U
Ƣ

N

Ọ

Ọ

Ự

-----------------------

VŨ

TÁN X H T NHÂN CỦ

Ị THU TRANG

Á

Ơ

P Â

ỰC TRÊN MẶT
ỀU KIỆN

TINH THỂ CÓ CÁC H T NHÂN PHÂN CỰ
CÓ PHẢN X


hƣơng 1 - Lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. ơ sở lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Thế tương tác của nơtron chậm trong tinh thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1. Yếu tố ma trận của tương tác hạt nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2. Yếu tố ma trận của tương tác từ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
hƣơng 2 - Tiến động hạt nhân của spin của các nơtron trong
môi trƣờng phân cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1. Tính góc tiến động bằng phương pháp toán tử. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2. Tính góc tiến động bằng phương pháp hàm sóng. . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3. Sử dụng bảo toàn năng lượng để tính góc tiến động. . . . . . . . . . . . . . . 15
hƣơng 3 - Phản xạ gƣơng của nơtron phân cực trên mặt biên gồ ghề
giữa chân không và vật chất có các hạt nhân phân cực . . . . . . . . 17
3.1. Ảnh hưởng của sự gồ ghề mặt biên “chân không – vật chất” có các
hạt nhân phân cực lên phản xạ gương của các nơtron phân cực. . . . . . 17
3.2. Véctơ phân cực của nơtron phản xạ gương trên mặt biên gồ ghề
giữa chân không và vật chất có các hạt nhân phân cực. . . . . . . . . . . . . 22
hƣơng 4 - Tán xạ hạt nhân của các nơtron phân cực trên mặt tinh thể
có các hạt nhân phân cực trong điều kiện có phản xạ. . . . . . . . . . 25
4.1. Tiết diện hiệu dụng của tán xạ không đàn hồi của các nơtron
trên tinh thể có các hạt nhân phân cực. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2. Tiết diện tán xạ bề mặt hiệu dụng của các nơtron trong
trường hợp có phản xạ toàn phần. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Kết luận: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33


MỞ ẦU
Trong những năm gần đây, sự tán xạ của nơtron chậm đã được sử dụng rộng
rãi để nghiên cứu vật lý các chất đông đặc.

giữa chân không và vật chất có các hạt nhân phân cực
hƣơng 4 - Tán xạ hạt nhân của các nơtron phân cực trên mặt tinh thể có các
hạt nhân phân cực trong điều kiện có phản xạ


ƢƠ

1 – LÝ THUYẾT TÁN X CỦ

Ơ

CH M

TRONG TINH THỂ
1.1. ơ sở lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể
Trong trường hợp khi bia tán xạ cấu tạo từ số lớn các hạt (ví dụ như tinh thể),
để tính toán tiết diện tán xạ một cách thuận tiện ta đưa vào lý thuyết hình thức luận
thời gian
Giả sử ban đầu bia được mô tả bởi hàm sóng n , là hàm riêng của toán tử
Hamilton của bia
H n =En n

(1.1.1)

Sau khi tương tác với nơtron sẽ chuyển sang trạng thái n ' . òn nơtron có thể
thay đổi xung lượng và spin của nó. Giả sử ban đầu trạng thái của nơtron được mô
tả bởi hàm sóng p . Ta đi xác định xác suất mà trong đó nơtron sau khi tương tác
với hạt nhân bia sẽ chuyển sang trạng thái p ' và hạt bia chuyển sang trạng thái
n'






i

 En  E p  En '  E p ' t

dt

(1.1.3)


Chúng ta quan tâm tới xác suất toàn phần Wp‟|p của quá trình trong đó nơtron
sau khi tương tác với bia sẽ chuyển sang trạng thái p ; nó nhận được bằng cách
tổng hóa các xác suất Wn‟p‟|np theo các trạng thái cuối của bia và lấy trung bình theo
các trạng thái đầu. Bởi vì bia không luôn ở trạng thái cố định do đó ta phải tổng
quát hóa đối với trường hợp khi nó ở trong trạng thái hỗn tạp với xác suất của trạng
thái n là  n . Theo đó ta có:
Wp '| p 

2



n

2

n ' p ' V np


2



e

i

 E p '  E p t



dt  nn ' n ' Vp ' p n

*

i

n ' Vp ' p n e

 En '  En t

(1.1.6)

nn '

