ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
TRIỆU THỊ MẬN
PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH
PHÂN GIẢI CÁC BÀI TOÁN BIÊN CỦA
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2013
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
TRIỆU THỊ MẬN
PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH
PHÂN GIẢI CÁC BÀI TOÁN BIÊN CỦA
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60 46 36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Giáo viên hướng dẫn:
TS NGUYỄN VĂN NGỌC
Thái Nguyên - 2013
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Mục lục
Mở đầu 3
1 BIẾN ĐỔI FOURIER 5
1.1 Một số kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Không gian L
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Các bất đẳng thức và các định lý về tích phân . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Biến phân bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.1 Khái niệm về hàm Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.2 Biến đổi tích phân Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2 Các bài toán áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.1 Bài toán Dirichlet cho nửa không gian đối xứng trục . . . . . . 40
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2.2.2 Phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.3 Phương trình Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.4 Phương trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.5 Bài toán biên hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 BIẾN ĐỔI LAPLACE 50
3.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.2 Các tính chất của biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Biến đổi Laplace ngược (Công thức Bromưich) . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Một số bài toán áp dụng của biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.1 Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.2 Phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Kết luận 62
Tài liệu tham khảo 63
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Mở đầu
Nhiều quá trình vật lý trong tự nhiên phát triển theo thời gian trên những miền
mà ta có thể giải được nếu ta coi chúng có kích thước vô hạn hay nửa vô hạn. Vì lý
do này, việc sử dụng biến đổi Fourier, biến đổi Laplace, biến đổi Hankel được coi là
công cụ giải tích mạnh nhất để giải các phương trình đạo hàm riêng được các nhà toán
học và kỹ sư nghiên cứu. Mục đích của luận văn này là để minh họa các cách sử dụng
của biến đổi Fourier, biến đổi Laplace và biến đổi Hankel vào các bài toán cụ thể. Sự

chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiến thức, khả năng nghiên cứu,
tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình,
bạn bè và các đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tôi quá trình học tập của mình.
Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu
sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô để luận văn được hoàn
thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, ngày 04 tháng 05 năm 2013.
Người thực hiện
Triệu Thị Mận
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Chương 1
BIẾN ĐỔI FOURIER
Trong chương này trình bày lý thuyết tóm tắt của biến đổi Fourier, Fourier-sin,
Fourier-cosin và giải một số phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân dạng
chập bằng phương pháp biến đổi tích phân Fourier. Nội dung chính của chương này
được hình thành từ các tài liệu [1], [2], [3], [4] và [5].
1.1 Một số kiến thức bổ trợ
1.1.1 Không gian L
p
Với p là số thực: 1  p < ∞, Ω ∈ R
n
ta định nghĩa L
p
(Ω) là lớp các hàm f(x) xác
định trên Ω, sao cho
f
p
=

Hàm xác định trên Ω được gọi là chủ yếu bị chặn trên Ω, nếu tồn tại hằng số dương
C, sao cho |f(x)|  C hầu khắp nơi trên Ω. Cận dưới lớn nhất của các hằng số C được
ký hiệu là ess sup
x∈Ω
|f(x)|.
Ta ký hiệu L
∞
(Ω) là không gian của tất cả các hàm chủ yếu bị chặn trên Ω. Chuẩn
trong L
∞
(Ω) được xác định theo công thức
f
∞
= esssup
x∈Ω
|f(x)|
trong đó sup lấy trên tất cả các phân hoạch đơn vị của [a, b].
Dưới đây là mệnh đề quan trọng về sự trù mật trong L
p
.
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Định lý 1.1. (về sự trù mật)
(i) Nếu khoảng (a, b) là hữu hạn thì các lớp hàm sau đây sẽ trù mật khắp nơi trong
L
p
(a, b):
M−lớp các hàm bị chặn,
C−lớp các hàm liên tục,
S−lớp các hàm bậc thang,

p
+ g
p
.
Định lý 1.4 (Định lý Lebesgue). Giả sử trên Ω cho dãy các hàm khả tổng {f
k
(x)}
∞
1
hội tụ hầu khắp nơi đến hàm f(x). Nếu tồn tại hàm thực F (x)  0, F(x) ∈ L
1
(Ω),
sao cho |f
k
(x)|  F(x), x ∈ Ω, ∀k thì f(x) ∈ L
1
(Ω) và lim
k→∞
f
k
(x)dx =

Ω
f(x) dx.
Định lý 1.5 (Định lý Fubini). Cho F (x, y) khả tích trên Ω
1
× Ω
2
. Khi đó x →


