PHẦN 1: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.Cơ sở lý luận:
Xác suất và biến cố là một phần kiến thức cơ bản, quan trọng trong chương trình
Toán lớp 11. Các bài toán liên quan đến xác suất có đặc thù riêng, mang tính thực tiễn và
có nhiều ứng dụng trong cuộc sống. Và các bài toán Xác suất và biến cố thường là các bài
toán khó và hay có trong chương trình toán THPT. Học sinh khi gặp các bài toán này
thường thì lúng túng, không biết bắt đầu từ đâu để giải quyết bài toán.
2.Cơ sở thực tiễn:
Xuất phát từ quá trình tự học, tự nghiên cứu của bản thân, và những kinh nghiệm có
được trong quá trình dạy học, tôi tổng kết được những dạng toán cơ bản của Xác suất và
biến cố.
3.Mục đích nghiên cứu đề tài:
Nghiên cứu đề tài Xác suất và biến cố nhằm mục đích là nâng cao kiến thức của
mình về vấn đề này và hơn thế nữa để sử dụng nó trong quá trình dạy học sinh ôn thi tuyển
sinh đại học và ôn thi học sinh giỏi.
4.Phương pháp nghiên cứu đề tài:
-Phân dạng bài tập cơ bản.
-Trong mỗi dạng bài tập cơ bản đều có ví dụ minh hoạ.
-Sau các ví dụ minh hoạ là các chú ý, nhận xét, phương pháp giải của từng dạng.
-Cuối cùng là các ví dụ luyện tập, hướng dẫn và bài tập tự luyện.
4.Nội dung cơ bản của đề tài:
Dạng 1 : Biến cố và xác suất của biến cố
Dạng 2 : Các quy tắc tính xác suất
Dạnh 3 : Biến ngẫu rời rạc
Dạng 4 : Xác suất có điều kiện (mở rộng)

1
PHẦN 2 : NỘI DUNG
DẠNG 1: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1/. Phép thử ngẫu nhiên.

Ω
Ω
+/ L u ý . / 0
≤
P(A)
≤
1
./ P(
Ω
) = 1 , P(
∅
) = 0
+/ Định nghĩa thống kê xác suất.
./ Xét phép thử T và biến cố A liên quan đến phép thử đó. Ta thực hiện N lần phép
thử T.
Số lần xuất hiện biến cố A đợc gọi là tần số của A trong N lần thực hiện phép thử T.
Tý số giữa tần số của A với số N đợc gọi là tần suất của A trong N lần thực
hiệnphép thử T.
./ Khi N càng lớn thì tần suất của A càng gần với một số xác định. Số đó gọi lần
xác suất của A theo nghĩa thống kê.
Trong khoa học thử nghiệm , ngời ta thờng lấy tần suất làm xác suất. Vì vậy tần suất
còn đợc gọi là xác suất thực nghiệm.
II. MỘT SỐ VÍ DỤ.
Ví dụ 1;
Gieo một đồng tiền xu 3 lần
1/ Xây dựng không gian mẫu.
2
2/ Gọi các biến cố
A. “Lần đầu gieo xuất hiện mặt sấp”
B. “ Đúng hai lần xuất hiện mặt sấp”

SSS,SSN,SNS,SNN

A
Ω
= 4
⇒
P(A) =
4
8
= 0,5
+/ Với biến cố B ; “ Đúng hai lần xuất hiện mặt sấp”
Ta có;
Ω
B
=
{ }
SSN,SNS, NSS
. Và
B
Ω
= 3
⇒
P(B) =
3
8
+/ Với biến cố C; “ ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”
Ta có;
Ω
C
=

