TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN - TIN
————————–o0o————————–

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYỂN ĐỘNG BROWN VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

Chuyên ngành

: Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

Mã số

: 60.46.01.06

Học viên

: Lục Thanh Dự

Giảng viên hướng dẫn :PGS. TS. Phạm Văn Kiều

HÀ NỘI - 2017


Lời cảm ơn

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Bộ môn Toán ứng dụng, Khoa
Toán - Tin đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng như trong quá trình
hoàn thành luận văn này.


II


Mục lục

Lời cảm ơn

I

Lời cam đoan

II

Lời nói đầu

1

1 Kiến thức bổ trợ

4

1.1

Định nghĩa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

16

2.1.1

Định nghĩa hàm điều hòa

. . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.1.2

Định nghĩa tính chất giá trị trung bình . . . . . . . . . .

18

2.2

Bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3

Phương trình truyền nhiệt một chiều . . . . . . . . . . . . . . .

23

III


Tài liệu tham khảo

46


Lời nói đầu
1. Lý do chọn đề tài
Vào năm 1827, nhà thực vật học Robert Brown đã quan sát thấy một hiện
tượng kỳ lạ của những hạt phấn hoa lơ lửng trong một cốc nước. Chúng
liên tục lắc lư, chuyển động một cách ngẫu nhiên và dường như không bao
giờ dừng lại ngay cả khi cốc nước được giữ yên gần như tuyệt đối. Năm
1928, Robert Brown giới thiệu mô hình chuyển động này. Mô hình chuyển
động Brown cũng giống như nhiều chuyển động bất thường khác trong lĩnh
vực vật lý, sinh học, tài chính, kinh tế. . .
Năm 1905, Albert Einstein (1987- 1955) giới thiệu mô hình chuyển động
Brown từ quỹ đạo các nguyên tử với những cú sốc qua những tính toán
xác suất thống kê và sử dụng thuyết động học phân tử.
Người đầu tiên xây dựng chặt chẽ chuyển động Brown (vào năm 1923) là
Norbert Weiner (1984- 1964). Ông đưa ra rất nhiều ứng dụng của chuyển
động Brown trong lý thuyết tín hiệu và truyền tin.
Paul Levy (1886- 1971) có nhiều đóng góp trong sự nghiên cứu các tính
chất toán học của chuyển động Brown. Kyioshi Itô (1915- 1971) đã đóng
góp phát triển phép tính vi phân ngẫu nhiên trên nền tảng chuyển động
Brown.
Một trong những ứng dụng của chuyển động Brown đó là tìm kiếm giải
pháp cho nhiều vấn đề của phương trình đạo hàm riêng Ellip và Parabolic.
Thiết lập những kết nối giữa chuyển động Brown và phương trình đạo hàm
riêng Elipp và Parabolic dựa trên toán tử Laplace. Toán tử Laplace là toán
tử đạo hàm cấp hai của quá trình khuếch tán. Vào năm 1923, Norbert
Weiner đã xây dựng quá trình khuếch tán tương ứng với toán tử Laplace



các định nghĩa, toán tử đặc trưng, phương trình truyền nhiệt, phương trình
đạo hàm riêng cấp hai.
Chương 2: Chuyển động Brown và phương trình đạo hàm riêng
Chương này tôi trình bày chi tiết về định nghĩa hàm điều hòa, định nghĩa
tính chất giá trị trung bình, bài toán Dirichlet, phương trình truyền nhiệt
một chiều. Đồng thời nêu và chứng minh định lý duy nhất của Tychonoff,
tính chất nghiệm không âm của phương trình truyền nhiệt.
Chương 3: Quan hệ giữa quá trình khuếch tán và phương trình
đạo hàm riêng
Tôi trình bày mối quan hệ của quá trình khuếch tán và phương trình đạo
hàm riêng. Đồng thời trình bày một số tính chất điểm chính quy và kì dị
của biên.
Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng do thời gian thực hiện luận văn không
nhiều nên trong luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu
sót. Tôi rất mong nhận được những góp ý và sự chỉ bảo của các thầy giáo,
cô giáo cũng như các anh chị nghiên cứu sinh, các anh chị và các bạn học
viên.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 06 năm 2017
Tác giả

Lục Thanh Dự

3


Chương 1
Kiến thức bổ trợ

Trái lại, hợp của các σ - đại số chưa chắc đã là một σ - đại số. Nếu C là một
tập con của 2Ω thì tồn tại một σ - đại số nhỏ nhất trong Ω chứa C. Ta gọi σ đại số đó là σ - đại số sinh bởi C và kí hiệu là σ(C). Ta gọi σ - đại số sinh bởi
họ tất cả các tập mở trên Rd là σ - đại số Borel trên Rd và kí hiệu là B(Rd ).
Định nghĩa 1.1.2.

