NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
01TÀI LIỆU LÝ THUYẾT-BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
(Tài liệu chỉ mang nh tham khảo – hp://nguyenchiphuong.WordPress.com)
CHƯƠNG 0: NHẮC LẠI MỘT SỐ KIẾN THỨC CŨ
I. Các ký hiệu đạo hàm và công thức
1. Giả thiết hàm : Ω→ℝ, ∈Ω⊂ℝ
. Khi đó
= grad=
(
,
, … ,
)
= ∇
; ∇
(
∇
)
= ∇. ∇+ ∇
(tích phân từng phần)
2. Giả thiết hàm : Ω→ℝ
, > 1, ∈Ω⊂ℝ
:
(
)
=
(
3. Cho Ω⊂ℝ
là một miền có biên Ω∈
có vecto pháp tuyến tại các điểm trên mỗi mảnh. Khi đó,
i.
Ω
=
.
ii.
Ω
=
.
−
. ∇Ω
.
v.
φ∆Ω
=
−
∇∇Ω
(
công thức Green 1
)
.
vi.
Công thức iv (dựa vào công thức Divergence)
φdivΩ
=
φ∇. FΩ
=
φ
+
+ ⋯+
Ω
=
φ
Ω
+
φ
−
Ω
+ ⋯
… +
φ
+
+ ⋯+
Ω
=
φ.
−
. ∇Ω
.
Công thức Green 1 (dựa vào công thức iv)
−
∇∇Ω
.
Công thức Green 2 (dựa vào công thức Green 1)
(
φ∆−∆
)
Ω
=
φ∆Ω
−
∆Ω
=
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
03II. Phương trình vi phân
1. Phương trình vi phân tuyến nh cấp 1:
+
(
)
= ()
Nghiệm tổng quát:
=
∫
(
)
Trường hợp hợp (1) có hai nghiệm phân biệt
,
thì =
+
.
Trường hợp hợp (1) có nghiệm kép thì =
+
.
Trường hợp hợp (1) có nghiệm phức ± thì =
().
là không là nghiệm của (1) thì =
().
Nếu
(
)
=
(
(
)
+
(
)
) (, ∈ℝ, =
(
)
, = ()):
± là nghiệm của (1) thì =
[
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
04III. Biến đổi Fourier:
Có 3 cách biến đổi Fourier thông dụng
D
ạ
ng bi
ế
n đ
ổ
i
C
ộ
ng th
ứ
c
Bi
ế
n đ
ổ
i ngư
,
)
=
∫
(
)
Fourier sin
(
)
=
∫
Fourier cos
(
)
=
∫
(
,
)
(
,
)
=
=
(
(
)
)
(
)
,
,
,
…
,
;
sin
(
)
,
cos
(
)
√
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
05CHƯƠNG 1: PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN
Xét phương trình dạng:
+
+ = , ∈Ω⊂ℝ
, > 0, với,
= −
∑
+ ⋯+
)
;
〈
,
〉
=
∫
Ω
Bước 1: Lấy hàm Φ∈
(Ω
) ta có:
〈
, Φ
〉
+
〈
, Φ
〉
〈
, Φ
〉
(∗)
Bước 2: Tìm Φ sao cho
∗
Φ= λΦ
ố ℎạ ê ệ ê
. Ta có họ các vecto riêng {Φ
} và các giá trị riêng λ
.
Bước 3: Tìm
〈
, Φ
〉
,
‖
Φ
‖
(nếu có) và
〈
, Φ
Bài 1.1: Bằng phương pháp tách biến m hàm
(
,
)
thỏa
=
; < < ,
(
,
)
=
(
,
)
= ,
(
,
)
= ; < < .
)
⇔
(
,
)
Φ
(
)
=
[
(
,
)
Φ
(
)
−(, )Φ′
)
=
[
−
(
,
)
Φ
(
)
+
(
0,
)
Φ
(
0
)
]
+
(
,
Phương trình đặc trưng:
=
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
06 Trường hợp > 0 ⇒= ±
√
⇒Φ
(
)
=
√
+
)
= 0 ⇒
√
√
−
√
√
= 0
√
−
√
= 0
⇔
=
= 0 (ạ).
