ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Lâm Quang Thiện
TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố HỒ CHÍ MINH - 2010
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Lâm Quang Thiện
TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
Chuyên ngành: Lý Thuyết Tối Ưu Và Hệ Thống
Mã số: 60 46 20
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người Hướng Dẫn Khoa Học: GS. TSKH. Đỗ Công Khanh
Thành phố HỒ CHÍ MINH - 2010
1
Lời nói đầu
Lý thuyết điều khiển toán học là một trong những lĩnh vực Toán học ứng
dụng quan trọng. Các khái niệm điều khiển được và quan sát được đã trở
thành trung tâm của lý thuyết điều khiển bởi các công trình của R. Kalman
vào những năm 1960. Rất nhanh sau đó, những công trình này được tổng
quát hoá cho các hệ vô hạn chiều. Những người đầu tiên đóng góp cho sự
tổng quát hoá này ta có thể kể tới D.L. Russell, H. Fattorini, T. Seidman và
J L. Lions. Trong đó Lions đã tạo ra ảnh hưởng to lớn và sâu sắc thông qua
cuốn sách [13], cuốn sách này cho tới nay vẫn là nguồn cảm hứng chính cho
rất nhiều nhà nghiên cứu.
Không giống như trong lý thuyết điều khiển hữu hạn chiều, với các hệ vô
hạn chiều có rất nhiều khái niệm về điều khiển được và quan sát được (các
khái niệm này là không tương đương). Trong đó khái niệm mạnh nhất đó

1 Một số kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Tính chính quy của biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Công thức hàm Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử sinh . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Phổ và giải thức (resolvent) của một toán tử . . . . . . . . . . 12
1.6 Không gian con bất biến của nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Toán tử chéo hoá được và nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8 Nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.9 Các không gian X
1
và X
−1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.10 Toán tử dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.11 Dirichlet Laplacian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.12 Toán tử phản liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.13 Toán tử quan sát chấp nhận được . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Tính quan sát được và điều khiển được cho hệ tuyến tính
hữu hạn chiều 25
2.1 Tính quan sát được và điều khiển được cho hệ tuyến tính hữu
hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Điều kiện Hautus cho hệ tuyến tính hữu hạn chiều . . . . . . . 29
3 Tính quan sát được 33
3.1 Một số khái niệm về tính quan sát được . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Một số ví dụ dựa trên phương trình sóng một chiều . . . . . . 36
3.3 Điều kiện cần Hautus cho tính quan sát được chính xác . . . . 39
3.4 Điều kiện Hautus cho tính quan sát được chính xác với toán
tử sinh phản liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5 Điều kiện phổ cho tính quan sát được chính xác với toán tử

Z
1
≤ cG
∗
z
Z
2
∀z ∈ Z
3
;
3. Tồn tại toán tử L ∈ L(Z
1
, Z
2
) sao cho F = GL.
1.1 Tính chính quy của biên
Trong hai Định nghĩa sau ta trình bày về tính chính quy của biên ∂Ω.
Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω là tập con mở của R
n
. Biên ∂Ω là Lipschitz nếu
tồn tại L ≥ 0 (gọi là hằng số Lipschitz của ∂Ω) sao cho các tính chất sau
thoả: với mọi x ∈ ∂Ω, tồn tại một lân cận V của x trong R
n
và một hệ toạ
độ trực chuẩn ký hiệu là (y
1
, , y
n
) sao cho
1. V là hình chữ nhật trong hệ toạ độ mới,

n
2
với mọi y

= (y
1
, , y
n−1
) ∈ V

,
Ω ∩ V = {y = (y

, y
n
) ∈ V | y
n
< ϕ(y

)},
∂Ω ∩V = {y = (y

, y
n
) ∈ V | y
n
= ϕ(y

)}.
Hay là, trong lân cận của điểm bất kỳ x ∈ ∂Ω, tập Ω nằm bên dưới đồ thị

) và chuẩn L
∞
của
ϕ và m (tương ứng m + 1) đạo hàm đầu tiên là giới nội đều.
Ví dụ, phần trong của một đa giác lồi trong R
2
có biên Lipschitz, nhưng
biên của nó lại không thuộc lớp C
1
. Nếu Ω = {(x, y) ∈ R
2
| y > sin x} thì
∂Ω thuộc lớp C
m
với mọi m, nhưng nếu ta thay sin x bằng sin(x
2
) thì ∂Ω là
không Lipschitz.
x
y
Ω
Hình 1.1. Tập Ω = {(x, y) ∈ R
2
| y > sin x}.
1.2 Công thức hàm Green 7
x
y
Ω
Hình 1.2. Tập Ω = {(x, y) ∈ R
2