• Họ (F)t≥0 các σ - đại số con của F được gọi là một

lọc nếu Ft ⊂ Fs với mọi s ≥ t ≥ 0.
• Lọc (Ft )t≥0 được gọi là liên tục phải nếu Ft = ∩s≥t Fs với mọi t ≥ 0.
• Lọc (Ft )t≥0 được gọi là thỏa mãn điều kiện thông thường nếu nó liên tục
phải và F0 chứa tất cả các tập có xác suất không.
Định nghĩa 1.1.3. (Quá trình ngẫu nhiên)
Họ (Xt )t∈T các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên Rd được gọi là một quá trình
ngẫu nhiên với tập chỉ số T và không gian trạng thái Rd . Khi tập T là tập các
số nguyên dương thì (Xt )t∈T được gọi là quá trình ngẫu nhiên với thời gian rời
rạc, còn khi T là tập con của R+ thì (Xt )t∈T được gọi là quá trình ngẫu nhiên
thời gian liên tục.
Với mỗi t cố định Xt (ω) là hàm đo được theo ω. Với mỗi ω cố định Xt (ω) được
gọi là quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên ứng với ω.
Định nghĩa 1.1.4. (Quá trình Weiner)
Quá trình Wt được gọi là quá trình Weiner xuất phát từ 0, 0 < ∞ nếu các điều
kiện sau thực hiện:
a) W0 = 0.
b) Với bất kỳ 0 ≤ t0 < t1 < t2 < ... < tn các đại lượng ngẫu nhiên
Wt1 − Wt0 , Wt2 − Wt1 ,..., Wtn − Wtn−1 là độc lập.
5


c) Wt − Ws , s ≤ t có phân phối chuẩn kỳ vọng bằng 0 và phương sai bằng
t − s.

Họ (ξt , Px ) được gọi là Markov ngặt đối với σ - đại số Pt nếu:
• Quá trình ngẫu nhiên ξt đo được tiến.
• Đối với thời điểm Markov τ bất kỳ hàm η = η(ω) nhận giá trị từ tập T ∪ {∞}
xác định trên:
Ωτ = {ω : τ < ∞} và đo được đối với σ - đại số Fτ . Bất kỳ X thuộc không gian
pha X, Γ ∈ B và đối với biến cố bất kỳ A ⊆ Ωτ ∩ Ωη = {τ, η < ∞} , sao cho Fτ :
Px (A ∩ {ξτ +η ∈ Γ}) =

P(η, ξτ , Γ)Px (dω).
A

Tiếp theo ta định nghĩa một trường hợp đặc biệt của quá trình Markov đó
là quá trình Markov Feller.
Định nghĩa 1.1.7. (Quá trình Markov Feller).
Giả sử
F≤t = σ(Xs , s ≤ t); F≥t = σ(Xs , s ≥ t); F=t = σ(Xs ).
Quá trình ξt được gọi là Markov nếu với bất kỳ A ∈ F≤t , B ∈ F≥t có:
P[AB|F=t ] = P[A|F=t ]P[B|F=t ].
Định nghĩa 1.1.8. (Họ Markov Feller)
Giả sử X là không gian Metric, B = X, C là không gian các hàm liên tục bị
chặn.
Họ (ξt , Ps,t ) được gọi là Feller nếu P st ⊆ C với bất kỳ s ≤ t. Nói cách khác đối
7


với hàm liên tục bất kỳ bị chặn f trên X hàm P st f (x) cần là liên tục theo x,
khi x → x0 ∈ X có:
f P (s, x, t, dy) →

P (s, x0 , t, dy)f (y).

Quá trình ngẫu nhiên liên tục ξ = (ξt , Ft ); 0 ≤ t ≤ T được gọi là quá trình

8


Ito nếu tồn tại hai quá trình không đoán được trước a = (at , Ft ), b = (bt , Ft ),
t ∈ [0, T ] sao cho:
T

|at |dt < ∞ = 1,

P
0

T

b2t dt < ∞ = 1.

P
0

và đối với 0 ≤ t ≤ T thì:
t

ξt = ξ0 +

t

a(s, ω)ds +
0


Toán tử đặc trưng

Định nghĩa 1.2.1. (Toán tử cực vi)
Giả sử G là một miền với biên trơn G và L là toán tử vi phân trong G mà hệ
9


số của nó được thác triển liên tục trên G ∪ G . Đòi hỏi với tất cả các quá trình
khuếch tán trong miền đóng G ∪ G mà đối với nó thực hiện đạo hàm của toán
tử vi phân theo tất cả các điểm trong trùng với L. Trong lúc đó chưa xác định
rằng quá trình này là khuếch tán trên biên tại điểm x mà chỉ đối với điểm trong.
Khái niệm này được ký hiệu qua toán tử đặc trưng U .
Ngoài toán tử cực vi của quá trình Markov
Tt f (x) − f (x)
.
0
t

Af (x) = lim
t

được gọi là toán tử cực vi của quá trình.
Định nghĩa 1.2.2. (Toán tử đạo hàm)
Lf (x) =

1
2

aij

U (f (x)) được gọi là toán tử đặc trưng của quá trình.
• Giá trị U f (x) được xác định hoặc là a) đối với mọi hàm trơn hoặc là b)
đối với mọi hàm trơn tuân theo một điều kiện tuyến tính.
10


• Sự liên hệ giữa toán tử Tt với toán tử U .
Trong không gian Topo nào đó, quá trình có quỹ đạo liên tục phải. Toán tử tịnh
tiến Tt còn bất biến đối với tập tất cả những hàm liên tục bị chặn, toán tử U là
sự mở rộng của toán tử Tt . Dĩ nhiên rằng nếu U f (x) xác định và hàm f đạt tại
điểm x cực tiểu không dương thì U f (x) ≥ 0. Tính chất này thường được gọi là
nghỉ cực tiểu. Toán tử U được gọi là toán tử tuyến tính địa phương.

1.3

Phương trình truyền nhiệt

Định nghĩa 1.3.1. Giả sử nhiệt độ của vật thể Ω tại điểm x và tại thời điểm
t được xác định bởi hàm u(t, x) ∈ C 1,2 (Ω × [0, T ]). Ta coi Ω là vật thể đẳng
hướng, tức là nhiệt truyền theo phương nào cũng như nhau.
Ta giả thiết rằng ρ(x) là mật độ khối lượng và c(x) là nhiệt dung của vật thể
tại thời điểm x. Khi đó phương trình có dạng:
∂u
c(x)ρ(x)
=
∂t

3

i=1


(1.2)

Trong trường hợp điều kiện biên ban đầu không cần thiết và chỉ phụ thuộc vào
điều kiện biên và không phụ thuộc vào thời gian.
Bài toán xác định nghiệm nào đó từ phương trình (1.2) theo giá trị của nó trên
biên được gọi là bài toán Dirichlet hay bài toán biên loại I.
11


Định nghĩa 1.3.3. (Bài toán Neuman hay Bài toán biên loại II)
Giả sử cho miền giới nội nào đó G sao cho những điểm không nằm trong G và
biên Γ của nó tạo thành miền với biên Γ.
Giả sử cho trên biên Γ của miền này hàm liên tục f . Tìm hàm điều hòa
∂u
u(x1 , x2 , ..., xn ) liên tục trên miền G + Γ và
theo hướng pháp tuyến ngoài n
∂n
tại một điểm trên biên Γ của G nhận giá trị của hàm f tại điểm này.

1.4

Phương trình Laplace

Nếu nhiệt độ của vật ổn định, tức là không phụ thuộc vào thời gian, thì hàm
u(x) cho phân bố dừng của nhiệt độ và thỏa mãn phương trình:
3

i=1


∂u
+ a(x)u = f (x),
∂xi

(1.4)

các hệ số aij , i, j = 1, ..., n là các hàm thực. Ta có thể coi aij = aji , i, j = 1, ...n.
Thật vậy, nếu u ∈ C 2 (Ω), thì
12


∂ 2u
∂ 2u
=
.
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
Do đó,
n

aij
i,j=1

n
∂ 2u
∂ 2u
1
=
aij
, với aij = (aij + aji ), i, j = 1, ..., n.

= 0.

(1.6)

i,j=1

Bởi vì
n ∂v ∂ξ
∂u
p
=
,
∂xi p=1 ∂ξp ∂xi
n
n ∂v ∂ 2 ξ
∂ 2u
∂ 2 v ∂ξp ∂ξq
p
=
+
,
∂xi ∂xj p,q=1 ∂ξp ∂ξq ∂xi ∂xj p=1 ∂ξp ∂xi ∂xj

Ở đây v(ξ) = u(x(ξ)), nên phương trình (1.4) chuyển thành
n

bpq (x(ξ))
p,q=1

∂ 2v

∂ 2v
+ ... +
−
−
∂∂ξ1 ∂ξ1
∂ξn+ ∂ξn+ ∂ξn+ +1 ∂ξn+ +1
∂ 2v
∂v
∂v
... −
+ F (ξ, v,
, ...,
) = 0.
∂ξn+ +n− ∂ξn+ +n−
∂ξ1
∂ξn

(1.8)

Dạng (1.8) được gọi là dạng chính tắc của phương trình (1.4).
Từ các lí luận trên , các số n+ , n− và n0 là bất biến qua phép biến đối (1.5).
- Phương trình (1.4) được gọi là phương trình loại elliptic tại điểm x0 (hoặc
phương trình elliptic tại điểm x0 ) nếu n+ = n hoặc n− = n. Phương trình
(1.4) được gọi là phương trình elliptic trên tập hợp E, E ⊂ Ω, nếu nó là
phương trình elliptic tại mỗi điểm của tập hợp này.
- Phương trình (1.4) được gọi là phương trình loại hyperbolic tại điểm x0
(hoặc phương trình hyperbolic tại điểm x0 ) nếu n+ = n − 1, n− = 1 hoặc
n+ = 1, n− = n − 1. Nếu phương trình là hyperbolic tại mỗi điểm của tập
hợp E, E ⊂ Ω, thì nó được gọi là phương trình hyperbolic trên tập hợp E .
- Phương trình (1.4) được gọi là phương trình loại parabolic tại điểm x0


(1.10)

Nếu b2 − ac > 0, thì phương trình (1.10) có hai nghiệm trái dấu.
Trong trường hợp b2 − ac = 0 phương trình (1.10) có một nghiệm bằng
0, còn khi b2 − ac < 0 phương trình (1.10) có hai nghiệm cùng dấu. Theo
cách phân loại ở trên ta có kết luận sau:
i) Phương trình (1.9) là hyperbolic nếu b2 − ac > 0;
ii) Phương trình (1.9) là parabolic nếu b2 − ac = 0;
iii) Phương trình (1.9) là elliptic nếu b2 − ac < 0.

15


Chương 2
Chuyển động Brown và phương
trình đạo hàm riêng
2.1
2.1.1

Hàm điều hòa và bài toán Dirichlet
Định nghĩa hàm điều hòa

Sự kết nối giữa chuyển động Brown và hàm điều hòa đã được tìm thấy, bởi sự
giải thích đơn giản. Vì lý do này, chúng ta nói đến sự kết nối này như sự minh
họa đầu tiên của chúng ta về sự tương tác giữa lý thuyết và phân tích xác suất.
Hàm u ánh xạ từ tập mở D của Rd vào R được gọi là hàm điều hòa trong D
d
∂ 2u
nếu u thuộc lớp C 2 và ∆u =

∆

Vr =

2rd π d/2
,
d
dΓ
2

(2.3)

và diện tích miền là:
∆

Sr =

2rd−1 π d/2
d
= Vr .
d
r
Γ
2

(2.4)

Một độ đo xác suất µr trên ∂Br được định nghĩa bởi:
µr (dx) = P0 [WτBr ∈ dx];


đó tỷ lệ với độ đo mặt trên ∂Br . Đặc biệt, tích phân Lebesgue của hàm f trên
Br có thể viết dưới dạng tích phân như sau:
r

f (x)dx =
∂Br

Sρ
0

f (x)µρ (dx)dρ.

(2.6)

∂Br

Định nghĩa 2.1.4. Hàm u : D → R được gọi là có tính chất giá trị trung bình
−

nếu mọi a ∈ D và 0 < r < ∞ sao cho a + Br ⊂ D ta có:
u(a) =

u(a + x)µr (dx),
∂Br

Từ (2.6) ta rút ra:
u(a) =

1
Vr

r

∂u
1
(Ws )dWs (i) +
∂x i
2
0

∆u(Ws )ds; 0 ≤ t



c( )exp

1
x −
2

:

2

x

= c( )

Sρ
0

= c( )

u(a + x)exp
∂B

Sρ u(a)exp

ρ2

0

1
−

2

ρ2

1
−

2

µρ (dx)dρ


(2.8)

−

với y ∈ B .
−

Hơn nữa

> 0 cho trước sao cho a + B ⊂ D, lại do tính đối xứng của chúng:
20