= 0
= 0
⇔
= 0. Chọn
= 1 ⇒Φ
(
)
= 1.
Trường hợp < 0 ⇒= ±
√
−.
⇒Φ
(
)
=
cos
√
−
+
)
= Φ
(
0
)
= 0 ⇒
−
√
−sin
√
−
+
√
−cos (
√
−) = 0
√
−= 0
⇔
Ta có Φ= Φ
= cos
; =
= −
.
B3: Tính
〈
, Φ
〉
,
‖
Φ
‖
và
,
)
= .
Cho = 0 ta có
(
, 0
)
= ⇔
= ⇔=
2
⇒
〈
, Φ
〉
=
(
,
)
Φ
(
)
Đặt
(
)
=
∫
(
,
)
Φ
(
(
, 0
)
Φ
(
)
=
cos
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
[
(−1)
−1
]
.
Suy ra
〈
, Φ
〉
=
[
(−1)
−1
]
.
2
sin (
2
)
=
2
.
B4: Vậy theo khai triển Fourier ta có
(
,
)
=
〈
, Φ
〉
‖
Φ
‖
Φ
+
2
cos
=
2
+
2
[
(−1)
−1
]
=
,
(
,
)
=
(
,
)
= ; > ,
(
,
)
= ,
(
,
)
= ; < < .
Giải:
B1: Lấy hàm Φ∈
⇔
[
(
,
)
Φ
(
)
−(, )Φ′
(
)
]
+
(
,
)
Φ
(
(
0,
)
Φ(0) +
(
,
)
Φ
(
)
=
(
,
)
Trường hợp > 0 ⇒= ±
√
⇒Φ
(
)
=
√
+
√
.
Do Φ
(
1
)
= Φ
(
0
)
= 0 ⇒
Trường hợp = 0 ⇒Φ
() = 0 ⇒Φ
(
)
=
+
.
Do Φ
(
1
)
= Φ
(
0
)
= 0 ⇒
+
= 0
= 0
)
= Φ
(
0
)
= 0 ⇒
cos
√
−
+
sin(
√
−) = 0
= 0
Chọn
= 1 ⇒sin
√
−
‖
Từ (*) ta có
(
,
)
Φ
(
)
=
(
,
)
() =
()
Phương trình đặc trưng:
=
⇔
=
(
)
⇔= ±
.
⇒
() =
cos
.
Do
(
, 0
)
= 0
(
, 0
)
= 1
nên cho = 0 ta có
= 0
.
Suy ra
〈
, Φ
〉
=
()
.
.
‖
Φ
‖
=
=
.
B4: Vậy theo khai triển Fourier ta có
(
,
)
=
〈
, Φ
〉
‖
Φ
‖
Φ
=
(
−1
)
sin
sin()
.
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
09Bây giờ ta sẽ xét bài toán với điều kiện không thuần nhất |
≠,
|
≠. Ví dụ như
(
= ,
(
,
)
= ; < < .
Giải:
Đặt
(
,
)
=
(
,
)
− ta được hệ
=
; 0 < < 1, > 0
(
0,
)
= 0,
(
,
)
Φ
(
)
⇔
(
,
)
Φ
(
)
=
[
⇔
(
,
)
Φ
(
)
=
(
1,
)
Φ
(
1
)
−
(
0,
)
Φ
(
)
,
Φ
(
1
)
= Φ
(
0
)
= 0.
Phương trình đặc trưng:
=
Trường hợp > 0 ⇒= ±
√
⇒Φ
(
)
=
√
+
= 0
⇔
=
= 0 (ạ).
Trường hợp = 0 ⇒Φ
() = 0 ⇒Φ
(
)
=
+
.
