Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
I. Đặt vấn Đề
1. Môn Toán với t cách là một môn học tự nhiên nghiên cứu một số mặt
của thế giới hiện thực, nó chiếm một thời lợng khá lớn trong quá trình học tập
của học sinh. Khả năng giáo dục của môn Toán khá lớn, nó phát triển t duy lô
gíc, hình thành và phát triển các thao tác trí tuệ phân tích, tổng hợp, so sánh,
chứng minh, trừu tợng hóa, khái quát hóa là môn học cần thiết để học tập
các môn học khác và đặc biệt nó đợc áp dụng trong đời sống hàng ngày của
con ngời.
2. Xuất phát từ tầm quan trọng của việc dạy học các dạng Toán điển
hình: dạng toán Chuyển động đều là một dạng toán khó ở trong chơng trình
môn Toán ở Tiểu học Chuyển động đều là dạng toán liên quan đến 3 đại lợng
vận tốc, thời gian và quảng đờng.
Để giải đợc dạng toán này đòi hỏi học sinh phải huy động tối đa các kiến
thức toán tổng hợp mà mình đã học nhất là khả năng phân tích, tổng hợp, trừu
tợng hóa và khái quát hóa.
3. Xuất phát từ thực trạng dạy và học toán Chuyển động đều mà trong
đó có dạng chuyển động cùng chiều của hai kim đồng hồ. Các bài toán
chuyển động của hai kim đồng hồ thờng gây khó khăn cho học sinh, các em
còn lúng túng khi gặp phải dạng bài này. Bên cạnh đó, một số giáo viên cha
biết cách hớng dẫn cho học sinh để các em có thể nhanh chóng tìm ra hớng
giải quyết.
Đối với dạng toán Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
liên quan đến 3 đại lợng là một dạng toán khó ở Tiểu học mà loại bài tập này ít
xuất hiện trong tài liệu kể cả tài liệu tham khảo nên khi gặp phải dạng bài tập
này đa số giáo viên cảm thấy khó. Trong chơng trình Violympic giải toán qua
mạng Internet do BGD&ĐT tổ chức đến vòng thi thứ 18 thì đa số giáo viên gặp
khó khăn trong việc hớng dẫn học sinh giải Các bài toán chuyển động của
hai kim đồng hồ .
Để góp phần nâng cao năng lực giải toán nói chung, năng lực giải Các
bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ nói riêng trong môn Toán ở Tiểu

- Vẫn còn không ít giáo viên thiếu sự nghiên cứu, sáng tạo trong hoạt
động dạy - học, còn hạn chế trong việc tổ chức các phơng pháp dạy học mới,
thiếu sự linh hoạt trong việc kế thừa kiến thức cũ để dạy kiến thức mới hay đ a
lạ về quen .
Qua thực tế bồi dỡng học sinh giỏi, học sinh có năng khiếu về môn
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 2 -
Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
Toán thì đa số giáo viên còn lúng túng khi hớng dẫn học sinh giải dạng này.
Các bớc giải trong tài liệu tham khảo còn cha cụ thể, quá dài nên khi giáo viên
tham khảo để hớng dẫn học sinh còn gây sự khó hiểu cho các em; một số giáo
viên còn không hiểu bản chất của bài toán.
3. Về thực tế cuộc sống:
Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ là những bài toán thực
tế mà chúng ta gặp trong cuộc sống hàng ngày. Những bài toán đó hiện nay
vẫn còn xa lạ với nhiều ngời nh:
Hoa học bài lúc 7 giờ tối. Đến lúc Hoa học xong thì đã 9 giờ. Hỏi
trong thời gian đó kim phút và kim giờ gặp nhau bao nhiêu lần ?
Những bài toán nh thế nếu biết đợc phơng pháp giải thì không khó
nhng quả thực hiện nay còn quá khó đối với học sinh.
4. Về học sinh :
- ở Tiểu học, một bộ phận các em còn thụ động, chủ yếu là nghe giảng, ghi
nhớ và làm theo bài mẫu. Chính vì vậy mà kiến thức của các em còn mang tính
hời hợt, nhớ không lâu, thiếu sự linh hoạt, sáng tạo và khả năng phân tích của
các em còn hạn chế. Từ những bài toán quen thuộc mà các em đã học ít khi đợc
các em vận dụng để giải quyết các bài toán lạ thuộc dạng đ a lạ về quen .
- Đối với các bài toán Chuyển động đều liên quan đến 3 đại lợng gây
không ít khó khăn cho một số đông học sinh vì đây là dạng toán khó trong ch-
ơng trình Tiểu học. Đặc biệt, đối với dạng toán chuyển động cùng chiều liên
quan đến hai kim trên mặt đồng hồ quả thực là khó đối với học sinh vì chuyển

