hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA
DẠNG : RÚT GỌN
I. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN
Bài 1: Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a.
( )
( )
( )
( )
1
2 2
3
4 3 3 4
1
2 2 1
3
:
2
y x y
x x y xy y
D x y x y
x xy y x x y
−
−
−
 
−
+ + +
 

( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1
2
2 2 3 3
3
3
4 3 3 4
1
2
2 2 1
3
1
: 3
2
y x y x y x y
x y x y
x x y xy y
D x y x y xy
x xy y x x y x y x y
x y
−
−
−
 
 

1 1
2 2
2 3 3
4 9 4 3 4 9 4 3
9
2 3 1
2 3
a a
a a a a a a a
B a
a a
a a
a a a a a
a a
− −
− −
 
 
   
+ + −
− − + − − +
 
   
= + = + = =
 
− −
   
 
− −
   

 
− +
= − +
 ÷
+ −
 
Giải
a.
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
4
n n n n
n n n n n n n n n n
n n n n n n
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n
a b b a
a b a b a b b a a b
A
a b a b b a
b a a b a b b a
a b a b
a b a b
− − − −
− − − −
+ − −

 ÷  ÷
 ÷
+ − + −
 
   
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ
Bài 1. Cho a,b là các số dương .Rút gọn biểu thức sau
2
1 1
2 2
. 1 2 :
a b
a a b
b a
 
 
− + −
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
b.
1 9 1 3
4 4 2 2
1 5 1 1
4 4 2 2
a a b b
a a b b
−

 ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷
 
   
−
.
b/
( )
( )
( )
( )
1 1
1 9 1 3
2 2
4 2
4 4 2 2
1 5 1 1 1 1
2
4 4 2 2 4 2
1 1
1 1 2
1 1
a a b b
a a b b
a a
a a b b a a b b
−
−
− −

 
Giải
a/
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3
a b a b ab a b a a b b a b a b
 
 
+ + − = + − + = + = +
 ÷
 
 
 
b/
1 1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3
1 1
1 1
3 3
3 3
3 3
1 1 2 2 2 1 1
1 1
3 3 3 3 3 3
3 3
: 2
2

4 4
3
3
:
a b a
A a b
b a
a b
 
   
 
 
= + +
 ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷
 
 
   
 
 
b.
2
2
2
4
4
4
2
a

1 1
: : :
a b a a b a a a b
A a b a b a b
a b b ab
b a
a b
b a
ab a b
 
 
 
   
     
+
 
 
 
 ÷
= + + = + + = + + =
 ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷
 
 
 ÷
 
 
      ÷

a
a
a
↔ ≥

+ +
= = = =

− ↔ <

 
− +
+
 ÷
 
Bài 4. Tính giá trị các biểu thức sa ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a.
( )
1
2 2
2
2 2
1 1
2 5 2
2 2
x x x x
A x
x x x x
−
 

 ÷
+
 ÷
 
 
 
. Với y = 1,2
Giải
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 2
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
a/
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
1
1
2 2
2 2 3
2 2 2
2 2
2 2
4 2 5 2
1 1 4 10
2 5 2 5 2 8 2
2 2
4 5 2

2
3
3
1
1
5
2
2 2 2
10
5
2
1
1
5
5
2
2 3.
2 27
3 32 2 .3 3.2 2 3
2 3
2 3
y
y
B y y
y
y
− −
 
 
 

 
5
5
1 2 1 2
1 1
2 2 2
5 5 5 52 2
2 2 .3 3 3.2 2 3y y y y y
−
 
   
= − + + − = =
 
 ÷  ÷
 
   
 
. Với y=1,2 suy ra
2
1,44y =
Bài 5. Rút gọn biểu thức sau :
a.
4 1
1
2
3 3
3
3
2 2
3

− −
 ÷
= +
 ÷
 ÷
− + +
 
Giải
a/
( )
1
4 1 1
1
2 2
3
3 3 3
3 3
3
2 2 2 1 1 2 1 1
3
3 3 3 3 3 3 3 3
8
8
. 1 2 .
2 4 2 4 2
a a b
a a b b a
A a a
a
a ab b a a b b a b

3 3 3 3
1 1 1 1 2 2
3 3 3 3 3 3
1 1 2 1 1 2 1 1
2 1 1 2
3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
2
8 2 8
6 6
2 4 2 2
4 2
a b a b
b a a b a b b a a b
B
a b a a b b b a
b a b a
− − − − −
 
