1

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
CHƯƠNG 1 LÝ THUYẾT TÁN XẠ CỦA NƠTRON CHẬM TRONG
TINH THỂ 3
1.1. Cơ sở lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể. 3
1.2. Thế tương tác của nơtron chậm trong tinh thể 8
CHƯƠNG 2 TIẾN ĐỘNG HẠT NHÂN CỦA SPIN CỦA CÁC NƠTRON
TRONG MÔI TRƯỜNG PHÂN CỰC 12
2.1. Tính góc tiến động bằng phương pháp toán tử. 12
2.2. Tính góc tiến động bằng phương pháp hàm sóng 14
2.3. Sử dụng bảo toàn năng lượng để tính góc tiến động 18
CHƯƠNG 3 TÁN XẠ HẠT NHÂN CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC TRÊN
BỀ MẶT TINH THỂ CÓ CÁC HẠT NHÂN PHÂN CỰC TRONG ĐIỀU
KIỆN CÓ PHẢN XẠ 20
3.1. Tiết diện tán xạ hiệu dụng của tán xạ không đàn hồi của các nơtron trên
tinh thể có các hạt nhân phân cực. 20
3.2. Tiết diện tán xạ bề mặt hiệu dụng của các nơtron trong trường hợp có
phản xạ toàn phần. 27
CHƯƠNG 4 VÉC TƠ PHÂN CỰC CỦA CÁC NƠTRON TÁN XẠ HẠT
NHÂN TRÊN BỀ MẶT TINH THỂ CÓ CÁC HẠT NHÂN PHÂN CỰC
TRONG ĐIỀU KIỆN CÓ PHẢN XẠ TOÀN PHẦN 31
KẾT LUẬN 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO 46
1


Chương 1: Lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể
Chương 2: Tiến động hạt nhân của spin của các nơtron trong môi
trường phân cực.
Chương 3: Tán xạ hạt nhân của các nơtron phân cực trên bề mặt tinh
thể có các hạt nhân phân cực trong điều kiện có phản xạ toàn phần
Chương 4: Véctơ phân cực của các nơtron tán xạ hạt nhân trên bề mặt
tinh thể có các hạt nhân phân cực trong điều kiện có phản xạ toàn phần.
3

CHƯƠNG 1
LÝ THUYẾT TÁN XẠ CỦA NƠTRON CHẬM
TRONG TINH THỂ
1.1. Cơ sở lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể.
Hiện tượng: Dùng một chùm nơtron chậm phân cực chậm bắn vào bia (năng
lượng dưới 1MeV và không đủ để tạo ra quá trình sinh hủy hạt), nhờ tính chất trung
hòa về điện, đồng thời moment lưỡng cực điện vô cùng nhỏ (gần bằng 0) nên
nơtron không tham gia tương tác điện, dẫn đến độ xuyên sâu của chùm nơtron vào
tinh thể là lớn và bức tranh giao thoa của sóng tán xạ sẽ cho ta thông tin về cấu trúc
tinh thể và cấu trúc từ của bia.
Một chùm hạt nơtron phân cực khi đi vào trong tinh thể sẽ chịu tác dụng của
tương tác hạt nhân, tương tác trao đổi spin và tương tác từ gây ra bởi phân cực của
chùm nơtron và sự chuyển động của các electron, cả electron tự do và electron
không kết cặp trong bia tinh thể.
Nguyên nhân gây ra tương tác từ:
Nếu tính trung bình trong 1 chùm nơtron không phân cực thì moment spin sẽ
bằng 0, moment từ trung bình của chùm cũng bằng 0 (
mag

moment từ do sự phân cực của chùm nơtron đó sẽ là hai nguyên nhân gây ra tương
tác từ giữa tinh thể và chùm nơtron. Chính tương tác từ này sẽ cho ta thông tin về
tính chất từ của bia.
Nguyên nhân sinh ra tương tác spin:

4

Do nơtron có spin khi đi vào mạng tinh thể sẽ xảy ra tương tác trao đổi giữa
nơtron với hạt nhân và giữa nơtron với các electron trong nguyên tử, tương tác này
tỷ lệ với tích vô hướng véc tơ spin của nơtron với hạt nhân, cũng như giữa nơtron
với electron.
Từ những phân tích định tính trên, để tính toán tiết diện tán xạ của chùm
nơtron một cách thuận tiện ta có thể chọn lý thuyết nhiễu loạn với phép xấp xỉ gần
đúng Born.
Giả sử ban đầu hạt nhân bia được mô tả bởi hàm song
|
n
ñ
, là hàm riêng của
toán tử Hamilton của bia với năng lượng tương ứng là
n
E
:
||
n
HnEn
ñ=ñ

Sau khi tương tác nơtron, sẽ chuyển trạng thái khác
,

,,
|,
p
l
ñ
với năng lượng
,
p
E
và véc
tơ sóng là #
$
"
′

Theo lý thuyết nhiễu loạn, xác định xác suất để nơtron chuyển từ trạng thái
|,
p
l
ñ
sang trạng thái
''
|,
p
l
ñ
mà không cần quan tâm tới trạng thái của bia được tính theo
công thức:
,,,,
,

np
EEE
là các năng lượng tương ứng của hạt nhân bia và nơtron trước
và sau khi tán xạ
,,
()
pn
pn
EEEE
d
+
- Hàm delta Dirac
,,
,,
()t
1
()
2
pn
pn
i
EEEE
pn
pn
EEEEedt
d
p
¥
-+
-¥

,*,
2
\
,
1
W|||||
pn
pn
pppp
i
EEEE
nn
pp
nn
nVnnVnedt
llll
ll
r
+¥
-+
-¥
=áñáñ
å
ò
h
h

,,
,,,,
\\

,
()t()t
,,
2
,
1
|||||
pn
pn
pppp
ii
EEEE
nn
nn
enVnnVnedt
llll
r
+¥

+
-¥
=áñáñ
å
ò
hh
h
(1.1.2)

6


,,,,
\\
HtHt
(t)
pppp
ii
VeVe
llll
-
=
hh

Thay (1.1.3) vào (1.1.2), chú ý rằng trong trường hợp này ta không quan tâm
tới sự khác nhau của hạt bia trước và hạt bias au tương tác, vì vậy công thức lấy
tổng theo n
’
, n chính là vết của chúng và được viết lại:
,
,,
,,,,
\\
,
()tHtHt
,,
2
\
,
1
W|||||
p

1
||()|
p
p
pppp
i
EE
nn
nn
nVVtnedt
llll
r
+¥
-
+
-¥
=áñ
å
ò
h
h{
}
,
,,,,
\\
()t
2

EE
eVVtdt
llll
+¥
-
+
-¥
=áñ
ò
h
h
(1.1.4)
Ở biểu thức trên, dưới dấu vết có chứa toán tử thống kê của bia
r
, các phần
tử đường chéo của ma trận của nó chính là xác suất
n
r

Theo quy luật phân bố Gibbs nếu hạt bia nằm ở trạng thái cân bằng nhiệt
động ta có hàm phân bô trạng thái:

7

()
H
H
e
Spe
b

b
b
rr
-
-
áñ===
å
(1.1.6)
Do các detector hiện tại của chúng ta thường “mù” đối với sự định hướng
spin nên thong thường chúng ta lấy trung bình cho tất cả các trạng thái phân cực của
nơtron sau khi tán xạ:
,
,,,
,,,,
\\
,
()t
2
\
1
WW(())
p
p
pppp
i
EE
pppp
eSpVVtdt
llll
s

=
uurur
là véc tơ phân cực của nơtron,
s
ur
là các ma trận
Pauli.
Nếu chuẩn hóa hàm sóng của nơtron trên hàm đơn vị thì tiết diện tán xạ hiệu
dụng được tính trên một đơn vị góc khối và một khoảng đơn vị năng lượng
2
d
ddE
s
æö
ç÷
W
èø
là:
( )
,
2,
2
W
2
pp
dmk
ddEk
s
p
æö

p
+¥
-
+
-¥
=áñ
ò
h
h
(1.1.8)
Như vậy với một cấu trúc tinh thể xác định, về mặt nguyên tắc chúng ta có
thể tính toán được tiết diện tán xạ của chùm nơtron phân cực tán xạ trên bia tinh thể.
Trên đây chúng ta đã xem xét hiện tượng, các loại tương tác tham gia và đi tới công
thức tổng quát của tiết diện tán xạ của chùm nơtron phân cực trong bài toán nghiên
cứu.
1.2. Thế tương tác của nơtron chậm trong tinh thể
Thế tương tác của nơtron chậm và bia tinh thể gồm ba phần: thế tương tác
hạt nhân, thế tương tác từ và thế tương tác trao đổi giữa nơtron và hạt nhân, giữa
nơtron và electron tự do và electron không kết cặp trong bia tinh thể.
Yếu tố ma trận của tương tác hạt nhân
Thế tương tác hạt nhân và tương tác trao đổi giữa nơtron và hạt nhân được
cho bởi giả thiết Fermi:
(
)
(
)
nuclearnullll
l
VVIrR
absd


9

Yếu tố ma trận của tương tác từ.
Tương tác từ của nơtron trong mạng tinh thể xuất hiện do các điện tử tự do
chuyển động. Và bản thân nơtron cũng có mômen từ sinh ra.
Mômen từ của nơtron là:
neutronneu
nu
mmgs
gm
º=
ururr

Trong đó:
1.913
g
=-
- độ lớn mômen từ hóa trên manheton Bohr hạt nhân
2;
2
nu
proton
e
g
mc
m
==
h


urrur
ur
rurrur

1
4
oB
j
j
j
g
S
rR
mm
p
éù
êú
=´Ñ
êú
-
ëû
å
ur
rur

B
m
là manheton Borh
o
m

êú
êú
=Ñ´=Ñ´´Ñ
êú
êú
-
ëû
ëû
å
urrurrur
rur

Dùng công thức giải tích véc tơ:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
abbaababba
Ñ´´=Ñ-Ñ+Ñ-Ñ
rrrrrrrrrr

Ta có:
( )
2

rR
éù
êú
Ñ=
êú
-
ëû
rur

Nên:
( )
1
()
4
oB
j
j
g
BrS
rR
mm
p
éù
êú
=ÑÑ
êú
-
ëû
urrur
rur

j
j
j
sS
rR
gmmm
p
éù
êú
=ÑÑ
êú
-
ëû
å
rur
rur

Dấu
j
å
lấy tổng theo tất cả các electron tự do lẫn các electron không kết
cặp trong bia tinh thể.

11

Tương tác trao đổi spin giữa eletron và nơtron tới được cho bởi công thức:
(
)
ex
j

d
p
éù
=++=+-
ëû
éù
êú
+ÑÑ+-
êú
-
ëû
å
åå
ururruur
urrurrur
rur

Như vậy khi xét bài toán của một chùm nơtron chậm không phân cực tán xạ
trong tinh thể, ngoài tương tác hạt nhân chúng còn tương tác từ và tương tác trao
đổi giữa nơtron và electron tự do và electron không kết cặp trong bia tinh thể. Tiết
diện tán xạ vi phân sẽ gồm đóng góp ba phần được đặc trưng bởi ba loại tương tác ở
trên.
=+
-
rruur
ruur
rr
r
ruur
(2.1.1)

Trong đó,
n
c
là hàm sóng spin của nơtron tới,
0
n
c
là hàm sóng spin của hạt
nhân.
Trong trường hợp các nơtron chậm, bước sóng lớn hơn nhiều so với kích
thước của hạt nhân, vì vậy biên độ tán xạ không phụ thuộc vào góc tán xạ và có thể
viết dưới dạng:
µ
fJ
abs
=+
ur
(2.1.2)
Trong đó:
2
S


a
+
là biên độ tán xạ trong trạng thái ứng với momen tổng cộng của nơtron và
hạt nhân là
1
2
I
+

a
-
là biên độ tán xạ trong trạng thái ứng với momen tổng cộng của nơtron và
hạt nhân là
1
2
I
-

Trong quá trình tán xạ trên hệ hạt nhân, hàm sóng viết lại có dạng như sau:
()
µ

i
i
ikrR
ikR
ikr
nnucminnucm
l

µ
i
i
ikrR
ikR
ikr
nin
l
i
e
refe
rR
ycc
-
=+
-
å
rruur
ruur
rr
r
ruur
(2.1.4)
Trong đó:
µ
fJ
abs
=+
ur
=

yabsc
æö
=++
ç÷
èø
rr
rur
(2.1.5)
Trong công trình [16], toán tử:
1
2
p
i
B
dqsh
=+
uruur
(2.1.6)
được gọi là toán tử spin quay xung quang một trục đặc trưng bởi véc tơ đơn vị
p
h
uur

một góc
dq
,
1
dq
=


qb
=

Kết quả này có thể nhận được bằng các phương pháp khác
2.2. Tính góc tiến động bằng phương pháp hàm sóng
Chọn trục lượng tử song song với véc tơ phân cực của hạt nhân
p
ur
. Nếu nơtron tới
mặt phẳng có spin song song với véc tơ
p
ur
(
1
0
n
c
æö
=
ç÷
èø
), thì sóng kết hợp
(
)
r
y
+
r
có
dạng:

µ
fIp
ab
-
=-
là biên độ tán xạ kết hợp đàn hồi dưới góc bằng 0 của nơtron với
spin phản song song với véc tơ phân cực của hạt nhân p
Nếu hàm sóng đi qua một lớp vật chất có độ dày xác định thì lặp lại tất cả
các lý luận dẫn đến biểu thức của hệ số khúc xạ đối với bia phân cực mà ta đã biết
thì chúng ta sẽ nhận được hệ số khúc xạ của các nơtron có spin song song với véc tơ
p
ur
như sau:
µ
( )
22
22
11
zz
i
nfIp
kk
prpr
ab
++
=+=++
(2.2.3)
Đối với các nơtron với sự phân cực ngược lại thì:
µ
( )

hướng của véc tơ phân cực hạt nhân. Chọn một hướng của p tạo thành một góc
tương đối với trục z. Véc tơ phân cực của hạt nhân bia có phương vuông góc với bề
mặt.
Hàm sóng cơ sở có dạng:

16

(
)
ikr
n
re
yc
=
rr
r
,
1
2
n
c
c
c
æö
=
ç÷
èø
(2.2.6)
Hay:
()

n
-

Hàm sóng của nơtron trong trạng thái phân cực thay đổi theo chiều sâu xác
định theo biểu thức sau:
()
(
)
()
1
1121
2
10
01
zz
ikriknzikriknz
cr
rcececece
cr
y
y
y
^^+^^-
+
-
æö
æöæö
ç÷
==+
ç÷ç÷

pcc
yy
+-
=-
Giả thiết rằng spin của nơtron có phương vuông góc với véc tơ phân cực của
hạt nhân và có phương song song với trục x, ta được
12
1
2
cc==
Sử dụng các đẳng thức (2.2.9) ta có:
(
)
Im()
cosRe
z
knnz
nxz
pknnze
+-

+-
=-éù
ëû

(
)
Im()
sinRe
z

z
z
knnzffz
k
pr
q
+-+-
=-=-ộự
ởỷ
(2.2.11)
Biu thc ca (2.2.11) phự hp vi (2.2.10)
Trong trng hp tng quỏt, vộc t phõn cc ca ht nhõn khụng xỏc nh.
mụ t hiu ng quay ca spin ntron ta dựng toỏn t quay spin i mt gúc
q
no
ú.
S dng (2.1.5) ta cú: sau khi i qua m mt phng phõn cc, hm súng ca
ntron l:
() ( )
2
1
m
ikr
n
z
i
rIpe
k
pr
yabsc

à
()
2
2
10
z
nf
k
pr
=+
(2.2.14)
à
()
0
f
l biờn tỏn x n hi trờn ht nhõn vi mt gúc bng 0. So sỏnh
vi vic mụ t bng toỏn t quay spin ca ntron i mt gúc trong [16]:
2
in
Be
q
s
=
ur
, ta thy, trong trng hp ny, toỏn t quay spin ntron c mụ t
bi:

18

( )

'2
2
(1)0
2
z
tkkh
k
UEEnf
mm
p
r
=-=-=-
h
h
(2.3.1)
Nh vy, trong ht nhõn bia phõn cc, súng ntron cú kh nng khỳc x vi
cỏc mc nng lng l:
()
22 2
2
2
(1)0
2
z
k
Unf
mm
p
r


Tng t vi thnh phn spin ngc li ta cú nng lng bng W
H
m
-
=

Hiu nng lng l: W-W2
H
m
+-
=-

Gii hn ca tn s chuyn ng tin ng ca ntron trong t trng H l:
2
R
H
m
w
=
h19

Hoàn toàn tương tự, trong từ trường tồn tại hiệu số thế
-U
U
+-
, pin của
nơtron chuyển động tiến động quanh trục song song với véc tơ phân cực của hạt

Ipl
kk
wpr
wb
n
¶===

Điều này hoàn toàn phù hợp với công thức (2.1.9)
Trong từ trường thì tương tác giữa spin của nơtron với hạt nhân có từ trường
hiệu dụng:
2
eff
H
w
m
=
h

Tương tự, nếu như bia phân cực có từ trường phụ thuộc vào thời gian
()
Bt
và
véc tơ phân cực của hạt nhân cũng phụ thuộc vào thời gian P = P(t) thì từ trường
hiệu dụng tổng hợp là:
()()()
eff
GtBtHt
=+

Trong đó:

tinh thể có các hạt nhân phân cực.
Chúng ta đi xem xét tán xạ không đàn hồi của các nơtron phân cực trong tinh
thể khi có các hạt nhân phân cực khi có phản xạ và khúc xạ.
Giả sử chùm nơtron tiến tới tinh thể có các hạt nhân phân cực, được đặt ở
nửa không gian x > 0 và mặt của tinh thể trùng với mặt phẳng y0z.
Như chúng ta đã biết, trong tinh thể phân cực tác động lên chùm nơtron có
trường tổng cộng:
nuc
eff
eff
GBH
=+
ururuur

ở đó
nuc
eff
H
uur
là giả từ trường hiệu dụng hạt nhân [15]
Theo giả thuyết trên thì trong một nửa không gian x > 0, trong tinh thể có các
hạt nhân phân cực có từ trường hiệu dụng đồng nhất
()
eff
Gx
ur
dạng:
0;()
effxeffyeffzeff
GGGGx

22
2
o
H
m
Ñ
=-
h21

H
k
: Hamilton của tinh thể - bia tán xạ
1
W()()
eff
o
VxGx
ms
=-
urur

m
: Moment từ của nơtron
s
ur
tương ứng với các thành phần
,y,

J
ur
: Toán tử spin hạt nhân
Sử dụng phương pháp các sóng méo ta đi tính yếu tố ma trận chuyển
,
kk
T

của quá trính tán xạ trên
Theo [3,23]:
,,
()()
2
|W|
k
kkk
T
jj
-+
=
(3.1.2)
Ở đó
,
()
k
j
-
và
()
k

jjc
=
rr
(3.1.4)
12
10
01
a
CC
c
ổửổử
=+
ỗữỗữ
ốứốứ
hm súng spin riờng ca ntron
||
k
r
v
||
r
r
: cỏc thnh phn ca vộc t súng v vộc t v trớ ca ntron song
song vi b mt tinh th.
t (3.1.4) vo (3.1.3) ta cú phng trỡnh Schrodinger cho
()
k
x
j
:

22
||
2
k
k
EE
m
^
=-
h
l nng lng chuyn ng dc ca ntron
Ký hiu
0
2
2
()
xeff
m
kEVG
m
>
^
=-
h
khi x > 0
Chỳng ta s nhn c nghim ca phng trỡnh (3.1.5) l:
,0
()
,0
ikx

1
2
2
1
2
0
,0
0
0
,0
0
ikxikx
xx
x
ikxikx
xx
ikx
c
c
eAeAex
c
c
c
BeBex
c
>>
<
>>



ex
jjc

=
rr
ta cú nghim ca phng trỡnh (3.1.3) trong dng
sau:
||||
||
||
1
1
2
2
1
2
0
,0
0
0
,0
0
ikxikx
xx
x
ikxikx
xx
ikx
ikr
a

ỗữỗữ
ốứốứ
ốứ
ù
ởỷ
=
ớ
ộự
ổửổử
ù
+>
ờỳ
ỗữỗữ
ù
ốứốứ
ởỷ
ợ
rr
rr
(3.1.7)
xx
xx
kk
A
kk
<>


<>


ỗữ
ốứ
uur

1
1
2()
2
ikx
x
x
ikx
eAAe
l
>
<-
+-
ộự
=++
ờỳ
ởỷ

2
1
()
2
ikx
x
AAe
l


2
1
B
2
ikxikx
xx
eBe
b
>>
+-
+-
ộự
=-
ờỳ
ởỷ24

Do ú:
1
1
1
2
2
0
0
ikxikx
xx

ikxikx
xx
c
INBeBe
c
bs
>>


+-
ộự
ổửổử
ộự
+=+
ờỳ
ỗữỗữ
ởỷ
ốứốứ
ởỷ
uurur

Thay vo (3.1.7) ta cú:
||
||
||
||
1
1
,0
,0

)
||
||
'
0
'
'
''''
||11
iQr
alllla
kk
l
TdredxIMABJJrRIM
clssdlsc
+**
-Ơ
ỡ
ộự
ộự
ộự
ộự
=++ +
ớ
ờỳ
ởỷ
ởỷ
ởỷ
ởỷ
ợ

ởỷ
ỵ
ồ
ũ
uuur
ururuururruuruurur

( ) ( )
||
||
0
'
''''''
||111111
iQr
allllll
dredxIAIBJJMAMBJJ
clllslslssl
+****
-Ơ
ỡ
ộ
=+-++-
ớ
ở
ợ
ũũ
urr
uuuuruuuur
ururuurururururuurur

++-++-+
ở
ũ
uuuruuur
uruurururururuururuurur
(
)
(
)
(
)
}
'
'''
1
lllllla
IBJJNNANNBJJNrR
bsssssssdc
***
ự
+-++
ỷ
uuuruuur
uruururuurururuururururuururuururruur

Vi
'
||||||
(,)
yz