BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
Lê Văn Hà - Giáo viên trường THCS Định Liên - Yên Định - Thanh Hoá
Gmail: [email protected]
Điện thoại: 097744 2256
Bài 1. Nếu trong tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện với
cạnh ấy bằng 30
◦
.
Lời giải. Xét △ABC vu ô ng tại A có AC =
1
2
BC. Trên tia đối của tia AC lấy
A
D A
C
điểm D sao cho AD = AC.
△ABD = △ABC(c.g.c) ⇒ BD = BC.
Do AC =
1
2
BC,AC =
1
2
DC nên BC = DC.
Tam giác BDC có BD = BC = DC nên là tam giác đều, do đó

C = 60
◦
. Suy
ra



HAC = 60
◦
,

BAC = 90
◦
,

B = 60
◦
.
Bài 3. Cho tam giác ABC, vẽ về phía ngoài t am giác ấy các tam
giác đều ABE,ACF. Gọi I là trung điểm của BC,H là trực tâm của
tam giác ABE. Tính các góc của tam giác FIH.
Hướng dẫn. Đối với bài tập này cần xét ba trường hợp:
+ Trường hợp 1:

BAC < 90
◦
.
A
E
H
B
F
C
K
I
Trên tia đối của tia IH lấy điểm K sao cho IH = IK thì

ACF

= 360
◦
−

90
◦
+

B+

ACB

= 90
◦
+

A =

FAH.
và AF = CF.
Do đó △AHF = △CKF(c.g.c). Suy ra FH = FK nên tam giác FHK cân tại đỉnh F.
Mặt khác, do hai tam giác AHF và CKF bằng nhau nên

AFH =

CFK, mà

AFC = 60


HBA−

ABC−

IBG = 360
◦
− 30
◦
−

ABC−


BCA+ 60
◦

= 270
◦
−


ABC+

BCA

= 90
◦
+


◦
,

IFH = 30
◦
.
+ Trường hợp 3:

BAC > 90
◦
chứng minh tươ ng tự trường
hợp

BAC < 90
◦
.
Chú ý. Trực tâm H của t am giác ABE (gi ao của ba đường
cao) có thể thay bằng trọng tâm G hoặc g iao của ba đường phân giác (t âm đường tròn nộ i tiếp tam
giác ABE) hoặc gi ao của ba đường trung trực (đường tròn đi qua ba điểm A,B,E) là như nhau.
Bài 4. Cho tam giác ABC có

ABC = 45
◦
,

ACB = 120
◦
. Trên tia
A
H

◦
.
Vẽ DH⊥CA ta được tam giác CDH vuông tại H có

CDH = 30
◦
nên CH =
1
2
CD, mà BC =
1
2
CD (giả thiết, CD = 2BC) nên CH =
BC hay tam gi ác BCH cân tại H suy ra HB = HD. (1)
Ta có

B
1
= 15
◦
và

A
1
= 15
◦
nên tam giác HAB cân tại H. Do đó
HB = HA. (2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác HAD cân tại H, mà


1
1
1
2
2
x
BD là đườ ng phân giác trong; HD là đường
phân giác ngoài đỉnh H nên AD là đường phân
giác ngoài đỉnh A, suy ra

A
1
=

A
2
.
Mà

A
1
=

KBH (cùng phụ với

C) nên

A
1
=

1
=

B
2
nên từ (1) và (2) suy ra

KBD =

D
1
. Do đó tam giác KBD vuông cân tại đỉnh K, suy ra

KBD =

ADB = 45
◦
.
Cách 2. Để vẽ hình chính xác, ta vẽ tam g iác BHD có

BHD = 135
◦
, rồi vẽ điểm A sau đó vẽ điểm C.
Xét △ABH ta có:

HAx =

ABH + 90
◦
= 2


B
2
+ 45
◦
(1)
Mặt khác, xét △ABD ta có

A
2
=

B
2
+

D
1
(2)
Từ (1) và (2) s uy ra

D
1
= 45
◦
.
Chú ý. Trước khi làm bài tập này, ta giải bài toán phụ dưới đây: Cho
E
A
D

2
2
x
60
◦
nên

CAx = 60
◦
.
Xét tam giác ABD có AE là phân giác ngoài tại đỉnh A,BD
là phân giác trong tại đỉnh B. Do đó DE là phân giác ngoài
tại đỉnh D. Do đó