A
Ω
= 10
⇒
P(A) =
1
10
= 0,1
2/ +/Ghép mỗi bài điểm 10 môn Toán với một trong số 8 bài không đạt điểm 10 môn Văn,
ta có 3 . 8 = 24 cách.
+/Ghép mỗi bài điểm 10 môn Văn với một trong số 7 bài không đạt điểm 10 môn Toán,
ta có 2 . 7 = 14 cách.
⇒
B
Ω
= 24 + 14= 38
⇒
P(B) =
38
100
= 0,38
3/ +/ Có 3 bài đạt điểm 10 môn Toán, 2 bài đạt điểm 10 môn Văn
→
có 3 . 2 = 6 cách
ghép hai bài Toán ,Văn cùng điểm 10.
+/ Từ đây và từ câu (2), ta có;
C
Ω
= 24 + 14 + 6 = 44
⇒

có 9 . 8 . 7 = 504 (số)
+/ Số có dạng
abc5
có 8 . 8 . 7 = 448 (số)
Vậy có 504 + 448 = 952 (số)
Hay
A
Ω
= 952
Từ đây, ta đợc P(A) =
952
5040
=
17
90
Ví dụ 4
Đội tuyển thi đấu thể thao của một trờng THPT gồm 20 em , trong đó có 11 em thi
đá cầu, 9 em thi điền kinh. Gặp ngẫu nhiên 2 em trong đội . Tìm xác suất để
1/ Hai em thi đấu hai môn khác nhau.
2/ Hai em đều thi đấu điền kinh.
4
Giải
+/ Gọi phép thử T “Gặp ngẫu nhiên 2 em trong đội tuyển”
⇒
Ω
= C
2
20
= 190
1/

95
III/ BÀI TẬP
Bài 1
Gieo 2 đồng tiền đồng chát, cân đối. Tìm xác suất để;
1/ Cả 2 dồng xu đều sấp
2/ Chỉ có một đồng xuất hiện mặt sấp.
3/ ít nhất 1 đồng xuất hiện mặt sấp.
Bài 2
Trong phép thử gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tìm xác suất của các biến cố
sau;
1/ A
K
= “ Tổng số chấm xuất hiện ở mặt trên của 2 con súc sắc là k”
với k = 2, 3, 4, …,12.
2/ B
i
= “Hiệu số chấm xuất hiện ở mặt trên của 2 con súc sắc là i”
Với i = 0, 1, 2,…,5.
3/ C
j
= “Hiệu số chấm xuất hiện ở mặt trên của 2 con súc sắc là j”
Với j = 2, 4, 6, 8, 12.
Bài 3
Túi 1 đựng 10 bài thi Toán, túi 2 đựng 10 bài thi Văn. Điểm (thang điểm 20) của
các bài thi nh sau;
Môn Toán ; 8, 9, 12, 15, 15, 17, 18, 19, 19, 19.
Môn Văn ; 7, 10, 15, 16, 18, 18, 18, 19, 19, 20.
Rút ngẫu nhiên mỗi túi một bài thi. Tìm xác suất để.
1/ Cả hai bài đều đạt 19 điểm.
2/ It nhất một bài đạt 19 điểm.

Đội văn nghệ của nhà trờng gồm 15 học sinh, trong đó 5 học hinh khối 10, 5 học hinh khối
11, và 5 học hinh khối 12. Gặp nhau ngẫu nhien 3 em trong đội. Tìm xác suất để;
1/ Ba em học sinh là 3 học sinh khối khác nhau.
2/ Trong đó có đúng 2 em học sinhh khối 11.
3/ ít nhất có 1 học sinh khối 10.
Bài 9
Trong hộp kín có 10 chữ số; 0, 1, 2, 3, ….9.
Lấy ngẫu nhiên 5 số từ hộp đó rồi xếp thành hàng. Tìm xác suất để số xếp đợc là;
1/ Số có 5 chữ số.
2/ Số có 5 chữ số chia hết cho 5.
3/ Số chẵn có 5 chữ số.
DẠNG 2: CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC XUẤT
I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1.Quy tắc cộng xác suất.
a. Biến cố hợp: Cho hai biến cố A và B . Biến cố “ A hoặc B xảy ra”,kí hiệu là A
∪
B,được gọi là hợp của 2 biến cố Avà B.
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A và B là
BA
Ω∪Ω
.
6
b. Biến cố xung khắc: cho 2 biến cố A và B. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với
nhau nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xay ra.
Hai biến cố A và B xung khắc
φ
=Ω∩Ω⇔
BA
.
c. Quy tắc cộng xác xuất:

là :

