Phần B
Phơng trình đạo hàm riêng
Chơng I Nhập môn . Phân loại phơng trình
Đ1. Các định nghĩa và ví dụ
1.1 Các định nghĩa
a) Một phơng trình liên hệ giữa các biến độc lập : x
1
, x
2
, , x
n
; các ẩn hàm u
1
(x
1
, , x
n
), ,
u
N
(x
1
, , u

là :
F(x
1
, , x
n
, u
1
, , u
N
,
1
1

n
k
i
k
k
n
u
x
x


, ) = 0, (1.1)
trong đó i = 1, N , k
i
Z
+
và

,,
uuu
x
xy y


) = 0 (1.3)
c) Phơng trình (1.1) gọi là tuyến tính nếu F là một hàm tuyến tính đối với các ẩn hàm u
1
, ,
u
N
và các đạo hàm riêng của chúng có mặt trong phơng trình. Phơng trình không tuyến tính gọi
là phơng trình phi tuyến. Nếu F chỉ tuyến tính đối với các đạo hàm riêng cấp cao nhất thì phơng
trình (1.1) gọi là phơng trình á tuyến tính.
Ví dụ
()
222
22 22
22
20

++++++

uuuuu
xy xyu
xxyy xy
=,

74

20
xx xx xy yy
uu uu+ =
có nghiệm là u(x, y) = x
2
+ y
2
.
1.2 Ví dụ
Phơng trình dao động của một sợi dây.
Trong mặt phẳng (xOu), xét một sợi dây ab căng thẳng
& Ox


. Bằng một cách nào đó, ta làm dây rung
động và nghiên cứu quy luật dao động của sợi dây ab.
Giả sử dây ab rất nhỏ để nó không cỡng lại sự uốn và có lực căng tơng đối lớn so với trọng lợng
của dây khiến ta bỏ qua yếu tố trọng lợng của dây.
Ta chỉ xét dao động ngang của dây, tức là khi dao động của chất điểm trên dây chuyển động
thẳng góc với trục
.
Ox

Gọi u(x, t) là độ lệch của dây so với vị trí cân bằng M(x) tại thời điểm t.
Ta giả thiết độ lệch u(x, t) nhỏ và đạo hàm
u
x


rất nhỏ nên có thể bỏ qua lợng

, x [a, b].
Giả sử lực ngoài tác động lên sợi dây song song với trục Ou


và phân bố trên một đơn vị dài
là F(x, t). Gọi p(x) là tỉ trọng dài của sợi dây.
Khối lợng dây trong khoảng dx là :
m = p(x)dx.

75

Theo định luật Newton : tổng các lực tác động vào sợi dây bằng khối lợng dây nhân với
quán tính của sợi dây :
F = ma (*)
Gọi (x) là góc hợp bởi trục Ox


và lực căng T


hớng theo tiếp tuyến với sợi dây tại M(x).
Chiếu đẳng thức (*) lên trục
, ta có :
Ou


22
tg
.
1tg
1
u
x
u
x
x
x
u
x

Vậy
T
0
(
u
x


(x + dx)
u
x


(x)) + F(x, t)dx = p(x)
2

x
+ F(x, t),
cho dx 0, ta có :
p(x)
2
2
u
t


= T
0
2
2
u
x


+ F(x, t). (1.4)
Khi đó (1.4) gọi là phơng trình dao động của dây.
Nếu sợi dây đồng chất p(x) = p
0
, (1.4) có dạng :
()
22
2
22
,
uu
afx


=++



xyt
.
Phơng trình truyền nhiệt có dạng :
()
22
2
22
,,
uuu
af
txy


=++



xyt
.
Phơng trình truyền âm có dạng :
()
2222
2
2222
,, .
77

Đ2. Phơng trình đạo hàm riêng cấp một
2.1. Một số khái niệm
Phơng trình tuyến tính cấp một của ẩn hàm u đối với x
1
, x
2
, , x
n
là phơng trình có dạng :
()(
11
1
, , , , , ,
n
in n
i
i
u
Xx xu fx xu
x


, (2.2)
(2.2) gọi là phơng trình tuyến tính thuần nhất.
2.2. Phơng trình tuyến tính thuần nhất
Xét phơng trình tuyến tính thuần nhất của (2.2). Giả sử X
i
, i = 1, n , là các hàm liên tục cùng
với các đạo hàm riêng của chúng trong một lân cận v(X
0
), X
0
= (x , , x ) và không đồng thời
bằng không tại X
0
1
0
n
0
, chẳng hạn :
X
n
(X
0
) 0. (2.3)
Rõ ràng u = C (C : hằng số) là nghiệm của (2.2) gọi là nghiệm hiển nhiên. Sau đây ta sẽ
chứng minh rằng, với những giả thiết thích hợp nào đó, phơng trình (2.2) có vô số nghiệm không
hiển nhiên.
Tơng ứng với (2.2), ta xét hệ phơng trình vi phân thờng dạng đối xứng :
12
12