Đây là bài toán thuộc dạng toán Hai động tử chuyển động cùng
chiều với vận tốc V1, V2 (V2 > V1) trên một quảng đờng để đuổi kịp nhau
thì :
Thời gian đuổi kịp nhau ( t ) bằng khoảng cách ban đầu chia cho hiệu
vận tốc (V2 V1)
Trong ví dụ trên ta có thể giải nh sau :
Bài giải Quy ớc Nhận xét
- Quảng đờng xe đạp đi trớc
xe máy trong 3 giờ là :
12 x 3 = ( 36 km )
- Trung bình mỗi giờ xe máy
gần xe đạp là :
- Quảng đờng đi tr-
ớc .
- Hiệu vận tốc .
* Khoảng cách ban đầu.
* Hiệu vận tốc
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 4 -
Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
36 12 = 24 ( km )
- Thời gian để xe máy đuổi
kịp xe đạp là :
36 : 24 = 1,5 ( giờ )
= 1 giờ 30 phút
- Thời gian đuổi kịp
nhau .
*Dạng toánHai hiệu số
Vận dụng vào bài toán đơn giản đó, chúng tôi đã khai thác để dạy học sinh áp
dụng để giải Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ khá xa lạ

3
vòng đồng hồ.
Khi kim phút đuổi kịp kim giờ thì hai kim đồng hồ chập khít lên nhau.
Đến lúc đó, kim phút đã đi nhiều hơn kim giờ một đoạn đờng đúng bằng
khoảng cách giữa hai kim đồng hồ lúc 3 giờ đúng, nghĩa là bằng
12
3
vòng đồng
hồ.
Mà cứ mỗi giờ kim phút đi đợc 1 vòng đồng hồ còn kim giờ chỉ đi đợc
12
1
vòng đồng hồ nên trong một giờ kim phút đi nhanh hơn kim giờ 1 -
12
1
=
12
11

vòng đồng hồ.
Nh vậy đây là chính là dạng bài toán Hai động tử chuyển động cùng
chiều đuổi nhau có khoảng cách ban đầu là
12
3
vòng đồng hồ và hiệu hai vận
tốc là
12
11
vòng đồng hồ.
Bài toán đợc so sách với ví dụ và giải nh sau:

*Quảng đờng
(khoảng cách
ban đầu) đi tr-
ớc .
* Hiệu vận tốc
*Thời gian
đuổi kịp
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 6 -
Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
36 : 24 = 1,5 ( giờ )
1,5 giờ = 1 giờ 30 phút
Đáp số: 1 giờ 30 phút
kim phút đuổi kịp kim giờ là:
12
3
:
12
11
=
11
3
(giờ)
Đáp số:
11
3
giờ
nhau .
Kết luận 1:
Qua việc đối chiếu cách giải hai bài toán trên, học sinh đã biết cách giải

* Hiệu vận tốc.
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 7 -
Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
Bớc 3
=> hiệu vận tốc của hai kim là:
1 -
12
1
=
12
11
(vòng đồng hồ).
- Kể từ lúc 1 giờ, thời gian để kim phút
đuổi kịp kim giờ là:
12
1
:
12
11
=
11
1
(giờ)
Kể từ lúc 12 giờ, thời gian để hai kim chập
nhau là:
1 +
11
1
= 1

giờ = 22 (lần)
Các thời điểm đó là:
1
11
1
giờ ; 2
11
2
giờ, , 22
11
10
giờ; 24 giờ .
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 8 -
Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
Ví dụ 2 : Một xe máy đi từ A lúc 8 giờ 37 phút với vận tốc 36km/giờ.
Đến 11 giờ 7 phút một ô tô cũng từ A đuổi theo xe máy với vận tốc 54 km/
giờ. Hỏi ô tô đuổi kịp xe máy lúc mấy giờ ?
( SGK Toán 5 Trang 146 )
Chúng tôi tiếp tục quy trình dạy học nh bài toán 1.
Bài giải Quy ớc Nhận xét
- Thời gian xe ô tô đi sau xe máy
là :
11giờ 7 phút 8 giờ 37 phút = 2
giờ 30 phút = 2,5 giờ
- Quảng đờng xe máy trớc khi xe
máy trong 3 giờ là :
36 x 2,5 = ( 90 km )
- Trung bình mỗi giờ ô tô gần xe
máy là :

cho trớc là giờ kém. Vậy việc xác định khoảng cách ban đầu của hai kim nh thế
nào cho chính xác?
- Đối với học sinh Tiểu học khái niệm giờ kém khi đa vào thực hiện tính
toán vẫn còn khó, do vậy ta hớng dẫn học sinh đa về giờ hơn:
3 giờ kém 17phút tức là 2 giờ 43 phút.
Thời gian từ 2 giờ 43 phút đến 3 giờ đúng thì kim phút vẫn cha đuổi kịp
kim giờ nên ta sẽ tính thời gian và thời điểm hai kim đuổi kịp nhau bắt đầu từ
lúc 3 giờ đúng.
- Lúc 3 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 3 => kim phút cách kim
giờ
12
3
vòng đồng hồ.
( cách phân tích còn lại giống nh bài toán 1)
Ví dụ Bài toán So sánh
- Thời gian xe ô tô đi sau xe
máy là :
11giờ 7 phút 8 giờ 37
phút = 2 giờ 30 phút = 2,5
giờ
- Quảng đờng xe máy trớc
khi xe máy trong 3 giờ là :
36 x 2,5 = ( 90 km )
- Trung bình mỗi giờ ô tô
gần xe máy là :
54 36 = 18 ( km )
- Thời gian đi để xe máy
đuổi kịp xe đạp là :
- 3giờ kém 17phút tức 2 giờ 43
phút.

12
1
=
12
11
(vòng đồng hồ).
- Kể từ lúc 3 giờ, thời gian để
kim phút đuổi kịp kim giờ là:
12
3
:
12
11
=
11
3
(giờ)
hay 16
11
4
phút
- Kể từ lúc 3 giờ kém 17 phút,
thời gian để kim phút đuổi kịp
kim giờ là:
17 + 16
11
4
= 33
11
4

* Để xác định thời gian hai kim đuổi kịp nhau đối với bài toán khi thời điểm
cho trớc là giờ hơn hoặc giờ kém thì ta h ớng dẫn đổi thời điểm đó về
giờ hơn để tiện việc đ a về giờ đúng mà xác định khoảng cách giữa hai kim
một cách chính xác để tìm kết quả của bài toán.
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 11 -
Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
* Thời điểm cho trớc là a giờ b phút sẽ xảy ra 2 trờng hợp: kim phút ở vị trí
tr ớc hoặc sau kim giờ.
- Nếu thời điểm cho trớc mà vị trí của kim phút ở sau kim giờ (ví dụ
các thời điểm: 4 giờ 5 phút; 4 giờ 17 phút; ) thì ta đ a về giờ đúng là a giờ.
- Nếu thời điểm cho trớc mà vị trí của kim phút ở trớc kim giờ (ví dụ
các thời điểm: 4 giờ 25 phút; 4 giờ 40 phút; ) thì ta đ a về giờ đúng là (a
+1)giờ (giờ liền sau giờ đã cho).
* Các bớc giải.
Các bớc Nội dung Diễn giải Ghi chú
Bớc1 : Đa về giờ đúng (lúc
mà kim phút chỉ số
12)
Thời điểm cho trớc không phải
là giờ đúng (giờ hơn hoặc
kém ) thì ta đổi về giờ hơn
mà đa về thời điểm giờ đúng để
tìm khoảng cách của hai kim
một cách chính xác (Nếu thời
điểm cho trớc mà vị trí của kim
phút ở sau kim giờ thì ta đa về
giờ đúng là a giờ. Nếu thời điểm
cho trớc mà vị trí của kim phút
ở trớc kim giờ thì ta đa về giờ

1. Hai kim vuông góc:
Bài toán 5:
Bây giờ là 12 giờ tra. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu phút nữa thì hai kim sẽ
vuông góc với nhau ?
Các bớc Phân tích và giải Ghi chú
Bớc 1
Bớc 2
Bớc 3
- Lúc 12 giờ , hai kim đồng hồ chập khít lên
nhau và cùng chỉ số 12
- Để hai kim đồng hồ vuông góc với nhau thì
kim phút phải đi nhiều hơn kim giờ
12
3
vòng đồng
hồ.
- Mỗi giờ kim phút đi đợc 1 vòng đồng hồ còn
kim giờ chỉ đi đợc
12
1
vòng đồng hồ => hiệu vận
tốc của hai kim là:
1 -
12
1
=
12
11
(vòng đồng hồ).
- Kể từ lúc 12 giờ, thời gian để kim phút đuổi

12
3

vòng đồng hồ, sau đó kim phút đuổi kịp kim giờ.
- Hai kim muốn vuông góc thì kim phút phải đi
nhiều hơn kim giờ
12
3
vòng đồng hồ nữa.
Nh vậy, lúc 3 giờ đến khi hai kim vuông góc lần
thứ nhất thì kim phút đã đi nhiều hơn kim giờ là :
12
3
+
12
3
=
12
6
(vòng đồng hồ)
- Mỗi giờ kim phút đi đợc 1 vòng đồng hồ còn
kim giờ chỉ đi đợc
12
1
vòng đồng hồ.
- Thời gian lần thứ hai (kể từ lần đầu lúc 3 giờ)
hai kim vuông góc với nhau là:
12
6
: (1 -

- Từ lúc đuổi kịp kim giờ, muốn hai kim thẳng
hàng với nhau thì kim phút phải đi vợt kim giờ
12
6
vòng đồng hồ nữa .
Nh vậy , kể từ lúc 3 giờ , tới lúc hai kim thẳng
hàng với nhau thì kim phút phải đi nhiều hơn
kim giờ:
12
3
+
12
6
=
12
9
(vòng đồng hồ)
Từ lúc 3 giờ , thời gian ngắn nhất để hai kim
thẳng hàng với nhau là :
12
9
: (1 -
12
1
) =
11
9
(giờ )
Đáp số :
11

nhất) đến khi hai kim thẳng hàng lần thứ hai thì
kim phút đi nhiều hơn kim giờ :

12
6
+
12
6
= 1 (vòng đồng hồ)
Thời gian để hai kim thẳng hàng lần thứ nhất
đến thẳng hàng lần thứ hai là :
1: (1 -
12
1
) =
11
12
(giờ )
Số lần để hai kim đồng hồ thẳng hàng với nhau
trong một ngày là :
24 :
11
12
= 22 ( lần )
Đáp số : 22 lần
Kết luận :
Đối với Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ khi mà hai kim
tạo thành góc vuông hoặc thẳng hàng chúng tôi đã hớng dẫn học sinh giải theo
3 bớc cơ bản sau:
Bớc 1: Tìm thời gian hai kim gặp nhau ( chập nhau ) .

Ta có sơ đồ:
Kim giờ 1 giờ
Kim phút
Thời gian An làm xong bài văn là:
1 : (1 + 12) x 12 =
13
12
(giờ)

13
12
giờ = 55
13
5
phút
Đáp số : 55
13
5
phút
Kết luận:
Trờng hợp bài toán mà hai kim đổi chỗ cho nhau chúng tôi đã hớng dẫn
học sinh đa về dạng Tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của hai số đó
- Tổng quảng đờng đi đợc của hai kim là 1 vòng đồng hồ (tức 1 giờ) .
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 17 -
Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
- Tỷ số là tỷ số vận tốc di chuyển trên mặt đồng hồ của hai kim bằng
12
1
- Hai số là thời gian chuyển động của hai kim đến khi đổi chỗ cho nhau.

Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
Tìm một phần mấy của một số đã học ở lớp 3 để dạy ở lớp 4 và lớp 5 .Khai
thác các bài toán về tỷ số phần trăm trong SGK toán 5 để dạy các bài toán tỷ số
phần trăm trong chơng trình kiến thức nâng cao vv Việc dạy học môn
Toán trong trờng ngày càng có chiều sâu và tính hiệu quả.
- Đối với học sinh:
Với phơng pháp dạy học xây dựng trên nền kiến thức cũ trong các buổi
học BDHSG, các em học sinh lớp 5 đợc học kiến nâng cao trở nên nhẹ
nhàng hơn, dễ tiếp thu hơn từ đó tạo đợc động lực học tập các môn học nói
chung và môn Toán nói riêng.
Giờ đây, Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ trở nên
quen thuộc. Nó không còn là một loại toán khó trong chơng trình toán lớp
5 bởi nó đợc vận dụng từ kiến thức chuẩn của môn Toán để giải.
V. Kết luận.
1. Phơng pháp dạy học Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
môn Toán lớp 5 đợc thiết kế trên cơ sở các bài toán trong sách giáo khoaTtoán
5 đã thật sự thành công không chỉ đối với học sinh mà nó còn có ý nghĩa thiết
thực đối với giáo viên, đối với hoạt động chuyên môn của nhà trờng.
- Giáo viên đã cảm thấy tự tin hơn khi xây dựng kiến thức mới trên nền
kiến thức cũ và vốn thực tế mà trớc đây còn có một số giáo viên còn dè dặt cha
mạnh dạn, vẫn tuân thủ sách thiết kế hoặc các tài liệu tham khảo.
- Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ giờ đây không phải
là những bài toán khó đối với giáo viên và cả học sinh. Đặc biệt, nó đã thúc đẩy
phong trào tự nghiên cứu đổi mới phơng pháp dạy học nói chung và phơng
pháp bồi dỡng học sinh có năng khiếu về môn Toán trong toàn trờng.
Nh chúng tôi đã đề cập đến ở trên, không những Phơng pháp dạy học Các bài
toán chuyển động của hai kim đồng hồ mà ph ơng pháp giải các bài toán
phần trăm ở môn Toán lớp 5, ph ơng pháp dạy tỷ số ở môn Toán 3 đợc
thiết kế trên cơ sở các bài toán trong sách giáo khoa vv đã thúc đẩy phong
trào dạy học ở trờng chúng tôi. Tuy nhiên, hiện nay chất lợng của trờng còn