BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

THẠCH THỊ HUỆ

NGHIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠO HÀM RIÊNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

THẠCH THỊ HUỆ

NGHIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠO HÀM RIÊNG

Chuyên ngành: Giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. BÙI KIÊN CƯỜNG

Hà Nội – Năm 2017

10

1.3

Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2 NGHIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO
HÀM RIÊNG TUYẾN TÍNH

24

2.1

Nghiệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2

Nghiệm cơ bản của một số phương trình đạo hàm riêng

31

2.2.1

Nghiệm cơ bản của phương trình Poisson . . . .

31

một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

KẾT LUẬN

41
46

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Thạch Thị Huệ

Lời cảm ơn
Sau thời gian cố gắng làm việc, dưới sự hướng dẫn tận tình, tỉ mỉ
của Thầy giáo - Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, khóa luận của em đã hoàn
thành. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Bùi Kiên Cường,
người đã giúp đỡ hướng dẫn em trong suốt quá trình học tập, nghiên
cứu và làm khóa luận này.
Bằng sự nỗ lực hết sức của bản thân bài khóa luận này đã được
hoàn thành. Song trong khuôn khổ thời gian có hạn và năng lực bản
thân còn nhiều hạn chế nên bài khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót.
Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô để bản
thân có thể tiếp tục hoàn thiện hơn nữa trong quá trình học tập.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017
Sinh viên


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Thạch Thị Huệ

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn. Sự phát triển
của toán học được đánh dấu bởi những ứng dụng của toán học vào
việc giải quyết các bài toán thực tiễn. Trong lĩnh vực toán học ứng
dụng thường gặp rất nhiều bài toán có liên quan đến phương trình
đạo hàm riêng. Tuy ra đời khá muộn so với các ngành toán học khác
nhưng phương trình đạo hàm riêng đã nhanh chóng khẳng định được
vị trí và tầm quan trọng của mình trong khoa học nói chung và toán
học nói riêng.
Để bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học và thực hiện khóa
luận tốt nghiệp, đồng thời yêu thích môn phương trình đạo hàm riêng,
em đã chọn đề tài “Nghiệm cơ bản của phương trình đạo hàm
riêng tuyến tính” để tìm hiểu về không gian hàm thử - đây là một
công cụ đắc lực trong việc giải phương trình đạo hàm riêng và bước
đầu tìm hiểu về phương pháp giải nghiệm cơ bản của phương trình
đạo hàm riêng thông qua hàm Green.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu nhằm giới thiệu sơ lược về không gian hàm
thử, đặc biệt quan trọng và mục tiêu chính đó là tìm hiểu phương
pháp giải nghiệm cơ bản của một phương trình đạo hàm riêng quan
trọng.
3. Đối tượng nghiên cứu

5



Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Thạch Thị Huệ

• Phần 3: Kết luận.
• Phần 4: Tài liệu tham khảo.

7


Chương 1
KHÔNG GIAN HÀM THỬ
1.1

Không gian hàm thử

Định nghĩa 1.1. Hàm thử là hàm khả vi vô hạn trên RN bị triệt tiêu
bên ngoài tập bị chặn. Không gian chứa tất cả các hàm thử được kí
hiệu là D(RN ) hay đơn giản là D.
*Ta thường gọi hàm khả vi vô hạn là hàm trơn.
Ví dụ 1.1.1. Hàm thử không tầm thường tồn tại là không hiển nhiên.
Trong trường hợp số biến N = 1, ta có hàm thử

ϕ(x) =



e(x2 −1)−1


0

nếu ngược lại

là hàm thử trên RN . Một cách khác để tạo ra hàm thử trên RN là
lấy tùy ý các hàm thử ϕ1 ,...,ϕN xác định trên R và ta có hàm thử
ϕ(x) = ϕ1 (x1 )ϕ2 (x2 )....ϕN (xN ).
Định lý 1.1. Không gian tất cả các hàm thử D là một không gian
vector. Hơn nữa, nếu ϕ, ψ ∈ D thì
(a) f ϕ ∈ D với mọi hàm trơn f,
(b) ϕ ◦ A ∈ D với mọi biến đổi affine A đi từ RN tới RN ,
(c) ϕ ∗ ψ ∈ D.
Định nghĩa 1.2. (Sự hội tụ của hàm thử) Cho ϕ1 , ϕ2 , ... và ϕ là
các hàm thử. Ta nói rằng dãy (ϕn ) hội tụ về ϕ trong D, kí hiệu là
D