=


(2.5)
a) Định nghĩa. Hàm

(x
1
, x
2
, , x
n
) khả vi liên tục và không đồng nhất bằng hằng số gọi là tích
phân của hệ (2.4) hay (2.5) nếu nó trở thành đồng nhất bằng hằng số khi ta thay x
1
, x
2
, , x
n 1
bởi
bất kì nghiệm riêng nào của (2.4) hay (2.5).
Giả sử

(x
1
, x
2
, , x
n

=
1
0
n
i
i
i
dx
x
=

=




1
1
()
n
i
n
i
in n
X
dx
xX x

=


) là tích phân khả vi liên tục của hệ (2.4) thì u =

(x
1
, x
2
, , x
n
)
là nghiệm của phơng trình (2.2).
2) Ngợc lại, nếu u =

(x
1
, x
2
, , x
n
) khác hằng số là nghiệm của (2.2) thì

(x
1
, x
2
, , x
n
) là
tích phân của hệ (2.4).
Chứng minh
1) Theo giả thiết và (2.6) ta suy ra u =

=



.
Với x
i
= x
i
(x
n
), 1, n , thoả mãn (2.5) nên :
d

=
1
1
()
n
i
n
i
in n
X
dx
xX x

=

+=

(2.4). Với giả thiết (2.3) hệ (2.4) tơng đơng với hệ (2.5) trong một lân cận nào đó của X
0
= (x ,
, x
) và giả sử rằng trong lân cận này hệ (2.5) có (n 1) tích phân độc lập.
0
1
0
n

1
(x
1
, x
2
, , x
n
),

2
(x
1
, x
2
, , x
n
), ,

n 1
(x

xyz
(*)

79

Hệ đối xứng tơng ứng
uuu
x
yz

==

. (**)
Dễ thấy

1
(x, y) =
y
x
,

2
(x, z) =
z

i
, i = 1, n và f liên tục cùng các đạo hàm riêng cấp một của chúng trong một lân
cận của điểm
= (x , , x , u
0
X

0
1
0
n
0
) ngoài ra X
n
( ) 0. Ta sẽ chứng minh rằng nghiệm của
phơng trình (2.1) có dạng ẩn :
0
X

V(x
1
, x
2
, , x
n
, u) = 0, (*)
trong đó V là hàm khả vi liên tục và thoả mãn điều kiện :
()
0
V

VV
Xf
xu
=

+=


. (2.8)
Nh vậy V(x
1
, x
2
, , x
n
, u) = 0 là nghiệm của phơng trình tuyến tính thuần nhất (2.8).
Gọi

1
(x
1
, x
2
, , x
n
, u), ,

n
(x
1


n
) = 0
2.4. Nghiệm của bài toán Cauchy đối với phơng trình tuyến tính thuần nhất
Xét bài toán Cauchy sau đây :
()
1
1
, , 0
n
in
i
i
u
Xx x
x
=

=


, (2.2)
u
0
nn
x
x=
=

(x

1
, ,

n1
là n 1 tích phân độc lập của hệ vi phân (2.4) tơng ứng với (2.2).
Đặt
()
()
0
11 1 1
0
11 1 1
, , ,
, , ,
nn
nnn
xxx
xxx



=




=





, ,
1
n


).
Hàm số u =

(
1
(

1
, ,

n 1
), ,
n 1
(

1
, ,

n 1
)) là nghiệm của
bài toán (2.2) (2.9).
Thật vậy, theo (2.7), u thoả mãn phơng trình (2.2). Mặt khác
u
0

)
Ví dụ. Tìm nghiệm của bài toán Cauchy sau đây :
()
2
4 khi 2
zz
xyx z
xy
zy x


++ =




= =


Hệ vi phân tơng ứng :
2
dx dy dz
x
yx z
==
+
,
có hai tích phân độc lập

1


hay
1
2
24
2
y
z

=
+


=



Ta có z = y 4 hay 2

1
+ 4 4 = 2

2
.
Suy ra

2
=

1

n
) xác định trên . Kí hiệu :
j
x
D
u =
j
u
x


=
j
x
u ;
j
j
j
j
x
j
D
x




=

, j = 1, n .


