Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Tính bão hòa nguyên tố 4
1.1 Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Tính bo hòa nguyên tố của môđun Artin . . . . . . . . . 5
1.3 Chiều Noether và tính bo hòa nguyên tố . . . . . . . . . 9
1.4 Tính bo hòa nguyên tố của H
d
m
(M) . . . . . . . . . . 11
2 Tính catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn 15
2.1 Đặc trng tính bo hoà nguyên tố của H
i
m
(M) . . . . . . 16
2.2 Tính catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn . . . . . . 23
3 Quỹ tích không Cohen-Macaulay 27
3.1 Một số tính chất của giả giá . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay qua giả giá . . . 30
3.3 Quỹ tích không Cohen-Macaulay và điều kiện Serre . . . 35
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1
2
Mở đầu
Các bài toán về điều kiện dy nguyên tố đ đợc quan tâm từ những
năm 1930. Bài toán đầu tiên là xét tính catenary của các vành giao hoán.
Nhắc lại rằng một vành gọi là catenary nếu giữa hai iđêan nguyên tố
lồng nhau bất kì luôn tồn tại một dy nguyên tố bo hòa và mọi dy
nguyên tố bo hòa nh thế đều có chung độ dài. Lớp vành catenary đầu
tiên đợc khám phá bởi W. Krull từ năm 1937, ông chỉ ra rằng mọi đại
số hữu hạn sinh trên một trờng là catenary. Những công trình tiếp theo

điều địa phơng, từ đó xét tính catenary, catenary phổ dụng, tính không
trộn lẫn của các vành Noether địa phơng. Nh một ứng dụng, trong
Chơng 2 còn trình bày công thức bội liên kết cho các môđun đối đồng
điều địa phơng. Chơng 3 nghiên cứu tính đóng của quỹ tích không
Cohen-Macaulay thông qua các tập giả giá, qua các điều kiện Serre và
tính không trộn lẫn của vành.
Chơng 1
Tính bão hòa nguyên tố
Trong suốt chơng này, cho (R, m) là một vành Noether địa phơng với
iđêan tối đại duy nhất m, cho A là R-môđun Artin và M là R-môđun
hữu hạn sinh. Với mỗi iđêan I của R ta kí hiệu V (I) là tập các iđêan
nguyên tố của R chứa I.
1.1 Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin
Trớc hết ta nhắc lại một số kết quả về lý thuyết biểu diễn thứ cấp cho
các môđun Artin đợc giới thiệu bởi I. G. Macdonad [Mac]. Lí thuyết
này đợc xem nh là đối ngẫu với lí thuyết phân tích nguyên sơ cho
môđun Noether: Nhắc lại rằng, một R-môđun L đợc gọi là thứ cấp nếu
phép nhân bởi r trên L là toàn cấu hoặc lũy linh với mọi r R. Trong
trờng hợp này, tập các phần tử r R sao cho phép nhân bởi r trên L
là lũy linh lập thành một iđêan nguyên tố p của R và ta gọi L là p-thứ
cấp. Macdonald [Mac] đ chỉ ra rằng mỗi môđun Artin A đều có một
biểu diễn thứ cấp A = A
1
+ . . . + A
n
trong đó A
i
là p
i
thứ cấp với mọi

R
A) =

pAtt
R
A
p.
Ta cũng biết rằng mỗi Rmôđun Artin A có cấu trúc tự nhiên là

Rmôđun, và với cấu trúc này mỗi tập con của A là Rmôđun con
nếu và chỉ nếu nó là

Rmôđun con. Điều này cho thấy các dàn môđun
con của A xét nh Rmôđun và

Rmôđun là nh nhau. Do đó A là

Rmôđun Artin. Quan hệ giữa các tập Att
R
A và Att

R
A đợc cho bởi
công thức sau đây.
1.1.2. Bổ đề. (xem [Sh]). Att
R
A = {

p R :


