Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ
Phần mở đầu
I. Lý do chọn đề tài
1. Môn Toán với t cách là một môn học tự nhiên nghiên cứu một số mặt của
thế giới hiện thực, nó chiếm một thời lợng khá lớn trong quá trình học tập của học
sinh. Khả năng giáo dục của môn Toán khá lớn, nó phát triển t duy lô gíc, hình thành
và phát triển các thao tác trí tuệ phân tích, tổng hợp, so sánh, chứng minh, trừu tợng
hóa, khái quát hóa là môn học cần thiết để học tập các môn học khác và đặc biệt
nó đợc áp dụng trong đời sống hàng ngày của con ngời.
2. Xuất phát từ tầm quan trọng của việc dạy học các dạng Toán điển
hình:
dạng toán Chuyển động đều là một dạng toán khó ở trong chơng trình môn Toán ở
Tiểu học Chuyển động đều là dạng toán liên quan đến 3 đại lợng: vận tốc, thời
gian và quảng đờng.
Để giải đợc dạng toán này đòi hỏi học sinh phải huy động tối đa các kiến
thức toán tổng hợp mà mình đã học nhất là khả năng phân tích, tổng hợp, trừu tợng
hóa và khái quát hóa.
3. Xuất phát từ thực trạng dạy và học toán Chuyển động đều ở chơng trình
Tiểu học mà trong đó có dạng chuyển động của hai động tử cùng chiều trên đờng
thẳng và trên vòng tròn. Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ thuộc
các bài toán chuyển động trong vòng tròn. Các bài toán thờng gây khó khăn cho học
sinh bởi việc xác định thời gian và thời điểm, khoảng cách giữa kim giờ và kim phút .
Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ liên quan đến ba đại
lợng là một dạng toán khó ở Tiểu học mà loại bài tập này không xuất hiện trong
SGK Toán 5 kể cả tài liệu tham khảo nên khi gặp phải dạng bài tập này đa số giáo
viên cảm thấy khó. Một số giáo viên cha biết cách hớng dẫn cho học sinh để các em
có thể nhanh chóng tìm ra hớng giải quyết. Trong chơng trình Violympic giải toán
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 1 -
Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ
qua mạng Internet do BGD&ĐT tổ chức đến vòng thi thứ 18 thì đa số giáo viên gặp

lý và một vài giáo viên mà quên đi đó là trách nhiệm của tất cả mọi giáo viên, của tất
cả mọi ngời chứ không phải của riêng ai.
- Vẫn còn không ít giáo viên thiếu sự nghiên cứu, sáng tạo trong hoạt động dạy
học, còn hạn chế trong việc tổ chức các phơng pháp dạy học mới, thiếu sự linh hoạt
trong việc kế thừa kiến thức cũ để dạy kiến thức mới hay đ a lạ về quen .
Qua thực tế bồi dỡng học sinh giỏi, học sinh có năng khiếu về môn. Toán thì
đa số giáo viên còn lúng túng khi hớng dẫn học sinh giải dạng này. Các bớc giả trong
tài liệu tham khảo còn cha cụ thể, quá dài nên khi giáo viên tham khảo để hớng dẫn
học sinh còn gây sự khó hiểu cho các em; một số giáo viên còn không hiểu bản chất
của bài toán.
3. Về thực tế cuộc sống:
Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ là những bài toán thực tế mà
chúng ta gặp trong cuộc sống hàng ngày. Những bài toán đó hiện nay vẫn còn xa lạ
với nhiều ngời nh:
Hoa học bài lúc 7 giờ tối. Đến lúc Hoa học xong thì đã 9 giờ. Hỏi trong
thời
gian đó kim phút và kim giờ gặp nhau bao nhiêu lần ?
Những bài toán nh thế nếu biết đợc phơng pháp giải thì không khó nhng
quả thực hiện nay còn quá khó đối với học sinh.
4. Về học sinh :
- ở Tiểu học, một bộ phận các em còn thụ động, chủ yếu là nghe giảng, ghi nhớ
và làm theo bài mẫu. Chính vì vậy mà kiến thức của các em còn mang tính hời hợt,
nhớ không lâu, thiếu sự linh hoạt, sáng tạo và khả năng phân tích của các em còn hạn
chế. Từ những bài toán quen thuộc mà các em đã học ít khi đợc các em vận dụng để
giải quyết các bài toán lạ thuộc dạng đ a lạ về quen .
- Đối với các bài toán Chuyển động đều liên quan đến 3 đại lợng gây không ít
khó khăn cho một số đông học sinh vì đây là dạng toán khó trong chơng trình Tiểu
học. Đặc biệt, đối với dạng toán chuyển động cùng chiều liên quan đến hai kim
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 3 -

Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ
Thời gian đuổi kịp nhau (t) = Khoảng cách ban đầu : Hiệu vận tốc (V2
V1)
Trong ví dụ trên ta có thể giải nh sau :
Bài giải Quy ớc Nhận xét
- Quảng đờng xe đạp đi trớc xe
máy trong 3 giờ là :
12 x 3 = ( 36 km )
- Trung bình mỗi giờ xe máy gần
xe đạp là :
36 12 = 24 ( km )
- Thời gian để xe máy đuổi kịp
xe đạp là :
36 : 24 = 1,5 ( giờ ) = 1 giờ
30 phút
- Quảng đờng đi tr-
ớc .
- Hiệu vận tốc .
- Thời gian đuổi kịp
nhau .
* Khoảng cách ban đầu.
* Hiệu vận tốc
*Dạng toán Hai hiệu
số
Vận dụng vào bài toán đơn giản đó, chúng tôi đã khai thác để dạy học sinh áp
dụng để giải Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ khá xa lạ đối với
học sinh và một bộ phận giáo viên. Khi gặp Các bài toán chuyển động của hai
kim đồng hồ, các em không biết phân tích vì khó hình dung ra vị trí của hai kim
trên mặt đồng hồ và quá trình chuyển động của chúng.
Để khắc phục điều này, Sau khi học xong bài toán thông thờng nói trên chúng

kim giờ là: 60 5 = 55 (đoạn thẳng).
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 6 -
Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ
Nh vậy đây là bài toán Hai động tử chuyển động cùng chiều đuổi nhau
thuộc dạng toán Hai hiệu số . Bài toán đó đợc giải nh sau:
Kết luận 1:
Qua việc đối chiếu cách giải hai bài toán trên, học sinh đã biết cách giải bài
toán khi bài toán cho trớc thời điểm và yêu cầu tìm thời gian chập ( trùng khít )
lên nhau bằng cách lấy:
Khoảng cách giữa hai kim (tại thời điểm đó) chia cho hiệu vận tốc của hai
kim
Tại những thời điểm hai kim trùng khít lên nhau. Vì kim phút chuyển động nhanh
hơn kim giờ (V2 > V1) nên trong vòng quay thứ nhất chúng không thể gặp nhau
trên vòng chuyển động. Vậy khoảng cách giữa hai kim đợc tính nh thế nào? Để h-
ớng dẫn loại bài toán này chúng tôi thực hiện nh sau :
Bài toán 2:
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 7 -
Ví dụ Bài toán 1 So sánh
Quảng đờng xe đạp đi trớc
xe máy trong 3 giờ là:
12 x 3 = ( 36 km )
- Trung bình mỗi giờ xe máy
gần xe đạp là :
36 12 = 24 ( km )
- Thời gian để xe máy đuổi
kịp xe đạp là :
36 : 24 = 1,5 ( giờ ) = 1 giờ
30 phút

Bớc 2
Bớc 3
- Lúc 12 giờ , hai kim đồng hồ cùng chỉ vào
số 12 . Vì kim phút đi nhanh hơn kim giờ nên
kim phút đi hết một vòng (60 phút ) mà hai
kim vẫn cha gặp nhau
- Đến 1 giờ kim phút chỉ số 12 , kim giờ chỉ
số 1. Khoảng cách lúc này giữa hai kim là 5
đoạn thẳng. Tổng số đoạn thẳng giữa kim
phút và kim giờ là :
60 + 5 = 65 ( đoạn thẳng )
- Hiệu vận tốc giữa hai kim là :
60 5 = 55 ( đoạn thẳng /giờ )
- Thời gian để hai kim chập nhau là :
65 : 55 =
55
65
(giờ) = 1
11
1
giờ
Đáp số : 1
11
1
giờ
- Quảng đờng đi trớc.
- Hiệu vận tốc.
- Thời gian đuổi kịp
nhau.
Nhận xét :

