 2 0 2 1 0
1
2
x
x x x x x x
x
=


= ⇔ − = ⇔ − = ⇔

=

0
1
2
x y z
x y z
= = =

IF IJ IA
=
. Mà IF = ID (F,D cùng thuộc (I)).
Nên
2
.
ID IJ IA
=
. Nên
ID IA
IJ ID
=
,
I
∠
chung. Vậy tam giác IJD ñồng dạng với tam giác IDA.
2) Chứng minh KI vuông góc với AD.
Gọi H là giao ñiểm của KI và AD. Ta có tam giác IJD ñồng dạng với tam giác IDA (cmt)
IJD IDA
⇒ ∠ = ∠
. Mặt khác JIDK là tứ giác nội tiếp (
180
J D∠ + ∠ =

)
IDA IJD IKD IDH IKD
⇒ ∠ = ∠ = ∠ ⇒ ∠ = ∠
. Có
I
∠

( )
2
1 1 1 1
. . .
2 2 2 2
a h x h x x PC x BQ x
= − + + +

(
)
2
. . . 2
a h x h x x PC x BQ x
⇔ = − + + +(
)
(
)
2
x h x a x x x a h
= − + − + = +
( )
.
ah
a h x a h x
a h
⇒ = + ⇒ =
+

AB BC a h k AB AB ah k k k k k
= + + + + ≥ + + = + + =

Vậy
( )
( )
4 2
2
2
2
9 2
2 9
k k
a h k const
a h
+ ≥ ⇒ ≤ =
+
. ðTXR
2
AB AC
ABC
A H
=

⇔ ⇔ ∆

=

vuông
cân ở A. Vậy max [MNPQ] là

k
n a a a a
=
.
a.
3
k
≥
:
2 2 2
1 2 1 1 2
100 10 10
k k k
n a a a a a a a
−
≥ + + + + > + + +
.
Vậy không tồn tại số bạch kim có lớn hơn hay bằng 3 chữ số.
b.
1
k
=
:
n a
=
. Ta có
( )
(
)
( )

2 2
2 10 2 1 101 **
a b− + − =

Mặt khác ta có
2 10 10
a
− <
vì a khác 0 và
9
a
≤
.
2
(2 10) 2
a −
⋮
.
Số 101 chỉ có 1 cách phân tích thành tổng hai số chính phưong là
2 2
101 10 1
= +

Do vậy (**) không thể xảy ra. Vậy không có số bạch kim có 2 chữ số.
KẾT LUẬN, số bạch kim duy nhất là
1
n
=
.
Câu V

+ = =
 
⇔
 
+ = =
 

Suy ra có 1 trận thắng – thua và 9 trận hòa giữa các ñội từ 2 ñến 6 ñấu
nhau
6 6
12 3 4
D D
⇒ ≥ ⇒ ≤
. Nếu
6
4
D
<
:Vì ñội 6 không thể có nhiều hơn2 trận thua.
Khia ñó, trong các trận giữa ñội 2 ñến ñội 6 sẽ có nhiều hơn 1 trận thua trái với
1
x
=
. Vậy
ñội 6 thua ñội 1. Vậy 1 trận thua còn lại của ñội 6 thuộc các trận từ 2 ñến 6. Nếu các trận còn
lại trong nhóm từ 2 ñến 6 hòa hết. Suy ra
4 5
9
D D
+ =

. NGƯỜI GIÀI ðỀ : NGUYỄN LÂM MINH ( TP. HỒ CHÍ MINH)