R
(0 :
A
p) = p với mọi iđêan nguyên tố p Ann
R
A. ()
6
Tuy nhiên tính chất (*) lại không đúng cho các môđun Artin A (xem Ví
dụ 1.2.3). Vì thế ta có định nghĩa sau đây.
1.2.1. Định nghĩa. Môđun A đợc gọi là có tính chất bo hòa nguyên
tố nếu nó thỏa mn tính chất (*).
1.2.2. Chú ý. Giả sử R là đầy đủ theo tôpô madic. Khi đó đối ngẫu
Matlis D(A) của A là R-môđun hữu hạn sinh. Chú ý rằng Ann
R
A =
Ann
R
D(A). Vì thế áp dụng tính chất linh hoá tử cho môđun D(A) ta có
Ann
R
(0 :
A
p) = Ann
R
(D(0 :
A
p)) = Ann
R
(D(A)/pD(A)) = p
với mọi iđêan nguyên tố p Ann

m
(R)

=
H
1

m
(

R). Theo
[Sh1, Hệ quả 4.9]) ta suy ra

q Att

R

H
1

m
(

R)

. Theo Bổ đề 1.1.2 ta suy
ra

q R Att
R

(R)

=

pAtt
R
(H
1
m
(R))
p

q R = 0.
7
Chọn A = H
1
m
(R). Khi đó A là Rmôđun Artin. Lấy tuỳ ý một iđêan
nguyên tố p của R sao cho p = 0 và p = m. Ta đ chứng minh ở trên
rằng Ann
R
A = 0. Do đó p Ann
R
A. Lấy 0 = x p. Xét dy khớp
0 R
x
R R/xR 0.
Dy này cảm sinh dy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phơng
0 H
0

0 :
A
p 0 :
A
x và do đó 0 :
A
p có độ dài hữu hạn. Vì thế Ann
R

0 :
A
p

là iđêan mnguyên sơ, điều này chứng tỏ Ann(0 :
A
p) = p. Vậy A
không bo hoà nguyên tố.
Ta luôn có Supp M = {

p R :

p Supp

M}. Vì M là hữu hạn sinh
nên Supp M = V (Ann
R
M). Tơng tự, vì

M là


p V (Ann

R
A}
là xảy ra cho môđun Artin A. Dới đây chúng ta chỉ rằng đẳng thức này
xảy ra khi và chỉ khi A bo hoà nguyên tố.
1.2.4. Mệnh đề. Các điều kiện sau là tơng đơng:
(i) A bo hoà nguyên tố.
(ii) V (Ann
R
A) = {

p R :

p V (Ann

R
A)}.
8
Chứng minh. (i)(ii). Cho

p V (Ann

R
A). Khi đó tồn tại một iđêan
nguyên tố tối thiểu

q chứa Ann

R


p R V (Ann
R
A). Do đó
V (Ann
R
A) {

p R :

p V (Ann

R
A)}.
Ngợc lại, cho p V (Ann
R
A). Theo giả thiết (i), A bo hoà nguyên
tố. Vì thế Ann
R
(0 :
A
p) = p. Rõ ràng mọi iđêan nguyên tố chứa
Ann
R
(0 :
A
p) đều phải chứa p, do đó p là iđêan nguyên tố bé nhất chứa
Ann
R
(0 :


p Att

R
(0 :
A
p) nên

p Ann

R
(0 :
A
p). Vì thế

p V (Ann

R
A) và

p R = p, tức là
V (Ann A) {

p R :