BED =

D
1
−

B
1
=

ADC−

ABC
2
=


2
x
Xét tam giác ABH, theo tính chất góc ngoài của tam
giác ta có

HAx = 90
◦
+ 2

B
1
(hình vẽ bài 5).
Xét tam giác ABC có

A
2
=

C
1
+

B
1
= 45
◦
+

B
1


BDF.
b) Ba điểm D,E,F thẳng hàng.
Lời giải.
3
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
a) Vẽ tia đố i của tia phân giác BD là By. Khi đó dễ thấy

ABD =

ABF =

FBy = 60
◦
.
Xét tam giác ABD có hai tia phân giác ngoài của góc A và B cắt nhau tại F suy ra DF là tia phân giác
trong của góc D. Vậy

ADF =

BDF.
b) Xét tam giác BCD có tia phân giác của góc C và tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt nhau tại E, suy
ra DE là ti a phân giác của

ADB.
Ta có DE,DF đều là tia phân giác của góc

ADB nên ba điểm D,E,F thẳng hàng.
Bài 5.4. Cho tam giác ABC,


C suy ra

C =

ADB−

B
2
hay

C = 45
◦
−

B
2
.
Xét tam giác ABC có

A
1
là góc ngoài tại đỉnh A nên

A
1
=

B+

C =

B
2
(2)
Từ (1), (2) suy ra

A
1
=

A
2
.
Xét tam giác ABH có D là giao điểm của một tia phân giác ngoài với một tia phân giác trong không
kề nên tia HD là t ia phân giác ngoài tại điểm H do đó

DHC = 45
◦
, suy ra HD//AB (vì có cặp góc
đồng vị bằng nhau).
Bài 5.5. Cho tam giác ABC,

A = 120
◦
, các đường phân giác AD,BE,CF.
a) Chứng minh rằng DE là tia phân giác ngoài của tam giác ADB.
b) Tính

EDF.
Lời giải. a) Vẽ Ax là tia đối của AB. Khi đó


Bài 5.6. Cho tam giác ABC có các đường p hân giác BD,CE cắt nhau tại I và ID = IE. Chứng minh
rằng

B =

C hoặc

B+

C = 120
◦
.
Lời giải.
Cách 1. Kẻ IH⊥AB,IK⊥AC, ta có △HIE = △KID (cạnh huyền-cạnh góc vuông) suy ra

IEH =

IDK
(1)
Xét bốn trường hợ p sau:
a) H thuộc BE;K thuộc CD.
Từ (1) suy ra

A+

C
2
=

A+


A =

B
2
+

C
2
⇒2

A =

B+

C ⇒ 3

A =

A+

B+

C = 180
◦
⇒

A = 60
◦
,

1
1
2
2
1
△ADI = △AEI(c.c.c) ⇒

ADI =

AEI.
△ADB và △AEC có

A chung,

ADI =

AEI nên

B
1
=

C
1
. Do đó

B =

C.
b) AD > AE. Lấy F trên AD sao cho AF = AE.

B
2
=

B+

C
2
.
Biến đổi như cách 1, ta được

B+

C = 120
◦
.
Bài 5.7. Tam giác ABC có

A = 90
◦
,B và C là các góc nhọn, các đường trung trực của AB và AC cắt
nhau tại O và cắt BC thứ tự tại E và F. Chứng m inh rằng AO là tia phân giác của

EAF.
Lời giải. Ta xét hai trường hợp:
A
O
B F
E
C

1
.
EB F
C
O
A
1
1
1
2
Tương tự △AOF = △COF(c.c.c) ⇒

A
1
=

C
1
.
Mặt khác

B
1
=

C
1
(vì △BOC cân tại O).
Suy ra



ABD = 20
◦
,

ACE = 10
◦
. Gọi K là giao điểm của BD và CE. Tính các góc của tam giác KDE.
Lời giải. Gọi I l à giao điểm của các tia phân giác

KBC và

KCB. Khi đó KI là tia phân g iác của

BKC.
Mặt khác, t am giác KBC có

BKC = 120
◦
(vì

KBC = 40
◦
,

KCB = 20
◦
), do đó

BKI =

BKE = 60
◦
Suy ra △BKI = △BKE(g.c.g) ⇒ KE = KI (1)
+ Chứng min h tương tự KD = KI (2)
Từ (1), (2) suy ra KE = KD hay △KED cân tại K.
Mặt khác,

