Câu 1: Nêu một số ví dụ về PT ĐHR
được sinh ra từ vật lí

- Sự thay đổi nhiệt lượng trong Ω′ từ
→ là;

Một số ví dụ về PT vật lí – Toán là:

( ). ( ).

=

( ,

=

)

,… ,

.

( ,

=

0, = , = , ≥ 0

( ). ( ).

Rõ ràng u = u(x,t0) cho ta quỹ đạo sợi

cos( ⃗,

) =

+

Hay ∫

+

=

.

( ).

=

∫

⇒ ( ).

+ ( , )

=

∆ =

(8) ⇒


+) Vận tốc ban đầu:
( , 0) =

(2.1)

Do
=
là nhân

=

nên ta có

=

( )

*) PT Chuyển động của màng mỏng

⋯
⋱
⋯

⋮

( )+

⋮

Từ đó suy ra tất cả các giá trị riêng của

Ta có các ĐN sau:

Gọi nhiệt độ tại điểm x=(x1,x2,x3), thời
gian t là u(x,t). Gt \
là vật thể
đẳng hướng. Xét miền bất kì Ω ⊂⊂ Ω,

+ nếu

(Ω ⊂ Ω) với biên Ω′

+ Nếu

- Nhiệt lượng của môi trường xung
quanh Ω′ truyền qua biên của Ω′ là:
→

(thời gian từ

):
( ).

Ω

⃗

.

- Nhiệt lượng của Ω′ được sinh ra hoặc
hấp thụ:

=

( ,

,…,

)

.

+
+

,

=

+
+

=

+

.

+

+



)

;

| |

.

;

| |

>2

( , )
+2 ( , )
+ ( , )
+ ( , , , ∇ ) = 0 (2.5)
=

ma trận tương ứng

có

phương trình đặc trưng
−

) ==


.

+
.
. +

.

(

−

)

∂Γ(x − y)
∂n⃗

Γ( ) ∫

Γ( − )

=

−2

.

–

.

=(

)

(∗)

. ⇔ =

. .

Thay vào pt (2.5) pt (2.5) đưa được về
dạng

(∗∗)

=

Nhận xét: Nếu phép biến đổi (*) đưa
dạng toàn phương f(t) về dạng chính tắc
(**) thì = tức là là ma trận dạng
chính tắc khi đó phép biến đổi t=Cx sẽ
đưa (2.3) về dạng chính tắc (2.4). Như
vậy để đưa pt (2.1) về chính tắc ta làm
như sau
b) Đ PT tt cấp 2, hai biến về dạng chính
tắc

= .
= .


( )

.

Như vậy ta có ∫ Γ( − )
∂Γ∂n −
∗
⇒ ( ) ℎ
∈

⃗

−

→0

(Ω) (∗∗)

Với n=2. chứng minh tương tự ta cũng
có khẳng định (**)
→ 0 ta nhận được

từ (*) cho

Ptvp (2.7) được gọi là ptvp đặc trưng
của pt DHR (2.5)

( )=

( +


= 1,

−1

= sup

( ) ≤ inf

∈Ω

)
∈Ω

( )

Dễ thấy c chỉ phụ thuộc vào n và Ω′.
định lý được chứng minh

( )

( )

Câu 7: định nghĩa hàm Green trong
hình cầu, chứng minh hàm số được
xác định theo công thức poison là
nghiệm của bài toán Dirichlet tương
ứng

( )

Đặt
ℎ( , ) =
| |
−Γ. | − |. ,

)

Từ (2.1) ta có

( )

≠ 0, ta có

+) với

; ∀ ∈[ ; ]

( )

.
Hay ( ).
thức (2.2)

=0

Rõ ràng ∆, ℎ( , ) = 0, ∀ , ∈

. ( )

.


+
| |
=| − | ,

Nên ℎ( , ) = −Γ(| − |);
∀ ∈

,

∈

*) nguyên lí cực trị mạnh

+) với y=0 hiển nhiên

ĐL: cho u là hàm điều hòa trên miền
Ω⊂
nếu ∃ ∈ Ω
ℎ
=
sup ∈Ω ( )
( ) thì u(x) là hằng
số trên Ω

Do đó h(x,y) là nghiệm duy nhất của bài
toán Đirichlet

−


≤

1
|

|

=

1
|

(

⃗

)

= (

)
Với n>2;

≠ 0. ta có

⊂

∀ ∈ Ω. Định lý được

*) Nguyên lý cực trị

∂u
∂n⃗

(Ω)

ℎ( , ) = −Γ(| |)