g)ν
l
dσ, (1.1)
với ν
l
ký hiệu thành phần thứ l của trường véctơ pháp đơn vị hướng ngoài,
và γ
0
f = f|
∂Ω
∀f ∈ C
1
(clos Ω).
Giả sử v ∈ H
1
(Ω, C
n
) và g ∈ H
1
(Ω). Nếu ta lấy f = v
l
trong (1.1) và lấy
tổng với mọi l = 1, 2, . . . , n, khi đó ta thu được công thức:

Ω
(div v)gdx +

Ω
v · ∇gdx =


(J; U) gồm những hàm trong H
1
(J; U) sao
cho nó biến mất tại những điểm cuối của J (chúng có giới hạn bằng 0 ở đây).
Với khoảng J bất kỳ, C(J; X) = C
0
(J; X) gồm những hàm liên tục từ J vào
X; C
m
(J; X) (với m ∈ N) gồm những hàm từ J vào X khả vi m lần và có
đạo hàm cấp ≤ m thuộc C(J; X). Những hàm trong C
m
(J; X) cũng được
gọi là những hàm thuộc lớp C
m
.
1.4 Nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử sinh
Họ các toán tử (e
tA
)
t≥0
(với A là toán tử tuyến tính trên không gian véctơ
hữu hạn chiều) đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết hệ thống, bởi vì nó
mô tả sự phát triển của trạng thái của một hệ tuyến tính với sự vắng mặt
của đầu vào. Nếu chúng ta muốn nghiên cứu những hệ có không gian trạng
thái là một không gian Hilbert, thì chúng ta cần sự tổng quát một cách tự
nhiên của một họ như thế thành một họ các toán tử tác động lên không gian
Hilbert. Những sự tổng quát khác nhau đều có thể, nhưng dường như khái
niệm về nửa nhóm liên tục mạnh là hợp lý hơn. Lý thuyết về những nửa
nhóm như thế là một phần quan trọng của giải tích hàm.

. Hơn nữa z(t + τ ) = T
t
z(τ), vì thế quá trình không thay đổi bản
chất của nó theo thời gian.
Một lớp đơn giản của các nửa nhóm liên tục mạnh được cho như sau: đặt
A ∈ L(X) và
T
t
= e
tA
=
∞

k=0
(tA)
k
k!
. (1.4)
1.4 Nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử sinh 9
Nhận thấy rằng dãy này hội tụ trong L(X) với mọi t ≥ 0 và hàm T
t
là liên
tục đều lim
t→0
||T
t
− I|| = 0. Từ (1.4) ta có
||e
tA
|| ≤ e

t
||
2. Với mọi ω > ω
0
(T), tồn tại một M
ω
∈ [1, ∞) sao cho
||T
t
|| ≤ M
ω
e
ωt
∀t ∈ [0, ∞). (1.7)
3. Hàm ϕ : [0, ∞) ×X → X được định nghĩa bởi ϕ(t, z) = T
t
z là liên tục
(ứng với topô tích).
Chứng minh. Cho z ∈ X. Từ tính liên tục bên phải của hàm t → T
t
z tại
t = 0, suy ra rằng tồn tại một τ > 0 sao cho hàm này là giới nội trên [0, τ].
Theo tính chất nửa nhóm, hàm như vậy là giới nội trên [0, T ], với mọi T > 0.
Áp dụng định lý giới nội đều, ta suy ra rằng hàm t → ||T
t
|| là giới nội với
t ∈ [0, T ], với mọi T > 0.
Chứng minh (1). Ký hiệu p(t) = log ||T
t
||. Từ tính chất nửa nhóm ta có