p V (Ann

R
A)}.
(ii)(i). Cho p V (Ann A). Theo giả thiết (ii), tồn tại iđêan nguyên tố

A
p

R) Ann

R
(0 :
A

p) R =

p R = p.
Suy ra Ann(0 :
A
p) = p.
9
1.3 Chiều Noether và tính bão hòa nguyên tố
Trong tiết này chúng ta xét mối quan hệ giữa tính bo hòa nguyên tố của
môđun Artin với chiều Noether của nó, đồng thời trình bày một số tính
chất về hệ tham số cho môđun Artin sẽ đợc dùng trong chứng minh các
kết quả của Chơng 2.
Nhắc lại rằng khái niệm chiều Krull cho môđun Artin đợc giới thiệu
bởi R. N. Roberts [Ro] năm 1975, sau đó đợc D. Kirby [K2] năm 1990
đổi tên thành chiều Noether để tránh nhầm lẫn với khái niệm chiều Krull
đ quen biết cho các môđun hữu hạn sinh. Trong suốt luận văn này,
chúng tôi dùng thuật ngữ chiều Noether của Kirby [K2].
1.3.1. Định nghĩa. Chiều Noether của A, kí hiệu bởi N-dim
R
A, đợc
định nghĩa bằng quy nạp nh sau: Khi A = 0, ta đặt N-dim

A A

0
là một dy khớp các Rmôđun Artin thì
N-dim
R
A = max{N-dim
R
A

, N-dim
R
A

}.
R. N. Roberts [Ro] và D. Kirby [K,K1] đ chỉ ra nhiều tính chất đẹp của
môđun Artin tơng tự nh các tính chất về chiều Krull cho các môđun
hữu hạn sinh trên vành địa phơng, đặc biệt là kết quả duới đây cho ta
03 điều kiện tơng đơng về chiều Noether cho các môđun Artin
10
1.3.2. Mệnh đề. Nếu q là iđêan sao cho (0 :
A
q) < thì có một đa
thức Q(n) với hệ số hữu tỷ sao cho
R
(0 :
A
q
n+1
) = Q(n) khi n 0 và

A
(x
1
, . . . , x
d
)R) < . Một
hệ (x
1
, . . . , x
i
) với i d, các phần tử của m đợc gọi là phần hệ tham
số của A nếu ta có thể bổ sung thêm các phần tử x
i+1
, . . . , x
d
của m sao
cho (x
1
, . . . , x
d
) là hệ tham số của A. Một phần tử x m đợc gọi là
phần tử tham số của A nếu có thể bổ sung thêm N-dim
R
A 1 phần tử
trong m để đợc một hệ tham số của A.
Từ Mệnh đề 1.3.2 ta suy ra kết quả sau đây.
1.3.4. Hệ quả. Nếu d = N-dim
R
A > 0 thì
N-dim

A = dim(R/ Ann
R
A). Khi đó N-dim
R
A = 0 nếu và
chỉ nếu dim
R
A = 0, nếu và chỉ nếu A có độ dài khác 0 và hữu hạn, nếu
và chỉ nếu R/ Ann
R
A là vành Artin. Trờng hợp tổng quát ta chỉ có
11
N-dim
R
A dim
R
A. Hơn nữa, với môđun Artin A = H
1
m
(R) nh trong
Ví dụ 1.2.3 ta có dim
R
A = 2 > 1 = N-dim
R
A. Mệnh đề sau đây chỉ ra
rằng tính chất bo hòa nguyên tố là đủ để đẳng thức về chiều ở trên xảy
ra.
1.3.5. Mệnh đề. [CN].
(i) N-dim
R

iđêan nguyên tố tối thiểu của

R chứa Ann

R
A và tập các iđêan nguyên
tố gắn kết tối thiểu trong Att

R
A là nh nhau. Vì thế ta có
dim(

R/ Ann

R
A) = max{dim(

R/

p) :

p Att

R
A}.
Tơng tự ta cũng có dim(R/ Ann A) = max{dim(R/p) : p Att
R
A}.
Vì thế ta có các quan hệ sau đây:
1.3.6. Hệ quả.

