hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 1
BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA
DẠNG : RÚT GỌN
I. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN
Bài 1: Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a.
1
22
3
4 3 3 4
1
2 2 1
3
:
2
y x y
x x y xy y
D x y x y
x xy y x x y
1
1
2
2 2 3 3
3
3
4 3 3 4
1
2
2 2 1
3
1
:3
2
y x y x y x y
x y x y
x x y xy y
D x y x y xy
x xy y x x y x y x y
xy
2
22
1 1 2 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
11
22
2 3 3
4 9 4 3 4 9 4 3
9
2 3 1
23
aa
a a a a a a a
Ba
aa
aa
a a a a a
aa
4
a x a x
B xa
a x a x
Giải
a.
22
22
4
n n n n
n n n n n n n n n n
n n n n n n
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n
a b b a
a b a b a b b a a b
a x a x x a x a x a x a
B xa
a x a x x a x a
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ
Bài 1. Cho a,b là các số dương .Rút gọn biểu thức sau
2
11
22
. 1 2 :
ab
a a b
ba
2
22
2
11
. 1 2 : 1 : .
ba
a b a
a a b a b
b a b b b
ab
.
b/
11
1 9 1 3
22
42
b.
11
33
33
:2
ab
ab
ba
Giải
a/
22
2 2 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
33
a b a b ab a b a a b b a b a b
Bài 3.Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a.
3
2
11
3
2
44
3
3
:
a b a
A a b
ba
ab
Giải
a/
3
31
2
1 1 1 1 1 1
22
3
2
22
4 4 4 4 4 4
31
2 3 3
11
3
3
3
22
44
11
: : :
a b a a b a a a b
A a b a b a b
a b b ab
ba
ab
ba
ab a b
22
22
2
2
2
2: 0
2
44
2: 0
4
4
4
2
4
a
a
aa
B
a
a
a
a
a
a
a
a
. Với
3,92x
b.
5
3
3
5
2
22
10
5
2 27
3 32 2 .3
23
y
By
y
x x x x
x x x
Với x=
2 2 2
3,92 3,92 4 0,08 2 4 0,16x x x
5
3
3
1
1
5
5
2
3
22
3
33
8
. 1 2
24
a a b b
Aa
a
a ab b
ĐS: A=0
b.
1 1 1 1
3 3 3 3
1 1 2 1 1 2
3 3 3 3 3 3
82
6
2 4 2
b a a b a b
B
a a b b a
A a a
a
a ab b a a b b a b
22
22
33
33
2 1 1 2 2 1 1 2
3 3 3 3 3 3 3 3
88
0
8
2 4 2 4 8
a a b a a b
aa
ab
a a b a b a b a b b
2
2 1 1 2 1 1
3 3 3 3 3 3
22
33
33
11
33
4 2 2
8 8 6
6 6 8
2
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 4
a.
1
51
3 7 1 1
2
33
2 4 4 2
A= 3 .5 :2 : 16: 5 .2 .3
( đáp số : A= 15/2 )
b.
1
1
2 4 4 2
42
3 5 2 .5 2 3 3 5 15
A= 3 .5 : 2 : 16: 5 .2 .3
2 2 2
b/
44
3 1 1 1 1
4 2 4 4 4
:
a b a b
A a b
a a b a b
b.
3 3 3 3
4 4 4 4
11
22
a b a b
B ab
ab
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
b a b b
a
a a b
Bài 8 .a. Rút gọn các biểu thức sau :
3 3 1 1
1
2 2 2 2
2
11
22
ax
x a x a
C
xa
xa
(đáp số C=1)
x a x x a a
x a x a x a
C x a
xa
x a x a
x a x a
3 3 3 3 3 3
2 4 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 4 2 2 4 2 2 4 2
2 2 3 3a a b b a b a b a a b b a b a a b a b b
3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 4 2 4 2 2 4 4 2 2 2 8 4 4 8 8 4 6 6 4 8
2 2 2a b a a b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b
Bài 9.
a. Không dùng bảng số và máy tính hãy tính :
33
847 847
66
27 27
( đáp số : =3 )
b. Chứng minh rằng :
8
4
8
4
8
8
1
3 2 3 2 3 2
32
b/
88
4 4 4
88
4 4 4
1 3 2 3 2 3 2 3 2 ; 3 2 3 2 3 2VP
3 2 3 2 3 2 1 VT
Bài 10 .Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau :
5
3
. 2 2 2aA
. b.