×Ω
2
F (x, y) dxdy.
1.1.3 Biến phân bị chặn
Định nghĩa 1.1. Cho f là hàm số ( thực hoặc phức ) xác định trên đoạn [a, b]. Giả sử
p = {x
0
, x
1
, . . . , x
n
} là một phân hoạch của đoạn [a, b], nghĩa là a = x
0
< x
1
< . . . <
x
n
= b. Hàm số f(x) được gọi là có biến phân bị chặn trên đoạn [a, b], nếu
V (f) = V
b
a
(f) = sup
p
n

i=1
|f(x
i
) − f(x

∗ Các tính chất của hàm có biến phân bị chặn
1) Hàm nhận giá trị phức biến thực f(x) có biến phân bị chặn trên [a, b], khi và chỉ
khi phần thực và phần ảo của nó có biến phân bị chặn trên [a, b].
2) Nếu f(x) có biến phân bị chặn thì f(x) bị chặn: |f(x)| ≤ |f(a)| + V
b
a
(f).
3) Giả sử f (x) là hàm số thực. Hàm f(x) có biến phân bị chặn trên [a, b] khi và chỉ
khi nó là hiệu hàm đơn điệu tăng và bị chặn trên [a, b]:
f(x) = g(x) − h(x).
1.1.4 Tích phân Riemann và tích phân Dirichlet
Bổ đề 1.1 (Bổ đề Riemann). Nếu g(t) khả tích tuyệt đối trên khoảng hữu hạn hoặc vô
hạn [a, b], thì
lim
p→∞
b

a
g(t) sin pt dt = 0, lim
p→∞
b

a
g(t) cos pt dt = 0.
Định lý 1.6 (Bổ đề Dirichlet). Nếu hàm g(t) đơn điệu tăng và bị chặn trên đoạn
[o, h], h > 0, thì
lim
p→∞
h


f(ξ) = F [f](ξ) =
∞

−∞
f(x)e
−ixξ
dx, ξ ∈ R, (1.1)
và biến đổi Fourier ngược của f là:
˘
f(ξ) = F
−1
[f](ξ) =
1
2π
∞

−∞
f(x)e
ixξ
dx. (1.2)
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Nhận xét rằng vì f ∈ L
1
(R) và |e
±iξ
| = 1, nên các tích phân (1.1) và (1.2) hội tụ
∀ξ ∈ R. Ngoài ra, giữa biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược có quan hệ sau:
˘
f(ξ) =

được gọi là hạch Dirichlet và có liên quan đến tích phân sau
đây:
∞

0
sin λy
y
dy =
π
2
signλ.
Ví dụ 1.2 (Hạch Poisson). Xét biến đổi Fourier của hàm số e
−t|x|
, t > 0. Ta có:
I =
∞

−∞
e
−t|x|
e
−ixξ
dx = 2
∞

0
e
−tx
cos xξ dx.
Thực hiện tính toán ta được

|f(x)|dx = f
1
.
2)
ˆ
f(ξ) = F [f](ξ) là hàm liên tục trong R. Thật vậy, với ξ, h ∈ R, ta có:
|
ˆ
f(ξ + h) −
ˆ
f(ξ)| ≤
∞

−∞
|f(x)||e
−ixξ
||e
−ixh
− 1|dx  2
∞

−∞
|f(x)|dx = 2f
1
.
Theo định lý Lebesque, ta có:
lim
h→0
|
ˆ

k
→ f ∈ L
1
(R), k → ∞
trong L
1
(R
n
), thì
lim
k→∞
F [f
k
] = F [f].
Thật vậy, ta có
|F [f] − F [f
k
]| ≤
∞

−∞
|f(x) −f
k
(x)|dx = f − f
k

1
.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
4) Đinh lý Riemann-Lebesque: Nếu f ∈ L

Với mỗi ε > 0, ta chọn hàm bậc thang s(x), sao cho
∞

−∞
|f(x) −s(x)|dx < ε.
Mặt khác, ta có
ˆs(ξ) =
k

j=1
A
j

I
j
e
iξx
dx =
k

j=1
A
j
e
iβ
j
ξ
− e
iα
j

∞

−∞
f
1
(ξ)
ˆ
f
2
(ξ) dξ.
Thật vậy, vì
∞

−∞
∞

−∞
|f
1
(ξ)||f
2
(y)|dξdy =
∞

−∞
|f
1
(ξ)|dξ
∞



−∞
f
2
(y){
∞

−∞
f
1
(ξ)e
−iξy
dξ}dy
=
∞

−∞
f
1
(ξ){
∞

−∞
f
2
(y)(ξ)e
−iξy
dy}dξ.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
6) Biến đổi Fourier của dịch chuyển:

a) Nếu f, g ∈ L
1
(R), thì f ∗ g ∈ L
1
(R). Thật vậy, theo định lý Fubini, ta có
∞