En, En‟ là các trị riêng của toán tử Hamilton H với các hàm riêng là n , n ' , từ
đó ta viết lại trong biểu diễn Heisenberg:
i

e

2

i

 E p '  E p t





1
2

nn '





dt  nn ' n ' Vp' pVp ' p  t  n

i

dte

 E p '  E p t

Sp Vp' pVp ' p  t 


Kết hợp (1.1.8) và (1.1.9) ta được:
Wp '| p 



1
2

 dte

i

 E p '  E p t

Sp Vp' pVp ' p  t  





1
2





2




Nếu chuẩn hóa hàm sóng của nơtron trên hàm đơn vị ( trên hàm  ) thì tiết
diện tán xạ hiệu dụng được tính trên một đơn vị góc cầu và một khoảng đơn vị năng
lượng

d 2
, sẽ liên quan tới xác suất này bởi biểu thức sau:
d dE

d 2
m2 p '
m2

W

p
'|
p
3
d dE p '  2 3 p
 2 



5

i
 E p '  E p t 
p'

dte
Sp  Vp' pVp ' p  t 

p 

(1.1.13)

Trong đó:  - ma trận mật độ spin nơtron
1.2. Thế tƣơng tác của nơtron chậm trong tinh thể
Tán xạ của nơtron chậm khi đi vào mạng tinh thể sẽ chịu tác động của tương
tác hạt nhân và tương tác từ.
1.2.1. Yếu tố ma trận của tương tác hạt nhân
Ta xây dựng thế hạt nhân của nơtron và hạt nhân bia dưới dạng sau:
V (rn)   (rn  R)

Trong đó

  A  B(sJ )

(1.2.1)
(1.2.2)

rn - vị trí của nơtron
R - Vị trí của hạt nhân

A, B - là các hằng số

J - Spin của hạt nhân
s - Spin của nơtron


1.2.2. Yếu tố ma trận của tương tác từ.
Tương tác từ của nơtron trong mạng tinh thể xuất hiện do các điện tử tự do
chuyển động. Và bản thân nơtron cũng có mômen từ sinh ra. Thế đặc trưng cho
tương tác này được cho bởi biểu thức [21]
4 2
iqR

r0  Fj (q )e j S j , s  (es )e
m
j



Vp ' p



(1.2.6).

Trong đó:
r0 

e2
: là véctơ bán kính điện từ của electron
m0 c 2

m - khối lượng nơtron
  1.913 - độ lớn mômen từ hóa trên manhêton Bohr hạt nhân
S j - Spin của nguyên tử thứ j


 d

 1

j

j

Với S j   s là toán tử spin của nguyên tử thứ j


(1.2.7)


S j là đại lượng spin của nguyên tử thứ j

 j là hàm sóng của điện tử thứ j
Fj (q ) đặc trưng cho sự phân bố của mật độ spin trong nguyên tử

Như vậy khi xét bài toán của một chùm nơtron chậm không phân cực tán xạ
trong tinh thể, ngoài tương tác hạt nhân chúng còn tương tác từ. Do đó trong biểu
thức tiết diện tán xạ vi phân sẽ gồm đóng góp hai phần được đặc trưng bởi hai loại
tương tác ở trên
d 2 n
d 2 m
d 2


d dE p ' d dE p ' d dE p '



5

i
 E p '  E p t
p'
dte
Sp  Vp' pVp ' p  t 

p 

(1.2.10)


ƢƠ
Á

2 – TIẾ

ỘNG H T NHÂN CỦA SPIN CỦA

Ơ

MÔ

Ƣ NG PHÂN CỰC

2.1. Tính góc tiến động bằng phƣơng pháp toán tử.
Giả sử hạt tới và bia đều có spin. Chúng ta xem xét quá trình chuyển động
của nơtron chậm qua vật chất.

J là toán tử spin của hạt nhân


a  a
I 1 
I
a 
a  và  
2I  1
2I  1
2I  1

a  là biên độ tán xạ trong trạng thái ứng với mômen tổng cộng của nơtron và

hạt nhân là I 

1
2

a  là biên độ tán xạ trong trạng thái ứng với mômen tổng cộng của nơtron và

hạt nhân là I 

1
2

Trong quá trình tán xạ trên hệ hạt nhân, hàm sóng viết lại có dạng sau:




nhân không tương tác với nhau.
ể tìm sóng kết hợp trong trường hợp này, chúng ta làm trung bình cộng công
thức (2.1.3) theo phân bố của các hạt nhân bia và theo các trạng thái spin của chúng
Sự trung bình hóa đó dẫn đến biểu thức sau của hàm sóng:



 r

 e n   fm
ik r

i

e

i k r  Ri

r  Ri

ei k R i  n

(2.1.4)

Trong đó: f     J     I  p
p

J
I


cực, spin của nơtron đã quay đi 1 góc:
 

4
Ip Re   
kz

Nếu hàm sóng của các nơtron đi qua m mặt thì góc quay tổng cộng là:

(2.1.7)


m 

4
Ipm Re   
kz

(2.1.8)

ay, khi đi qua 1 tấm bia có độ dày L xác định, chúng ta sẽ thu được: Khi
nơtron đi qua bia phân cực này, spin của nó sẽ quay đi 1 góc:


4
Re    Ipl
kz

(2.1.9)





ối với nơtron có spin ngược lại thì sóng kết hợp đàn hồi  r



 r



 2 i   ik r  0 
 1 
f  e  
kz
1 





có dạng:
(2.2.2)

Trong đó:
f      Ip là biên độ tán xạ kết hợp đàn hồi dưới góc bằng 0 của nơtron với

spin phản song song với véctơ phân cực của hạt nhân p
Nếu hàm sóng đi qua một lớp vật chất có độ dày xác định thì lặp lại tất cả các
lý luận dẫn đến biểu thức của hệ số khúc xạ đối với bia phân cực mà ta đã biết thì

2
f  f
k z2



(2.2.4)
(2.2.5)

được xác định bởi hiệu các biên độ tán xạ của sóng kết hợp tương ứng và khác 0 chỉ
trong bia phân cực
Như vậy, trong hạt nhân bia phân cực, nơtron có 2 hệ số khúc xạ
Xét trường hợp nơtron có véctơ phân cực tạo thành một góc tương đối với
hướng của véctơ phân cực hạt nhân. Chọn một hướng của p tạo thành một góc
tương đối với trục z. Véctơ phân cực của hạt nhân bia có phương vuông góc với bề
mặt.
àm sóng cơ sở có dạng:
 (r )  eik r  n ,

Hay:

c 
 c2 

n   1 

1 

 0


 (r )  

Véctơ phân cực của nơtron là :

Pn   

(2.2.7)
(2.2.8)


có các thành phần là :
Pnx  2 Re c1*c2 * 

Pny  2 Im c1*c2 * 
Pnz  c1   c2 
2

(2.2.9)
2

Giả thiết rằng spin của nơtron có phương vuông góc với vecto phân cực của
hạt nhân và có phương song song với trục x, ta được c1  c2 

1
2

Sử dụng các đẳng thức (2.2.9) ta có :

Pnx  cos kz Re  n  n  z  e kz Im n n  z
Pny  sin kz Re  n  n  z  e kz Im n n  z


m

 2 i 

 1 
   I  p  ei k r  n
kz







(2.2.12)

Sau khi nơ tron đi qua lớp vật chất có bề dày là z = m a (a- bề dày của 1 lớp)



thì  r

được viết như sau :



 r
Với :


cách khác.
2.3. Sử dụng bảo toàn năng lƣợng để tính góc tiến động.
Gọi năng lượng của sóng kết hợp là Ekh'
Năng lượng của sóng tự do trong chân không là Etk
Theo định luật bảo toàn năng lượng thì thế năng có dạng :
k z2
2 2
2
U  Etk  E 
(1  n )  
 f  0
2m
m
2

'
kh

(2.3.1)

Như vậy trong hạt nhân bia phân cực, sóng nơtron có khả năng khúc xạ với
các mức năng lượng là :
Uz 

2
k z2
2 2
(1  n )  
 f  0
2m

nhân với tần số :
  Re

U U



4 
Re  Ip
m

(2.3.4)

Trong khoảng thời gian t, spin của nơtron quay đi một góc   t .
Nếu phần có từ trường có độ dài l, thời gian để nơtron đi qua là : t 

l
vz

Vậy spin của nơtron quay đi một góc :
 

l
ml 4


Re  Ipl
vz
kz
kz


3 – PHẢN X GƢƠ

Ủ

Á

Ơ

PHÂN CỰC TRÊN MẶT BIÊN GỒ GHỀ GIỮA “CHÂN
KHÔNG – V T CHẤ ” CÓ CÁC H T NHÂN PHÂN CỰC
3.1. Ảnh hƣởng của sự gồ ghề mặt biên “chân không – vật chất” có các hạt
nhân phân cực lên phản xạ gƣơng của các nơtron phân cực
Phản xạ gương của nơtron trên mặt biên giữa vật chất và chân không đã được
nghiên cứu [19]. Sự xuất hiện gồ ghề của mặt biên giới hạn đã dẫn tới sự phụ thuộc
của hệ số phản xạ vào hệ số Debye-Waller [15]. Sự khác biệt giữa công thức mô tả
sự phản xạ gương trên mặt biên phẳng với công thức trong trường hợp có sự gồ ghề
cho phép phán đoán trạng thái bề mặt
Khi xem xét phản xạ gương của các nơtron phân cực trên biên thực tế giữa vật
chất và chân không, chúng ta cần tính đến sự gồ ghề của mặt biên. Sự gồ ghề của
mặt biên thực xuất hiện là do sự gồ ghề của các vị trí của các hạt nhân trong quá
0

trình dao động nhiệt hoặc là do sự thăng giáng vị trí của biên đến cỡ vài chục A
Giả sử chùm nơtron phân cực tiến đến bề mặt của vật chất có các hạt nhân
phân cực nằm chiếm nửa không gian x >0
Trong bia phân cực như chúng ta biết [18] từ trường tổng cộng hiệu dụng G eff
sẽ tác động lên chùm nơtron
nuc