(0) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d =
dim M. Chú ý rằng môđun con lớn nhất U
M
(0) nh thế luôn tồn tại và duy
12
nhất. Nhắc lại rằng H
i
m
(M) là Rmôđun Artin với mọi số nguyên i và
depth M = min{i : H
i
m
(M) = 0}; dim M = max{i : H
i
m
(M) = 0}.
Vì thế H
i
m
(M) = 0 với mọi i < 0 và mọi i > d. Ngời ta gọi H
d
m
(M) là
môđun đối đồng điều cấp cao nhất của M. Trớc hết, chúng ta nhắc lại
các tính chất quan trọng sau đây về tập các iđêan nguyên tố gắn kết và
chiều Noether của môđun này.
1.4.1. Bổ đề. [BS]. Att
R
H
d

Ass M Ass U
M
(0) Ass M/U
M
(0)
nên ta có p Ass M/U
M
(0). Vì thế
Ass M/U
M
(0) {p Ass M : dim R/p = d}.
Ngợc lại cho p Ass M/U
M
(0). Khi đó p = Ann
R
(m), trong đó
m = m + U
M
(0) M/U
M
(0). Vì p = R nên m / U
M
(0). Do đó
dim Rm = d (vì tất cả các môđun con của M có chiều nhỏ hơn d đều
chứa trong U
M
(0)). Suy ra dim(Rm + U
M
(0)) = d. Vì thế
d = dim(Rm + U

của môđun M và đợc kí hiệu bởi Usupp M.
Từ Bổ đề 1.4.3 ta có ngay hệ quả sau đây.
1.4.5. Hệ quả. Supp(M/U
M
(0)) =

pAss M,dim R/p=d
V (p).
1.4.6. Bổ đề. Cho p Supp M. Khi đó p Usupp M nếu và chỉ nếu
p Ann
R
H
d
m
(M). Đặc biệt, Usupp M = V (Ann
R
H
d
m
(M)).
Chứng minh. Ta có
Att
R
H
d
m
(M) = {q Ass M : dim R/q = d}.
Hơn nữa, tập các iđêan nguyên tố tối thiểu chứa Ann
R
H

p Usupp

M. Khi đó

p

q với

q Ass

R

M nào đó
thoả mn điều kiện dim

R/

q = d. Vì Ass
R
M = {

p R :

p Ass

M}
nên ta suy ra

q R Ass M. Hơn nữa, do
d dim(R/(

(ii) Usupp M = {

p R :

p Usupp

R

M}.
(iii) Usupp M là catenary.
Chơng 2
Tính catenary phổ dụng và tính không
trộn lẫn
Trong suốt chơng này, luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa phơng,
A là R-môđun Artin và M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d.
Với mỗi iđêan I của R, kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của
R chứa I. Với mỗi tập con T của Spec(R), kí hiệu min(T ) là tập các
phần tử tối thiểu của T theo quan hệ bao hàm.
Trong [CDN], N.T. Cuong, N.T. Dung và L.T. Nhan đ định nghĩa
giá không trộn lẫn của M là tập Supp
R
(M/U
M
(0)), trong đó U
M
(0) là
môđun con lớn nhất của M với chiều nhỏ hơn d. Ta luôn có
Usupp
R
M = Var

nhận đợc tính chất đóng cho các tập giả giá định nghĩa bởi Brodmann
và Sharp [BS1] và một công thức bội liên kết cho các môđun H
i
m
(M).
Kết quả này mở rộng kết quả chính của [BS1], ở đó Brodmann và Sharp
đ chứng minh công thức bội liên kết trong trờng hợp giả thiết mạnh
hơn - khi vành R là catenary phổ dụng và các thớ hình thức của R là
Cohen-Macaulay. Mục đích tiếp theo của Chơng là nghiên cứu tính
bo hoà nguyên tố cho đồng loạt các môđun đối đồng điều địa phơng
H
i
m
(M) với i = 0, 1, . . . , d 1. Kết quả thu đợc là tính catenary phổ
dụng của vành thơng R/ Ann
R
M và tính không trộn lẫn của một số
vành địa phơng R/p với p Supp
R
M.
2.1 Đặc trng tính bão hoà nguyên tố của H
i
m
(M)
Trong tiết này, cho M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d. Cho
i 0 là một số nguyên. Theo Brodmann và Sharp [BS1], tập
{p Spec(R) : H
idim(R/p)
pR
p