 
−
 ÷
 
 ÷
− − −
 
 ÷ ÷
= + = + =
 ÷ ÷
 

 ÷
 ÷− −
 
 
= = =
 ÷
 ÷
−
 
   
 ÷
−
 ÷  ÷
 ÷
   
 
Bài 6. Rút gọn biểu thức sau
a.
1
5 1
3 7 1 1
2
3 32 4 4 2
A= 3 .5 : 2 : 16: 5 .2 .3
−
 
   
   
 
   

1
1
5 1
3 7 1 1
1
2
5 1
3 7 1 1
2
2 2
3 3
2 4 4 4
2
3 3
2 4 4 2
4 2
3 5 2 .5 2 3 3 5 15
A= 3 .5 : 2 : 16: 5 .2 .3
2 2 2
−
 
 
   
   
 
 
 ÷
= = =
   
 

     
= − − + − = − − + = − − − =
 ÷  ÷  ÷
     
−
Bài 7 . Rút gọn biểu thức sau :
a.
1 1
1
1 1
2 2
4 4
3 1 1 1 1
4 2 4 4 4
:
a b a b
A a b
a a b a b
−
 
 
− −
 
= − −
 ÷
 
 
+ +
 
 

2 4 4 2 4 4 4 4
1
: : .
a b a b a b a b a b a a b
A a b a b
a a b a b a b
a a b a a b a b
 
   
   
− − − − − − +
   
= − − = − − = =
 ÷  ÷
   
     
   
+ + +
+ + −
 
 
 
 ÷  ÷  ÷
 
     
 
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2

 ÷  ÷
= − = = = −
 ÷  ÷
 
− −
 ÷  ÷
−
 ÷
 ÷  ÷
 
   
Bài 8 .a. Rút gọn các biểu thức sau :
( )
3 3 1 1
1
2 2 2 2
2
1 1
2 2
ax
x a x a
C
x a
x a
   
− −
   
= +
   
−

2 2 2 2
ax
x a x x a a
x a x a x a
C x a
x a
x a x a
x a x a
   
  
− + +
       
 ÷ ÷
− − −
  
       
= + = +
       
−
  
− −
− +
   
   
   
 ÷ ÷
   
  
   
2

2 2 2a b a a b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b⇔ + + = + ⇔ + + = + +
Bài 9.
a. Không dùng bảng số và máy tính hãy tính :
3 3
847 847
6 6
27 27
+ + −
( đáp số : =3 )
b. Chứng minh rằng :
( ) ( ) ( )
8
48
4
8
8
1
3 2 3 2 3 2
3 2
= − + +
+
Giải
a/ Đặt y=
3
3 3
3
3
847 847 847 847 847
6 6 12 3 6 6 12 3 36
27 27 27 27 27

. b.
( )
11
16
: 0B a a a a a a= >
c.
( )
2
4
3
0C x x x= >
d.
( )
5
3
0
b a
D ab
a b
= >
Giải
1 1
1 1 1
5 5
3 1 3
1 3 1
3 3 5
5
3
2 5 102 2 2

2
162 2
1
1
16 16 6 8 16
2 4 4
11
16
: . : . : :
a
B a a a a a a a a a a a a a a a
a
+
+
 
   
 
 
   
 
   
= = = = = =
 
 ÷
 ÷  ÷
   
     
 
   
   

( )
2 1
2 1
2 2 1 2 1 2
1
.a a a a a a
a
−
−
− −
 
= = =
 ÷
 
. b/
1
1
2
2 4
4
2
. :
a
a a a a a a
a
π π π
π
= = =
c/
( )

1a a a a
a a
− + +
−
(đáp số :
3
1a +
)
c.
5 7
2 5 3 7 2 7
3 3 3 3
a b
a a b b
−
+ +
(đáp số :
5 7
3 3
a b−
) d.
( )
1
2
4a b ab
π
π π
π
 
+ −

− −
b/
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3
3
4 3 3
3 3 3 2 3
1 1 1 1
1
1 1
a a a a a a a a a
a
a a
a a a a
− + + − + + +
= = +
−
− + +
c/
5 7 2 5 3 7 2 7
3 3 3 3 3 3
5 7
5 7
3 3
2 5 3 7 2 7 2 5 3 7 2 7
3 3 3 3 3 3 3 3
a b a a b b
a b