≤ inf
t∈(0, ∞)
p(t)
t
. Bất đẳng thức ngược lại hiển nhiên
thoả, vì thế ta có
lim
t→∞
p(t)
t
= inf
t∈(0, ∞)
p(t)
t
= ω
0
(T)
Chứng minh (2). Được suy ra từ (1). Thực ra, nếu ω > ω
0
(T) thì ||T
t
|| ≤ e
ωt
với mọi t ≥ t
ω
thoả với t
ω
≥ 0 nào đó. Do đó ta có thể đặt M
ω
=

n
(I − T
t
0
−t
n
)z|| ≤ K||(I −T
t
0
−t
n
)z||, với
K là chặn trên cho T
t
n
. Cuối cùng chúng ta chứng minh tính liên tục của ϕ.
Lấy (t
n
, z
n
) → (t
0
, z
0
) ∈ [0, ∞) ×X. Khi đó
T
t
n
z
n

, z
0
)|| ≤ K||z
n
− z
0
|| + ||ϕ(t
n
, z
0
) − ϕ(t
0
, z
0
)||,
với K là chặn trên nào đó của ||T
t
n
|| 
Định nghĩa 1.4.3 Cho T là nửa nhóm liên tục mạnh trên X, với biên tăng
ω
0
(T). Nửa nhóm này được gọi là ổn định mũ nếu ω
0
(T) < 0.
Định nghĩa 1.4.4 Toán tử tuyến tính A : D(A) → X được định nghĩa bởi
D(A) =

z ∈ X| lim
t→0, t>0

t
z = T
t
Az. (1.8)
Chứng minh. Nếu z ∈ D(A), t ≥ 0 và τ > 0, thì
T
τ
− I
τ
T
t
z = T
t
T
τ
− I
τ
z → T
t
Az, khi τ → 0. (1.9)
Vì thế T
t
z ∈ D(A) và AT
t
z = T
t
Az. Hơn nữa (2.1.6) suy ra rằng đạo hàm
phía bên phải của T
t
z tồn tại và bằng với AT


Mệnh đề 1.4.6 Cho T là nửa nhóm liên tục mạnh trên X, với toán tử sinh
A. Lấy z
0
∈ X và với mọi τ > 0 đặt
z
τ
=
1
τ
τ

0
T
t
z
0
dt.
Khi đó z
τ
∈ D(A) và lim
τ→0
z
τ
= z
0
.
Chứng minh. z
τ
→ z

h

0
T
t
z
0
dt
Lấy giới hạn khi h → 0, ta có z
τ
∈ D(A) và Az
τ
=
1
τ
(T
τ
z
0
− z
0
) 
Chú ý 1.4.7 Chứng minh trên cũng chỉ ra đẳng thức sau:
T
τ
z − z = A
τ

0
T

1 − |s −β|r
β
· (1.10)
Chú ý 1.5.3 Từ mệnh đề trên suy ra, với mọi A : D(A) → X, tập ρ(A)
là mở và do đó σ(A) là đóng. Từ Mệnh đề trên ta cũng suy ra, với mọi
β ∈ ρ(A), |λ −β| ≥
1
r
β
với mọi λ ∈ σ(A), và do đó
(βI −A)
−1
 ≥
1
min
λ∈σ(A)
|β −λ|
·
Cho A : D(A) → X với D(A) ⊂ X. Ta định nghĩa không gian D(A
n
) một
cách đệ quy:
D(A
n
) = {z ∈ D(A)|Az ∈ D(A
n−1
)}.
Mũ của A, A
n
: D(A

ω
Res −ω
∀s ∈ C
ω
. (1.11)
Mệnh đề 1.5.5 Nếu A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh trên X
thì D(A
∞
) là trù mật trong X.
1.6 Không gian con bất biến của nửa nhóm 13
1.6 Không gian con bất biến của nửa nhóm
Định nghĩa 1.6.1 Cho T là nửa nhóm liên tục mạnh trên X, với toán tử
sinh A. V là không gian con của X. Phần của A trong V , ký hiệu là A
V
,
là hạn chế của A lên miền
D(A
V
) = {z ∈ D(A) ∩ V | Az ∈ V }.
V được gọi là bất biến đối với T nếu T
t
z ∈ V với mọi z ∈ V và mọi t ≥ 0.
1.7 Toán tử chéo hoá được và nửa nhóm
Mệnh đề 1.7.1 Cho A : D(A) → X là chéo hoá được. (φ
k
) là một cơ sở
Riesz gồm các véctơ riêng của A. Lấy (
˜
φ
k