11
16
:0B a a a a a a
c.
2
4
3
0C x x x
d.
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 6
b/
1
11
2
1
15
11
22
11 11 11 7 11
3 3 1
2
16
22
1
1
16 16 6 8 16
2 4 4
11
16
2
1
.a
a
b.
24
4
.:a a a
c.
3
3
a
d.
3
2. 1,3 3 2
.:a a a
Giải
a.
21
21
2 2 1 2 1 2
1
2. 1,3
3
2. 1,3 3 2 1,3
2
.
.:
aa
a a a a
a
Bài 2. Đơn giản các biểu thức :
a.
2 2 2 3
2
23
1
ab
ab
b.
2 3 2 3 3 3 3
4 3 3
1a a a a
aa
ab
Giải
a/
2 3 2 3
2 2 2 3 2 3 2 3 2
22
23
23
2 3 2 3
2
11
a b a b
a b a b a b a
ab
ab
a b a b
ab
a a b b a a b b
d/
1
22
22
4 2 4a b ab a b a b a b a b a b
DẠNG : SO SÁNH CÁC CẶP SỐ
Nếu hai số là hai căn không cùng chỉ số , thì ta phải đưa chúng về dạng có cùng chỉ số ,
f.
57
44
Giải
a/
35
30 20
. Ta có
15 15
55
3
35
15 15
33
5
30 30 243.10
30 20
20 20 8.10
b/
3
6
3
6
2
36
17 17 4913
17 28
28 28 784
d/
5
4
13 23
. Ta có :
20
5
20
4
5
4
20
f/
5 7 5 7
4 4 ; 7 5 4 4 Bài 2. Hãy so sánh các cặp số sau :
a.
1,7 0,8
22
b.
1,7 0,8
11
22
c.
1,2 2
33
22
d.
. b/
1,7 0,8 1,7 0,8
1,7 0,8
1 1 1 1
;:
1
2 2 2 2
01
2
do
c/
1,2 2 1,2 2
1,2 2
3 3 3 3
;:
3
2 2 2 2
01
;
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 8
e/
2
2,5
2,5 6,25
12 12
12 6,25
1
2 ; : 2 2 2
2
Bài 3. Chứng minh :
20
30
2 3 2
Giải
Ta có :
20 20
20
30
30
30
2 1 1
2 3 2
3 1 1
Đặt
2
1 1 1
0 0 ' 2 1 0 axy=y
2 2 4
t x y x x t t t y t t m
Do vậy :
1
44
4
3 3 3 3
xx
y GTLNy
b/
2
sin
0,5
x
y
. Vì :
x
ye
Giải
a/
2
2 2 2 0
22
xx
xx
GTNNy
y x x x
b/
13
1 3 1 3 2
22
2 2 2 2 2 2 4 min 4 2
13
xx
e/
2
1
12
2
1
x
x
xx
y e e e e x
VẼ ĐỒ THỊ
Bài 1. Hãy vẽ đồ thị của mỗi cặp hàm số sau trên cùng một hệ trục
a.
1
4
4
y x y x
12
1 2 1 2
12
1 2 1 2
12
2 2 1
2 2 1 2 2 1
11
2 2 2 2 2
22
xx
x x x x
xx
x x x x
xx
y
b.
2
x
y
e
c.
3
32
x
y
d.
1
3
32
x
b/
2
x
y
e
. Do
22
01
x
y
ee
Là một hàm số nghịch biến
c/
3
32
x
y
là một hàm số đồng biến (
3 2 3
)BÀI TẬP VỀ LÔ-GA-RÍT
I. SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VỀ LOGARIT
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau :
a.
1
2
1
log
5
x
y
x
0,3 3
2
log log
5
x
y
x
d.
2
12
2
1
log log 6
1
x
y x x
x
e.
2
. Điều kiện :
1
2
1
1
log 0
12
1
1 0 0 1
1
1
11
1
1
1 1 1 1
0
0
1
1
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
Vậy D=
1;
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 10
b/
2
15
5
1
log log
3
x
y
x
. Điều kiện :
2
x
x
x x x
x
xx
x
x
x
x
x
Phần còn lại học sinh tự giải
Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a.
9
125 7
11
log 4
log 8 log 2
42
81 25 .49
b.
25
4
1
log 3 3log 5
1 log 5
2
16 4
3
9
125 7 5 7
11
11
log 4
2log 2
4 log 4
log 8 log 2 2log 2
42
42
81 25 .49 3 5 7
=
5
37
1
2 .3log 2
c/
77
5
7 7 5
1
log 9 log 6
log 4
log 9 2log 6 2log 4
2
91
72 49 5 72 7 5 72 18
36 16
4,5=22,5
d/
6 9 6
1 3 2
4
log log 4.log 3D
Giải
a/
33
9 9 9 9 9 3
15.18 1 3
log 15 log 18 log 10 log log 3 log 3
10 2 2
A
b/
24
3
1 1 1 1 1 3
3 3 3 3 3
1 36.45
2log 6 log 400 3log 45 log log 9 log 3 4
2 20
B
c/
36 1 6 6 6
6
3
3 3 3 3
44
log 7 3 log 49 21 9B
c.
10 10
log tan 4 log cot 4
d. D
4 4 4 4
1
log log 216 2log 10 4log 3
3
x
Giải
a/
2 2 2 2 2
1
log 2sin log os log 2sin . os log sin log 1
12 12 12 12 6 2
A c c
1 1 1 1
2011!
log log log log
Ax
x x x x
b. Chứng minh :
ax
log log
log
1 log
aa
a
bx
bx
x
2
1
1 1 1
log log log 2log
log log
log
1 log
aa
a
bx
bx
x
Vế trái :
ax
log log log
log
log ax 1 log
a a a
aa
bx b x
bx VP dpcm
x
Chứng minh :
2
3
5
log
a
A a a a
b.
2
3
5
log
a
B a a a a
c.
53
32
1
4
log
a
a a a
aa
d.
0 0 0 0
logtan1 logtan2 logtan3 logtan89
e.
3 4 5 15 16
log 2.log 3.log 4 log 14.log 15A
3
25
5
3
27 3
log log 1 1
10
10
aa
B a a a a a
c/
32
1
53
32
53
( vì :
0 0 0 0 0 0
tan89 cot1 tan1 tan89 tan1 cot1 1
; Tương tự suy ra kết quả
e/
3 4 5 15 16 16 15 5 4 3 16
1
log 2.log 3.log 4 log 14.log 15 log 15.log 14 log 4.log 3.log 2 log 2
4
A
Bài 5. Chứng minh rằng :
a.Nếu :
2 2 2
; 0, 0, 0, 1a b c a b c c b
, thì :
log log 2log .log
c b c b c b c b
a a a a
b. Nếu 0<N
1
thì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành một cấp số nhân ( theo
thứ tự đó ) là :
log log log
, , 1
7a b ab
. Chứng minh :
ln ln
ln
32
a b a b
Giải
a/ Từ giả thiết :
2 2 2
2 log log
aa
a c b c b c b c b c b
11
2 2log .log log log
log log
c b c b c b c b
c b c b
a a a a
aa
b/ Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có :
2
b ac
2log .log
1 1 2
log
log log log log log
ac
b
a c b a c
xz
y
x z y x z
d/ Nếu :
2
2
22
79
3
ab
a b ab a b ab ab
. Lấy lê be 2 vế ta có :
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
. Biết:
22
log 5 ;log 3ab
d.
6
log 35D
. Biết :
27 8 2
log 5 ;log 7 ;log 3a b c
e. Tính :
49
log 32
. Biết :
2
log 14 a
Giải
a/
6
log 16A
. Từ :
3
12 3 3
33
log 27
3 3 3 3
log 27 log 4 1 log 2
log 12 1 log 4 2
xx
c/ Từ :
3
2
3 3 3
2
log 5
3
log 135 log 5.3 log 5 3 3 3
log 3
a a b
C
bb
d/ Ta có :
27 3 3 8 2 2
11
log 5 log 5 log 5 3 ; log 7 log 7 log 7 3
33
a a b b
(*)
Suy ra :
2 3 2
2 2 2
6
2 2 2
31
log 7 2log 7 2 1a
Bài 2. Rút gọn các biểu thức
a.
log log 2 log log log 1
a b a ab b
A b a b b a
b.
2
log log 1
2 2 4
2 2 2
1
log 2 log log
2
x
x
B x x x x
c.
log log 2 log log log
b ab b b b b
log 1
1
1 log
log log
a
b
aa
b
a
bb
b/
2
2
log log 1
2 2 4
2 2 2 2 2 2 2
aa
p
p
C p a p p p p p
pp
2
3
log 1
log
log log
log 1 log
a
a
aa
aa
p
p
pp
pp
a bc
x
ab c
Giải
a/ Ta có :
3 2 3
1
log log 3 2log log 3 2.3 1 8 2
2
a a a a
x a b c b c
b/Ta có :
4
3
3
1 1 2 28
log log 4 log 3log 4 2 6 10
3 3 3 3
a a a a
ab
x c c
c
3 0; 9 10a b a b ab
b. Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 1, ta có :
22
log log
aa
bc
cb
;
log .log .log 1
a b c
b c a
Trong ba số :
2 2 2
log ;log ;log
a b c
b c a
c a b
b c a
luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
Giải
a/ Từ giả thiết :
2
2 2 2 2
3 0; 9 10 6 9 4 3 4a b a b ab a ab b ab a b ab
a b c a b a
b c a b a a
* Từ 2 kết quả trên ta có :
2
2 2 2
log log log log .log log 1
a b c a b c
b c a b c a
c a b b c a
b c a c a b
Chứng tỏ trong 3 số luôn có ít nhất một số lớn
hơn 1
IV. BÀI TẬP VỀ SO SÁNH
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 15
Nếu so sánh hai loga rít có cùng cơ số thì ta chú ý đến cơ số trong hai trường hợp (0;1)
và lớn hơn một để so sánh hai biểu thức bị lo ga rít hóa với nhau
Trong trường hợp hai lo ga rít khác cơ sô , khác biểu thức bị lo ga rít hóa thì ta chọn
một số b nào đó . Sau đó ta so sánh hai lo ga rít với số b . Từ đó suy ra kết quả
Ví dụ 1: so sánh hai số :
34
1
c.
5
5
1
log
log 3
2
23
d.
32
log 2 log 3
e.
23
log 3 log 11
f.
21
2
2log 5 log 9
28
g.
24
5
log 3 log
11
4 18
. Ta có :
0,4 0,4
0,2 0,4
0,2 0,2
2 1 log 2 log 1 0
log 0,3 log 2
0,3 1 log 0,3 log 1 0
b/
53
34
32
log log
45
. Ta có :
55
33
35
43
33
44
5
5
log 3 log 1
0
55
1
log
55
log 1
0
2
55
log 3 log 1 2 2 2 1
1
log 3 log
1
2
log log 1 3 3 3 1
2
d/
32
f/
21
2
2log 5 log 9
28
. Ta có :
21
2
2
25
2log 5 log 9
log
9
2 1 2 2 2
2
25 25
2log 5 log 9 log 25 log 9 log 2 2
99
Nhưng :
21
2
2
2log 5 log 9
5
5
Nhưng :
24
5
log 3 log
11
81.11 891 90
18 4 18
5 5 5
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 16
h/
31
9
8
log 2 log
9
95
k/
6
6
1
log 2 log 5
2
3
1
18
6
.
Ta có :
6
6
6
6 6 6
1
log 2 log 5
1
2
log
log 2 log 5 log 10
3
10
3
25
55
log 10 log 8 3
log 10 log 30
log 30 log 36 3
b/
37
log 5 log 4
. Ta có :
33
37
77
log 5 log 3 1
log 5 log 4
log 4 log 7 1
c/
1
log 3 log 2
2
b.
55
log 7 log 4
47
c.
37
log 7 log 3 2
d.
22
log 5 log 3
35
e.
1
log3 log19 log 2
2
f.