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
Bài 1. Hãy so sánh các cặp số sau :
a.
3 5
30 20∨
b.
3
4
5 7∨
c.
3
17 28∨
d.
5
4
13 23∨
e.
3 2
1 1
3 3
   
∨
 ÷  ÷
   
f.
5 7
4 4∨
Giải
a/

12
3
12
5 5 125
7 5
7 7 2401

= =

⇒ >

= =


c/
3
17 28∨
. Ta có :
6 3
6
3
6 2
3 6
17 17 4913
17 28
28 28 784

= =

⇒ >

3 3
   
∨
 ÷  ÷
   
. Vì
3 2
1 1
3 2
3 3
   
> ⇒ <
 ÷  ÷
   
f/
5 7 5 7
4 4 ; 7 5 4 4∨ > ⇒ <
Bài 2. Hãy so sánh các cặp số sau :
a.
1,7 0,8
2 2∨
b.
1,7 0,8
1 1
2 2
   
∨
 ÷  ÷
   
c.

f.
5 1
6 3
0,7 0,7∨
Giải
a/
1,7 0,8 1,7 0,8
2 2 ; :1,7 0,8 2 2vi∨ > ⇒ >
. b/
1,7 0,8 1,7 0,8
1,7 0,8
1 1 1 1
; :
1
2 2 2 2
0 1
2
do
>


       
∨ ⇒ <

 ÷  ÷  ÷  ÷
< <
       


c/

7 7 7
5
0 1
7
do
− −

− <


     
∨ ⇒ > =

 ÷  ÷  ÷
     

< <


;
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 7
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
e/
( )
( )
( )
2
2,5

 
   
= > =
 ÷
 ÷  ÷
 ÷
   
 


∨ ⇒ <


< <

Bài 3. Chứng minh :
20
30
2 3 2+ >
Giải
Ta có :
20 20
20
30
30
30
2 1 1
2 3 2
3 1 1


( )
2
1 1 1
0 0 ' 2 1 0 axy=y
2 2 4
t x y x x t t t y t t m
 
= ≥ ⇒ = − + = − + ≥ ↔ = − + = → = ⇔ =
 ÷
 
Do vậy :
1
4 4
4
3 3 3 3
x x
y GTLNy
− +
= ≤ = ↔ =
b/
( )
2
sin
0,5
x
y =
. Vì :
2 2
2 sin 1 sin
1 1

Giải
a/
2
2 2 2 0
2 2
x x
x x
GTNNy
y x x x
−
−
=

= + ≥ ⇔ → = − ↔ =

⇔ =

b/
1 3
1 3 1 3 2
2 2
2 2 2 2 2 2 4 min 4 2
1 3
x x
x x x x
y y x
x x
− −
− − − + −


{
2
1
1 2
2
1
x
x
x x
y e e e e x
+
= ≥ = = ⇔ =
VẼ ĐỒ THỊ
Bài 1. Hãy vẽ đồ thị của mỗi cặp hàm số sau trên cùng một hệ trục
a.
1
4
4
y x y x= ∨ =
b.
5 5
y x y x
−
= ∨ =
c.
1
2
2
y x y x= ∨ =
( Học sinh tự vẽ đồ thị )

x x
x x x x
x x
x x x x
x x
− − − −

>
 
> >

 
> ⇒ ⇔ ⇔
  
   
< < − > −
  
 ÷  ÷
 
   

( ) ( )
1 1 2 2
1 2
1 2
2 2 2 2
2 2
x x x x
x x
y x y x

c.
3
3 2
x
y
 
=
 ÷
+
 
d.
1
3
3 2
x
x
y
−
 
=
 ÷
−
 
Giải
a/
3
x
y
π
 

< < ⇒ =
 ÷
 
Là một hàm số nghịch biến
c/
3
3 2
x
y
 
=
 ÷
+
 
. Do
( )
3 3
3 3 2 1
3 2 3 2
x
y
 
= − < ⇒ =
 ÷
+ +
 
là một hàm số nghịch biến
d/
( )
1 1 3 2

a.
1
2
1
log
5
x
y
x
−
=
+
b.
2
1 5
5
1
log log
3
x
y
x
 
+
=
 ÷
+
 
c.
2

1
x
y x x
x
−
= − − −
+
e.
( )
2
2
1
lg 3 4
6
y x x
x x
= − + + +
− −
g.
1
log
2 3
x
y
x
−
=
−
Giải
a/

x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x x x x
x
x
−

−

≥
− −
≤
 


− ≤ ≤ → ≥ −
+
   
+
⇔ ⇔ ⇔
+ +
   
−

+
=
 ÷
+
 
. Điều kiện :
2
2
1 5
2
3
2 2
5
2
2
1
2
log log 0
0
3
3
1
1
1 5 14
3
0 log 1 0
3 3
1
0 5
3