(M)
17
ứng với iđêan m-nguyên sơ q, ta có
e

(q, H
i
m
(M)) =

pPsupp
i
R
(M)
dim(R/p)=psd
i
(M)

R
p

H
idim(R/p)
pR
p
(M
p
)

e(q, R/p).

M = psd
i

M =
N-dim
R
(H
i
m
(M)) và tập hợp {p Psupp
i
R
M : dim(R/p) = psd
i
M}
chính là tập {

p R :

p Psupp
i

R

M, dim(

R/

p) = psd
i

với một iđêan nguyên tố q p.
Theo [BS, 11.3.8] ta suy ra q Att
R
(H
i
m
(M)). Vì thế ta có p q
Ann
R
(H
i
m
(M)). Suy ra Psupp
i
R
M Var

Ann
R
(H
i
m
(M))

.
Cho p Var

Ann
R
(H

Cho q Ann
R
(0 :
H
i
m
(M)
p). Khi đó q p. Vì H
i
m
(M) bo hoà nguyên
tố nên ta có
Ann
R
(0 :
0:
H
i
m
(M )
p
q) = Ann
R
(0 :
H
i
m
(M)
q) = q.
18

R/ Ann

R
(0 :
H
i
m
(M)
p)

= max{dim(

R/

p) :

p Att

R

0 :
H
i
m
(M)
p

}.
Vì thế tồn tại


p R p. Vì dim(

R/

p) =
dim(R/p), nên

p là tối thiểu của p

R. Vì H
i
m
(M)

=
H
i
m

R
(

M) xét nh
các

R-môđun nên ta có thể kiểm tra đợc
Psupp
i

R

p
(

M

p
) = 0. Vì

p là tối thiểu
p

R và dim(

R/

p) = dim(R/p) nên theo Định lí chuyển cơ sở (xem [BS,
4.3.2]) ta có
H
idim(R/p)
pR
p
(M
p
)

R

p

=

R

p
(

M

p
) = 0.
Do đó H
idim(R/p)
pR
p
(M
p
) = 0, tức là p Psupp
i
R
M. Vì thế
Var

Ann
R
(H
i
m
(M))

Psupp
i

) = 0. Vì dim(R/p) = dim(

R/p

R), nên tồn tại một
iđêan

p Ass(

R/p

R)âno cho dim(

R/

p) = dim(R/p). Suy ra

p R = p
và

p là một iđêan nguyên tố tối thiểu của p

R. Chú ý rằng ánh xạ cảm
sinh R
p


R

p

R

p
= 0.
19
Do đó

p Psupp
i

R
(

M) = Var

Ann

R
(H
i
m
(M))

. Chú ý rằng H
i
m
(M) xét
nh

R-môđun Artin là bo hoà nguyên tố. Vì thế Ann

p R = p.
Suy ra Ann
R
(0 :
H
i
m
(M)
p) = p. Vậy H
i
m
(M) bo hoà nguyên tố.
Cuối cùng, giả sử (i) và (ii) thoả mn. Theo (ii) ta có psd
i
M =
dim(R/ Ann
R
H
i
m
(M)). Vì thế ta có
psd
i
(M) = N-dim
R
(H
i
m
(M)) = dim


(M))

theo (ii). Bằng các lập luận nh trong
chứng minh (i)(ii), tồn tại

p Var

Ann

R
(H
i
m
(M))

= Psupp
i

R
(

M)
sao cho

p R = p và dim(

R/

p) = dim(R/p) = s.
Ngợc lại, cho

(H
i
m
(M))