5 7 log5 log 7
log
22
Giải
a/
log log
22
b/
55
log 7 log 4
47
. Ta có :
5
5 7 5 7 5
log 7
log 7 log 4 log 7.log 4 log 4
4 7 7 7
. Vậy 2 số này bằng nhau
c/
37
log 7 log 3 2
. Ta có :
3 3 7 3
3
1
log 7 0 log 7 log 3 log 7 2
log 7
d/
22
log 5 log 3
361 1
log 900 log log3 log19 log2
42
f/
5 7 log5 log 7
log
22
. Ta có :
5 7 5 7 log5 log 7
5. 7 log log 5. 7
2 2 2
Bài 4. Hãy so sánh :
a.
33
65
log log
56
log log 0
66
. Hoặc :
33
65
65
log log
56
56
31
1
01
log log
2
e
e
HÀM SỐ LO-GA-RÍT
I. ĐẠO HÀM :
Bài 1. Tính đạo hàm các hàm số sau :
a.
2
22
x
y x x e
b.
2
sinx-cosx
2 2 2
2 2 ' 2 2 2 2
x x x x
y x x e y x e x x e x e
b/
2 2 2 2
sinx-cosx ' cosx+sinx 2 sinx-cosx 3sin osx
x x x x
y e y e e x c e
c/
22
4
'
x x x x x x x x
xx
xx
x x x x
e e e e e e e e
ee
yy
ee
e e e e
f/
ln 1 ln 1 2ln
1 ln ln '
x x x
y x x y
x x x
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 18
Bài 2. Tính đạo hàm các hàm số sau :
a.
22
ln 1y x x
b.
2
2
log 1xx
c.
f.
1
log
2
x
y
x
Giải
a/
23
2 2 2 2
22
3
2 1 2
ln ' ln ' ln
3
3 ln
y x y x x
x
xx
d/
2
2
2
4 1 16 4 16
log ' :
4 ln2 4
4 ln2
4
xx
yy
xx
x
x
x x x x
yy
xx
xx
x
f/
11
1 1 1
log ' :
ln10
2 16 2
8 ln10 1
xx
xx
0
ln 3 1
lim
sin 2
x
x
x
c.
0
ln 4 1
lim
x
x
x
d.
5 3 3
0
lim
2
x
x
ee
x
0 0 0
ln 3 1 ln 2 1 ln 3 1 ln 2 1
lim lim lim 3 2 1
32
32
x x x
x x x x
x
xx
b/
00
ln 3 1
3
ln 3 1
3
3
lim lim
sin 2
sin 2 2
2
2
xx
x
x
0
1
5
lim lim 5
2 2. 5 2
x
x
x
x
e
e e e
e
xx
, e/
00
11
lim lim 1 1 1.2 2
11
xx
xx
ee
x
x
3
0
1
lim
x
x
e
x
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 19
d.
1
lim
x
x
xe x
e.
0
sin3
lim
x
x
x
x
x
x
b/
2 3 2 3
0 0 0
1 1 2 3 1
lim lim lim3
5
5 5 3 5 5 5
.2
2
x x x x
x x x
e e e e
xx
x
c/
e/
00
sin3 sin3
lim lim3 3
3
xx
xx
xx
f/
2
2
2
00
5
2sin
1 os5 25
2
lim lim
2
45
25 2
xx
c.
3
lim 2 sin
x
x
x
d.
4
2 2cos
lim
sin
4
x
x
x
1
lim t anx
os
x
cx
.
Đặt :
1 1 1 1 ost
tanx= tan cot
2 2 osx 2 sin sint
cos
2
c
t x x t t t
ct
t
t
c x t
c/
3
lim 2 sin
x
x
x
. Đặt :
0
;0
13
lim 2 sin lim 6 3 3
31
2 2 3 6 3
xt
x
. Đặt :
; ; 0
44
2 2cos
2 1 ost+sint
2 2cos
4
4
sin sint
sin
4
x t x t
xt
t
Do đó :
2
t t t
2sin 2sin os sin os
2 1 ost+sint
2 2 2 2 2
2 2 2 tan 2
tt
sint 2
2sin os os
2 2 2
tt
cc
c
t
t
cc
Vậy :
4
2 2cos
lim lim 2 tan 2 2
2
sin
4
Copyright: Tài liệu đại học ©