EKD = 120
◦
=

BKC (đối đỉnh).
Do đó

KED =

KDE =
180
◦
− 120
◦
2
= 30
◦
.
Bài 5.9. Cho tam giác ABC


A = 90
◦


zOy = 180
◦
thì Ox
và Oy đối nhau).
+ Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là một góc vuông.
2) + Trong trường hợp

B > 90
◦
, tam giác HIK có IB và KB là các tia phân giác trong, IC,KC là các
tia phân giác ng oài.
+ Trong trường hợp

C > 90
◦
, tam gi ác HIK có IB và KB là các tia phân giác ngoài, IC,KC là các tia
phân giác trong. Các trường hợp này ta vẫn có

AIC =

AKB = 90
◦
.
Bài 5.10. Cho tam giác ABC có

B = 75
◦
,


Hướng dẫn.
Cách 1. Vẽ tam giác đều EBC sao cho E và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BC.
Cách 2. Vẽ tam giác đều ACE sao cho E và A khác phía đối với BC.
Cách 3. Vẽ tia phân giác của

ABK.
Bài 7. Cho tam giác ABC cân có

A = 20
◦
. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Tính

ACD.
Hướng dẫn.
Cách 1. Vẽ tam giác đều BCE sao cho A và E cùng ph ía đ ối với BC.
Cách 2. Vẽ tam giác đều ADE sao cho C và E nằm trên h ai nửa mặt phẳng đối nh au bờ AB.
Cách 3. Vẽ tam giác đều ACE sao cho D và E khác phía đố i với AC.
Cách 4. Vẽ tam giác đều ABE sao cho C và E cùng phía đối với AB.
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm E nằm trong tam giác, tam giác EAC cân ở E và
góc ở đáy bằng 15
◦
. Tính

AEB.
Hướng dẫn.
Cách 1. Vẽ về phía trong tam giác ABC sao cho tam giác AED đều.
Cách 2. Về phía trong t am giác ABC lấy điểm D sao cho tam giác ABD cân ở D và có góc ở đáy bằng
6
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
15

Hướng dẫn. Trên đường cao AH lấy điểm P sao cho AP = AB = AC.
Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A và

ABC = 60
◦
. Lấy đ iểm M thuộc cạnh BC sao cho AB +
BM = AC+CM. Tính

CAM.
Bài 13. Cho tam giác ABC có

BAC = 55
◦
,

ABC = 115
◦
. Trên tia phân giác của

ACB lấy điểm M sao
cho

MAC = 25
◦
. Tính BMC.
Bài 14. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọ i E là điểm tuỳ ý nằm giữa B và C. Đường thẳng qua E
vuông góc với AB và đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt nhau tại D. Gọi K là trung đi ểm của
BE. Tính độ lớn của

AKD.

Cách 1. + Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho

CBD = 15
◦
.
+ Sử dụng định lý Py-ta-go vào các tam giác ABD và tam giác ABC ta có đpcm.
Cách 2. Kẻ đường cao AH và gọi M là trung điểm BC để làm.
Bài 18. Cho t am giác ABC cân t ại A có

BAC ≥ 90
◦
. Lấy điểm M nằm giữa A và C, h ạ AH và CK
cùng vuông góc với BM (H,K thuộc BM) sao cho BH = HK + KC. Tính

BAC.
Bài 19. Cho tam giác ABC cân tại C có

ACB = 100
◦
. Điểm M thuộc tia CA sao cho CM = AB. Tính

CMB.
Bài 20. Trong hình vuông ABCD lấy hai điểm P,Q sao cho BP song song với DQ với BP
2
+ DQ
2
=
PQ
2
. Tính

DAE =

ABD.
Chứng minh rằng

DAE =

ECB.
7
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
Bài 24. Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm M nằm trong tam giác sao cho

MAC =

MBA =

MCB.
Hãy so sánh diện tích hai t am giác ABM và CBM.
Bài 25. Cho tam g iác ABC vuông tại A có

B = 75
◦
. Trên t ia đối của tia AB lấy điểm H sao cho
BH = 2AC. Tính

BHC.
Hướng dẫn.
Cách 1. Vẽ tam giác đều BCD sao cho A và D cùng phía đối với BC, lấy E là trung điểm của BH.
Cách 2. Vẽ tam giác đều HBD sao cho D và B thuộc h ai nửa m ặt phẳng đối nhau b ờ HC, sau đó gọi
M là trung điểm BD và chứng minh cho C,M,H th ẳng hàng từ đó suy ra đpcm.