→ ϕ, nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
ϕn −
(a) ϕ1 , ϕ2 , ... và ϕ bị triệt tiêu bên ngoài tập bị chặn S ⊂ RN ,
(b) Dα ϕn → Dα ϕ trên RN với mọi đa chỉ số α.
Ví dụ 1.1.2. Cho ϕ ∈ D và {vn } là dãy vector trong RN hội tụ về 0.
D

Hàm ϕn (x) = ϕ(x − vn ) thì ϕn −
→ ϕ. Hay nói cách khác, phép biến
đổi này là một toán tử liên tục trên D.
Cho ϕ ∈ D, và (an ) là dãy vô hướng hội tụ về vô hướng a. Thế thì
D

an ϕ −

→ f ϕ, với hàm trơn f nào đó xác định trên RN ,
(b) f ϕn −
D

(c) ϕn ◦ A −
→ ϕ ◦ A, với A là biến đổi affine nào đó đi từ RN vào RN ,
D

(d) Dα ϕn −
→ Dα ϕ, với đa chỉ số α nào đó.

1.2

Không gian hàm suy rộng

Định nghĩa 1.3. (Hàm suy rộng) Hàm suy rộng F trên RN là
hàm tuyến tính liên tục trên D(RN ). Hay nói cách khác, ánh xạ F:
D

D(RN ) −
→ C được gọi là hàm suy rộng nếu
(a) F (aϕ + bψ) = aF (ϕ) + bF (ψ) với mọi a, b ∈ C và ϕ, ψ ∈ D(RN ),
D

(b) F (ϕn ) → F (ϕ) (trong C) khi ϕn −
→ ϕ.
Không gian chứa tất cả các hàm suy rộng được kí hiệu là D (RN )
hay đơn giản là D . Để thuận tiện ta viết F, ϕ thay vì F (ϕ). Chú ý
rằng F, ϕ không phải là tích vô hướng.
Hàm suy rộng là khái niệm tổng quát của hàm số. Về mặt hình

F xác định bởi
F, ϕ =

ϕ,
Ω

là một hàm suy rộng. Nó là một hàm suy rộng chính quy vì
F, ϕ =

χΩ ϕ,
RN

trong đó χΩ là hàm đặc trưng của Ω.
Đặc biệt, nếu Ω = (0, ∞) × ... × (0, ∞), ta được hàm suy rộng
∞

H, ϕ =

∞

...
0

ϕ(x)dx1 ...dxN ,
0

hàm này được gọi là hàm Heaviside (Oliver Heaviside (1850-1925)).
Ta kí hiệu hàm suy rộng này là H, đồng thời đây cũng là hàm đặc
11


f ϕ.


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Thạch Thị Huệ

Từ đây, ta mong đợi rằng AF cũng giống như Af , ta có
AF, ϕ =

Af ϕ.

Nếu ta tìm được toán tử liên tục A∗ ánh xạ từ D vào D như sau
Af ϕ =

f A∗ ϕ,

thì nó hoàn toàn xác định, với hàm suy rộng F tùy ý,
AF, ϕ = F, A∗ ϕ .
Ví dụ, nếu phương pháp mô tả trên được sử dụng để tìm ra định nghĩa
đạo hàm của một hàm suy rộng thì ta cần chú rằng

RN

∂
f (x)ϕ(x)dx = −
∂xk

f (x)
RN

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Thạch Thị Huệ

Định lý 1.3. Nếu F là hàm suy rộng thì Dα F cũng là hàm suy rộng
với đa chỉ số α nào đó.
Chứng minh: Ta cần chỉ ra rằng Dα F tuyến tính và liên tục. Nếu
F là một hàm suy rộng thì
Dα F, aϕ + bψ = F, a(−1)|α| Dα ϕ + b(−1)|α| Dα ψ
= a F, (−1)|α| Dα ϕ + b F, (−1)|α| Dα ψ
= a Dα F, ϕ + b Dα F, ψ
D

D

do đó, Dα F tuyến tính. Hơn nữa, từ ϕn −
→ ϕ nghĩa là Dα ϕn −
→ Dα ϕ,
hàm Dα F liên tục. Do đó, Dα F là hàm suy rộng.
Ví dụ 1.2.4. Cho hàm Heaviside H của biến đơn x. Thế thì
d
H, ϕ
dx

d
= − H, ϕ
dx

∞



Thạch Thị Huệ

hàm suy rộng (Fn ) hội tụ về hàm suy rộng F nếu
Fn , ϕ → F, ϕ với mọi ϕ ∈ D.
Dạng hội tụ này được gọi là hội tụ yếu và được kí hiệu là Fn → F
hoặc lim Fn = F .
n→∞

Ví dụ 1.2.5. Cho dãy hàm liên tục f1 , f2 , ... trên RN . Giả sử fn → f
trên mọi tập con compact của RN với f là hàm liên tục. Ta luôn xác
định được hàm mở rộng chính quy
Fn , ϕ =

fn ϕ,

n = 1, 2, ...

RN

và
F, ϕ =

f ϕ.
RN

thì Fn → F . Thật vậy, nếu Ω là miền xác định của hàm thử ϕ thì
Fn , ϕ =

fn ϕ →

RN

với mọi ϕ ∈ D.
Thay vì nói “dãy hàm suy rộng chính quy sinh bởi dãy hàm (fn )
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Thạch Thị Huệ

hội tụ về hàm suy rộng F ”, ta thường nói đơn giản là “dãy hàm (fn )
hội tụ về hàm suy rộng F theo nghĩa hàm suy rộng” hay “dãy (fn ) hội
tụ suy rộng về F ”.
Ví dụ 1.2.7. Xét dãy hàm trên R xác định bởi công thức:
fn (x) =

n
,
π(1 + n2 x2 )

n = 1, 2, ....

Ta sẽ chỉ ra rằng dãy (fn ) hội tụ suy rộng về hàm suy rộng Dirac delta
δ.
Cho hàm thử ϕ có giá trong đoạn [−a, a]. Ta cần chỉ ra
∞

fn (x)ϕ(x)dx → ϕ(0) khi n → ∞,
−∞

−a

≤ ϕ(0)

fn (x)dx
−∞

a

fn (x)(ϕ(x) − ϕ(0))dx

+
−a

−∞

+ ϕ(0)

fn (x)dx .
a

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Thạch Thị Huệ

Lấy tích phân trực tiếp, ta được
∞


a

fn (x)(ϕ(x) − ϕ(0))dx ≤
−a

|fn (x)(ϕ(x) − ϕ(0))|dx
−a
a

≤ max|ϕ”(x)|

|xfn (x)|dx,
−a

từ |ϕ(x) − ϕ(0)| ≤ max|ϕ”(x)||x|, ( theo định lí giá trị) và
a
n→∞

ln(1 + n2 a2 )
= 0.
n→∞
πn

|xfn (x)|dx = lim

lim

−a



ϕ(x)dx và

ϕ1 (x)dx = 0.

−∞

−∞

Cho F ∈ D (R). Ta xác định được hàm G trên D thỏa mãn công thức
G, ϕ = G, Kϕ0 + ϕ1 = KC0 − F, ψ ,
ở đó C0 là hằng số và ψ là hàm thử xác định bởi
x

ψ(x) =

ϕ1 (t)dt.
−∞

thì G là hàm suy rộng và G = F .
Ta hoàn toàn có thể chứng minh được rằng nếu G1 và G2 là nguyên
hàm của hàm suy rộng F thì G1 − G2 là hàm hằng và đặc biệt luôn
tồn tại hằng số C sao cho
∞

G1 − G2 , ϕ = C

ϕ(x)dx
−∞





e(x2 −1)−1

nếu |x| < 1,


0

nếu ngược lại.