1
, ,

n
),

j
và
+
Z
1
n
j
j =
=



.
Dạng tổng quát của phơng trình tuyến tính cấp m trong miền R
n
là :
() ()
m
axDu fx



=


=
1
1

n
n



với

= (

1
, ,

n
),

i
0,

i

Z
, i = 1, n .
a) Phơng trình
()
0

, t = x
n
R, x = (x
1
, , x
n1
) R
n1
,
t = t
0
là siêu phẳng của R
n1
.

82

Xét bài toán : tìm nghiệm của phơng trình (3.1) trong miền = R
n1
ì (t
0
; +) và thoả mãn
điều kiện ban đầu sau đây :
()

0
) với
0
x

=
(
00
11
, ,
n
x
x

).
b)
a (x


0
) 0 với

*
= (0, , 0, m).
c)

j
(x), j = 0, 1, ,m 1 giải tích trong lân cận của
0
x

, u
y
) = 0. (4.1)
Xét (
x
0
, y
0
) là một điểm cố định.
a) Phơng trình (4.1) gọi là elip tại (
x
0
, y
0
) nếu tại điểm đó b
2
ac < 0.
b) Phơng trình (4.1) gọi là hyperbol tại (
x
0
, y
0
) nếu tại điểm đó b
2
ac > 0.
c) Phơng trình (4.1) gọi là parabol tại (
x
0
, y
0

()
,
0
,
y
x
y
x
D
Dxy



=


.
Khi đó

() ()
()
() ()
22
22
;
2
2
xx xyy y
xx x x x x xx xx
x

+ 2b
1
(, )u

+ c
1
(, )u

+ F
1
(, , u, u

, u

) = 0 (4.4)
trong đó :
()()
()
()
()
()()
()
2
2
1
1
2
2
1
,2

Ta có
2
a
1
b
1
c
1
= (b
2
ac)J
2
(x, y).
Vậy qua phép biến đổi không suy biến (4.2), loại của phơng trình (4.1) không thay đổi. Ta
có thể chọn phép biến đổi để phơng trình (4.4) có dạng đơn giản. Trong (4.5) nếu chọn
, là
nghiệm của phơng trình :
a
2
x

+ 2b

x

y
+ c
2
y


+


> 0, (x, y) . Khi đó z =

(x, y) là nghiệm
riêng của phơng trình (4.6) khi và chỉ khi

(x, y) = C (hằng số) là tích phân tổng quát của
phơng trình sau đây :
a(dy)
2
2bdxdy + c(dx)
2
= 0 (4.7)
(4.7) cũng gọi là phơng trình đặc trng của (4.1).
Chứng minh
Giả sử z =

(x, y) là một nghiệm riêng của (4.6). Nếu

y
0 thì từ (4.6) suy ra :
2
20
xx
yy
ab




y
đợc thay bằng

x
, ta cũng đi đến kết
luận của bổ đề.
Ngợc lại, giả sử

(x, y) = C là tích phân tổng quát của (4.7). Ta cần chứng minh rằng : với
mọi (x
0
, y
0
) , z =

(x, y) là nghiệm riêng nào đó của (4.6) tại điểm (x
0
, y
0
).
Thật vậy, đặt

(x
0
, y
0
) = C
0
và xét hệ thức :



)
2
+ 2b
x
y


+ c
2
y

= 0.
Vậy z =

(x, y) là nghiệm riêng của (4.6) thoả mãn điều kiện đầu

(x, y)
(
00
,
)
x
y
= C
0
.
Nếu


c
;
2
2
bba
y
a
+
=

c

Suy ra
y
1
=
2
1
bbac
dx C
a

+

; y
2
=
2
2
bbac

=

.
Dùng phép biến đổi :
()
()
,
,
x
y
x
y

=


=



Vì
J =
0
y
x
xy yx
y
x



1
= 0 và :
()
22 22
1111
0bbacJbac= = >

nên b
1
0. Khi đó phơng trình (4.4) có dạng :
()
2
11
2,,,,
u
bFuuu


+ =

0,

hay
(
2
1
,,, , 0,


= =

u

= F
1
(, , u, u

, u

). (4.11)
Cả hai phơng trình (4.10) và phơng trình (4.11) đều gọi là phơng trình chính tắc của
phơng trình loại hyperbol.
Trờng hợp II : b
2
ac = 0. Khi đó phơng trình (4.1) thuộc loại parabol.
1) Nếu b = 0 thì a = 0 hoặc c = 0. Khi đó phơng trình (4.1) có dạng chính tắc :
(
2
2
,,, , 0
xy
u
cFxyuuu
y

