Bài tập và đáp án chương ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính
1. Cho các ma trận

1 0 3 1
2 2 1 3
4 2 1 6
A
−
 
 
=
 
 
−
 
,
3 1 1 3
2 2 1 3
0 1 1 5
B
 
 
= −
 
 
−
 
,
3 1 1 3
9 5 7 2
2 4 1 5

−
 
,
2 1 0
3 2 1
1 3 1
B
− −
 
 
=
 
 
−
 
,
1 0
2 4
5 2
C
 
 
= −
 
 
−
 
Thực hiện các phép tính:
a) AB, BA, AC, ABC
b)

3
1 2 6 1
1
 
 ÷
 ÷
 ÷
−
 
d)
( )
2
1 3 3 1
0
 
 ÷
−
 ÷
 ÷
 
4. Tính
a)
2 4 19 3 4
1 3 7 3 5 2
2 0 1 0 1 6
  
 ÷ ÷
− −
 ÷
 ÷

 
 ÷
 ÷
 ÷
 
d)
2012
3 1
0 3
 
 ÷
 

5. Tính các định thức sau:
a)
2 0 3
1 2 5
2 3 0
−
−
b)
1 2 3
3 2 4
2 1 0−

1
c)
1 0 3 1
2 2 6 0
1 0 3 1

 
c)
2 2 2
1 1 1
a b c
a b c
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
d)
0 1 1 1
1 0
1 0
1 0
x x
x x
x x
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
7. Giải phương trình
3 2
1
1 1 1 1
0

-1
C
T
)
10. Cho ma trận
1 2 2
2 2 3
1 2 2
A
 
 ÷
=
 ÷
 ÷
−
 
a) Tính A
2
,
AA
t
, det(A), det(A
10
), det(4A)
b) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A.
11. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau:
a)
1 1 1
2 3 1
4 9 1

A x
x
− −
 
 ÷
= − −
 ÷
 ÷
− + −
 
a) Tìm x để ma trận A khả nghịch.
b) Tìm ma trận nghịch đảo của A khi x = 3
13. Cho ma trận
1 1 2
1 1 2
1 1 2
1 1 2
x
x
A
x
x
 
 ÷
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
.

16. Giải các phương trình sau:
a)
3 2 1 2
5 4 5 6
X
− −
   
=
 ÷  ÷
− −
   
b)
7 3 2 5 1 2
2 1 1 2 4 3
X
     
=
 ÷  ÷  ÷
     
c)
3 3 4 1 3 0
2 2 2 3 1 3
2 1 2 3 4 4
X
   
 ÷  ÷
=
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   

18. Tìm hạng của các ma trận sau:
a)
2 1 3 2 4
4 2 5 1 7
2 1 1 8 2
− −
 
 ÷
−
 ÷
 ÷
−
 
b)
3 2 1 2
1 1 3 5
1 1 1 1
− −
 
 ÷
−
 ÷
 ÷
− −
 
3
c)
1 3 5 1
2 1 3 4
5 1 1 7

 ÷
 ÷
 ÷
 
b)
1 2 3 1
1 3 2 1
2 3 1 1
3 2 1 1
λ
λ
λ
λ
−
 
 ÷
−
 ÷
 ÷
−
 ÷
−
 
c)
2
2
1 2 1 0
0 1 1
1 2 1 2
a a a

1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 1
3 2 4
2 3 6
2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + =


− − − = −


+ − − = −


+ + − = −

b)
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
2 1
2 0
4 5 5 5 7 3
3 3 3 3 4 2


− + + =

d)
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
9 3 5 6 4
6 2 3 4 5
3 3 14 8
x x x x
x x x x
x x x x
− + + =


− + + =


− + + = −


e)
2 4
3 4 2
2 3 5 0
5 6 3
x y z t
y z t
x y z t

− + − =

22. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
2
1ax y z
x ay z a
x y az a
+ + =


+ + =


+ + =

b)
1 2 3 1
1 2 3 2
1 2 3 3
4 3
3 4 7
7 6
x x x x
x x x x
x x x x
λ
λ
λ
+ + =

3 2
3
y x x x
x
= − +
6.
( ) ( )
3 2
2 1y x x= − −
7.
arctany x x= +
8.
( )
3
sin 3cosy x x= +
9.
2
4 1
2
x
y
x
+
=
+
10.
2
4 x
y
x

2
ln 1y x x= + +
15.
sin
4
x x
y
+
=
16 - 22 Tìm vi phân của các hàm số.
16.
2
sin
1 cos
x
y
x
 
=
 ÷
+
 
17.
.cosy x x=
18.
( )
3
sin 2 1y x= +
19.
cot 2y x=

25.
( )
3
1 1 2y x= + −
tại x = 0
26.
2
arctan 1y x= +
tại x = 0
27.
( )
3
3 5 3
x
y x= +
tại
1
ln3
3
x =
28-31 Chứng minh các bất đẳng thức đúng với mọi x > 0:
28.
2
arctan
1
x
x x
x
< <
+

( ) 102 16s t t t= −
(m) sau t giây.
a. Vẽ đồ thị s(t), s'(t) trong khoảng thời gian [0, 7] giây. Tính toán hoặc sử dụng đồ thị
này (để ước lượng) để trả lời các câu hỏi sau:
b. Xác định độ cao của quả bóng sau 2 giây.
c. Trong quá trình rơi xuống khi nào quả bóng có độ cao 110 m?
d. Xác định vận tốc sau 6 giây.
e. Khi nào quả bóng đạt vận tốc 70m/s.
f. Xác định vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất.
34. Một quả bóng được ném lên thẳng từ mặt đất với vận tốc ban đầu 112m/s, độ cao của quả
bóng so với mặt đất tại thời điểm t là
2
( ) 16 112 ( )s t t t m= − +
a. Khi nào thì quả bóng lên đến độ cao lớn nhất, xác định độ cao lớn nhất đó. Sau bao
nhiêu giây thì quả bóng rơi xuống đất.
b. Xác định vận tốc khi bóng tiếp đất.
c. Xác định gia tốc của bóng khi t = 1s, t = 3s.
35. Giả sử xe ô tô A đứng tại gốc tọa độ và di chuyển theo chiều dương của trục Oy với vận tốc
60 km/h. Cùng thời điểm đó ô tô B đứng trên trục Ox cách O 30km theo chiều dương và
di chuyển theo chiều về O với vận tốc 90 km/h. Gọi S là khoảng cách giữa hai xe trong quá
trình chuyển động. Tìm các khoảng tăng giảm của S trong 5 giờ đầu tính từ lúc hai xe khởi
hành.
6
36. Một người đang đứng tại điểm A trên bờ một dòng sông rộng 1 dặm. Người này phải bơi
qua sông và đi bộ đến điểm B ở bên bờ đối diện mà cách điểm đối diện vuông góc với A 3
dặm. Cho biết người đó có thể bơi qua sông với vận tốc 2 dặm/ giờ và đi bộ với vận tốc 3
dặm/giờ. Hãy xác định phương án di chuyển hợp lý để thời gian người đó đến B là nhỏ
nhất. (Giả sử vận tốc của dòng nước là không đáng kể.)
37. Có hai địa điểm A, B nằm trên cùng một phía của một con sông thẳng. Gọi l
1

46. Một khu vườn cây ăn quả thu được 25 thùng quả mỗi cây khi trồng 40 cây trong vườn. Khi
tăng mật độ cây trong vườn, người ta thấy rằng cứ trồng thêm 1 cây thì lượng quả thu được
trên mỗi cây giảm đi 0.5 thùng. Vậy phải trồng bao nhiêu cây trong vườn thì lượng quả thu
được là tối đa.
47. Một người có một của hàng nhỏ bán các hộp đựng bút. Giả sử số lượng các hộp bán ra tỉ lệ
nghịch với bình phương giá bán mỗi hộp. Nếu người đó bán với giá $20 mỗi hộp thì sẽ bán
được trung bình 125 hộp. Đầu tư ban đầu cho cửa hàng là $750 và chi phí cho mỗi hộp
đựng bút là $5. Tìm giá bán mỗi hộp bút để lợi nhuận của cửa hàng là tối đa. Khi đó có bao
nhiêu hộp được bán ra?
7
48. Giả sử kích thước (số cá thể) của một bầy ruồi đục quả tăng theo hàm mũ
0
( )
kt
P t P e=
,
trong đó P
0
là kích thước của bầy ruồi tại thời điểm bắt đầu quan sát và P(t) là kích thước
tại thời điểm t. Biết rằng kích thước của bầy ruồi tăng lên gấp đôi sau 9 ngày.
a. Tìm hằng số tăng trưởng k.
b. Giả sử ban đầu đàn ruồi có 100 con, xác định kích thước đàn ruồi sau 41 ngày, và tốc
độ tăng trưởng của đàn tại thời điểm đó.
c. Sau bao nhiêu ngày thì đàn ruồi có 800 cá thể.
49-59 Tính các giới hạn.
49.
1
ln
lim
1

−
53.
0
lim ln
x
x x
+
→
54.
2
1
lim tan
cos
x
x
x
π
−
 
→
 ÷
 
 
−
 ÷
 
55.
( )
cot
0

lim
x
x
x e
→−∞
59.
2
1
lim tan
cos
x
x
x
π
−
 
→
 ÷
 
 
−
 ÷
 
59.
( )
2
1/
0
lim cos
x

>

+ =

− <

63.
arcsin( ) arcsin , [ 1, 1]x x x− = − ∀ ∈ −
64.
arccos( ) arccos , [ 1, 1]x x x
π
− = − ∀ ∈ −

Bài tập bắt buộc: 1-4, 8, 9, 14-20, 23, 26, 27, 28, 31, 32, 34, 36, 42, 45, 48, 49-59, 60-62.
8
Bài tập chương: Hàm nhiều biến
1. Tính đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số sau
a)
2 2
ln( )z x x y= + +
b)
2
sin
x
z y
y
=
c)
arctan
x y

x y
z x y e
+
= +
tại (0;0)
c)
2
arctan
1
y
z
x
=
+
d)
2 2
2 2
ln
x y x
z
x y x
+ −
=
+ +
tại (0;1)
3. Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số sau
a)
2 2
ln( )z x y= +
b)

tại (1,1)
5. Cho hàm số
( , ) ( cos cos ).
x
f x y e x y y x= −
Tính
2 2
2 2
z z
x y
∂ ∂
+
∂ ∂
6. Cho hàm số
2 2
1
lnz
x y
=
+
. Tính
2 2
2 2
z z
x y
∂ ∂
+
∂ ∂
7. Cho hàm số
2 2

2 2
ln( )z y x y= −
thỏa mãn phương trình
2
1 1z z z
x x y y y
∂ ∂
+ =
∂ ∂
.
10. Chứng minh
arctan
1
x y
z
xy
+
=
−
thỏa mãn
2
0
z
x y
∂
=
∂ ∂
.
11. Hàm
4 4 2 2

19.
( , )
y
f x y x y xe= + −
20.
2
( , ) ( )
y
f x y x y e= +
21.
2
( , ) 6 3f x y x y x y x= − − + +
22.
2 2
1 1 1 1 1
( , )
2
f x y
x y x y
= + + + −
23.
50 20
( , )f x y xy
x y
= + +
10
Bài tập chương Nguyên hàm
1 - 3 Dùng tính chất và bảng nguyên hàm tính các tích phân bất định sau:
1.
3

1 ln x
dx
x
+
∫
5.
3
2
1 3
xdx
x−
∫
6.
1
x
dx
e+
∫
7.
2 2
( 2) 3 5
xdx
x x+ +
∫
8.
3
cos
sin
x
dx

2
arccosx xdx
∫
15.
2
arcsin x
dx
x
∫
16. Xác định a, b, c để hàm số
2 2
( ) ( )
x
F x ax bx c e
−
= + +
là nguyên hàm của hàm số
2 2
( ) (2 8 7)
x
f x x x e
−
= − − +
17. Xác định các hằng số a, b, c để hàm số
2
( ) ( )
x
F x ax bx c e
−
= + +

π π
=
20 – 50. Tính các tích phân bất định sau:
20.
2
x
xe dx
∫
21.
4
cos
dx
x
∫
22.
(1 ln )
dx
x x+
∫
23.
sin
1 2cos
xdx
x+
∫
24.
2
1 2cos
sin
x

e e−
∫
29.
sin
x
e xdx
∫
30.
cos(ln )x dx
∫
31.
2
ln
( )
x
dx
x
∫
32.
3
cos
sin
x x
dx
x
∫
33.
2
ln(cos )
cos

2
x
dx
x −
∫
38.
3 2
2
2 2
x
dx
x x x
+
− +
∫
39.
2
2 6 9
dx
x x− −
∫
40.
2
4 4 3
dx
x x+ +
∫
11
41.
2

∫
47.
3
sin sin
cos 2
x x
dx
x
−
∫
48.
4
6
sin
cos
x
dx
x
∫
49.
cos sin
sin 2
x x
dx
x
+
∫
50.
2
2

+
∫
3.
1
2
1
3 2x x dx
−
− −
∫

4.
1
2
0
ln(1 )x x dx+
∫
5.
3
2
0
5 3
3
x
dx
x
+
−
∫
6.

1
x x
dx
x
−
+
∫

10.
3 4
1 4
arcsin
(1 )
x
dx
x x−
∫
11.
2
3 5
0
sin cos d
π
θ θ θ
∫
12.
/3
/4
ln(tan )
sin 2

∫
15.
4
3
0
sin
cos
x x
dx
x
π
∫
16.
1
2
1
1
( 2)( 4)
dx
x x
−
− +
∫
17.
3
2 2
1
(1 )
arctgx
dx

21 - 32 Tính các tích phân suy rộng sau nếu nó hội tụ:
21.
2 2
0
( 2)
x
dx
x
+∞
+
∫
22.
2
1
1
2
x
dx
x x
+∞
+
+
∫
23.
2
1
4 4 5
dx
x x
+∞

∫

27
1
x
e dx
+∞
−
∫
28.
2
1
ln x
dx
x
+∞
∫
29.
2
1
arctgx
dx
x
+∞
∫
.
30.
cost tdt
+∞
−∞

+
∫
34.
2
3
4
1
sin 3
1
x
dx
x
+∞
+
∫
35.
2
1
x
dx
x
+∞
−∞
+
∫

36.
1/
1
1

1
4 ln
dx
x x
+∞
+
∫
40.
3
1
( 1)( 2)
dx
x x x
+∞
− −
∫
41.
1
1
ln(1 )
x
dx
x
α
+∞
+
∫
13
42 - 47 Tính độ dài cung của các đường cong sau
42. y =

+
=
−
từ x = 1 đến x = 3 45. y =
/2 /2
( )
2
x x
a
e e
−
+
từ x = 0 đến x = a
46. y =
2
arcsinx x x− +
47.
3
2 2
ln
a
y a
a x
=
−
từ x = 0 đến x = b (với 0 < b < a)
48. Tìm hàm độ dài cung của đường cong y =
3
1
3 4

.
(b) Hãy tính độ dài của đường gấp khúc gồm 2 đoạn nội tiếp cung trên, chính xác đến 2
chữ số thập phân, và so sánh với độ dài cung tính được trong (a)
(chọn hoành độ của các điểm mút đường gấp khúc là 0; 0,5, 1).
52 - 57 Vẽ miền giới hạn bởi các đường sau và tính diện tích của chúng
52. y = -x
2
; y = x-2 và Ox 53. y
2
= 2x+4; y = -2; y = -5 + 3x/2
54. y = e
x
; y = sinx; x = 0; x=
/ 2
π
55. y = 3x
2
; y = 8x
2
; 4x + y = 4;
0x
≥
56. 4x+y
2
=12; y = x 57. y = sin2x; y = cosx; x = 0; x =
/ 2
π
58. Tính diện tích các phần tô đậm sau nếu nó hữu hạn

59. Ở một vùng dân cư có tỷ lệ người sinh và tỷ lệ người chết tại thời điểm t lần lượt là các

(c)
7
0
( )g x dx
∫
62. Cho
0
( ) ( )
x
g x f t dt=
∫
, trong đó f là hàm số
mà đồ thị của nó được cho ở hình vẽ bên
(a) Tính g(0), g(1), g(2), g(3), và g(6).
(b) Hàm g tăng trên đoạn nào?
(c) Hàm g đạt giá trị cực đại tại đâu.
(d) Hãy vẽ đồ thị hàm g.
63. Nếu
2
( ) 2 , 0 3,f x x x x= − ≤ ≤
hãy tính tổng Riemann với n = 6, bằng cách chọn các điểm
mút phải. Tổng Riemann này biểu thị đại lượng nào? Minh họa bằng hình vẽ.
64. Vận tốc của một vận động viên thi chạy tăng đều đặn trong suốt 3 giây đầu của cuộc đua.
Kết quả đo vận tốc của cô ấy sau mỗi quãng thời gian nửa giây thu được ở bảng sau. Hãy
ước lượng cận trên và cận dưới của quãng đường mà cô ấy chạy được trong 3 giây này.
t (s) 0,5 1,5 2,5
v (m/s) 1,9 3,3 4,5 5,5 5,9 6,2

65. Đồ thị hàm vận tốc của một chiếc ô tô trong
một qúa trình sử dụng phanh được cho ở hình

68. Ban đầu đàn ong có 100 con và tốc độ tăng trưởng của đàn là N’(t) (con/tuần). Giá trị của
biểu thức 100 +
15
0
'( )N t dt
∫
biểu diễn cái gì?
69. Tốc độ tăng trưởng của sinh khối (số lượng sinh vật sống trong một đơn vị diện tích, thể
tích vùng hoặc tổng trọng lượng của sinh vật sống trong sinh quyển) ở thời điểm t là B’(t),
biểu thức
6
1
'( )B t dt
∫
biểu diễn cái gì?
70. Hàm w’(x) biểu diễn tốc độ tăng trưởng của trẻ ở độ tuổi x (đơn vị kg/năm), khi đó
5
3
w'(x)dx
∫
biểu diễn cái gì?
71. Một mô hình tốc độ tăng trưởng sinh khối ở thời điểm t là B’(t) = cos(
/ 6)t
π
, với
0 12t≤ ≤
. Vẽ đồ thị hàm B’(t) và tìm hàm sinh khối B(t) biết B(0) = 100.
72. Số lượng ban đầu của một nhóm vi khuẩn là 400 con và chúng tăng trưởng với tốc độ
r(t) = 450,268e
1,12567t

'( ) ( ) ( )
t
t
V t dx V t V t= −
∫
- Kí hiệu [C](t) là hàm chỉ nồng độ của chất tan trong một phản ứng hóa học tại thời điểm t,
khi đó [C]’(t) là tốc độ của phản ứng tại thời điểm t. Vậy sự chênh lệch nồng độ chất tan ở
thời điểm t
2
so với thời điểm t
1
là:
2
1
2 1
[ ]'( ) [ ]( ) [ ]( )
t
t
C t dx C t C t= −
∫
- Kí hiệu C(x) là hàm chỉ tổng chi phí sản xuất của nhà máy khi sản xuất x đơn vị sản phẩm,
khi đó C’(x) =
0
lim ( )
x
C x
∆ →
∆ ∆
là tốc độ biến thiên của tổng chi phí tại x (gọi là hàm chi phí
cận biên). Khi đó sự chênh lệch về chi phí sản xuất khi tăng số đơn vị sản phẩm từ x

1
2 1
( ) ( ) ( )
t
t
v t dx s t s t= −
∫
Nếu v(t) > 0 thì vật chuyển động sang phía bên phải, v(t) < 0 thì vật chuyển động sang
phía bên trái, do vậy tổng độ dài quãng đường mà vật đó đã di chuyển trong khoảng thời
gian từ t
1
đến t
2
là:
2
1
( )
t
t
v t dx
∫
- Lí luận tương tự, nếu N(t) là hàm chỉ kích thước của một quần thể sinh vật tại thời đểm t
thì N’(t) =
0
lim ( )
t
N t
∆ →
∆ ∆
chính là tốc độ tăng trưởng của quần thể tại thời điểm t. Vậy sự

=
5.
( ) ( )
2 2
1 1y dx x ydy+ = +
6.
1 2
'
x
yy
y
−
=
7 - 10 Giải các phương trình vi phân đẳng cấp
7.
' ln
y
xy y
x
=
8.
( )
2
0y x ydx x dy− + =
9.
( )
2 2 2
x xy y dx x dy+ + =
10.
2 2

18.
( )
2 2
3 2 0, (2) 1x y dx xydy y− + = =
19.
' sin sin cosy y x x x− =
20.
2
' lnxy y y x+ =
21.
( ) ( )
2 2 2 2
4 3 4 3 0x xy y dx x xy x dy+ + + + + =
22.
( )
1 ' , (0) 1
x x
e yy e y+ = =
23.
( )
2 0ydx xy x dy+ − =
24.
( )
3
3 1 sin 3 sinxdy y x x y x dx= + −
25.
'sin ln , 1
2
y x y y y
π

2
' ln , ( )
ln 2
y e
y x x y e
x x
− = =
31.
2 5
' 5
2
y
y x y
x
− =
32.
2
' cos
y
xy y x
x
= −
33.
2 2
1
'xy y
x y
+ =
34.
3 4

39.
2x
4 4 (2x 1)y y y e
′′ ′
+ + = +
40.
1y y x
′′ ′
− = +
41.
3x
9 (1 2x)y y e
−
′′
− = −
42.
3x
6 9y y y xe
−
′′ ′
+ + =
43.
2 4x
9 20y y y x e
′′ ′
− + =
44.
6 7 2e
x
y y y

50.
2 2x
4 4 2xy y y e
′′ ′
− + =
Bài tập bắt buộc: 16-50
19
Đáp số bài tập Chương nguyên hàm
1.
3 1
4 4
4
8
3
x x C
− −
− +
2.
1
2ln
1
x
x C
x
+
− +
−
3.
tan
x

3 5arctg x C+ +
8.
2
1
ln | sin | sin
2
x x C− +
9.
arcsin 2
ln 2
x
C+
10.
2 (ln | | 1)x x C− +
11.
2 2
1
(2 3)
4
x
x x e C− + +
12.
2
(2 ) cos 2sinx x x C− + +
13.
2
1 1
sin 2 cos 2
4 4 8
x

+
19.
1
( ) ( sin 1)
2
F x x x= − +
20.
2
1
2
x
e C+
21.
3
1
3
tgx tg x C+ +
22.
ln |1 ln |x C+ +
23.
1 2cos x C− + +
24.
2 cos
sin
x
C
x
−
+
25.

e x x C− +
30.
(cos(ln ) sin(ln ))
2
x
x x C+ +
31.
2
ln
2ln 2
x
x x C
x
− + +
32.
2
1
( cot )
2 sin
x
gx C
x
− + +
33.
ln(cos ).tan tanx x x x C+ − +
34.
1 2 1
ln | |
4 2 3
x

2 2
x
x C
x x
+ − +
− +
20
39.
1 3 1
arcsin
3
3
x
C
+
+
40.
2
1
ln(2 1 4 4 3)
2
x x x+ + + +
41.
2
1 1
ln | |
x
C
x
+ +

− −
+
−
45.
1
cos 2
2
x x C− +
46.
1
2 tan
2
C
x
+
−
47.
1 2 2 cos 1
cos ln | |
2 8
2 cos 1
x
x C
x
−
− +
+
48.
5
1

   
   
−
   
b)
1 1 5 5 10 4 2 14
2 5 9 5 4 , 3 2 21 17 20 3
6 8 3 7 2 17 6 8
A C C B A
− − − −
   
   
− = − − + − = −
   
   
− − −
   
c)
7 2 4 1 17 10
2 6 0 1 5 2
2 , 2 3
5 3 1 5 7 3
5 9 16 5 2 7
t t t t t
A B A B C
− −
   
   
− − −
   

   
− −
   
3. a)
2 2
0 2
 
 
−
 
b)
1 6 2
0 6 10
− − −
 
 ÷
 
c)
6 18 3
2 6 1
2 6 1
 
 ÷
 ÷
 ÷
− − −
 
d) (5)
4. a)
27 55 27

0 3
 
 ÷
 
21
5. a) -51 b) 1 c) 0 d) -56
6. a) (a – b)(a – c)(c – b) b) -2(y
3
+ y
3
)
c) (b – a)(c – a)(c – b) d) -3y
2
7.
3 41 3 41
1, ,
4 4
x x x
− + − −
= = =
9. a) -3 b) -2
10. a)
2
10 10
7 10 4 9 12 1
9 14 4 , 12 17 0 ;
3 2 12 1 0 9
det( ) 8, det( ) 8 , det(4 ) 512
t
A AA

 ÷
 
11. a)
1
3 4 1
1 3 / 2 1/ 2
3 5 / 2 1/ 2
A
−
− −
 
 ÷
= −
 ÷
 ÷
−
 
b)
2 3
2
1
1
0 1
0 0 1
0 0 0 1
a a a
a a
B
a
−

7 1 4
A
−
 
 
=
 
 
− −
 
13. a)
( ) ( ) ( )
2
det 2 1 4A x x x= − − +
, A khả nghịch
1
det 0 2
4
x
A x
x
≠


⇔ ≠ ⇔ ≠


≠ −

b)

 
 
= = −
 
 
− −
 
15.
det 3 3A m= −
, A khả nghịch
det 0 1A m⇔ ≠ ⇔ ≠
16. a)
1
7 4
25 14
X BA
−
−
 
= =
 
−
 
b)
1 1
AXB C X A CB
− −
= ⇒ =
17. a)
det 0A =

x x
x
x x

= +



= −



= −


18. a)

( ) 2r A =
b)
( ) 3r B =
c)
( ) 3r C =
d)
( ) 2r D =

19. a)
0 : ( ) 3
0: ( ) 2
r A
r A

3: ( ) 3
3: ( ) 2
m r A
m r A
≠ =


= =

b) Không tồn tại ma trận Y
22
21. a)
1 2 3 4
1, 1, 0, 1x x x x= − = − = =
b) vô nghiệm
c)
1 2 3 4
2 , , , 1x t s x t x s x= − = = =
; t, s tùy ý. d)
1 2 3 4
13
, , 7, 0
3
t
x x t x x
+
= = = − =
; t tùy ý.
e)
1, , 2 , 1x y s z s t s= = = − = −

= − ±
, hệ có vô số nghiệm
23
Đáp số bài tập chương phép tính vi phân hàm một biến
1. Từ đồ thị ta thấy anh ấy rời nhà lúc 8h sáng để đến cơ quan lúc 9h, sau đó anh ấy ngồi làm việc tại cơ quan đến
10h. Vì công việc anh ấy phải di chuyển để đi gặp đối tác lúc 12h, và tiến hành thỏa thuận kinh doanh trong
vòng 1 tiếng. Buổi chiều anh ấy phải đi kiểm tra việc kinh doanh tại một cửa hàng trong khoảng thời gian từ 17h
đến 18h. Cuối cùng anh ấy về nhà vào khoảng 19h.
2.
2
2
2
4
1x
x
−
−
3.
2
2
1 arccos
1
x
x
x x
− −
−
4.
3 2
1

3/2
2
8
2
x
x
− +
−
+
10.
2 2
4
4x x
−
+
11.
( )
( )
2
3
2
2 3
1
2
1
1
x x
x
x
x

1 cos
x
dx
x+
17.
(cos sin )x x x dx−
18.
( ) ( )
2
6sin 2 1 cos 2 1x x dx+ +
19.
2
1 cot 2
cot 2
x
dx
x
+
−
20.
(
)
2
2
cos 2
2
x x
dx
x
+

( ) ( )
2
3/2
5
2
4 2
''
2 2
x
y
x x
x
x
−
=
− +
 
 ÷
 
,
( )
( ) ( )
4 2
5/2
8
2
4 3 10 16
'''
2 2
x x

=
3.
( )
( )
2 2
'' 3 sin 3cos 7cos 18cos sin 17siny x x x x x x= + − − +
( )
( )
2 2
''' 3 cos 3sin 61cos 54cos sin 11siny x x x x x x= − − + − − +
4.
( )
3/2
2
''
1
x
y
x
= −
+
( )
2
5/2
2
2 1
'''
1
x
y

(2) 140s =
c.
11
8
t =
và
5t =
. d.
90−
e.
1t =
f.
102−
34. a.
3.5( )t s=
. Độ cao lớn nhất bằng
(3.5) 196( )s m=
. Quả bóng rơi yuống đất khi
7t =
.
b.
112−
c.
2
32( / )m s−

35.
3
[0; ]
13

48. a.
ln 2
0.077
9
k = =
b. P(41)
≈
2351 con; P’(41)
≈
181,1 con/ngày c. 27
49. 1 50.
+∞
51. 0 52.
1
3
53. 0
54. 0 55. e
16
56. 1 57.
9
5
Đáp số chương hàm nhiều biến.
1. a)
(
)
' '
2 2
2 2 2 2
1
; ;

2 2
;
2 2
sin sin
x y
x
z z
x x
y y
y y
−
= =
e)
' '
2 2
1
arctan ;
1
x
x
x y
x e
z e y z
y y y
−
= − = −
+
f)
' ' '
2 2

(0;1) 2dz dx= −
3. a)
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
'' '' ''
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2( ) 4 2( )
; ;
xx xy yy
x y xy x y
z z z
x y x y x y
− + − −
= = =
+ + +
25