+

≥


+ − −

 
+
≤ ≤ ⇔ ⇔ ≤
  
+ +
+
  
< ≤
> −
  
+
+

< ≤
 
+



( ) ( )
3 1 2

log 3 3log 5
1 log 5
2
16 4
+
+
+
c.
7 7
3
1
log 9 log 6
log 4
2
72 49 5
−
−
 
+
 ÷
 
d.
6 9
log 5 log 36
1 lg2
36 10 3
−
+ −
Giải
a/

1
2 .3log 2
1 log 4 log 4
3
3
3 5 7 4 4 19
4
−
 
 
+ = + =
 ÷
 ÷
 
 
b/
( )
2 5
4
2 5
4
1
log 3 3log 5
2 1 log 5
log 3 6log 5
1 log 5
6
2
16 4 4 2 16.25 3.2 592
+

log 5 log 36 log 25
1 lg2 log5
36 10 3 6 10 25 5 30
−
+ − = + = + =

II. SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC VỀ LO-GA-RÍT
Bài 1. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a.
9 9 9
log 15 log 18 log 10A = + −
b.
3
1 1 1
3 3 3
1
2log 6 log 400 3log 45
2
B = − +
c.
36 1
6
1
log 2 log 3
2
C = −
d.
( )
1 3 2
4

Trang 10
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
d/
( ) ( ) ( )
1 3 2 4 2 3 4 2 2
4
1 1
log log 4.log 3 log log 3.log 4 log log 4 log 2
2 2
D = = − = − = − = −
Bài 2. Hãy tính
a.
2 2
log 2sin log os
12 12
A c
π π
 
= +
 ÷
 
b.
( ) ( )
3
3 3 3 3
4 4
log 7 3 log 49 21 9B = − + + +
c.
10 10

c/ C=
( )
10 10
log tan 4 log cot 4 log tan 4.cot 4 log1 0+ = = =
d/
4 5
3 2 4
4 4 4 4 4 4 4 4
2
1 1 6.3 3
log log 216 2log 10 4log 3 log 6 log 10 log 3 log
3 3 10 50
x x= − + = − + = ⇒ =
Bài 3. Hãy tính :
a.
( )
2 3 4 2011
1 1 1 1
2011!
log log log log
A x
x x x x
= + + + + =
b. Chứng minh :
•
( )
ax
log log
log
1 log

x x x x
= + + + + = + + + =

log 2011!
x
=
. Nếu x=2011! Thì A=
( )
2011!
log 2011! 1=
b/ Chứng minh :
( )
ax
log log
log
1 log
a a
a
b x
bx
x
+
=
+
Vế trái :
( )
ax
log log log
log
log ax 1 log

x x x x
a
k k
a a a k a VP
x
+
+ + = + + + + = =
Bài 4. Tính :
a.
3
5
log
a
A a a a=
b.
2
3
5
log
a
B a a a a=
c.
5 3
3 2
1
4
log
a
a a a
a a

1
1 1
1 2
3
2
3
2 5
5
3
27 3
log log 1 1
10
10
a a
B a a a a a
 
+ + +
 ÷
 
 
 
 ÷
= = = + = +
 ÷
 ÷
 
 ÷
 
c/
3 2

log tan1 log tan 2 log tan 3 log tan89 log tan1 tan89 .tan 2 .tan 87 tan 45 0
 
+ + + + = =
 
( vì :
0 0 0 0 0 0
tan89 cot1 tan1 tan89 tan1 cot1 1= ⇒ = =
; Tương tự suy ra kết quả
e/
3 4 5 15 16 16 15 5 4 3 16
1
log 2.log 3.log 4 log 14.log 15 log 15.log 14 log 4.log 3.log 2 log 2
4
A = = = = −
Bài 5. Chứng minh rằng :
a.Nếu :
2 2 2
; 0, 0, 0, 1a b c a b c c b+ = > > > ± ≠
, thì :
log log 2log .log
c b c b c b c b
a a a a
+ − + −
+ =
b. Nếu 0<N
1≠
thì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành một cấp số nhân ( theo
thứ tự đó ) là :
( )
log log log

. Chứng minh :
ln ln
ln
3 2
a b a b+ +
=
Giải
a/ Từ giả thiết :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 log log
a a
a c b c b c b c b c b= − = − + ⇒ = − + +
1 1
2 2log .log log log
log log
c b c b c b c b
c b c b
a a a a
a a
− + + −
− +
⇔ = + ⇔ = +
b/ Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có :
2
b ac=
Lấy lo ga rít cơ số N 2 vế :
1 1 1 1
2log log log
log log log log

x z
y
x z y x z
⇔ + = ⇔ =
+
d/ Nếu :
( )
2
2
2 2
7 9
3
a b
a b ab a b ab ab
+
 
+ = ⇒ + = ⇔ =
 ÷
 
. Lấy lê be 2 vế ta có :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 12
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
ln ln
2ln ln ln ln
3 3 2
a b a b a b
a b
+ + +

49
log 32
. Biết :
2
log 14 a=
Giải
a/
6
log 16A =
. Từ :
3
12 3 3
3 3
log 27
3 3 3 3
log 27 log 4 1 log 2
log 12 1 log 4 2
x x
x x
x x x
− −
= ⇔ = = ⇒ = − = ⇔ =
+

(*)
Do đó :
4
3 3
6
3 3

= = = + = + = + =
d/ Ta có :
27 3 3 8 2 2
1 1
log 5 log 5 log 5 3 ; log 7 log 7 log 7 3
3 3
a a b b= = ⇒ = = = → =
(*)
Suy ra :
( )
2 3 2
2 2 2
6
2 2 2
3 1
log 3.log 5 log 7
log 5.7 log 5 log 7 .3 3
log 35
log 2.3 1 log 3 1 log 3 1 1
b a
b a b
D
b b
+
+
+ +
= = = = = =
+ + + +
e/ Ta có :
2 2 2

x
x
B x x x x
+
= + +
c.
( )
log log 2 log log log
a p a ap a
C p a p p p= + + −
Giải
a/
( ) ( ) ( )
2
log 1
log log 2 log log log 1 1 log 1
log
a
a b a ab b ab
a
b
A b a b b a a
b
 
+
= + + − − = − − =
 ÷
 
2 2 2
log 1 log log 1 log 1 log

2
log log 1
2 2 4
2 2 2 2 2 2 2
1 1
log 2 log log 1 2log log log 1 4log
2 2
x
x
B x x x x x x x x
+
= + + = + + + + =
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2
1 3log log 8 log 9 log 3log 1x x x x x+ + + = + +
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 13
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
c/
( )
( )
2
2
log 1
log
log log 2 log log log log log
log 1 log
a

 
= =
 ÷
+
 
Bài 3. Trong mỗi trường hợp sau , hãy tính
log
a
x
, biết
log 3;log 2
a a
b c= = −
:
a.
3 2
x a b c=
b.
4
3
3
a b
x
c
=
c.
2 2
4
4
3


c/ Ta có :
2 2
4
4
3
1 1 1 3 1 161
log log 2 log 2log 4log log 2 4 12 1
4 3 2 4 3 12
a a a a a a
a bc
x b c b c
ab c
 
= = + + − − − = + − − − + =
 ÷
 ÷
 
Bài 4. Chứng minh
a.
( ) ( )
1
log 3 log 2 log log
2
a b a b− − = +
với :
2 2
3 0; 9 10a b a b ab> > + =
b. Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 1, ta có :
•

b/ Chứng minh :
2 2
log log
a a
b c
c b
=
.
* Thật vậy :
1 2
2 2
log log log log log log
a a a a a a
b c c b c c
c b b c b b
−
   
= = − ⇒ = − =
 ÷  ÷
   
*
log .log .log 1 log .log log 1
a b c a b a
b c a b a a= ⇔ = =
* Từ 2 kết quả trên ta có :
2
2 2 2
log log log log .log log 1
a b c a b c
b c a b c a

• Ví dụ 2. So sánh :
6 6
log 1,1 log 0,99
3 7∨
. Ta có :
6 6 6 6 6 6
log 1,1 log 1 log 0,99 log 1 log 1,1 log 0,99
3 3 1; 7 7 1 3 7> = < = ⇒ >
Bài 1. Không dùng bảng số và máy tính .Hãy so sánh :
a.
0,4 0,2
log 2 log 0,34∨
b.
5 3
3 4
3 2
log log
4 5
∨
c.
5
5
1
log
log 3
2
2 3∨
d.
3 2
log 2 log 3∨

1
log 2 log 5
2
3
1
18
6
−
 
∨
 ÷
 
Giải
a/
0,4 0,2
log 2 log 0,34∨
. Ta có :
0,4 0,4
0,2 0,4
0,2 0,2
2 1 log 2 log 1 0
log 0,3 log 2
0,3 1 log 0,3 log 1 0

> → < =

⇒ >

< → > =



< < < < ↔ > =


c/
5
5
1
log
log 3
2
2 3∨
. Ta có :
5 5
5
5
log 3 log 1
0
5 5
1
log
5 5
log 1
0
2
5 5
log 3 log 1 2 2 2 1
1
log 3 log
1

. Ta có :
2
3 2
3 3
1 log 3 2
log 11 log 3
log 11 log 9 2
< <

⇒ >

> =

f/
2 1
2
2log 5 log 9
2 8
+
∨
. Ta có :
2 1
2
2
25
2log 5 log 9
log
9
2 1 2 2 2
2

5 1 5
log
log 9 log
log 3 log 2log 3 log
5
11
11 2 11
9 11 81.11
4 2 2 2
5
5
−
+ −
= = = = =
Nhưng :
2 4
5
log 3 log
11
81.11 891 90
18 4 18
5 5 5
+
= > = ⇒ >
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 15
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
h/
3 1

+
−
−
 ÷
 
= = = = = < =
k/
6
6
1
log 2 log 5
2
3
1
18
6
−
 
∨
 ÷
 
.
Ta có :
6
6
6
6 6 6
1
log 2 log 5
1

2 5
log 10 log 30∨
. Ta có :
2 2
2 5
5 5
log 10 log 8 3
log 10 log 30
log 30 log 36 3
> =

⇒ >

< =

b/
3 7
log 5 log 4∨
. Ta có :
3 3
3 7
7 7
log 5 log 3 1
log 5 log 4
log 4 log 7 1
> =

⇒ >

< =

2
1
log 3 log 2
2
+ < −
b.
5 5
log 7 log 4
4 7=
c.
3 7
log 7 log 3 2+ >
d.
2 2
log 5 log 3
3 5=
e.
1
log3 log19 log 2
2
+ ∨ −
f.
5 7 log5 log 7
log
2 2
+ +
∨
Giải
a/
1 3

< ⇒ − − > ⇔ + < −
b/
5 5
log 7 log 4
4 7=
. Ta có :
( )
5
5 7 5 7 5
log 7
log 7 log 4 log 7.log 4 log 4
4 7 7 7= = =
. Vậy 2 số này bằng nhau
c/
3 7
log 7 log 3 2+ >
. Ta có :
3 3 7 3
3
1
log 7 0 log 7 log 3 log 7 2
log 7
> ⇒ + = + >
d/
2 2
log 5 log 3
3 5=
. Ta có :
( )
2

log 900 log log3 log19 log 2
4 2
⇒ > ⇔ + > −
f/
5 7 log5 log 7
log
2 2
+ +
∨
. Ta có :
5 7 5 7 log5 log 7
5. 7 log log 5. 7
2 2 2
+ + +
≥ ⇒ ≥ =
Bài 4. Hãy so sánh :
a.
3 3
6 5
log log
5 6
∨
b.
1 1
3 3
log 9 log 17∨
c.
1 1
2 2
log loge



. Hoặc :
3 3
6 5
6 5
log log
5 6
5 6
3 1

>

⇒ >


>

b/
1 1
3 3
log 9 log 17∨
. Ta có :
1 1
3 3
1
0 1
log 9 log 17
3
9 17


<

HÀM SỐ LO-GA-RÍT
I. ĐẠO HÀM :
Bài 1. Tính đạo hàm các hàm số sau :
a.
( )
2
2 2
x
y x x e= − +
b.
( )
2
sinx-cosx
x
y e=
c.
x x
x x
e e
y
e e
−
−
−
=
+
d.