( )
P A 1 P(A)= −

2.Quy tắc nhân xác suất :
a. Biến cố giao:
+/ Cho 2 biến cố Avà B. “Biến cố cả A và B cùng xảy ra”, kí hiệu là
AB,được gọi là giao của 2 biến cố A và B.
+/ Tập hợp các kết quả thuận lợi cho AB:

BAAB
Ω∩Ω=Ω
.
b. Biến cố độc lập :
+/ Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không
xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất việc xảy ra biến cố kia.
+/ Nếu A và B là độc lập thì Avà
B
;
A
và B ;
A
và
B
cũng độc lập với nhau.
c. Quy tắc nhân xác suất
+/ Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì
P(AB) P(A).P(B)
=

P(
2
T
) = 0.65
R=
1
T
∩
2
T
.
+/ Vì
1
T
,
2
T
là hai biến cố độc lập nên xác suất để máy bay bắn rơi
là:
P(R)=P(
1
T
∩
2
T
)= P(
1
T
).P(
2


P(A B) P(A) P(B) P(A B)
2 1 1 5
.
3 2 3 6
∪ = + − ∩
= + − =
Ta có :

P(D) P(A B) P(A B)
5 1
1 P(A B) 1 .
6 6
= ∩ = ∪
= − ∪ = − =

Ví dụ 3 : Một hộp chứa 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10,đồng thời các quả từ 1 đến 6
được tô màu xanh.Lấy ra ngẫu nhiên 1 quả .
Kí hiệu biến cố A : “Quả lấy ra màu xanh”
B : “Quả lấy ra ghi số chẵn” .
Hỏi 2 biến cố A,B độc lập hay không.
Giải:
8
+/ Ta có
10
=Ω6=Ω
A

4. Có ít nhất một học sinh bị trượt ít nhất một môn.
Giải:
Ta kí hiệu biến cố:

1
A
: “Học sinh được chọn từ lớp thứ nhất trượt Văn” .

2
A
:“Học sinh được chọn từ lớp thứ nhất trượt Sử” .

3
A
:“Học sinh được chọn từ lớp thứ nhất trượt Địa” .

1
B
:“Học sinh được chọn từ lớp thứ hai trượt Văn” .

2
B
:“Học sinh được chọn từ lớp thứ hai trượt Sử” .

3
B
:“Học sinh được chọn từ lớp thứ hai trượt Địa” .
Khi đó các biến
i j
A ,B ,(i,j 1,2,3) lµ ®éc lËp=

⇒ = =
.

1
P(A B) P(A).P(B)
4
⇒ ∩ = =
3/ Biến cố “Hai học sinh đó không bị trượt môn nào”,là
A B∩
.
+/ Ta có
( )
2
1 1
P A B P(A).P(B)
2 4
 
∩ = = = ×
 ÷
 
4/ +/ Biến cố “Có ít nhất một trong hai học sinh bị trượt ít nhất một
môn”., là
A B∪
.
9

( ) ( ) ( ) ( )
/ T a cã P A B P A P B P AB
1 1 1 3
2 2 4 4

1. Số vé không có số 1 hoặc không có số 5 .
2. Số vé có chữ số 5và chữ số chẵn .

Bài 7: Trong một lớp học có 6 bóng đèn , mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,25. Lớp học
đủ ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng đèn sáng.
Tính xác suất để lớp học không đủ sáng.

Bài 8: Một bài thi trắc nhiệm gôm 12 câu hỏi mỗi câu hỏi cho 4 câu trẩ lời trong đó chỉ có
1 câu đúng .
Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 1 điểm và mỗi câu trả ,lời sai không bi trừ điểm.
Một học sinh học kém làm bài bằng cách chọn tùy ý câu trả lời. Tính xác suất để
anh ta được 6 điểm.

10
Bài 9: Gieo đồng thời 3 con súc sắc.Người thắng cuộc nếu có xuất hiện ít nhất 2 mặt 6
chân.Tính xác suất để ttrong 5 ván chơi,thắng ít nhất là 3 ván.
Bài 10 : Một người bắn 3 viên đạn xác suất để 3 viên trúng vòng 10 là 0,008;
xác suất để 1 viên trúng vòng 8 là 0,15;và xác suất để 1 viên trúng vòng dưới 8 là
0,4.
Tính xác suất để xạ thủ đạt ít nhất là 28 điểm.

Bài 11: Một máy bay có 5 động cơ, trong 2 động cơ ở cánh phải, hai động cơ ở nhánh trái
và 1 động cơ ở thân đuôi.Mỗi động cơ ở cánh phải và ở thân đuôi có xác suất bị hỏng là
0,1 ; còn mỗi động cơ ở cánh trái có xác suất bị hỏng là 0,05. Các động cơ hoạt động độc
lập. Tính xác suất để máy bay thực hiện chuyến bay an toàn trong các trường hợp.
1/ Máy bay chỉ bay được nếu có ít nhất 2 động cơ làm việc.
2/ Máy bay chỉ bay được khi trên mỗi cánh của nó có ít nhất một động cơ làm việc.

Bài 12 : Một xí nghiệp xản suất bóng đèn có 4 phân xưởng. Khi xuất xưởng, tỉ lệ chính
phẩm của mỗi phân xưởng như sau:

hữu hạn nào đó và giá trị ấy là ngẫu nhiên, không dự đoán dược.
2/ Phân bố xác suất của biến ngẫu rời rạc.
Giả sử X là một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị;
{ }
1 2 n
x ,x x
. Để hiểu rõ
hơn về X , ta thường quan tâm đến xác suất để X nhận giá trị x
k
, tức là các số
(X = x
k
) = P
k
với k = 1, 2, …n.
Các thông tin về X như vậy thường được trình bày dưới dang bảng sau.
X X
1
X
2
… x
n
P P
1
P
2
… p
n
Và gọi là bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên tời rạc X.
3/ Kỳ vọng.

+/ ý nghĩa.
E(X) là một số , cho ta ý niệm về độ lớn trung bình của X
+/ Lưu ý;
Kỳ vọng của X không nhất thiết thuộc tập hợp các giá tri của X.
4/ Phương sai
+/ Cho X là biểu ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là;
{ }
1 2 n
x ,x , ,x
Phương sai của X , ký hiệu là V(X), là một số được tính theo công thức;
V(X) = (x
1
-
µ
)
2
p
1
+ (x
2
-
µ
) p
2
= …+ (x
n
-
µ
)
2

(X) =
V(X)
+/ Lưu ý;
Có thể chứng minh được rằng;
V(X) = =
n
i 1−
∑
x
2
i
p
i
-
µ
2
(1)
Trong thực hành , ta thường dùng công thức (1) để tính phương sai.
II. KỸ NĂNG CƠ BẢN
- Biết cách lập bảng phân bố xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc.
12
- Biết tính xác suất có liên quan tới biến ngẫu nhiên rời rạc X từ bảng phân bố của X.
- Biết tính kỳ vọng , phương sai, độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc từ bảng phân
bố xác suất của nó.
III. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1;
Một nhóm học sinh có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh
tham gia văn nghệ. Gọi X là số nam học sinh được chọn. Lập bảng phân bố xác suất của X
. Tính phương sai , kỳ vọng độ chênh lệch chuẩn của X.
Giải.

6
=75.

⇒
P(x=1) =
75
165
=
5
11
.
1/ Tính P(x=2)
./ P(x=2) là xác suất chọn được đúng 2 nam và 1 nữ.
./ Số cách chọn là; C
2
5
. C
1
6
=60.
⇒
P(x=2) =
60
165
=
4
11
.
+/ Tính P(x = 3)
./ P(x = 3) là xác suất chộn dược cả 3 nam.

i.
Ta cố;
E(x) =
5
11
+2 .
4
11
+3 .
2
33
=
15
11
.
13
Tính V(x) =
3
i 0=
∑
x
2
i
p
i
-
[ ]
2
E(x)
Ta có;

X(x)
.
Ta có;
(x)δ
=
72
11
.
Ví dụ 2.
Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối, đồng chất. Gọi X là tổng số chấm xuất hiện
trên hai mặt con súc sắc. Lập bảng phân bố xác suất của X. Tính kỳ vọng , phương sai của
X.
Giải
+/ Ta có
Ω
= 36.
+/ Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận có tập giá trị;
{ }
2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
Ta tính; P(x= 2).
./ P(x= 2) là xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên 2 mặt con xúc sắc bằng 2.
./ Chỉ có một khả năng xảy ra.
⇒
P(x= 2) =
1
36
.
+/ Hoàn toàn tương tự, ta tính được
P(x = 3) =
2

36
.
+. Vậy X có bảng phân bố xác suất là;
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
+/ Tính E(x)
E(x) =
2

36
⇒
E(x) = 7
14
Tính V(x)
V(x) = 5,833.
Ví dụ 3
Trong một chiếc hộp có 5 bóng đèn, trong đó có 2 bóng tốt , 3 bóng hỏng. Chọn
ngẫu nhiên từng bóng đem thử ( thử xong không hoàn lại) cho đén khi thu được 2 bóng
tốt. Gọi X là số lần thử cần thiết . Tìm bảng phân bố xác suất của X. Trung bìng cần thử
bao nhiêu lần.
Giải
+/ Biến ngẫu nhiên rời rạc X có tập giá trị;
{ }
2,3,4,5
Tính P(x= 2) .
./ P(x= 2) là xác suất để sau 2 lần thử ta chọn được 2 bóng tốt.

⇒
P(x= 2) =
2
5
.
1
4
=
2
20
.
+/ Tương tự ta có; P(x = 3) =

.
1
2
+
3
5
.
2
4
.
2
3
.
1
2
+
2
5
.
3
4
.
1
3
=
4
20
P(x= 5) = 1 – (
2
20

+/ Ta có Y là một biến ngẫu nhiên tời rác và có tập giá trị là ;
{ }
1,3,4
+/ P(Y = 1) = P(x = 1) = 0,1
+/ P(Y = 3) = P(x = 3) = 0,2
+/ P(Y = 4) = P(x = 5) + P(x=7) + P(x=9) = 0,7
+/ Bảmg phân phối xác suất của Y là;
Y 1 3 4
P 0,1 0,2 0,7
Ví dụ 5
Một người có chùm chìa khoá 7 chiếc giống nhau, trong đó chỉ có 2 chìa mở được
cửa. Thử ngẫu nhiên từng chìa khoá ( thử xonh thì bỏ ra ngoài ) cho đến khi tìm được chìa
mở được cửa. Gọi X là số chìa khoá cần thiết.
1/ Lập bảng phân phối xác suất của X.
2/ Tính E(x).
15
Giải
+/ X là một biến ngẫu nhiên rời rạc , có tập giá trị là;
{ }
1,2,3,4,5,6,
.
+/ Ta có ; P(x=1) =
2
7
.
P(x=2) =
5
7
.
2

=
6
42
.
P(x=5) =
5
7
.
4
6
.
3
5
.
2
4
.
2
3
=
4
42
.
P(x=6) =
5
7
.
4
6
.

+/ Ta có;
E(x) =
2
7
+
20
42
+
24
42
+
24
42
+
20
42
+
12
42
=
56
21
.
IV/ BÀI TẬP
Bài 1
Một nhóm người có 10 người gồm có 6 nam, và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên ra 3 người.
Gọi X là số nữ trong nhóm. Lập bảng phân phối xác suất của X .
Tính E(x) , V(x),
σ
(X)

đỏ?
Giải: Ký hiệu:
Biến cố A : “Lần thứ hai lấy được bi xanh”
Biến cố B : “Lần thứ nhất lấy được bi đỏ”
Biến cố A xảy ra đòi hỏi biến cố B đã xảy ra
Biến cố A/B : “Lần thứ hai lấy được bi xanh nếu lần thứ nhất lấy được bi
đỏ”
Khi biến cố B xảy ra thì trong hộp chỉ còn 9 bi ( 5 bi đỏ , 4 bi xanh )

9
4
)/(
=⇒
BAP
Trên cơ sở đó ta có định nghĩa
A.Định nghĩa xác suất có điều kiện.

Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất
có điều kiện của A . Và ký hiệu P(A/B).
B.Công thức.

Giả sử phép thử có n kết quả cùng khả năng xảy ra , trong đó có n
A
kết quả thuận lợi
cho biến cố A , có n
B
kết quả thuận lợi cho biến cố B
A và B là hai biến cố bất kì do đó nói chung sẽ có k kết quả thuận lợi cho cả biến cố A
và biến cố B . Theo định nghĩa xác suất cổ điển ta có :


)(
)/(
BP
ABP
BAP
=
C.Một số ví dụ.
Ví dụ 1.Trong một hộp kín có 20 nắp khoen bia Hà Nội , trong đó chỉ có 2 nắp khoen ghi
“ Chúc mừng bạn đã trúng thưởng” . Bạn được chọn lên rút thăm lần lượt hai nắp khoen ,
nếu được cả hai nắp khoen đều ghi “ Chúc mừng bạn đã trúng thưởng” thì bạn được
thưởng xe BMW.Tìm xác suất bạn được xe BMW?
Giải.
Gọi B : “Nắp khoen đầu trúng thưởng”
A : “Nắp khoen thứ hai trúng thưởng”
C : “Cả hai nắp đều trúng thưởng”
Khi rút thăm lần đầu : có 20 nắp trong đó có 2 nắp trúng thưởng suy ra P(B)=2/20,
khi biến cố B xảy ra trong hộp chỉ còn 19 nắp nên P(A/B)=1/19
Bạn được thưởng xe BMW khi C xảy ra do đó
P(C)=P(B).P(A/B)=(1/19).(2/10)=1/190 .
Ví dụ 2. Áo May 10 trước khi xuất khẩu sang Mỹ phải qua hai lần kiểm tra,nếu cả hai lần
kiểm tra đều đạt thì chiếc áo đó đủ tiêu chuẩn xuất khẩu.Biết rằng bình quân có 98% sản
phẩm làm ra qua được lần 1 và 95% sản phẩm qua được lần hai.Tìm xác suất để 1 chiếc áo
đủ tiêu chuẩn xuất khẩu sang Mỹ?
Giải.
Gọi B : “Qua được kiểm tra lần 1”
A : “Qua được kiểm tra lần 2”
C : “Qua được cả hai lần kiểm tra ”
Từ đó ta có:
P(B)=0,98 , P(A/B)=0,95
⇒







−=−=
BP
ABP
BAPBPBP
18
PHẦN 3 : KẾT LUẬN
Qua thời gian luyện tập trên lớp đa số học sinh đã nắm được phương pháp để giải
một lớp các bài toán loại này và làm tương đối thành thạo,giúp các em tự tin hơn và có
cách nhìn tổng quát hơn khi làm bài tập.
Kết quả kiểm tra 97% đạt yêu cầu,(chỉ còn 2 em chưa rõ),trong đó có khoảng 70% khá
giỏi.
Đánh giá chung : Đề tài đã giúp học sinh hệ thống các phơng pháp giải bài tập liên
quan đến Xác suất và biến cố đồng thời góp phần nâng cao năng lực tư duy và tạo hứng
thú cho học sinh . Hiệu quả tốt.
Năm 2008
Ngời thực hiện
Phùng văn Phúc
19