, (1.12)
Az =

k∈N
λ
k
z,
˜
φ
k
φ
k
∀z ∈ D(A). (1.13)
A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh T trên X nếu và chỉ nếu
sup
k∈N
Re λ
k
< ∞. (1.14)
Nếu điều trên thoả, thì
sup
k∈N
Re λ
k
= ω
0
(T) (1.15)
và với mọi t ≥ 0,
T
t

right
∈ L(X)
sao cho T T
−1
right
= I. Điều này tương đương với RanT = X (T là toàn ánh).
Định nghĩa 1.8.1 Cho T là nửa nhóm liên tục mạnh trên X. T được gọi là
khả đảo trái ( khả đảo phải) nếu với τ > 0 nào đó, T
τ
là khả đảo trái (khả
đảo phải). Nửa nhóm được gọi là khả đảo nếu nó vừa khả đảo trái và khả
đảo phải.
Mệnh đề 1.8.2 Cho T là nửa nhóm liên tục mạnh trên X.
Nếu T là khả đảo phải thì T
t
là khả đảo phải với mọi t > 0.
Nếu T là khả đảo trái thì T
t
là khả đảo trái với mọi t > 0.
Chứng minh. Lấy τ > 0 sao cho T
τ
là toàn ánh. Cho t > 0 và lấy n ∈ N sao
cho t ≤ nτ. Khi đó T
nτ
là toàn ánh. Đặt  = nτ − t. Khi đó từ T
nτ
= T
t
T


t, τ ∈ R.
Toán tử sinh của nhóm được định nghĩa tương tự như toán tử sinh nửa nhóm.
Một toán tử U ∈ L(X) được gọi là unita nếu UU
∗
= U
∗
U = I. Nửa nhóm
liên tục mạnh T trên X được gọi là unita nếu T
t
là unita với mọi t > 0.
Một nửa nhóm unita có thể mở rộng tới một nhóm, khi đó nhóm này được
gọi là nhóm unita.
1.8 Nhóm liên tục mạnh 15
Chú ý 1.8.4 Nếu trong X có một cơ sở trực chuẩn tạo ra bởi các véctơ riêng
của A, thì T là unita nếu và chỉ nếu Re λ = 0 với mọi λ ∈ σ(A).
Ví dụ 1.8.5 Trong ví dụ này ta xây dựng nửa nhóm ứng với hệ phương trình
mô tả sự dao động của một sợi dây đàn hồi được cố định 2 đầu mút và có
chiều dài π. Mối liên hệ giữa nửa nhóm trong ví dụ này và phương trình
sóng một chiều (hay phương trình của sợi dây) sẽ được giải thích trong Chú
ý 1.8.6.
0
w(x, 0) = f(x)
π
x
w
t
Hình 1.3. Sợi dây đàn hồi được cố định hai đầu và có chiều dài π.
Ký hiệu X = H
1
0

0
g
1
(x)g
2
(x)dx.
Định nghĩa toán tử A : D(A) → X như sau
D(A) = [H
2
(0, π) ∩ H
1
0
(0, π)] × H
1
0
(0, π),
A

f
g

=

g
d
2
f
dx
2


n
=
1
√
2

1
in
ϕ
n
ϕ
n

∀n ∈ Z
∗
, (1.17)
là một cơ sở trực chuẩn trong X. Ta có thể chứng minh họ này là cơ sở trực
chuẩn trong X một cách trực tiếp như sau. Nếu z =

f
g

∈ X sao cho
Một số kiến thức chuẩn bị 16
z, φ
n
 = 0 với mọi n ∈ Z
∗
, thì ta cũng có điều tương tự với z =


√
2

d(Ref)
dx
,
dϕ
dx

với mọi n ∈ N, ta thu
được
d(Ref)
dx
là hằng số. Lập luận tương tự ta có
d(Imf)
dx
là hằng số. Vì thế
f là hàm affine. Vì f(0) = f(π) = 0, nên f = 0. Ta đã chỉ ra rằng z = 0, vì
thế họ (φ
n
)
n∈Z
∗
là cơ sở trực chuẩn trong X.
Các véctơ φ
n
từ 1.17 là các véctơ riêng của A và các giá trị riêng tương ứng
là λ
n
= in, với n ∈ Z