BAC = 40
◦
, đường cao AH. Các điểm E,F thứ tự thuộc các
đoạn thẳng AH,AC s ao cho

EBA =

FBC = 30
◦
. Chứng minh rằng AE = AF.
Bài 28. Cho tam giác ABC cân có

B =

C = 50
◦
. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho

CAD = 30
◦
. Trên
cạnh AC lấy điểm E sao cho

ABE = 30
◦
. Gọi I là giao điểm của AD và BE. Chứng minh rằng tam
giác IDE cân và tính các góc của tam giác đ ó.
Hướng dẫn. Trên n ửa mặt phẳng bờ BC vẽ tam giác ABH đều sao cho A và H thuộc hai nửa mặt
phẳng bờ BC.

)
thì

ABC =

ACB =
180
◦
−

BAC
2

=

B+

C
2

.
Sau đây là một s ố ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của ba cạnh BC,CA,AB.
Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Chứng minh rằng

BAH =

OAC.
8
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7

180
◦
−

AOC
2
.
Tam giác ABC nhọn nên O nằm trong tam giác đó, suy
ra

BAH = 90
◦
−

ABC = 90
◦
−


OBC+

OBA

= 90
◦
−

180
◦
−

OCA

.
Ví dụ 2. Cho tam giác nhọn ABC với các đường cao BE,CF. Chứng minh rằng

BEF =

BCF.
Lời giải
A
B
C
F
E
M
Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho

MFB =

MBF.
Lại có

MFB+

MFC = 90
◦
;

MBF +



MEC =
180
◦
−

CME
2
.
Vậy

CBF +

CEF =

MBF +

MEC +

MEF
=
180
◦
−

BMF
2
+
180
◦


OCB =
180
◦
−

BOC
2
;

OCA =
180
◦
−

AOC
2
.
Suy ra

ACB =

OCA+

OCB =
180
◦
−

AOC

BHO =
180
◦
−

AOH
2
−
180
◦
−

BOH
2
=

AOB
2
(2)
Từ (1) và (2) s uy ra

ADB =

AHB nên H ≡ D. Từ đó OD = OA = OB = OC.
Tương tự ta có

BAC =

BOC
2

◦
−

BKD
2
=
180
◦
− 2

BAD
2
⇒

KBD = 90
◦
−

BAD.
Lại có

EAB =

EAC ⇒ EB
⌢
= EC
⌢
⇒

EAB =

K
E
A
C O
B
Gọi I,K lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác MDP và MEQ.
Tam giác MKE cân tại K nên

KME =
180
◦
−

MKE
2
=
180
◦
− 2

MQE
2
= 90
◦
−

MQE.
11
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
Tam giác MID cân tại I nên

MA) suy ra

MCD =

MBC ⇒

MCQ =

MBQ.
Do đó tứ giác MCBQ nội tiếp, dẫn đến

MQE =

MBC. Từ đó

IMD+

DME +

KME = 90
◦
−

MPD + 90
◦
+ 90
◦
−

MQE

◦
. Chứng minh rằng

BCA =

BDA.
Bài 3. Cho góc

xOy nhọn. Vẽ tia Oz nằm trong góc

xOy sao cho

xOz =

yOz
2
. Qua A trên tia Ox kẻ
AH vuông góc với Ox tại H.AH cắt Oz tại B. Trên tia Bz lấy điểm D sao cho BD = BA. Chứng minh
rằng tam giác AOD cân.
Bài 4. Cho tam giác đều ABC. Trên cạnh AB,BC thứ tự lấy các điểm E,F sao cho AE =
1
2
EB,BF =
1
2
FC. AF cắt CE tại I.BI cắt EF tại H. Chứng minh rằng CH vuông góc với AB.
Bài 5. Cho hình thang ABCD(AB//CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Chứng mi nh
rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác OAB và OCD tiếp xúc nhau.
BÀI TOÁN TÍNH GÓC TỔNG QUÁT
Bài toán 1.

C
B
A
B
M
C
D
a)
b)
12
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
Về cùng phí a với △ABC vẽ △ABD đều. Khi đó

CDB = 30
◦
=

MAB,

CBD = 60
◦
−
α
=

MAB
nên ta có △BAM = △BDC (g.c.g) suy ra BC = BM, mà

CBM = 2
α

. M là điểm nằm khác phía A so với BC sao cho

BCM =
150
◦
,

CBM =
α
− 60
◦
. Tính số đ o

AMC.
Lời giải (h.1b)
Về phía tron g △ABC, vẽ △BCD đều. Kh i đó ta có

ADB = 150
◦
=

BCM,

ABD =
α
− 60
◦
=

MBC

α
(1)
Mặt khác

BMC = 180
◦
−

MBC −

MCB = 180
◦
−
(
α
− 60
◦
)
− 120
◦
= 90
◦
−
α
(2)
Từ (1), (2) có

AMC =
(
120

◦
<
α
< 60
◦
),

ABC = 60
◦
+
α
. Trên tia ph ân giác của

ACB lấy đ iểm M
sao cho

BAM = 30
◦
. Tính số đo của

BMC.
13
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
Lời giải (h.2a)
A E
C
B
D
M
A


DAM = 30
◦
nên △DAM cân tại D.
Vẽ DE vuông góc với AM (E ∈ AC), suy ra

ADE =

EDM =

MDB = 60
◦
Do đó ta có △CDB = △CDE (g.c.g) ⇒ DB = DE.
Từ đó dễ thấy ba tam g iác ADE, MDE, MDB bằng nhau theo trường hợp (c.g.c).
Vì vậy

BMD =

BAC =
α
, hay

BMC = 180
◦
−
α
.
Với
α
= 40

< 60
◦
). Trên các cạnh AB và BC lần lượt lấy các đi ểm
D và E sao cho

ACD = 30
◦
+
α
,

CAE = 90
◦
−
3
α
2
. Tính số đo của

CDE.
Lời giải (h.2b)
Dễ thấy

BAC = 120
◦
− 2
α
. Do đó

ADC = 180


AFC =

AFD = 180
◦
−

FCA−

FAC = 180
◦
− (60
◦
+
α
) − (60
◦
−
α
) = 60
◦
.
Do đó

DFE = 60
◦
. Suy ra FE là phân giác ngoài của △AFD (1)
Mặt khác có

EAB =

FDB (3)
14
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
Vì

ADF =

ACF = 60
◦
+
α
nên

FDB = 120
◦
−
α
, do đó

BDE = 60
◦
−
α
2
.
Vậy

CDE = 180
◦
−

ta có bài toán quen thuộc sau:
Cho △ ABC cân tại B, có

ABC = 20
◦
. Trên các cạnh BA và BC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho

ACD = 50
◦
,

CAE = 60
◦
. Tính số đo của

AED.
Bài toán 5.
Cho △ABC cân tại A có

BAC =
α
, (60
◦
<
α
< 120
◦
). Trong tam gi ác lấy điểm M sao cho

MCB =

ABC =

ACB = 90
◦
−
α
2
, nên

BCP =

ACB−

ACP = 90
◦
−
α
2
−

α
2
− 30
◦

= 120
◦
−
α
=

AP = AN = NP = BN = CP.
Dễ thấy MN và BC có chung trục đối xứng là tia phân giác của

BAC nên NM//BC, suy ra

NPB =

PBC =

NBP
mà

NBC =

ABC−

ABN = 90
◦
−
α
2
−

α
2
− 30
◦

= 120
◦


= 30
◦
+
α
2
.
TÍNH SỐ ĐO GÓC
15
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
1. Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng nửa cạnh
huyền.
Bài toán 1. Tính các góc của △ABC. Biết rằng đường cao AH và trung tuyến AM chia

ABC thành ba
góc bằng nhau.
Lời giải (h.4a)
A
B H M
C
K
1
2
3
A
B
C
H
E
F


A = 90
◦
,

B = 60
◦
.
△ABC đã cho có ba góc

A = 90
◦
,

B = 60
◦
,

C = 30
◦
.
Bài toán 2. Cho △ABC có ba góc nhọn. Về phía ngoài của △ABC ta vẽ các tam giác đều ABE và
ACF. Gọi H là trực tâm của △ABE, N là trung điểm của BC. Tính số đo

FNH.
Lời giải (h.4b)
Trên ti a đối của tia NH ta lấy điểm K sao cho NH = NK thì
△NBH = △NCK (c.g.c) ⇒ CK = BH = HA
Chú ý rằng



C
2
+

C
1

= 360
◦
−

90
◦
+

B+

C
2

= 90
◦
+

A =

FAH;
AF = CF
Do đó △AHF = △CKF (c.g.c) ⇒ FH = FK nên △FHK cân tại đỉnh F.

ABC = 45
◦
,

ACB = 120
◦
. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho
CD = 2CB. Tính số đo

ADB.
Lời giải (h.5a)
A
A
B
B
C
C
H
D
D
K
2
2
2
2
1
1
1
1
1

2
CD; mà BC =
1
2
CD nên △CBH cân tại đỉnh
C.
Suy ra

B
2
= 30
◦
. Vậy △HBD cân tại đỉnh H.
Ta có

B
1
= 15
◦
và

A
1
= 15
◦
nên △HBA cân tại đỉnh H. Vậy △HAD vuông cân ở H.
Từ đó ta tính được

ADB = 45
◦


KBH (góc có cạnh tương ứng vuông góc) nên

A
1
=

KBD+

B
1
(1)
Mặt khác

A
2
=

D
1
+

B
2
(2)
Vì

A
1
=

. Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho
BH = 2AC. Tính số đo

BHC.
Lời giải (h.6a)
17
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
H
E
K
A
B
C
a)
A
B
C
K
E
b)
Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa đỉnh A vẽ △EBC thì E ở miền trong △HBC.
Gọi K là trung điểm của BH. Ta có









Ta có △EHC = △EHB (c.g.c) vì







EH chung

BEH =

CEH = 150
◦
EB = EC
Suy ra

BHE =

CHE = 15
◦
hay

BHC = 30
◦
.
Bài toán 6. Cho △ABC vuông cân ở đỉnh. Điểm E nằm trong tam g iác sao cho

EAC =


EKB.
Ta có △BAK = △BEK (c.g.c) nên

BEK =

BAK = 15
◦
. Vậy

BEA = 75
◦
.
4. Tính số đo góc thông qua v iệc phát hiện ra tam giác cân có một góc đã biết số đo
Bài toán 7. Cho △ABC có

BAC = 50
◦
,

ABC = 20
◦
. Trên đường ph ân giác BE của tam giác ta l ấy
điểm F s ao cho

FAB = 20
◦
. Gọi N là trung điểm AF, EN cắt AB tại K. Tính số đo

KCB.
Lời giải (h.7a)

2
=

A
1
+

B
1
= 30
◦
(góc ngoài của △FAB).
Từ

A
2
= 30
◦
⇒

F
2
=

A
2
. Suy ra △EAF cân tại đỉnh E nên

AEF = 120
◦


E
2
= 60
◦

B
1
=

B
2
= 10
◦
⇒ △BCK cân tại đỉnh B mà

CBK = 20
◦
. Vậy

CKB = 80
◦
.
Bài toán 8. Cho △ABC với

ABC =

ACB = 50
◦
, N là điểm thuộc miền trong của tam giác thỏa mãn


OCB =

OBC = 10
◦
suy ra

OCA =

OAC = 40
◦
.
Vậy △OAC cân tại đỉnh O nên OA = OC (2)
Từ (1), (2) suy ra OJ là đường trung trực của AC và cũng là phân giác của

AOC nên

AOJ =

JOC = 50
◦
(3)
Vì

NOC là góc ngoài của △OBC nên

NOC = 20
◦
. Từ đó và (3) có


A và B
′
C. Điểm M thuộc cạnh BC sao cho BM = 3MC. Tính số đ o các góc
của △KLM.
2. Cho △ABD và △ CBD, hai điểm A và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ BD. Biết

BAC =
50
◦
,

ABD = 60
◦
,

CBD = 20
◦
,

CDB = 30
◦
. Tính số đ o các góc

DAC và

ADB.
3. Cho △ABC cân ở đỉnh A,

BAC = 20
◦