ℎ( , )
∆ ℎ = 0, ∈ ,
∈
=
ℎ( , ) = −Γ( − ), ∈

Ω

U(x,y) là hàm ẩn; a,b,c,d,e,f,g là những
hàm cho trước

−

−

Đặt

CM: gt ∃ ∈ Ω sao cho ( ) =
sup ∈Ω ( )

. ( ). |∂B |

ớ

thì ( ) =

lim

=
( )

=2

=
|

b, các nguyên lí cực trị
=

( )

, )

( )

Khi đó ( ) ≤ 2 . ( ) ≤
)
(
2 ( ) ≤ ⋯ ≤ 2(

lấy tích phân theo r từ

−
( − )−


.

→0 ℎ

∂Γ
( − )
∂n⃗

+

.

∫(

sao cho

→ 0 ta nhận được

=
=

)|

∂u(y + rω)
∂n⃗

=

∂

=0

+

( +

→

=

Với , ∈ Ω , | − |


⃗

∂u
∂Γ
( − )
−
∂n⃗
∂n⃗

Γ( − )

.

.

⃗

∂u
Γ( − ) −
∂n⃗

+

( , ) thì

=

⇒ =



∂u
∂r⃗

=

Mục đích : XDCT biểu diễn nghiệm
của bài toán Dirichlet ∆ =
Ω

Khi đó ∃ hằng số ( , Ω′) sao cho
supΩ ( ) infΩ ( )

ta có
( )

.

Chứng minh: Với

=
c) Xây dựng công thức biểu diễn
Green

Cho pt ĐHR t2 cấp hai hai biến

( )

.



ĐL: Cho U(x) là hàm điều hòa trên
miền Ω,
= ( , ) ⊂ Ω. Khi đó

Nhận xét: Khẳng định ngược lại cũng
đúng khi ∈ (Ω)

=0

lấy tích phân 2 vế ta

ln +

.

)

hệ quả: cho ∈ (Ω); ∈ (Ω). Bài
toán dirichlet: ∆ = trong Ω (miền bị
chặn trong R), u=g trên Ω

a, định lý về giá trị trung bình

( )=

−

.


+Nếu

Trong đó

.

+

=0ℎ

= 0 thì (2.5) là pt pẩbolic

( , )
+2 ( , )
+ ( , ) = 0 (1)

: → ⊂
⟼

.

.

> 0 thì (2.5) là pt hyperbolic

*) Loại PT không đổi qua phép đổi
biến không suy biến:
Thực hiện phép đổi biến

.


.

=
+

+

=

Đặt

Đặt

+ ( , , , ) (4)

.
.

+
.

=

Đổi biến ( ) = ( ) Theo (I), (2.3)
đưa được về dạng

=1

.


=

,

+) Điều kiện biên: u(0,t)=u(l,t)=0

.

+

+
+

.

+ khi n=2

Trong TH có nguồn nhiệt ta có thể viết
PT dạng:

.

Ω

Từ CT biểu diễn Green cho hàm điều
hòa,nếu u là hàm điều hòa thì u khả vi
mọi cấp trên Ω

( )=

=

+
+

.

,

= .∆
Tuy nhiên việc tìm phép biến đổi như
trên là phức tạp nên ta chỉ xét những
Trong TH quá trình truyền nhiệt ổn định trường hợp đơn giản
(nhiệt độ không phụ thuộc vào thời gian)
+ khi aij là hằng số
thì = 0 ta được PT:

=0

.

=
+

Từ tính chất của ma trận đối xứng 
- Gọi p(x,t) là ngoại lực tác động vào sợi Trong trường hợp , là những hằng số tồn tại phép biến đổi sao cho ma trận
dây song song với trục Ou theo 1 đơn vị thì PT (5) có thể viết dưới dạng
có dạng
độ dài  hình chiếu trên trục Ou của
1

+ ( , , ∇ ) = 0 (2.2)

.
Trong đó

)+

cos( ⃗,

=
+

,

Vì Ω′ là miền con bất kì của Ω nên:

( ) là tỉ trọng của sợi dây

+

Cho Ω là một miền bị chặn, ∈
(Ω) ∩ (Ω) là hàm điều hòa. Khi đó

−

⃗

Xét pt laplace ∆ = 0

.