∈ X.
Từ mối quan hệ ở trên suy ra rằng
T
t

f
g

=
1
√
2

n∈Z
∗
e
int

i
n

df
dx
,
dϕ
n
dx

L
2

vi liên tục từ [0, ∞) vào H
1
0
(0, π) thoả hệ sau











∂
2
w
∂t
2
(x, t) =
∂
2
w
∂x
2
(x, t), x ∈ (0, π), t ≥ 0,
w(0, t) = 0, w(π, t) = 0, t ∈ [0, ∞),
w(x, 0) = f(x),
∂w

w(x, 0) = f(x)
π
x
w
t
∂w
∂x
(0, t) = 0
Hình 1.4. Sợi dây đàn hồi được cố định một đầu mút x = π, trong khi đầu
mút còn lại di chuyển vuông góc với trục sợi dây.
Ký hiệu
H
1
R
(0, π) = {f ∈ H
1
(0, π)|f(π) = 0}
Khi đó X = H
1
R
(0, π) × L
2
[0, π] là không gian Hilbert với tích vô hướng

f
1
g
1

,

2
(0, π) ∩ H
1
R
(0, π)|
df
dx
(0) = 0

× H
1
R
(0, π),
Một số kiến thức chuẩn bị 18
A

f
g

=

g
d
2
f
dx
2

∀


=
1
√
2

1
iµ
n
ϕ
n
ϕ
n

∀n ∈ Z
∗
, (1.21)
là một cơ sở trực chuẩn trong X tạo ra bởi các véctơ riêng của A và các giá
trị riêng tương ứng là λ
n
= iµ
n
, với n ∈ Z
∗
. Hơn nữa ta có thể kiểm tra rằng
0 ∈ ρ(A), do đó A là chéo hoá được. Sử dụng Chú ý 1.8.4 và Mệnh đề 1.7.1
ta có A sinh ra một nhóm unita T trên X, được cho bởi công thức sau
T
t

f

g

=
1
√
2

n∈Z
∗
e
iµ
n
t

i
µ
n

df
dx
,
dϕ
n
dx

L
2
[0,π]
+ g, ϕ
n

(x, t) =
∂
2
w
∂x
2
(x, t), x ∈ (0, π), t ≥ 0,
∂w
∂x
(0, t) = 0, w(π, t) = 0, t ∈ [0, ∞),
w(x, 0) = f(x),
∂w
∂t
(x, 0) = g(x), x ∈ (0, π),
(1.23)
có một nghiệm duy nhất
w ∈ C([0, ∞); H
2
(0, π)) ∩ C
1
([0, ∞); H
1
(0, π))
nghiệm này được cho bởi công thức

w(·, t)
∂w
∂t
(·, t)


gian D(A) với chuẩn
z
1
= (βI − A)z ∀z ∈ D(A)
là một không gian Hilbert,ký hiệu là X
1
. Chuẩn sinh ra như trên với β ∈ ρ(A)
là tương đương với chuẩn đồ thị. Ánh xạ nhúng X
1
⊂ X là liên tục. Nếu
L ∈ L(X) sao cho LD(A) ⊂ D(A), thì L ∈ L(X
1
).
Cho A như trong Mệnh đề 1.9.1, khi đó A
∗
cũng có các tính chất tương tự.
Vì thế ta định nghĩa X
d
1
= D(A
∗
) với chuẩn
z
d
1
= (βI − A
∗
)z ∀z ∈ D(A
∗
),

) ⊂ D(A
∗
), khi đó L có mở rộng duy nhất tới
toán tử
˜
L ∈ L(X
−1
).
Một số kiến thức chuẩn bị 20
1.10 Toán tử dương
Cho H là một không gian Hilbert và ta ký hiệu A
0
là toán tử xác định trên
không gian con trù mật D(A
0
) ⊂ H và lấy giá trị trong H.
Định nghĩa 1.10.1 Cho A
0
: D(A
0
) → H là tự liên hợp. Khi đó A
0
là
dương nếu A
0
z, z ≥ 0 với mọi z ∈ D(A
0
). A
0
là dương chặt nếu với m > 0