Do Φ
(
1
)
= Φ
(
0
)
= 0 ⇒
−
.
Do Φ
(
1
)
= Φ
(
0
)
= 0 ⇒
cos
√
−
+
sin(
√
−) = 0
= 0
Chọn
)
; =
= −
(
)
.
B3: Tính
〈
, Φ
〉
,
‖
Φ
‖
Từ (*) ta có
(
,
)
Φ
(
,
)
Φ
(
)
Ta có phương trình:
(
)
=
() ⇒
() =
= −
−
1
cos
(
)
+
1
(
)
= −−
1
(
=
sin
(
)
=
1
2
(
1 −cos (2)
)
=
1
2
−
1
2
sin (2)
1
2
sin
(
)
=
2
(−1)
sin()
,
)
thỏa
+
= ; < , < ,
(
,
)
=
(
,
)
= ,
(
,
)
= ,
(
,
)
= .
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
=
(
0,
)
= 0,
(
, 1
)
= 0,
(
1,
)
= 1 −.
B1: Lấy hàm Φ∈
[
0,1
]
, Φ= Φ() ta có:
(
,
)
Φ
Φ
(
)
+
(
,
)
Φ
(
)
−(, )Φ′
(
)
+
(
,
)
Φ
(
1
)
−
(
, 0
)
Φ
(
0
)
+
(
,
)
Φ
(
)
= 0 (∗)
B2: Chọn Φ sao cho
Φ
√
+
√
.
Do Φ
(
1
)
= Φ
(
0
)
= 0 ⇒
√
+
√
)
= 0 ⇒
+
= 0
= 0
⇔
=
= 0 (ạ).
Trường hợp < 0 ⇒= ±
√
−.
⇒Φ
(
)
=
cos
√
−
= 0
Chọn
= 1 ⇒sin
√
−
= 0 ⇔
√
−= ⇔= −
(
)
.
Ta có Φ= Φ
= sin
(
)
; =
= −
(
+
(
,
)
Φ
(
)
= 0.
Đặt
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
12
(
)
= 0
Phương trình đặc trưng:
= −
=
(
)
⇔= ±
⇒
(
)
=
+
;
+
= 0
−
=
∫
(
1 −
)
sin
(
)
⇔
+
⇔
+
= 0
−
=
−
(
1 −
)
cos
(
)
−
=
⇔
=
(
)
=
()
cosh
(
)
−
1
2
cosh
(
)
=
1
2
cosh ()
(
−
(
)
=
1
2
(
1 −cos (2)
)
=
1
2
−
1
2
sin (2)
=
1
cosh
(
)
1
2
sin
(
)
=
2
sinh ()
cosh ()
sin()
.
Suy ra
(
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI FOURIER
Từ hàm ban đầu (chưa biết), ta biến đổi Fourier () của hàm , sau đó sử dụng công thức biến đổi
Fourier ngược để ma àm . Tùy vào điều kiện của bài toán mà ta chọn biến đổi Fourier cho thích hợp, cụ
thể:
Bài toán có giả thiết (0, ) sử dụng biến đỗi Fourier sin.
Bài toán có giả thiết
(0, ) sử dụng biến đỗi Fourier cos.
Các trường hợp khác sử dụng công thức dạng phức trong biến đổi Fourier.
Sau đây là một số bài tập tham khảo,
Bài 2.1: Bằng phương pháp biến đổi Fourier m hàm (, ) thỏa:
+
= ,
(
,
)
= ; , > ,
(
,
)
= (), à
(
,
)
[
(
,
)
sin
(
)
−
(
,
)
cos
(
)
]
→
→
−
(
,
)
(
,
)
sin
(
)
+
(, )
sin
(
)
= 0
Đặt
(
,
Do hàm
(
,
)
bị chặn nên
(
,
)
bị chặn ⇒
= 0 ⇒
(
,
)
=
Cho = 0 ta có
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
)
⇒
(
,
)
=
()
sin
(
)
Suy ra
(
,
)
=
2
(
)
sin
(
)
(
)
=
1
()
Tính
=
2
]
−
[
(
+
)
]
=
−
,
trong đó
=
[
=
1
−
−
−
1
(
−
)
→
→
+
−
(
1 +
−
=
1
⇔
=
+ (−)
. Tương tự ta có
=
+ (+ )
Vậy
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
15Bài 2.2: Bằng phương pháp biến đổi Fourier m hàm (, ) thỏa:
=
,
(
,
)
= ; , > ,
(
,
)
=
(
)
⇔
[
(
,
)
sin
(
)
−
(
,
)
cos
(
)
]
→
→
−
)
→0,
(
,
)
→0 khi →∞ khi đó ta có
−
(
,
)
sin
(
)
=
1
(
,
⇒
(
,
)
=
.
Cho = 0 ta có
=
(
, 0
)
=
(
, 0
)
sin
(
)
=
() sin
=
2
() sin
(
)
sin
(
)
.
Bây giờ ta xét bài tập với hàm () cho cụ thể.
Bài 2.3: Bằng phương pháp biến đổi Fourier m hàm (, ) thỏa:
(
,
)
sin
(
)
= 2
(
,
)
sin
(
)
⇔
−2
(
,
)
sin
(
)
Giả sử
(
,
)
→0,
(
,
)
→0 khi →∞ khi đó ta có
(
,
)
sin
(
)
.
Ta có phương trình:
= −2
⇒
(
,
)
=
.
Cho = 0 ta có
=
(
, 0
)
=
cos
(
)
=
cos
(
)
=
[
−
cos
(
)
,
)
=
2
+ 1
sin
(
)
Bài 2.4: Bằng phương pháp biến đổi Fourier m hàm (, ) thỏa:
=
(
,
)
cos
(
)
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
17⇔
[
(
=
1
(
,
)
cos
(
)
.
Giả sử
(
,
)
→0,
(
,
)
→0 khi →∞ khi đó ta có
−
,
)
=
(
,
)
sin
(
)
.
Ta có phương trình: −
=
⇔
+
= .
⇒(, ) =
∫
+ =
+ .
Cho = 0 ta có
+ =
(
, 0
)
=
=
1 −
.
Suy ra
(
,
)
=
2
1 −
(
,
)
+
(
,
)
= 0
⇔
(
)
18
(
,
)
=
(
,
)
.
Ta có phương trình:
(
)
+
= 0 ⇔
−
= 0.
)
= 0
nên ta lần lượt cho = 0, = 1 vào (1) ta có
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
+
=
(
, 0
)
=
(
, 0
)
=
()
⇔
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
=
−
−
(
)
=
−
2 sinh
(
)
(
(
,
)
=
−
2 sinh
(
)
(
)
+
2 sinh
(
)
(
)
)
=
(
)
−
(
)
2 sinh
(
)
(
)
=
sinh
(
(−)
)
sinh
(
.
Bài 2.6: Bằng phương pháp biến đổi Fourier m hàm (, ) thỏa:
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
+
= ; ≤≤∞, −∞≤≤+∞,
(
,
)
(
,
)
= 0
⇔
(
)
(
,
)
+
(
,
)
.
Ta có phương trình:
(
)
+
= 0 ⇔
+ (
)
= 0.
Phương trình đặc trưng:
= −(
)
= −
sin
(
)
+
cos
(
)
. (2)
Do
(
, 0
)
=
(
()
=
()
=
(
, 0
)
=
(
, 0
)
= 0
,
)
=
1
2
(
)
cos
(
)
.
)
=
1 ế > 0
0 ế < 0
Bài 3.1: Bằng phương pháp biến đổi Laplace m hàm (, ) thỏa:
+
= ; , > ,
(
,
)
= ,
(
,
)
= .
Giải:
Ta có
(
,
)
+
[
(, )
]
→
→
+
(
,
)
=
Đặt
(
,
)
=
(
,
)
.
Ta có phương trình:
+ =
⇒
(
,
)
=
∫
+ =
−
1
+ . (1)
Cho = 0 thay vào (1) ta có
−
1
+ =
(
0,
)
=
+
1
=
−
1
+
1
Biến đổi Laplace ta có
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
21
2
(
−
)
=
⎩
⎨
⎧
−
2
+
(
−
)
2
ế −> 0
−
2
ế −< 0
Bài 3.2: Bằng phương pháp biến đổi Laplace m hàm (, ) thỏa:
(
,
)
=
⇔
[
(, )
]
→
→
+
(
,
)
+
(
,
)
=
.
Đặt
(
,
)
=
1
+ =
1
+ . (1)
Cho = 0 thay vào (1) ta có
1
1
−
1
=
1
−
1
.
Biến đổi Laplace ta có
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
−
2
=
⎩
⎨
⎧
2
ế −
2
> 0
ế −
2
< 0
Bài 3.3: Bằng phương pháp biến đổi Laplace m hàm (, ) thỏa:
=
(
,
)
=
1
(
,
)
−
(
)
+ (, )
]
→
→
+
(
,
)
−
(
)
⇔
.
Đặt
(
,
)
=
(
,
)
.
Ta có phương trình:
−
= −
(
)
+
(2)
Cho lần lượt = 0, = 1 vào (2) ta có
+
=
(
0,
)
=
= 0 ⇒(, )
= 0.
Do
(
)
= −
(
)
= −
sin () nên nghiệm riêng của (1) có dạng
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
)
−
sin
(
)
Thay vào (1) ta có
−
cos
(
)
−
sin
(
)
−
(
)
= −
sin ()
Đồng nhất hai vế ta có
= 0
=
(
)
⇒
(
,
)
=
(
+
(
,
)
=
(
+
)
sin
(
)
=
1
−
(
,
)
=
(
1 −cos
(
))
sin
(
)
. NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
+ ();
〈
,
〉
=
∫
Ω
Lấy hàm ∈
(Ω) ta có
〈
,
〉
+
〈
,
〉
+
〈
,
〉
Chọn
∈⊂
(
Ω
)
∈⊂
(
Ω
)
sao cho
+ ⊂
ố ℎạ ê ị ệ ê
Nếu không m được đạo hàm đó ta có bài toán m ∈ sao cho (*) đúng với ∀∈ được gọi là bài
toán m nghiệm yếu của phương trình.
Bài 4.1: Xét hệ
−
+ = ,
(
)
=
(
(
)
=
(
)
(
)
⇔
[
−′()
(
)
]
+
(
)
⇔−
(
1
)
(
1
)
+
(
0
)
(
0
)
+
(
.
Chọn =
{
∈
(
0,1
)
:
(
0
)
=
(
1
)
= 0
}
à =
{
∈
(
0,1
)
:
(
0
=
(
)
(
)
, ∀∈ (∗)
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG
PHƯƠNG TRÌNH Đ
Ạ
O HÀM RIÊNG
25Bây giờ ta sẽ xét từ bài toán nghiệm yếu nếu giả sử có điều kiện (*) ta có thể suy ra bài toán ban đầu.
Bài 4.2: Xét hệ
+ 2
(
)
(
)
=
(
)
(
)
⇔
[
=
(
)
(
)
⇔−
(
)
+
(
0
)
(
0
)
+
(
)
.
Chọn
=
{
∈
(
0,1
)
:
(
0
)
= 1
}
à =
{
∈
(
0,1
)
:
(
=
(
)
(
)
, ∀∈ (∗)
Ngược lại, giả sử có ∈ thỏa (*), lấy hàm ∈
(0, ) ta có
(
)
()
)
(
)
]
−
()
(
)
=
[
(
)
−2
(
)
−2
(
)
]
(
)
⇔
(
)
(
)
= (−1)
Copyright: Tài liệu đại học ©