không phải là phần tử của D((−1, 1)). Mặt khác, hàm ψ(x) = ϕ(αx)
là một phần tử của D((−1, 1)) với mọi α > 1.
Định nghĩa 1.8. (Hội tụ trong D(Ω)) Cho các hàm thử ϕ1 , ϕ2 , ...
và ϕ trên Ω. Ta nói rằng dãy {ϕn } hội tụ về ϕ trong D(R), kí hiệu
bởi ϕn → ϕ trong D(R), nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
(a)

ϕ1 , ϕ2 , ... và ϕ bị triệt tiêu bên ngoài tập compact S ∈ Ω,

(b) Dα ϕn → Dα ϕ trên Ω với mọi đa chỉ số α.
19


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Thạch Thị Huệ

Định nghĩa 1.9. (Không gian hàm suy rộng trên tập con mở


1.3

Không gian Sobolev

Việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng một cách tự nhiên bao
hàm cả việc nghiên cứu các không gian hàm được xác định không chỉ
bởi các hàm thành phần mà còn bởi đạo hàm của chúng. Không gian
Banach của tất cả các hàm liên tục bị chặn trên clΩ, trong đó Ω là
tập mở trong RN , với chuẩn hội tụ đều, có phần không phù hợp trong
việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng. Thật vậy, ví dụ nếu
∂ 2u
∂ 2u
+ ... + 2 = f,
∂x21
∂xN
và f liên tục, điều nói nói chung không đúng với u ∈ C 2 (Ω). Việc tìm
20


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Thạch Thị Huệ

ra không gian Sobolev đã tạo ra nhiều hữu ích trong việc nghiên cứu
về phương trình đạo hàm riêng. Trong phần này, ta cùng đi nghiên
cứu về một số định nghĩa cơ bản và thảo luận về một số tính chất
của không gian Sobolev. Xuyên suốt phần này, ta kí hiệu Ω là tập mở
trong RN .
Định nghĩa 1.11. (Không gian Sobolev) Cho số nguyên m ≥


||u||1,p,Ω =
Ω

k=1

21

Ω

∂u
∂xk

p

1
p

,


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


||u||2,p,Ω

Thạch Thị Huệ

N
p

Chú ý rằng, nếu m1 > m2 thì
W m1 ,p (Ω) ⊂ W m2 ,p (Ω) ⊂ Lp (Ω)
và
||u||m1 ,p,Ω ≥ ||u||m2 ,p,Ω ≥ ||u||Lp (Ω) ,
với u ∈ W m1 ,p (Ω).
Định lý 1.9. Không gian Sobolev W m,p (Ω) là không gian Banach.
Nếu p < ∞ thì tách được.
Định lý 1.10. Toán tử vi phân Dα là ánh xạ liên tục đi từ W m,p (Ω)
vào W m−|α|,p (Ω) với |α| ≤ m.
Chứng minh Kí hiệu Dj là đạo hàm đối với biến thứ j. Xét
u ∈ W m,p (Ω), ta có
||Dα Dj u||pLp (Ω) ≤

||Dj u||pm−1,p,Ω =

|α|≤m−1

p

||Dβ u||Lp (Ω) = ||u||pm,p,Ω .
|β|≤m

Đây là phần chứng minh trong trường hợp toán tử vi phân bậc 1,
trường hợp tổng quát tương tự.
Định lý 1.11. Cho f là hàm trên Ω sao cho Dα f bị chặn trên Ω với
mọi |α| ≤ m. Phép nhân bởi f là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ
W m,p (Ω) vào W m,p (Ω).
Ánh xạ ϕ : Ω → RN được gọi là C r -vi phôi (r ∈ N) nếu các điều
kiện sau được thỏa mãn:
22


Ω

Không gian W m,2 (Ω) đẳng cấu với không gian Hm (Ω) và tích vô hướng
(1.3) tạo ra chuẩn (1.2) với p = 2. Không gian Lp (Ω) là trường hợp
đặc biệt của không gian Sobolev với m = 0. Ta kí hiệu ||.||0,p,Ω là
chuẩn của hàm trong Lp (Ω). Khi Ω = RN , không gian Hm (RN ) được
xác định theo biến đổi Fourier.

23