4
'
x x x x x x x x
x x
x x
x x x x
e e e e e e e e
e e
y y
e e
e e e e
− − − −
−
−
− −
+ + − − −
−
= ⇒ = =
+
+ +
d/
( )
2
2
2
ln 1 '
1
x
y x y
x

)
2 2
ln 1y x x= +
b.
( )
2
2
log 1x x− +
c.
3 2
lny x=
d.
2
4
log
4
x
y
x
−
 
=
 ÷
+
 
e.
2
3
9
log

(
)
( )
2 3
2 2 2 2
2 2
ln 1 ' 2 .ln 1 2 .ln 1
2 1 2 1
x x x
y x x y x x x x
x x
= + ⇒ = + + = + +
+ +
b/
( )
( )
2
2
2
2 1
log 1 '
1 ln 2
x
y x x y
x x
−
= − + ⇒ =
− +
c/
( ) ( )

x
x
 
− −
 
= ⇒ = =
 ÷
 ÷
 ÷
+ +
−
 
+
 
e/
( )
( )
( )
( )
2
2 2 2
3
2
2
2 5 9
9 1 9 10 9
log ' :
5 ln3 5
5 9 ln3
5

y y
x x x x
x x
 
+ +
 
− −
 
= ⇒ = =
 ÷
 ÷
 
−
 
 
II. GIỚI HẠN
Bài 1. Tìm các giới hạn sau :
a.
( ) ( )
0
ln 3 1 ln 2 1
lim
x
x x
x
→
+ − +
b.
( )
0

e.
0
1
lim
1 1
x
x
e
x
→
−
+ −
f.
( )
3
0
ln 1
lim
2
x
x
x
→
+
Giải
a/
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0
ln 3 1 ln 2 1 ln 3 1 ln 2 1
lim lim lim 3 2 1

x
x
→ →
+
+
= =
, c/
( ) ( )
0 0
ln 4 1 ln 4 1
lim lim 4 4
4
x x
x x
x x
→ →
+ +
= =
d/
( )
( )
5
5 3 3 3
3
0
0
1
5
lim lim 5
2 2. 5 2

Bài 2. Tìm các giới hạn sau
a.
( )
0
ln 2 1
lim
tan
x
x
x
→
+
b.
2 3
0
lim
5
x x
x
e e
x
→
−
c.
3
0
1
lim
x
x

1 os5
lim
x
c x
x
→
−
Giải
a/
( )
( )
0 0
ln 2 1
2
ln 2 1
2
lim lim 2
tan
tan
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
→ →
+

→ →
− −
= =
d/
1
1 1
1
lim lim 1 lim 1
1
x
x x
x x x
e
xe x x e
x
→+∞ →+∞ →+∞
 
 ÷
   
−
− = − = =
 ÷
 ÷  ÷
   
 ÷
 
e/
0 0
sin 3 sin 3
lim lim3 3

Bài 3. Tìm các giới hạn sau :
a.
2
0
osx os3
lim
sin
x
c c x
x
→
−
b.
2
1
lim t anx
os
x
c x
π
→
 
−
 ÷
 
c.
( )
3
lim 2 sin
x

2
2 2 2
0 0 0
2sin 2 sin
osx os3 4cos .sin
lim lim lim 4
sin sin sin
x x x
x x
c c x x x
x x x
→ → →
− −
−
= = =
b/
2
1
lim t anx
os
x
c x
π
→
 
−
 ÷
 
.
Đặt :

t
t
c
= =
. Khi
0
2
tan
1 2
2
; 0 lim t anx lim
2 os
2
t
x
t
x t
t
c x t
π
π
→
→
 
→ → ⇒ − = = ∞
 ÷
 
c/
( )
3


 

Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 19
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT
d/
4
2 2cos
lim
sin
4
x
x
x
π
π
→
 
 ÷
−
 ÷
 
 ÷
−
 ÷
 ÷
 
 

− +

 ÷
−
−
 

= =

 
−
 ÷

 

Do đó :
( )
2
t t t
2sin 2sin os sin os
2 1 ost+sint
2 2 2 2 2
2 2 2 tan 2
t t
sint 2
2sin os os
2 2 2
t t
c c
c

 
−
 ÷
 ÷
 
 
Nguyễn Đình Sỹ -ĐT:0985.270.218
Trang 20