0

z  
 - ma trận Pauli.
 0 1

Ta viết lại (3.1.2) dưới dạng:
H = H 0   ( x,  z )
H0 =

(3.1.3)

p2
+ V0   G eff  z   ( x)
2m 

Trong đó: V0 và Geff - là các giá trị của V ( x) và Geff ( x) ở sâu trong bia cách xa
biên
1 , x  0
0 , x  0

 ( x,  z ) = V ( x)  V0 ( x)  Geff ( x)  Geff  ( x) z ở đó  ( x)  

 ( x,  z ) - nhiễu loạn xuất hiện khi ta tính đến sự gồ ghề của mặt vật chất

Chúng ta sẽ đi thu nghiệm của phương trình Schrodinger
H   H 0   ( x,  z )  E

Dưới dạng sau :






Geff  ( x)  1 ( x)  ( x)  0

(3.1.5)

Ở đó
1/2

 2mE 
kx   2  



1 ( x)  

2m
2

0

  ( x)

  ( x)  V ( x)  V0 ( x)  Geff ( x)  Geff  ( x)
E  E0 

Py2  Pz2
2m

,x 0

 B0 e


Ở đó:

k x 

2mE

k x 

2m

2

2



0

 E  V0  Geff 

>0

Từ điều kiện liên tục của hàm sóng và của đạo hàm của hàm sóng trên biên
x= 0 chúng ta xác định được các hệ số của sóng phản xạ và sóng khúc xạ:
1  A0  B0 , k x (1  A0 )  k x B0


A  A0 

i
0 ( x ')1 ( x ') ( x ')dx '
k x 

(3.1.10)

Hạn chế ở gần đúng bậc nhất và chú ý đến các công thức (3.1.8) chúng ta sẽ
nhận được:

i
A  A0  
kx
i
 A0  
kx



 e

2 ik x x '



 A02 e2ikx x '  2 A0 1 ( x ')dx '






 x '

1

( x ')dx '



Nếu 1 ( x ') là một hàm chẵn thì tích phân thứ hai của biểu thức trên sẽ bằng
không và ta có


iB02
A  A0   2  1 ( x ')dx '
kx 0

Chúng ta xét một ví dụ khi 1 ( x ') có dạng Gauss :

1 ( x ')   0 e



x2
2 d02

(3.1.11)


J   A0

2

2 A0 k x 0 md0
 16 Im
(k x  k x )2 2

(3.1.13)

Bây giờ chúng ta đánh giá số hạng bộ xung vào cường độ của sóng phản xạ ở
gần góc tới hạn đặc trưng có sự gồ ghề của bề mặt biên. ể làm được điều đó chúng
ta chọn k   109 cm 1 và góc trượt của nơtron   0,10 .
Trong trường hợp đó
 0 V0

2 2
 f (0) ,
m

k x  106

cm 1

Theo kết quả của [18] thì

ở đó  - mật độ hạt nhân, f(0) – biên độ tán xạ về phía trước

của nơtron. Nếu chọn  ~ 10 22 cm 3 , f (0) 10 12 cm, d0


Hàm sóng mô tả trạng thái spin của nơtron tới là :
1

 0

 s  c1    c2  
0
1
z

2

2

Trong đó c1 và c2 cho ta xác suất tìm thấy nơtron có trạng thái spin S z 

1
2

1
2

và S z   .
Ta xem xét hàm sóng phản xạ của nơtron có dạng như sau :
 px  e

ik // r //




(3.2.2)
ặt :  

i8 2 k x m 0

k


x

 k x



2

2

và  

i8 2 k x m 0

k


x

 k x






0

x  
1

Ta có :

Px 

 px  x  px
 px  px
0 1
 px
1 0

 px  x  px   px  
 eik

r



c1*  A0*

 *d0  , c2*  A0*

1  ik


 *d0  .c1  A0





 d0   ikx x
e
 d0  

 d0 

2
Bỏ qua các số hạng chứa d 0 , ta có :

 px  x  px

 c1*c2  A0* A0   *d0 A0  A0* d0   c1c2*  A0* A0   d0 A0  * A0* d0 

 2 Re c1*c2  A0* A0   *d0 A0  A0* d0 

 px  px   px  px
 ei k

r

 c  A
*
1



2
2
2
2
 c1  A0  2 Re A0* d0   c2  A0  2 Re A0* d0 





Vậy :