+
=0 ; ∈Ω

( )

, ∈

| ( , )| ≠ 0

,

(

= ξ(x, y),
x, y ∈ V
= ( , )

Ta có

)

. cos( ⃗,

, )−

Cho miền Ω ⊂ ℝ . Hàm số ( ) ∈
(Ω) đgl hàm điều hòa trên Ω nếu thỏa
mãn pt :

Gs phép đổi biến


=

⃗

Ω

AD công thức ostrogradski ta có:
Theo nguyên lí dalambe, lực tác dụng
trên sợi dây sau khi tổng hợp phải bằng
( ).
( ( ). ∇ )
=
⃗
Ω
Ω
0⃗. Do đó lực chiếu lên phương Ou cũng
phải bằng 0. Trên [M1M2] có những lực Vì ( ).
sau tác dụng (xét trên hình chiếu của Ou)

≈

Câu 5: Nêu định nghĩa hàm điều
hòa,cách tìm nghiệm cơ bản , công
thức biểu diễn Green và pp hàm
Green cho bài toán đirichlet

= 0 thì (1) là parabolic

Xét 1 sợi dây căng thẳng theo trục Ox.


…

=

(

Γ( − )

Γ
−

− )
−
| − |
| |

| |
| − |
2

.

−
| − |


(

=


=

=

−

( )
| − |

.

(

=
=

∈ (

=

). Khi đó

( )
| − |
( ), ∈

thuộc ( ) ∩ (
bài toán đirichlet


| ( )− (

\

)|

cos( ⃗, ⃗) cos( ⃗, ⃗)

+

;

+

)

=

+

(2.5)
( )
4

ặ
đó

=

Vì vậy u không đổi trên các đường sinh
của hình nón mà u tại đây của k1=0 nên
u(A)=0. Hay u1=u2

=

(2.7)

∫

)

,

( )= ∫

ℎ

(

(

( , , )

(

| ( ,
1
≤
4

.

≤
.

,



Câu 3: Phân loại phương trình ĐHR
t2 cấp hai từ đó chỉ ra rằng loại của
PT không đổi qua phép đổi biến
không suy biến

, ) mà

∪Ω

Câu 4: đưa về dạng chính tắc pt ĐHR
tuyến tính cấp hai với hệ số hằng

( , )≤0

, )≥0 ⇒

(

Câu 4.1: Đưa về dạng chính tắc pt
ĐHR t2 cấp hai hai biến

, )≥0

Câu 5: Nêu định nghĩa hàm điều
hòa,cách tìm nghiệm cơ bản , công
thức biểu diễn Green và pp hàm
Green cho bài toán đirichlet

, >0

(

Câu 7.1: Biểu diễn pt laplace trường
hợp hai biến trong hệ tọa độ cực

(

,

,

−

)=

(∆

)

( , 0) =

=∆
⇒

⇒

( , 0) = ∆
( ) (đ

và

Áp dụng nguyên lí cực trị trong miền
bị chặn
ta suy ra:
≥ 0, ≤ 0
∀( , ) ∈

ê

ê Ω × {1};

Vì R bất kì ≥
= 1,

(

= 0;

= 1,
=0

ê Ω×{ }
ê Ω× { }

≥ 0,

≤0

× (0, )

→ 0 suy ra:

Với mặt bên
có:

Ω×{ } 2

= 0;

+

cos( ⃗, ⃗) Với mỗi R>R0, xét hình trụ

cos( ⃗, ⃗)

1

=∆

−

( , ) = +∞
ℎ :|

Ω×{ }

( ).

( , 0) +

( , 0) =



= sup ( , 0)
=‖ ‖ +2

Nên ∃

= 0,

) ê

= inf ( , 0)

( , 0) > 0,

Mặt khác;

( =

( , 0) =

( , )=0

∀| | ≥

1
2

=∆

Theo định lý 2.1:


)

( , ,

)∩ (

∀( , ) ∈

)

)

,

(

,

(

| |→

+
( ,

−∆ )

1
2


≥

u(x , t) − u(x , T)
lim
−

+)

Là duy nhất trong lớp
,

thì max

( , )∈

∆ (

× (0, )

Chứng minh: tương tự hệ quả 1

( > 0 trên

a) +)

Đặt

Áp dụng công thức Green ta có



, )|

,

(

(3.4) b) Thay u bởi –u

thì

−∆ )

từ (2.6); (2.7); (2.9) suy ra ∆ =
(đ
)

⇒

Ta có đánh giá
1
= .
2

.