+=

)
, (a = 0),
hoặc
(


Dùng phép biến đổi :
()
()
,
,
x
y
x
y

=


=



trong đó C
2
() và J =
()
(, )
0

= 0.
Mặt khác ta có b
2
= ac; giả thiết a, c đều dơng, khi đó
C
1
= a
(
)
2
22
2. . .
xxyyx
ac c a c+ += +
y
.
Do J 0 ta suy ra C
1
0. Vậy (4.4) có dạng
C
1
u

+ F
1
(, , u, u

, u

) = 0,

biacb
y
C
a

=+

;
2
22
biacb
y
C
a
+
=+

.
Do đó các tích phân tổng quát của (4.6) có dạng :

(x, y) = y
2
1
biacb
dx C
a

=

,

y
x
y

=


=



dễ dàng kiểm chứng đây là phép biến đổi không suy biến. Do

(x, y) = C
1
là tích phân tổng quát
của (4.6) nên :

88

a(
x
+ i
x


+ +=+ +


+ + +=



Vậy a
1
= c
1
0 và b
1
= 0. Suy ra a
1
c
1
> 0 vì a
2
1
b
1
c
1
< 0. Khi đó phơng trình (4.4) có dạng :
a
1
u


F
F
a

.
Phơng trình (4.13) gọi là phơng trình chính tắc loại elip.

89

Đ5. Phân loại phơng trình đạo hàm riêng Tuyến tính cấp hai trong
trờng hợp nhiều biến
Xét phơng trình tuyến tính dạng :
L(u) =
(5.1)
(
1
,1 1
, , ,
ij i
nn
ij x x i x n
ij i
au bu cu f x x
==

, ,
n
0
x
x
) cố định, ma trận :
A(x
0
) = (a
ij
(x
0
))
,1
n
ij
=
là một ma trận hằng đối xứng, nó xác định một dạng toàn phơng :
g(x) =
(5.2)
()
0
,1
()
n
ij i j i i
ij
axxx xAxx
=
=

1
n
y
y







hay x
i
=
1
n
ki k
k
y
=


, i =
1, n
(5.3)
thì dạng toàn phơng (5.2) trở thành :
h(y) = g(Ty) = yTA(x
0
)Ty,
h(y) = yBy,

0
n
B



=








Khi đó
g(y) =
2
1
n
ii
i
y
=


(5.4)
Số phần tử dơng, số phần tử âm và số phần tử 0 trên đờng chéo của B bất biến đối với phép
biến đổi (5.3) và bằng số nghiệm dơng, nghiệm âm và nghiệm bằng không của phơng trình:
det(A(x

n
0
x
x
) , ta có thể đa phơng trình (5.1) về dạng đơn giản,
gọi là dạng chính tắc.
Gọi T = (
ij
) là ma trận trực giao cho :
1
0
0
n
B



=








Xét phép biến đổi không suy biến :
x = Ty y = Tx,
y
k

=

yy

và phơng trình (5.1) trở thành :

91

L(u) .
,1 ,1 1 1
()()
kl
nn nn
ij ki lj y y i ki yk
ij kl i k
aubucu
== ==
+ + =

f
hay L(u)
,
,1 1
.

kl


=




Khi đó (5.1) trở thành :
L(u)

()
1
1
1
, , , , , , 0
kl n
n
kyy n y y
k
uFyyuuu
=
+ =

đây là dạng chính tắc của phơng trình (5.1).
1) Nếu tại x
0
phơng trình (5.1) có dạng elip. Giả sử
k
= , đặt

0
phơng trình (5.1) có dạng hyperbol. Giả sử
1
< 0, ,

n 1
< 0 và
n
> 0, bằng cách đổi biến số nh trong trờng hợp 1), phơng trình (5.1) có dạng
chính tắc :
L(u)

()
1
1
1
1
, , , , , , 0.
nn nn n
n
zz zz n z z
i
uuzzuuu

=
+

=
3) Nếu tại x
0

phơng trình :

92

a(x, y)u
xx
+ 2b(x, y)u
xy
+ c(x, y)u
yy
+ F(x, y, u, u
x
, u
y
) = 0,
ma trận
A(x, y) =
()
()
(
)
()
,,
,,

2
z
y
= yz.
c) z
x
sin
2
x + z
y
tgz = cos
2
z.
1.2.
Xác định loại của phơng trình và đa về dạng chính tắc các phơng trình sau đây :
a) u
xx
+ 2u
xy
+ 5u
yy
32u = 0.
b) u
xx
2u
xy
+ u
yy
+ 9u
x

yy
yu
y
= 0.
1.3.
Tìm nghiệm tổng quát của các phơng trình sau :
a) u
xx
2sinx.u
xy
cos
2
x.u
yy
cosx.u
y
= 0.
b) xu
xx
xu
yy
+ 2u
x
= 0.
c) (x y)u
xy
u
x
+ u
y