(Ω).
Ký hiệu H
1
0
(Ω) là bao đóng của D(Ω) trong H
1
(Ω). H
1
0
(Ω) là một không gian
Hilbert. Với bất kỳ ϕ ∈ H
1
0
(Ω) sẽ thoả điều kiện sau:
ϕ(x) = 0 với x ∈ ∂Ω.
Với điều kiện biên này ϕ được gọi là thoả điều kiện biên Dirichlet thuần
nhất.
Chuẩn trong H
1
0
(Ω) được cho như sau:
ϕ
H
1
0
= ∇ϕ
L
2
.
Trong đó gradient ∇ϕ = (

0
φ = −∆φ. (1.26)
Toán tử −A
0
được gọi là Dirichlet Laplacian trên Ω.
1.12 Toán tử phản liên hợp 21
Không gian H
−1
(Ω) được định nghĩa là đối ngẫu của H
1
0
(Ω) ứng với không
gian trụ L
2
(Ω).
Mệnh đề 1.11.1 Toán tử A
0
được định nghĩa như trên là dương chặt và
D(A
1
2
0
) = H
1
0
(Ω). (1.27)
Nếu H = L
2
(Ω) thì khi đó các không gian H
1

là đối ngẫu của
H
1
2
ứng với không gian trụ H).
Định lý 1.11.2 Giả sử ∂Ω là thuộc lớp C
2
. Khi đó
D(A
0
) = H
2
(Ω) ∩ H
1
0
(Ω). (1.28)
1.12 Toán tử phản liên hợp
Trong phần này chúng ta giới thiệu một lớp các toán tử phản liên hợp (skew-
adjoint) phát sinh khi chúng ta tìm hiểu những hệ vi phân cấp 2 trong một
không gian Hilbert có dạng sau
¨w(t) + A
0
w(t) = 0, với A
0
> 0.
Đặt z(t) =

w(t)
˙w(t)



,

w
2
v
2

X
= A
1
2
0
w
1
, A
1
2
0
w
2
 + v
1
, v
2
.
Một số kiến thức chuẩn bị 22
Xác định một không gian con trù mật trong X là D(A) = D(A
0
) × D(A

1
× H
1
2
, X
−1
= H × H
−
1
2
.
1.13 Toán tử quan sát chấp nhận được
Cho C ∈ L(X
1
, Y ). Chúng ta quan tâm tới hàm đầu ra y sinh bởi hệ sau

˙z(t) = Az(t), z(0) = z
0
,
y(t) = Cz(t),
với z
0
∈ X
1
và t ≥ 0. Bài toán giá trị ban đầu ˙z(t) = Az(t), z(0) = z
0
có
nghiệm duy nhất z(t) = T
t
z

.
Chúng ta xem những toán tử Ψ
τ
này là phần tử của L(X
1
, L
2
([0, ∞); Y )).
Toán tử Ψ : X
1
→ L
2
([0, ∞); Y ) sao cho
(Ψz
0
)(t) = CT
t
z
0
∀z
0
∈ D(A), t ≥ 0.
Ta gọi Ψ là ánh xạ đầu ra mở rộng của (A, C). Ta có hàm chặt cụt của Ψ
được xác định như sau
P
τ
Ψ = Ψ
τ
∀τ ≥ 0.
1.13 Toán tử quan sát chấp nhận được 23

X
∀z
0
∈ D(A). (1.31)
Định lý 1.13.2 Cho C ∈ L(X
1
, Y ) là toán tử quan sát chấp nhận được của
T và Ψ là ánh xạ đầu ra mở rộng của (A, C). Khi đó với mọi z
0
∈ X và mọi
s ∈ C thoả Re s > ω
0
(T), hàm t → e
−st
(Ψz
0
)(t) là thuộc L
1
([0, ∞); Y ), vì
thế phép biến đổi Laplace của Ψz
0
tồn tại tại s. Phép biến đổi Laplace này
được cho bởi

(Ψz
0
)(s) = C(sI − A)
−1
z
0