= Psupp
i
R
M. Hơn nữa,
s = dim(

R/

p) dim(

R/p

R) = dim(R/p) s.
Suy ra dim(R/p) = s.
2.1.2. Hệ quả. Nếu R/ Ann
R
M là catenary phổ dụng và mọi thớ hình
thức của nó là Cohen-Macaulay thì H
i
m
(M) bo hoà nguyên tố với mọi
i d.
Chứng minh. Vì R/ Ann
R
M là catenary phổ dụng và mọi thớ hình

i
m
(M)) = s.
Với mỗi p Psupp
i
R
M, đặt T (p) = {

p Psupp
i

R
(

M) : dim(

R/

p) =
dim(R/p),

p R = p}. Giả thiết rằng H
i
m
(M) bo hoà nguyên tố. Khi
đó các phát biểu sau là đúng
(i) Psupp
i
R
M là đóng.

p)

p

R

p
(

M

p
)

=
R
p

H
idim(R/p)
pR
p
(M
p
)



R


(M)) =

pPsupp
i
R
(M)
dim(R/p)=psd
i
(M)

R
p

H
idim(R/p)
pR
p
(M
p
)

e(q, R/p).
Chứng minh. Khẳng định (i) suy ra từ Định lí 2.1.1. Khẳng định (ii) suy
ra từ Định lí 2.1.1 và bằng các lập luận tơng tự nh chứng minh [BS1,
Theorem 2.4,(i)].
(iii)

pPsupp
i
R

21
, [Mat, Theorem 14.7] ta có
e

(q, H
i
m
(M)) = e

(q

R, H
i

m
(

M))
=


pPsupp
i
(

M)
dim(

R/


R/

p)
=

pPsupp
i
R
(M)
dim(R/p)=s


R
p
(H
idim R/p
pR
p
(M
p
))


pT (p)


R

p
(

pR
p
(M
p
))


pAss(

R/p

R)
dim(

R/

p)=s


R

p
(

R

p
/p

R

R,

R/p

R)
=

pPsupp
i
(M)
dim(R/p)=s

R
p

H
idim(R/p)
pR
p
(M
p
)

e(q, R/p).
NT Cờng, NT Dung và LT Nhàn [CDN] đ chứng minh rằng môđun
đối đồng điều địa phơng cấp cao nhất H
d
m
(M) là bo hoà nguyên tố khi
và chỉ khi giá không trộn lẫn Usupp M của M là catenary. Kết hợp với

Nếu các điều kiện trên thoả mn thì Usupp M = Psupp
d
M và
e

(q, H
d
m
(M)) =

pPsupp
d
R
(M)
dim(R/p)=d

R
p

H
0
pR
p
(M
p
)

e(q, R/p).
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh (i)(ii). Giả sử R/ Ann
R

R
M q p
và dim(R/p) + ht(p/q) = d. Do đó dim(R/q) = d, và vì thế q Ass M.
Suy ra q Att
R
(H
d
m
(M)). Vì thế q Ann
R
(H
d
m
(M)). Do đó
dim(R/p) + ht

p/ Ann
R
(H
d
m
(M))

= d,
điều này là vô lí. Vậy khẳng định đợc chứng minh. Vì dim(M
p
) <
d dim(R/p) theo khẳng định trên nên ta có H
ddim(R/p)
pR

ddim(R/p
1
)
p
1
R
p
1
(M
p
1
) = 0, tức là p
1
Psupp
d
R
M. Do đó Psupp
d
R
M
không đóng, vô lí.
Chú ý. Theo Định lí 2.1.1, nếu H
i
m
(M) bo hoà nguyên tố thì Psupp
i
M
là đóng. Điều ngợc lại chỉ đúng khi i = d theo hệ quả trên, nhng nó
không đúng với i bất kì. Chẳng hạn, cho R là miền nguyên chiều 2 xây
dựng bởi Ferrand và Raynaud [FR] sao cho dim(

p Ass

M, và M là tựa
không trộn lẫn nếu

M là đẳng chiều.
Trong tiết này, chúng ta xem xét tính bo hoà nguyên tố của tất cả các
môđun đối đồng điều địa phơng H
i
m
(M) với bậc i < d, từ đó chúng ta
nhạn đợc một số kết quả về tính catenary phổ dụng và tính không trộn
lẫn của các vành địa phơng.
2.2.1. Định lý. Giả sử H
i
m
(M) bo hoà nguyên tố với mọi i < d. Khi đó
R/p là không trộn lẫn với mọi p Ass M và vành thơng R/ Ann
R
M
là catenary phổ dụng.
Chứng minh. Cho p Ass M. Giả sử R/p trộn lẫn, tức là dim(

R/

p) =
k < dim(R/p) với một iđêan nguyên tố nào đó

p Ass(


(M)) theo [BS,
Corollary 11.3.3]. Do đó ta có
N-dim
R
(H
k
m
(M)) = dim


R/ Ann

R
(H
k
m
(M))

dim(

R/

p) = k.
Ta chú ý rằng N-dim
R
(H
k
m
(M)) k theo [CN, Hệ quả 3.2]. Do đó ta
có N-dim

Vì thế tốn tại một iđêan nguyên tố q chứa I + p sao cho q = m. Suy
ra Ann
R
(0 :
H
k
m
(M)
q) là mnguyên sơ, do đó Ann
R
(0 :
H
k
m
(M)
q) = q.
Vì

p Ass(

R/p

R), ta có

p R = p theo [Mat, Định lí 23.2(i)]. Vì

p Att

R
(H


=
(R/q)

(p/q) là tựa không trộn lẫn.
2.2.2. Hệ quả. Giả sử H
i
m
(M) bo hoà nguyên tố với mọi i < d. Khi
đó H
d
m
(M) cũng bo hoà nguyên tố.
Chứng minh. Chú ý rằng R/ Ann
R
(H
d
m
(M)) là vành thơng của vành
R/ Ann
R
M. Vì H
i
m
(M) bo hoà nguyên tố với mọi i < d, nên vành
R/ Ann
R
M là catenary phổ dụng theo Định lí 2.2.1. Vì thế vành thơng
R/ Ann
R

m
(M) bo hoà
nguyên tố với mọi i < d. Khi đó R/p là không trộn lẫn với mọi p
Supp M thoả mn dim(R/p) d 1.
Chứng minh. Vì M không trọn lẫn nên dim(R/p) = d với mọi p
Ass M. Cho p Supp M sao cho dim(R/p) d1. Nếu dim(R/p) = d
thì p Ass M và vì thế R/p là không trộn lânc theo Định lí 2.2.1. Cho
dim(R/p) = d 1. Giả sử R/p không trộn lẫn. Khi đó tòn tại iđêan
nguyên tố

p Ass(

R/p

R) sao cho dim(

R/

p) = k < d 1. Vì M
là không trộn lẫn nên tồn tại x p sao cho x là M-chính quy. Vì
dim(R/p) = dim(M/xM) = d 1, nên ta có p min(Ass(M/xM)).
Do
Ass

R
(

M/x

M) =

x
M M/xM 0, ta có dy khớp cảm sinh
0 H
k
m
(M)/xH
k
m
(M) H
k
m
(M/xM) 0 :
H
k+1
m
(M)
x 0.
Nếu

p Att

R

H
k
m
(M)/xH
k
m
(M)


R
(H
k+1
m
(M))). Vì thế N-dim
R
(H
k+1
m
(M))
dim(

R/

p) = k. Chú ý rằng N-dim
R
(H
k+1
m
(M)) k + 1 theo [CN, Hệ
quả 3.2]. Nếu N-dim
R
(H
k+1
m
(M)) = k + 1 thì tồn tại một iđêan nguyên
tố

q Att