−∞
|(f ∗ g)(x)|dx 
∞

−∞
{
∞

−∞
|f(x −y)g(y)|dy}dx
=
∞

−∞
{
∞

−∞
|f(x −y)|dx}|g(y)|dy
=
∞

−∞

∞

−∞
f(y)g(x − y) dy}e
−ixξ
dx.
Áp dụng định lý Fubini, sau đó đổi biến x − y = t, ta có
F [f ∗ g] =
∞

−∞
f(y){
∞

−∞
g(t)e
−itξ
dt}e
−iyξ
dy = F [f]F [g].
8) Biến đổi Fourier của đạo hàm. Cho f(x) ∈ L
1
(R) với D
α
f ∈ L
1
(R) và f liên tục
tuyệt đối trong mọi khoảng hữu hạn. Khi đó:
F [D
α

∞

−∞
f

(x)e
−ixξ
dx =
∞

−∞
e
−ixξ
d(f(x)).
Tích phân từng phần đẳng thức trên đây và chú ý f(±∞) = 0 ta được
F [f

](ξ) = (iξ)F [f](ξ).
9) Nếu D
α
(f) ∈ L
1
(R), thì
D
α
ξ
F [f](ξ) = F [(−ix)
α
f(x)](ξ).
Thật vậy, theo giả thiết ta có:

1
(R),
ˆ
f = F [f], xét tích phân
˘
ˆ
f(x) =
1
2π
∞

−∞
ˆ
f(ξ)e
ixξ
dξ, (1.4)
trong đó tích phân hiểu theo nghĩa chính Cauchy. Ta gọi tích phân (1.4) là tích phân
Fourier của f, và nó cũng chính là biến đổi Fourier ngược của
ˆ
f = F [f] với F [f] ∈
L
1
(R).
Trong phần này chúng ta quan tâm đến đẳng thức
˘
ˆ
f(x) =
1
2π
∞

x
(t)|
dt
t
< ∞, ϕ
x
(t) = [f(x + t) + f(x −t)] −2f
∗
(x) (1.6)
thì lim
N→∞
f
N
(x) = f
∗
(x) = f (x), nếu x là điểm liên tục của f(x) và bằng f
∗
(x) =
1
2
[f(x + 0) + f(x − 0)], nếu x là điểm gián đoạn loại 1 của f(x).
Chứng minh. Ta có:
f
N
(x) =
1
2π
N

−N

dt
=
1
π
∞

0
[f(x + t) −f(x − t)]
sin Nt
t
dt
=
1
π
δ

0
[f(x + t) −f(x − t)]
sin Nt
t
dt +
1
π
∞

δ
[f(x + t) −f(x − t)]
sin Nt
t
dt.

sin Nt
t
dt =
1
π
δ

0
2f
∗
(x)
sin Nt
t
dt +
1
π
∞

δ
2f
∗
(x)
sin Nt
t
dt.
Ta có:
2f
∗
(x)
π

t
dt. (1.8)
Suy ra
lim
N→∞
[f
N
(x) − f
∗
(x)] = lim
N→∞
1
π
δ

0
ϕ
x
(t)
sin Nt
t
dt. (1.9)
Do đó nếu điều kiện Dini (1.6) được thỏa mãn thì chúng ta có thể áp dụng bổ đề
Riemann cho tích phân ở vế phải của (1.9), nghĩa là
lim
N→∞
[f
N
(x) − f
∗

1
2
[f(x + 0) + f(x −0)]).
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Chứng minh. Ta biến đổi tích phân Fourier f
N
(x) ở dạng
f
N
(x) =
1
π
δ

0
[f(x + t) −f(x − t)]
sin Nt
t
dt +
1
π
∞

δ
[f(x + t) −f(x − t)]
sin Nt
t
dt.
Trên đây chúng ta đã chứng tỏ được rằng tích phân thứ hai tiến đến không khi N → ∞.

1
và bị chặn cần thiết cho những mục sau. Giả sử f ∈ L
1
(R). Đối
với h bất kỳ ta đặt
f
h
(x) = f(x + h)
và ta có
f
h

1
= f
1
.
tiếp theo ta đặt
W (h, f) = f − f
h

1
.
Dễ thấy rằng
W (h, f
1
+ f
2
) ≤ W(h, f
1
) + W (h, f

ε
4
.
Cuối cùng, đối với χ(x) và ε > 0, ta chọn δ = δ(ε), sao cho
W (h, χ) <
ε
2
, khi |h| < δ.
Ta có
W (h, f) ≤ W (h, f − χ) + W (h, χ) ≤ 2f − χ
1
+ W (h, χ) < 2.
ε
4
+
ε
2
= ε.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.2. Giả sử f(x), g(x) là các hàm bị chặn từ lớp L
1
(R). Khi đó tích phân
h(x) =
∞

−∞
f(x + y)g(y) dy =
∞

−∞

|f(x + y) − f(x + y + t)||g(y)|dy  M
g
W (t, f) → 0, t → 0.
Như vậy h(x) là hàm liên tục trên R. Hàm h(x) ∈ L
1
(R) được suy ra từ tính chất của
tích chập.
Mệnh đề 1.3. Giả sử f(x) là hàm bị chặn trên R và thuộc L
1
(R). Nếu
ˆ
f(ξ) = F [f] ≥
0, ∀ξ ∈ R thì
ˆ
f(ξ) ∈ L
1
(R).
Chứng minh. Giả sử |f(x)| ≤ M. Xét cặp Abel-Poisson
K(x) = e
−|x|
, H(t) =
2
1 + t
2
.
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Ta có
F [K](t) = H(t), F


du
=
∞

−∞
f(x + t) {σH(σt)} dt =
∞

−∞
f(x +
t
σ
)H(t) dt.
|f
σ
(x, K) ≤ M
∞

−∞
H(t) dt = M2π, ∀x, |f
σ
(x, K)| ≤ 2πM.
Suy ra
lim
σ→∞
∞

−∞
F [f](u)e
−|u|


−B
F [f](u) du > A,
mâu thuẫn với (1.10). Vậy F [f] ∈ L
1
(R). Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.4 (Đẳng thức Parseval). Giả sử f là hàm bị chặn trên R và f ∈ L
1
(R),
ˆ
f(ξ) =
F [f]. Khi đó
∞

−∞
|f(x)|
2
dx =
1
2π
∞

−∞
|
ˆ
f(ξ)|
2
dξ.
Chứng minh. Xét hàm số
h(x) =


−∞
|F [f]|
2
e
ixu
du.
Cho x = 0, ta được
h(0) =
∞

−∞
|f(y)|
2
dy =
1
2π
∞

−∞
|F [f]|
2
dξ.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.5 (Đẳng thức Parseval suy rộng). Nếu f(x) và g(x) là những hàm bị chặn
trên R và thuộc L
1
(R), thì
∞


(R) và được goi là biến đổi Fourier của hàm
f ∈ L
2
(R) : F(u) = F [f](u) ∈ L
2
(R). Còn công thức
f(x) =
1
2π
d
dx
∞

−∞
F(u)
e
ixu
− 1
iu
du (1.12)
cũng đúng hầu khắp nơi.
Ngoài ra có đẳng thức Parseval sau đây:
∞

−∞
|F(u)|
2
du = 2π
∞


ta có
∞

−∞
|F [f
n
](u)|
2
du = 2π
∞

−∞
|f
n
(x)|
2
dx. (1.15)
Từ (1.15) suy ra với mọi n ≥ 1, m ≥ 1, ta có
∞

−∞
|F [f
n
](u) − F [f
m
](u)|
2
du = 2π
∞


|F [f
n
](u)|
2
du = 2π lim
n→∞
∞

−∞
|f
n
(x)|
2
dx
= 2π
∞

−∞
|f(x)|
2
dx.
Vậy đẳng thức (1.13) được chứng minh.
Vì tích phân
F [f
n
](u) =
∞

−∞
f

−iut
− 1
−it
dt.
Vì F [f](u) và f(t) tương ứng là giới hạn trung bình của các dãy hàm {F [f
n
(u)} và
{f
n
(t)}, ngoài ra
e
−iut
− 1
−it
∈ L
2
(−∞, ∞)
nên chuyển qua giới hạn n → ∞ ta được
ξ

0
F [f](u) du =
∞

−∞
f(t)
e
−iut
− 1
−it

du
ξ

0
e
−iut
− 1
−iu
dt =
ξ

0
e
−iut
dt =
e
−iut
− 1
−iu
.
Do đó áp dụng công thức Parseval suy rộng ta có
ξ

0
f(x) dx =
1
2π
∞

−∞

iux
du. (1.19)
Chứng minh. Với f ∈ L
2
(R) và N > 0, ta đặt
f
N
(x) =



f(x), nếu x ∈ (−N, N),
0, nếu x /∈ (−N, N).
Ta có
F [f
N
] =
d
du
∞

−∞
f
N
(t)
e
−iut
− 1
−it
dt =

2π
d
dx
∞

−∞
F(−u)
e
iut
− 1
iu
du.
Ta đặt
F
N
(u) =



F(u), nếu u ∈ (−N, N),
0, nếu u /∈ (−N, N).
và
f
N
(x) =
1
2π
F [F(−u)] =
1
2π

Theo đẳng thức Parseval ta có
∞

−∞
|f(x) −f
N
(x)|
2
dx =
1
2π
∞

−∞
|F(−u) − F
N
(−u)|
2
du
=
1
2π
∞

−∞
|F(u) − F
N
(u)|
2
du =

2
. (1.21)
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2) Với mọi x ∈ (−∞, ∞) có đẳng thức
∞

−∞
ˆ
f(u)ˆg(u)e
ixu
du = 2π
∞

−∞
f(x −y)g(y) dy. (1.22)
Chứng minh. Trước hết nhận xét rằng bất đẳng thức (1.21) nhanh chóng được chứng
minh nhờ bất đẳng thức Bunhiakovski. Tiếp theo, với mỗi x cố định ta có
F [f(x + t)] = lim
N→∞
N

−N
f(x + t)e
−iut
dt = e
iux
lim
N→∞
N

f(u)ˆg(u) du = 2π
∞

−∞
f(x + t)g(−t) dt = 2π
∞

−∞
f(y)g(x − y) dy
Từ đó suy ra công thức (1.22) được chứng minh.
Cuối cùng, vì
ˆ
f(u), ˆg(u) ∈ L
2
(R), nên
ˆ
f(u).ˆg(u) ∈ L
2
(R), do đó tích phân ở vế phải
của (1.21) hội tụ đều trên toàn bộ trục số −∞ < x < ∞. Từ đó suy ra các khẳng định
còn lại của định lý. Định lý (1.13) được chứng minh.
Định lý 1.14. Nếu f ∈ L
2
(R), g ∈ L
1
(R), thì tích chập
h(x) = (f ∗ g)(x) =
∞

−∞

21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
= g
1
∞

−∞
|f(y)|
2
|g(x − y)|dy.
Suy ra
f ∗ g
2
2
=
∞

−∞
|h(x)|
2
dx ≤ g
1
∞

−∞
|f(y)|
2
dy
∞


1
(R) ∩ L
2
(R). Để chứng minh chúng ta sử dụng đẳng thức (1.22). Trong
trường hợp này ta có
ˆ
f(u) ∈ L
2
(R), ˆg(u) ∈ L
2
(R) ∩ C
0
,
f ∗ g ∈ L
2
(R) ∩ C
0
,
ˆ
f(u)ˆg(u) ∈ L
1
(R) ∩ L
2
(R).
Đẳng thức (1.22) được viết lại ở dạng
2πF
−1
[
ˆ
f ˆg] = 2π(f ∗ g),


−∞
ˆ
f(u)e
iux
du,
nghĩa là sự hội tụ của tích phân trên đây được hiểu theo nghĩa giá trị chính.
22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1.5 Bài toán Dirichlet cho nửa mặt phẳng
Xét bài toán sau đây. Tìm hàm u(x, y) thỏa mãn phương trình
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
= 0, −∞ < x < ∞, 0 < y < ∞ (1.24)
và các điều kiện
u(x, 0) = g(x), −∞ < x < ∞, (1.25)
u(±∞, y) = 0, u
x
(±∞, y) = 0, u(x, +∞) = 0. (1.26)
Lời giải hình thức: Để giải bài toán (1.24)-(1.26), ta sử dụng phương pháp biến đổi
Fourier. Với mỗi một y cố định, lấy biến đổi Fourier (thuận) theo x hai vế của (1.24),

dx +
∞

−∞
e
−iξx
∂
2
u
∂y
2
dx = 0. (1.27)
Ta có
∞

−∞
e
−iξx
∂
2
u
∂y
2
dx =
d
dy
∞

−∞
e

,
trong đó A(ξ), B(ξ) là các hàm số bất kỳ theo ξ. Từ điều kiện thứ ba trong (1.26) suy
ra ˆu(ξ, +∞) = 0. Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi B(ξ) ≡ 0.
Như vậy ta có
ˆu(ξ, y) = A(ξ)e
−|xi|y
, u(x, y) =
1
2π
∞

−∞
A(ξ)e
−|xi|y
e
xiξ
dξ. (1.29)
Để tìm hàm A(ξ) ta cần phải sử dụng đến điều kiện (1.25). Ta có
u(x, 0) = g(x) =
1
2π
∞

−∞
A(ξ)e
ixξ
dξ ⇒ A(ξ) =
∞

−∞