1
+ 1
11
1
= 2
11
2
( giờ )
Lần thứ ba vào lúc : 2
11
2
+ 1
11
1
= 3
11
3
( giờ )
.
Lần thứ 21 vào lúc : 21
11
9
+ 1
11
1
= 22
11
10
( giờ )
Lần thứ 22 vào lúc : 22

11giờ 7 phút 8 giờ 37 phút =
2 giờ 30 phút = 2,5 giờ
- Quảng đờng xe máy trớc khi
xe máy trong 3 giờ là :
36 x 2,5 = ( 90 km )
- Trung bình mỗi giờ ô tô gần
xe máy là :
54 36 = 18 ( km )
- Thời gian đi để xe máy đuổi
kịp xe đạp là :
90 : 18 = 5 ( giờ )
- Ô tô đuổi kịp xe máy lúc:
11 giờ 7 phút + 5 giờ = 16 giờ 7
phút
Đáp số : 16 giờ 7 phút
- Quảng đờng đi trớc .
- Hiệu vận tốc .
- Thời gian đuổi kịp
nhau.
- Thời điểm đuổi kịp
nhau.
* Khoảng cách ban
đầu.
* Hiệu vận tốc
* Dạng toán Hai
hiệu số
Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ
- Lúc 3 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 3 nên khoảng cách giữa kim phút
và kim giờ là 5 x 3 = 15 (đoạn thẳng ).
- Khi kim phút đuổi kịp kim giờ thì hai kim đồng hồ chập khít lên nhau. Đến lúc

kim giờ là :
60 5 = 55 ( đoạn thẳng )
- Kể từ lúc 3 giờ thì thời gian để
kim phút đuổi kịp kim giờ là:
15 : 55 =
11
3
(giờ ) hay 16
11
4
phút
- Thời điểm hai kim trùng nhau
là:
3giờ + 16
11
4
phút = 3giờ 16
11
4

Quảng đờng
(khoảng cách)
đi trớc .
- Hiệu vận tốc
-Thời gian đuổi
kịp nhau .
- Thời điểm
gặp nhau (đuổi
kịp nhau)
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch

đuổi kịp nhau
Thời điểm a (giờ đúng)
cộng với thời gian đuổi kịp
nhau

Dạng II:
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 12 -
Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ
Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ : vuông
góc; thẳng hàng với nhau.
Khi hai kim chuyển động trên mặt đồng hồ, giữa hai kim sẽ tạo ra các góc
khác nhau. Khoảng cách đi tr ớc đợc tính nh thế nào khi giữa kim phút và kim
giờ tạo ra các góc đó? Thời gian ngắn nhất tại một thời điểm cho trớc để đến lúc
chúng tạo ra các góc là bao nhiêu? Chúng tôi đã hớng dẫn học sinh giải các bài tập
loại này thông qua các trờng hợp đặc biệt khi hai kim tạo ra góc vuông, góc bẹt
(thẳng hàng) mà các em đợc học ở chơng trình Tiểu học.
Bài toán 5:
Bây giờ là 12 giờ tra. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu phút nữa thì hai kim sẽ vuông
góc với nhau ?
Các bớc Phân tích và giải Nhận xét quy trình giải
Bớc 1
Bớc 2
Bớc 3
- Lúc 12 giờ , hai kim đồng hồ chập khít
lên nhau và cùng chỉ số 12
- Để hai kim đồng hồ vuông góc với nhau
thì kim phút phải đi nhiều hơn kim giờ 15
đoạn thẳng.
- Thời gian ngắn nhất để hai kim vuông