,

2. Xét bài toán


thì

× (0, ), u bị chặn và
Chứng minh: giả sử , ∈ ( ) là ( , ) ∈
nghiệm của bài toán (3.1);(3.2);(3.3).
,
∈
× (0, ) ∩
× (0, )
Đặt = −
ℎì ∈ ( ) của u
thỏa mãn bài toán
Khi đó:
=∆ ; , ∈
(3.5)
inf ( , 0) ≤ ( , ) ≤ sup ( , 0)
∈
( , 0) = ( , 0) = 0 ∈ Ω (3.6)
∈
( , )=0 ê
(3.7)
Chứng minh:

( , , )

( , ) = ( ),
∈
( . )
= ∆ ,( , ) ∈
× (0, +∞)(2.1)

(đối với ‖ ⃗‖ = 1 trong không gian R :
cos( ⃗, ⃗) = )

(

( , )∈
= ∆ + ( , ),
( , 0) = ( ), ∈

=Ω ∪

≥ 0 Trong

a. Nếu

Cả hai bài toán được gọi chung là bài
toán hỗn hợp

Mặt khác

n

)

,

∈

Định lí 1: Cho



(Trong trường hợp

∈

= Ω × (0, )
,

=0ℎ

hệ quả 2: Nghiệm của bài toán biên
ban đầu thứ 2 đối với pt Lu=f trong
QT

>0

( , , )

cos( ⃗, ⃗)

cos( ⃗, ⃗) cos( ⃗, ⃗)

(

.

( , )

AD chứng minh trên ta có


(

)

dễ thấy

( )

+

Do u thỏa mãn pt (1.1)’ nên

.

;

)

,

)

,

)

+

, = 1,


−

→0

/ ã (2.3)

=

=
cos( ⃗, ⃗) cos( ⃗, ⃗)
ê
, = 1,

=

Gọi S1 là mặt nón xung quanh của nón
k1

=

)
0;

Xét bài toán(CT)

,( , ) ∈

−∆ )

+

Theo công thức đổi miền suy ra

( ); ∈

.

(

.

( )
( )

Cho miền bị chặn Ω ⊂
× ( , +∞) ( .
( . )
( . )

Định lý (2.3) cho hàm ∈
× [0, +∞) ;
∈ ( ).Khi đó
nghiệm của bài toán được cho bởi công
thức
( , )
1
( , , )


=

( , )=
( ,) =

(Vt là hình cầu có mặt là St)

cos( ⃗, ⃗)

cos( ⃗, ⃗)

sin

+

( ); ∈


=∆

,∃


)|

|>

+2 .

− sin

(1, ) =

|


= 0,0 … 1) ∈
∈

cos

+

Nên ∃ > 0; > 0
ℎ ∶
| ( ) − ( )| < , ∀ ∈
; | − < |

+) ∫

cos

+

Ta có:

cos ( ⃗, ⃗) ; ( ⃗

− cos sin

.

,

;


⎯

)

(

cos .

;

(

+

( ,
+

+

= 0, |

Bởi vậy:
Câu 11: Nghuyên lí cực trị và các
định lí duy nhất nghiệm:

;

= 0 (1.6)


1
+
4
= (

cos( ⃗, ⃗)

+

)

+

sin

sin
.
− cos sin

+

bất kỳ ∀ε > 0,

=

.

=

Hiển nhiên ∈ ( ) và u là nghiệm

sin

.

(

4

1
+
4

cos( ⃗, ⃗)

−

+
−

cos

+

−
.

+

sin



* sự tồn tại nghiệm của bài toán
Dirrichlet cho hình cầu

Với
(

+ cos .

(3.1)

=0

áp dụng công thức Green cho vế trái
của (1.5) ta nhận được

Tiếp theo ta đi tính các ĐHR

CT(3.1) đgl công thức poisson
( , )=

− sin .

sin

=−

Đối với các trường hợp còn lại n=2,
≠ 0, > 2, = 0, = 2, = 0 ta
cũng có khẳng định (*) đúng. Vì vậy


Ta biết rằng :

̀ |

1
2

=

đổi biến sang tọa độ cực:
= cos
, ≥ 0, ∈ [0,2 ]
= sin

.

=

+

Trong R , xét pt laplace:
0 (4.1)

| − |

=∑

⃗


(

)

Câu 8: Phát biểu và chứng minh định
lý về sự duy nhất nghiệm của bài toán
Cauchy đối với pt truyền sóng
Câu 9: Đưa ra và chứng minh công
thức nghiệm (CT kirchhoft) của bài
toán Cauchy đối với pt truyền sóng
Câu 10: Khái niệm các bài toán biên
ban đầu cho pt truyền song(bài toán
hỗn hợp). Phát biểu và chứng minh
định lý về sự suy nhất nghiệm của bài
toán biên ban đầu thứ nhất
Câu 11: Nghuyên lí cực trị và các
định lí duy nhất nghiệm: