UBND tỉnh Hải Dơng
sở giáo dục và đào tạo
Các dạng toán liên quan đến
phơng trình trùng phơng
Môn: Toán
Khối lớp 9
Nhận xét chung:




Điểm thống nhất
Bằng số:
Bằng chữ:
Giám khảo số 1: .
Giám khảo số 2: .
Năm học 2010-2011
1
Sở giáo dục và đào tạo Hải Dơng
Trờng thcs ngọc kỳ

Các dạng toán liên quan đến
phơng trình trùng phơng
Môn: Toán
Tên tác giả:vũ thành khởi
Xác nhận của nhà trờng
(Ký, đóng dấu)



.

cực xây dựng phong trào bằng các sáng kiến đợc đúc kết từ kinh nghiệm giảng dạy
thực tế, nhằm trang bị kiến thức sâu, rộng cho học sinh.
Trong giảng dạy, toán học là một môn khoa học thể hiện rõ và cụ thể các
sáng tạo của thầy và trò. Để giúp học sinh học tập có hiệu quả thì ngời thầy phải
không ngừng tìm tòi, sáng tạo các phơng pháp dạy học mới, khai thác các bài toán
một cách sâu, rộng hơn. Bên cạnh đó bằng kinh nghiệm, tri thức của mình cần đúc
kết thành các bài toán tổng hợp, các dạng toán đặc trng cho từng thể loại để học
sinh dễ học,dễ hiểu.
Đối với học sinh lớp 9 hiện nay, dạng toán giải phơng trình quy về phơng
trình bậc hai mới dừng lại ở khía cạnh giản đơn, cha khai thác sâu các kiến thức ở
từng dạng. Đặc biệt với phơng trình trùng phơng, ngời viết sách giáo khoa mới chỉ
nghiên cứu các phơng trình thuần tuý, chỉ yêu cầu giải phơng trình trùng phơng khi
hệ số là các số thực cụ thể. Với học sinh khi gặp các dạng toán phức tạp, phơng
trình có chứa tham số các em gặp rất nhiều khó khăn nh tìm điều kiện để phơng
trình trùng phơng vô nghiệm, có bốn nghiệm phân biệt , nhiều bài toán thậm chí
không có hớng giải quyết.
Bằng thực tế giảng dạy với phơng trình trùng phơng tôi mạnh dạn khai thác :
Các dạng toán liên quan đến ph ơng trình trùng phơng để học sinh và giáo
viên tham khảo.
2. Cơ sở thực tế.
Trong quá trình dạy toán khối 9, đặc biệt khi khai thác các phơng trình quy
về phơng trình bậc hai tôi thấy các nhà giáo dục cha đề cập nhiều tới phơng trình
trùng phơng, sách giáo khoa, thậm trí các sách tham khảo trong chơng trình học
THCS cha khai thác nhiều đến loại toán này.
Mặt dù biết đây là phần kiến thức khó, đòi hỏi phải tổng hợp nhiều kiến thức
đã học và phải có t duy tốt mới có khả năng giải thành công. Đối với các em khá,
giỏi trong khối bản thân các em vốn có một tố chất thông minh nếu cộng với sự
giúp đỡ của thầy thì hiệu quả học toán rất cao. Từ thực tế nh vậy tôi cùng đồng
nghiệp có nhiều đề tài giảng dạy nhằm giúp các em khá- giỏi bổ sung thêm về vốn
kiến thức toán học trên lớp, hiểu sâu hơn về các thể loại bài tập đợc đề cập trong ch-

Tìm x: Có x
2
=y
x y=

Kết luận nghiệm của phơng trình (1)
*) Bài tập vận dụng: Giải các phơng trình sau
a,
3 5 8
4 2
x x = 0
(*)
Đặt x
2
=y ( đk
0y
)
Ta có phơng trình:
2
3 5 8y y = 0
(**)
Do a b+c =3-(-5) +(-8)=0
Phơng trình (**) có nghiệm : y
1
= -1 (không thoả mãn)
y
2
=
8
3

4 2
x x = 0
x x = 0
(*)
Đặt x
2
=y ( đk
0y
)
Ta có phơng trình:
2
13 36y +y = 0
(**)
Do
25 0
y
= >
Phơng trình (2) có nghiệm : y
1
= 9 (thoả mãn)
y
2
=4(thoả mãn)
Khi y =9 có x
2
=9
3x =
5
Khi y= 4 có x
2

(*)
Đặt x
2
=y ( đk
0y
)
Ta có phơng trình:
2
6 8y + +y = 0
(**)
Do
1 0
y
= >
Phơng trình (**) có nghiệm : y
1
= -2 (không thoả mãn)
y
2
=-4( không thoả mãn)
Vậy phơng trình (*) vô nghiệm
S
=
Nhận xét: Từ các ví dụ trên ta thấy rằng
-Phơng trình (1) vô nghiệm khi phơng trình (2) có hai nghiệm cùng âm hoặc
phơng trình (2) vô nghiệm
- Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phơng trình (2) có hai nghiệm
trái dấu
- Phơng trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi phơng trình (2) có hai nghiệm
phân biệt dơng

Bài toán: Điều kiện để phơng trình ax
2
+bx+c =0 (
0a
)
a, Có hai nghiệm trái dấu : a .c<0
b, Có hai nghiệm cùng âm :
0
0
0
S
P



<


>

6
c, Có hai nghiệm cùng dơng:
0
0
0
S
P




2
=y
*) Bài giải:
a, Để phơng trình (1) vô nghiệm thì phơng trình (2) phải
+) Vô nghiệm : (đk
0
y
<
)
Hoặc có hai nghiệm cùng âm: (đk
0
0
0
y
S
P



<


>

)
b, Để phơng trình (1) có một nghiệm thì phơng trình (2) phải:
+) Có nghiệm kép bằng 0:
0
0
2

0
0
2
y
b
a
=




>


)
d, Để phơng trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải:
+) Có một nghiệm bằng 0, một nghiệm dơng: (đk
0
0
0
y
S
P
>


>


=

Đặt x
2
=y
Ta có phơng trình:
2
(3 2) 1y m +y = 0
(2)
Để phơng trình (1) có đúng hai nghiệm thì :
TH
1
: Phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu : a.c <0
Hay 1< 0 (vô lý) => không có giá trị của m
TH
2
: Phơng trình (2) có nghiệm kép dơng :
0
0
2
y
b
a
=




>


Hay


>



>

Kết luận: Vậy với
4
3
m =
thì bài toán thoả mãn
Bài 2: Cho phơng trình :
2 4 2
( 1) 2( 1) 1 0m x m x+ + =

Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Bài giải:
2 4 2
( 1) 2( 1) 1 0m x m x+ + =
(1)
Đặt x
2
=y
Ta có phơng trình:
2 4 2
( 1) 2( 1) 1 0m y m y+ + =
(2)
Ta thấy a.c = (m
2

1
: Khi m =2 phơng trình (1) trở thành -6x
2
+3 =0
2
1
2
x =
1
2
1
2
x
x

=




=


Với m= 2 phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
TH
2
: Khi
2m
a, Để phơng trình (1) có đúng một nghiệm thì phơng trình (2)
có nghiệm kép bằng 0 hoặc một nghiệm bằng 0 , nghiệm kia âm.

b, Để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì
+)phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu: a.c <0
Hay (m-2)(2m-1)<0
1
2
2
m < <
Hoặc phơng trình (2) có nghiệm kép dơng :
0
0
2
y
b
a
=




>


9
Hay
2
7 3 5
7 1 0
2
1
1


7 3 5
2
m

=
Kết luận: Vậy với
1
2
2
m<
hoặc
7 3 5
2
m

=
thì bài toán thoả mãn
c, Để phơng trình(1) có bốn nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải có hai
nghiệm phân biệt dơng:
0
0
0
y
S
P


>




>



7 3 5 7 3 5
2 2
1
2
1
2
2
m
m
m
m
m




< <


<





biệt
*) Khó khăn: Giải hệ bất phơng trình và kết hợp nghiệm
*) Kinh nghiệm: Thiết lập trục số rồi tổng hợp nghiệm trên trục số
Bài 4: Biện luận số nghiệm của phơng trình sau:
4 2
( 3) (2 1) 3 0m x m x+ =
theo m
*)Gợi ý: Khi biện luận cần quan sát hệ số a củaphơng trình, phơng trình cho cha là
phơng trình trùng phơng do đó ta không thể áp dụng bài toán tổng quát để giải:
*) Bài giải:
4 2
( 3) (2 1) 3 0m x m x+ =
(1)
Đặt x
2
=y
Ta có phơng trình:
2
( 3) (2 1) 3 0m y m y+ =
(2)
TH
1
: Khi
3m
=
phơng trình (1) có dạng: 7x
2
-3 =0
10
3

0
P
S
>


>

Hay
2 1
0
3
3
3
0
3
m
m
m
m


>


+
<




m
m


<


>

+




<
>


+

không có m
KN
3
: Nếu phơng trình (2) cso hai nghiệm trái dấu khi : a.c <0
Hay -3(m+3)<0
m>-3
Thì phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
KN
4
: Nếu phơng trình (2) có nghiệm bằng 0 khi: -3 =0 (không có m)

+m-1 =0
9m =-23

23
9
m

=

Kết luận: Vậy với
23
9
m

=
thì bài toán thoả mãn
*) Gợi ý 2: Học sinh cần trả lời các câu hỏi sau trớc khi giải phần 2
11
? Phơng trình (1) có phải phơng trình trùng phơng không
? Khi nào phơng trình (1) là phơng trình trùng phơng
? Phơng trình trùng phơng có nghiệm khi nào
2.TH
1
: Khi m =-1 ta có phơng trình: 4x
2
-2 = 0

2
1
2

0
y
S
P



>


>

Hay
( 1)( 2) 0
1
2( 1)
0
2
1
1
0
1
m m
m
m
m
m
m
m


4
: Phơng trình (2) có nghiệm kép dơng:
'
0
0
2
y
b
a

=



>


Hay
( 1)( 2) 0
1
0
1
m m
m
m
+ =





Bài toán: Cho phơng trình
4 2
2( 1) 2 1 0x m x m + + + =
Tìm m để phơng trình có bốn nghiệm x
1
; x
2
; x
3
;x
4
sao cho khi biểu
diễn
Trên trục số thì bốn điểm đó chắn trên trục số thành ba đoạn bằng
nhau?
*) Gợi ý: Khi giải bài toán cần khẳng định :
- Điều kiện để phơng trình có bốn nghiệm phân biệt
- Điều thứ hai là :
1 2 2 3 3 4
x x x x x x = =
*) Bài giải:
4 2
2( 1) 2 1 0x m x m + + + =
Đặt x
2
=y
Ta có phơng trình:
2
2( 1) 2 1 0y m y m + + + =
(2)

2
m m
m m
m
m



>


+ > > + >


>


1
2
0
m
m


>




Ta có thể cho nghiệm nh sau:
1x
=
,
2 1x m= +
do
1
2
0
m
m


>





Giải sử thứ tự các nghiệm x
1
<x
2
< x
3
<x
4

+)Nếu m>0 theo bài ra ta có ; x

Kết luận : Vậy với m=4 ;
4
9
m

=
thì bài toán thoả mãn
13
Bài toán tham khảo:
Cho phơng trình ẩn x :
( )
4 2
(3 14) (4 12) 2 0x m x m m + + + =
1. Tìm m để phơng trình có bốn nghiệm phân biệt?
2. Tìm m để tích bốn nghiệm trên đạt giá trị lớn nhất
II. kết quả
Sau khi dạy xong chuyên đề này cho học sinh khối 9, tôi đều tiến hành khảo
sát qua một số bài kiểm tra và thu đợc kết quả nh sau:
+ Khi cha áp dụng :
Giỏi: 10 % Khá: 20%
+ Sau khi dạy thực nghiệm ;
Giỏi: 18% Khá: 29%
Nhận xét: Năm học 2007- 2008 khi cha mạnh dạn dạy thực nghiệm dạng
toán trên, lúc đa một số bài toán liên quan đến tham số hầu nh không học sinh nào
tự giải đợc. Từ năm học 2008-2009 đến nay, trong quá trình bồi dỡng, ôn luyện cho
các em học sinh khối 9, đặc biệt với các em khá giỏi tôi đã dành một số buổi cụ thể
dạy áp dụng chuyên đề thì kết quả đã có sự chuyển biến rõ. Số học sinh khá, giỏi
tăng, số các em học trung bình cũng bớc đầu hiểu và tự giải các bài toán đơn giản
khi có chứa tham số.
Sau khi đợc làm quen, đa số các em khá luôn chủ động tìm tòi, khai thác

Bàn về các dạng bài liên quan đến phơng trình trùng phơng thì còn nhiều vấn
đề . Trong phạm vi đề tài này tôi chỉ vận dụng kiến thức ở cấp THCS để giải quyết
các bài toán. Ngoài ra còn một số dạng toán so sánh nghiệm của phơng trình trùng
phơng với một, hai ,ba số đối với học sinh khối 9 không thể giải quyết đợc. Việc
đó đợc giải quyết trong chơng trình toán THPT.
Ngoài ra khi dạy các bài toán về phơng trình trùng phơng, thì việc chúng ta
phải củng cố kỹ năng giải bất phơng trình, kết hợp nghiệm trong bất phơng trình rất
quan trọng. Trớc khi dạy, ngời thầy phải song song dạy chuyên đề giải hệ bất ph-
ơng trình thì học sinh mới không gặp khó khăn trong kết luận của bài toán.
2. Điều kiện áp dụng sáng kiến và kiến nghị.
Tuỳ theo đối tợng học sinh mà ta chọn áp dụng, theo tôi dạngII, dạng III ta
nên áp dụng cho học sinh khá giỏi, dạy bồi dỡng nâng cao, ôn luyện thi vào các tr-
ờng THPT khối chuyên. Đối với học sinh trung bình thì việc giả thành thạo dạng I
là thành công. Để thực hiện tốt đề tài trớc hết giáo viên cần dạy cho học sinh một số
chuyên đề có liên quan
- Định lý Vi-ét và các ứng dụng
- Giải phơng trình bậc hai
- Giải bất phơng trình, hệ bất phơng trình.
Trong thực tế giảng dạy, để một sáng kiến thành công, vận dụng có hiệu quả
không chỉ dừng ở lỗ lực cá nhân mà cần sự chung tay của cả tập thể, cả hội đồng
thẩm định. Ngoài ra thời gian đầu t giảng dạy đề tài không phải một , hai buổi vậy
tôi đề nghị tổ chuyên môn, nhóm toán tạo điều kiện mọi mặt cho việc áp dụng
thành công và hiệu quả.
Đồng nghiệp góp ý bổ sung thêm, rút kinh nghiệm sau mỗi lần thực nghiệm sao cho
đề tài có thể áp dụng đại trà.
Bên cạnh đó các nhà quản lý, ngời viết sách cũng cần quan tâm hơn cho
mảng kiến thức mà tôi nghiên cứu.
15
C. Kết luận
Trong quá trình giảng dạy ở trờng THCS, qua học hỏi kinh nghiệm ở các