- 13 -
Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ
giải
Bớc 1
Bớc 2
Bớc 3
- Lúc 3 giờ thì hai kim vuông góc với nhau
(kim phút chỉ số 12 , kim giờ chỉ số 3 ). Để dễ
tính , ta tính 24 giờ từ 3 giờ sáng hôm nay đến
3 giờ sáng hôm sau.
- Lúc 3 giờ sáng, kim phút ở sau kim giờ 15
đoạn thẳng, sau đó kim phút đuổi kịp kim giờ.
- Hai kim muốn vuông góc thì kim phút phải đi
nhiều hơn kim giờ 15 đoạn thẳng nữa.
Nh vậy, lúc 3 giờ đến khi hai kim vuông góc
lần thứ nhất thì kim phút đã đi nhiều hơn kim
giờ là
15 + 15 = 30 ( đoạn thẳng )
Vị trí của kim phút lúc đó ở trớc kim giờ 15
đoạn thẳng. Nếu kim phút lại đi hơn kim giờ 30
đoạn thẳng nữa thì kim phút đã đi hơn kim giờ
45 đoạn thẳng (30 + 15 = 45 ) thành ra kim
phút lại đi sau kim giờ 15 đoạn thẳng nhỏ (60 -
45 = 15) và hai kim lại vuông góc với nhau.
- Thời gian lần thứ hai (kể từ lần đầu lúc 3 giờ)
hai kim vuông góc với nhau là:
30 : ( 60 5 ) =
11
6
( giờ )

(giờ )
- Số lần để hai kim
đồng hồ vuông góc
với nhau trong một
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 14 -
Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ
ngày là :
24 :
11
6
= 44 (lần)
Bài toán 7: Bây giờ là 3 giờ. Hỏi thời gian ngắn nhất để hai kim đồng hồ thẳng
hàng với nhau là bao nhiêu ?
Giải:
Các bớc Phân tích và giải Nhận xét quy trình giải
- Bớc 1
- Bớc 2
- Bớc 3
- Lúc 3 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ
số 3. Kim phút cách kim giờ 15 đoạn
thẳng.
Sau đó kim phút đuổi kịp kim giờ (trùng
với kim giờ ) .
- Từ lúc đuổi kịp kim giờ, muốn hai kim
thẳng hàng với nhau thì kim phút phải đi v-
ợt kim giờ 30 đoạn thẳng nữa .
Nh vậy , kể từ lúc 3 giờ , tới lúc hai kim
thẳng hàng với nhau thì kim phút phải đi
nhiều hơn kim giờ số đoạn thẳng là :

+
11
6
=
11
9
( giờ )
Bài toán 8:
Trong một ngày có bao nhiêu lần hai kim đồng hồ thẳng hàng với nhau ?
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 15 -
Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ
Giải:
Các bớc Phân tích và giải Nhận xét quy trình
giải
- Bớc 1
- Bớc 2
- Bớc 3
- Ta thấy, lúc 6 giờ sáng hai kim đồng hồ thẳng
hàng với nhau. Để dễ tính, ta tính một ngày (24
giờ) bằng cách tính 6 giờ sáng hôm nay đến 6
giờ sáng hôm sau.
Lúc 6 giờ, kim phút cách kim giờ 30 đoạn
thẳng. Khi đuổi kịp kim giờ thì kim phút đã đi
nhiều hơn kim giờ 30 đoạn thẳng .
- Đến khi hai kim thẳng hàng với nhau thì kim
phút lại đi hơn kim giờ 30 đoạn thẳng nữa. Nh
vậy từ lúc 6 giờ (hai kim thẳng hàng lần thứ
nhất) đến khi hai kim thẳng
hàng lần thứ hai thì kim phút đi nhiều hơn kim

hai chuyển động .
11
6
+
11
6
=
11
12
(giờ )
- Số lần để hai kim
đồng hồ thẳng hàng
với nhau trong một
ngày là :
24 :
11
12
= 22 ( lần )
Kết luận :
Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 16 -
Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ
Đối với Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ khi mà hai kim tạo
thành góc vuông hoặc thẳng hàng chúng tôi đã hớng dẫn học sinh giải theo ba bớc cơ
bản sau:
Bớc 1: Tìm thời gian hai kim gặp nhau ( chập nhau ) .
Bớc 2: Tìm thời gian hai kim tạo thành góc vuông hoặc thẳng hàng với
nhau khi chúng cùng chung một điểm xuất phát.
Bớc 3: Tìm thời gian hoặc thời điểm của hai chuyển động trên.
* Chú ý: Trờng hợp khi thời điểm cho trớc là giờ hơn hoặc giờ kém thì ta đ a về

13
5
( đoạn thẳng )
Mà kim phút di chuyển đợc một khoảng nhỏ tức là đi hết 1 phút. Vậy kim phút đã di
chuyển chỗ trong 55
13
5
phút. Tức là An làm bài văn hết 55
13
5
phút .
Đáp số : 55
13
5
phút
Kết luận:
Trờng hợp bài toán mà hai kim đổi chỗ cho nhau chúng tôi đã hớng dẫn học sinh đa
về dạng Tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của hai số đó
- Tổng quảng đờng đi đợc của hai kim bằng 60 đoạn thẳng .
- Tỷ số là tỷ số vận tốc di chuyển trên mặt đồng hồ của hai kim bằng
12
1
- Hai số là thời gian chuyển động của hai kim đến khi đổi chỗ cho nhau.
III. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm .
Với mục đích là nâng cao năng lực giải toán ở tiểu học nói chung và dạng toán
chuyển động cùng chiều thuộc Các bài toán chuyển động của hai kim đồng hồ
nói riêng cho giáo viên và học sinh trong nhà trờng. Thực hiện đổi mới phơng pháp
dạy học và bồi dỡng học sinh giỏi, học sinh năng khiếu về môn toán chúng tôi đã
thực hiện trên hai đối tợng:
- Đối với giáo viên: Nhà trờng đã tổ chức chuyên đề bồi dỡng học sinh

Trờng Tiểu học Quỳnh Thạch
- 19 -
Các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ
là những bài toán khó đối với giáo viên và cả học sinh. Đặc biệt, nó đã thúc đẩy
phong trào tự nghiên cứu đổi mới phơng pháp dạy học nói chung và phơng pháp bồi
dỡng học sinh có năng khiếu về môn Toán trong toàn trờng.
Nh chúng tôi đã đề cập đến ở trên, không những phơng pháp dạy học Các bài
toán chuyển động của hai kim đồng hồ mà ph ơng pháp giải các bài toán phần
trăm ở môn Toán lớp 5, ph ơng pháp dạy tỷ số ở môn Toán 3 đợc thiết kế trên
cơ sở các bài toán trong sách giáo khoa vv đã thúc đẩy phong trào dạy học ở tr-
ờng chúng tôi. Tuy nhiên, hiện nay chất lợng của trờng còn cha đợc nh mong muốn
nhng chúng tôi tin tởng rằng trong thời gian không xa, chất lợng của trờng Tiểu học
Quỳnh Thạch sẽ đợc ghi nhận.
3. Qua việc nghiên cứu , triển khai và áp dụng phơng pháp dạy học Các bài
toán chuyển động của hai kim đồng hồ môn Toán lớp 5 chúng tôi thấy:
Một là: Quản lý nhà trờng phải phối hợp chặt chẽ với tổ chuyên môn và giáo
viên bồi dỡng để lập kế hoạch chỉ đạo công tác bồi dỡng đồng thời phải nắm vững
nội dung chơng trình bồi dỡng để có thể xây dựng, kểm tra đánh giá, giúp đỡ và h-
ớng dẫn giáo viên khi cần thiết.
Hai là: Phải biết tạo động lực thúc đẩy tinh thần tự học, tự nghiên cứu của giáo
viên. Tạo nên sự hứng thú để giáo viên xem đây là một niềm vui trong học tập
nghiên cứu. Tạo đợc lòng tin vào chính mình, khả năng của chính mỗi giáo viên để
có thể phát huy đợc khả năng tiềm ẩn trong họ, thổi lên ngọn lửa đam mê nghiên
cứu trong mỗi giáo viên.
Ba là: Kiến thức là không giới hạn, phơng pháp dạy học là nghệ thuật vì vậy
chúng ta cần biết lựa chọn và vận dụng kiến thức và phơng pháp phù hợp, linh hoạt ,
sáng tạo để đạt đợc mục đích dạy học. Chúng tôi xin đợc nhắc lại câu nói của ông
cha Ng ời khôn ngoan là ngời biết chọn con đờng ngắn nhất để đi tới đích
Quỳnh Thạch, ngày 18 tháng 4 năm 2009
Nhóm tác giả: