1
bộ giáo dục và đào tạo
trờng đại học Vinh


trần thị anh th

sự phân loại các vị nhóm
bởi tính C- nội xạ và CC- nội xạ

luận văn thạc sỹ toán học

VINH - 2011
MC LC
Trang
M u
Chng 1. Kin thc chun b

1

1.1. Phm trự v hm t.

1

1.2. Mụun ni x.

7

Chng 2. S phõn loi ca cỏc v nhúm theo C- ni x.

15

Tài liệu tham khảo

37


3
MỞ ĐẦU

Một loại nội xạ mới, gọi là C-nội xạ và CC- nội xạ đã được nghiên cứu.
Chúng ta có thể phân loại các vị nhóm bởi các tính chất của các tác động
C- nội xạ và CC- nội xạ. Dựa trên hai bài báo “Classification of monoids by
injectivities” của Xia Zhang – Ulrich Knauer – Yuqun Chen đăng trên tạp chí
semigroup Forum năm 2007 và năm 2008 , trong luận văn này chúng tôi
trình bày chi tiết sự phân loại của vị nhóm bởi các tính chất của các tác động
C- nội xạ và CC- nội xạ .
Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trình bày khái niệm phạm trù và một số phạm trù cụ thể như: Phạm trù
các vật, phạm trù các nhóm, phạm trù các vành và phạm trù các môđun. Trình
bày khái niệm hàm tử hiệp biến và hàm tử phản biến cùng với một số hàm tử,
đặc biệt như hàm tử quên, hàm tử biểu diễn.
Trình bày khái niệm môđun nội xạ và các tính chất của môđun nội xạ.
Chương 2. Sự phân loại của các vị nhóm theo C- nội xạ.
Trình bày các khái niệm nội xạ , F- nội xạ và C- nội xạ. Trình bày một
sự phân loại đồng điều của một vị nhóm của các iđêan phải C- nội xạ.
Trình bày cấu trúc của một vị nhóm mà tất cả các tương đẳng trên nó
đều C- nội xạ bằng cách sử dụng một đặc trưng tương đẳng.
Chương 3. Sự phân loại các vị nhóm theo CC- nội xạ.
Trình bày khái niệm hệ phương trình trên các tác động CC- nội xạ và
điều kiện phi mâu thuẫn của nó.



6
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] A.H Cliphớt và G.B Prestơn (1976), Lý thuyết nửa nhóm, Bản dịch của
Trần Văn Hạo và Hoàng Kỳ, NXB ĐH & THCN, Hà Nội.
[2] Lê Quốc Hán (2009), Giáo trình Lý thuyết nửa nhóm và Lý thuyết, Đại
học Vinh.
[3] Ngô Sỹ Tùng, Lý thuyết phạm trù, Trường Đại học Vinh.
Tiếng Anh
[4] J.Ahsan, Z.K.Liu (1987), “On relatively injective and weakly injective
S-acts”, Southeast Asian Bull. Math, 21, 249 – 256.
[5] Y.Q.Chen, K.P.Shum (1999), “Projective and indecomposable S-acts’’,
Sci.Chine Ser. A. 42 , 593 – 599.
[6] M.Kilp, U.Knauer , A.Mikhalev, (2000), “Monoid, Acts and categories,
with Applications to wreath Products and graphs’’, de Gruyte, Berlin.
[7] U.Knauer, (1972), “Projectivily of acts and Morita equivalence of
monoids”, Semi group Forum, 3, 359 – 370.
[8] P.Normak, (1980), “Purity in category of M-sets”, Semigroup Forum, 20,
157 – 170.
[9] X.Zang, U.Knauer, Y.Chen, (2008), “Classification of monoids by
injectivities I, C – injectivity” , Semigroup Forum, 76, 169-176.
[10] X.Zang, U.Knauer, Y.Chen, (2008), “Classification of monoids by
injectivities II, CC – injectivity” , Semigroup Forum, 76, 177-184.


7
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

→ B.
Phần tử f ∈Mor(A,B) cũng được viết dưới dạng f: A → B hoặc A 

Cấu xạ f được gọi là đẳng cấu, nếu tồn tại cấu xạ g: B →A sao cho g 0f = id A
và f 0g = id B . Nếu A = B thì cũng gọi là tự đẳng cấu.
Các cấu xạ từ vật A đến chính nó được gọi là tự đồng cấu. Tập các tự
đồng cấu của vật A được ký hiệu là End(A). Từ các tiên đề trên suy ra End(A)
là một vị nhóm.
Giả sử A ∈Ob(Α). Ký hiệu Aut(A) là tập các tự đẳng cấu của A. Khi đó
Aut(A) cùng với phép hợp thành cấu xạ là một nhóm.
1.1.3. Ví dụ. a. Giả sử S là một phạm trù mà các vật là các tập và các cấu xạ
là các ánh xạ của các tập. Khi đó S được gọi là phạm trù các tập. Ba tiên đề
P1, P2, P3 được thỏa mãn một cách tầm thường.
b. Giả sử Grp là phạm trù các nhóm, nghĩa là phạm trù mà các vật
là các nhóm còn cấu xạ là các đồng cấu nhóm. Ba tiên đề về phạm trù được
thỏa mãn. Tương tự, ta có phạm trù các vị nhóm được ký hiệu là Mon; phạm
trù các nhóm Aben được ký hiệu là Ab.
c. Ngoài ra còn có các phạm trù khác như phạm trù các vành –
được ký hiệu là Ring, phạm trù các R- môđun - được ký hiệu là R–MOD,
phạm trù các mô đun – được ký hiệu là MOD,…
1.1.4. Chú ý. Giả sử Α là một phạm trù. Ta có thể lấy các cấu xạ thuộc Α làm
vật thuộc phạm trù mới Χ. Nếu f: A → B và g: A’→B’ là hai cấu xạ của Α
(do đó là các vật thuộc Χ), thì ta định nghĩa cấu xạ
f → f’ (trong Χ) là cặp cấu xạ (ϕ,Ψ) trong Α sao
cho biểu đồ giao hoán nghĩa là Ψ0f = g0ϕ.

A
ϕ

B

g

A
nghĩa là h0f = g.
1.1.5. Định nghĩa. Giả sử Χ là một phạm trù nào đó. Vật P ∈ Ob(C) được
gọi là vật khởi đầu hay vật đẩy phổ dụng nếu với mỗi vật X tùy ý thuộc C,
Mor(P,X) có đúng một phần tử. Vật P∈ Ob(Χ) được gọi là vật cuối cùng hay
vật kéo phổ dụng nếu với mỗi X ∈ Ob(Χ), tập Mor(P,X) có đúng một phần
tử.
Vật khởi đầu hay vật cuối cùng của một phạm trù được gọi chung là
vật phổ dụng.
Chú ý rằng vì vật phổ dụng có cấu xạ đồng nhất vào chính nó, nên nếu P,
P’ là vật phổ dụng thuộc Χ thì giữa chúng tồn tại một đẳng cấu xác định duy
nhất.
1.1.6. Ví dụ.


10
Giả sử f: S → F là ánh xạ từ tập S vào một nhóm F nào đó, g: S →G là
một ánh xạ khác như thế. Nếu f(S) sinh ra F, thì tồn tại nhiều nhất một đồng
cấu ϕ từ nhóm F vào nhóm G sau sao cho biểu đồ giao hoán.
h
S
F
ϕ

g
G

Bây giờ ta xét phạm trù Χ mà các vật là các ánh xạ từ tập S vào các

hàm tử hiệp biến, và f* trường hợp hàm tử phản biến.
Chú ý rằng, mọi hàm tử biến đẳng cấu thành đẳng cấu, vì f 0g = id kéo
theo F(f)0F(g) = id*
1.1.8. Ví dụ.
a. Đối với mỗi nhóm G ứng với tập của nó (cất cấu trúc nhóm khỏi nó)
và mỗi đồng cấu nhóm ứng với chính đồng cấu ấy, chỉ xem về quan điểm lý
thuyết tập, ta được một hàm tử phạm trù các nhóm vào phạm trù các tập. Hàm
tử đó được gọi là hàm tử quên.
b. Xét tương ứng F: S →Grp mỗi tập S ứng với mỗi nhóm tự do F(S)
sinh ra bởi S và ánh xạ f: S → T ứng với đồng cấu nhóm duy nhất F(f): F(S)
→F(T) (sự tồn tại và duy nhất của đồng cấu nhóm F(f) là bởi f(T) là nhóm tự
do). Dễ kiểm tra đây là một hàm tử hiệp biến.
Tương tự ta có hàm tử từ S→ Ab biến mỗi tập hợp thành nhóm Aben
sinh bởi tập đó và biến ánh xạ tập hợp thành đồng cấu nhóm cảm sinh từ ánh
xạ đó.
c. Giả sử Α là một phạm trù nào đó và A là một vật cố định trong Α. Ta
được hàm tử hiệp biến
MA: Α –––––→ S
bằng cách đặt MA(X) = Mor(A,X) với vật X bất kỳ thuộc Α. Nếu ϕ: X → X’
là một cấu xạ thì ta lấy
MA(X) = Mor(A,X) ––––––→Mor(A,X’)
là ánh xạ cho bởi quy tắc g a ϕ0g đối với bất kỳ g ∈ Mor(A,X),
g
ϕ
A 
→ X 
→ X ' . Các tiên đề HT1 và HT2 thử được một cách tầm thường.

Tương tự, đối với mỗi vật B thuộc Α, ta có hàm tử phản biến
MB: Α –––––→ S

N
g
E

Khi đó ta nói h là một mở rộng của g.

M
h


13
Chỉ với định nghĩa trên ta chưa có thể đưa ra những ví dụ đơn giản về
môđun nội xạ, tuy vậy ta có thể thấy được sự tồn tại của môđun nội xạ thông
qua những tính chất cơ bản dưới đây.
1.2.2. Mệnh đề. Một R- môđun E là nội xạ khi và chỉ khi hàm tử Hom R(*,E):
MR → MR là hàm tử khớp.
Chứng minh. Giả sử E là một R- môđun nội xạ. Vì Hom R(*,E) là một hàm
tử nghịch biến, khớp trái , nên để chứng minh hàm tử này là khớp ta chỉ
cần chỉ ra rằng, nếu f: N→ M là một R- đơn cấu thì Hom R(f,E):
HomR(M,E) → HomR(N,E) là toàn cấu. Tức là ta phải chứng minh rằng,
nếu φ ∈ HomR(N,E) thì luôn tồn tại ψ ∈ HomR(M,E) sao cho
φ = HomR(f,E)(ψ) = ψ o f . Điều này là hiển nhiên từ định nghĩa tính nội xạ
của môđun E. Chứng minh chiều ngược lại là đơn giản. „
1.2.3. Mệnh đề. Cho (Ei)i∈I là một họ các R- môđun. Khi đó tích trực tiếp

Πi∈IEi, là nội xạ khi và chỉ khi Ei, ∀i ∈ I là nội xạ.
Chứng minh. Đặt E = Πi∈IEi , với mọi i thuộc I ta ký hiệu p i: E →Ei là toàn
cấu chính tắc và ji: Ei → E là đơn cấu chính tắc xác định bởi tích trực tiếp
E. Giả sử E là nội xạ. Ta sẽ chứng minh rằng E i, ∀i∈ I, là nội xạ. Thật vậy,
cho f: N → M là R- đơn cấu và g: N → Ei là một R – đồng cấu tùy ý. Vì

một R-môđun thỏa mãn tính chất N ⊆ A ⊆ M và φ: A → E là một mở rộng
của g. Ta định nghĩa trên Ω một quan hệ thứ tự bộ phận ≤ như sau. Cho (A,φ),
(B,ψ) là hai phần tử của Ω, ta xác định (A,φ) ≤ (B,ψ) nếu A ⊆ B và ψ là một
mở rộng của φ. Vì (N,g) ∈ Ω nên Ω≠∅. Hơn nữa, cho một xích:
(A1,φ1) ≤ (A2,φ2) ≤ … ≤ (An,φn) ≤ ...


15
∞
các phần tử trong Ω. Xét cặp (A,φ) trong đó A = Un =1 Ai và φ là ánh xạ A → E

được xác định bởi: với mỗi x ∈ A tồn tại một số tự nhiên n để x ∈An, khi đó
ta đặt φ(x) = φn(x). Rõ ràng A là một R- môđun con của M chứa A n, ∀n và φ
là R- đồng cấu mở rộng của φn, ∀n. Vậy theo bổ đề Kuratowski-Zorn luôn tồn
tại một phần tử cực đại (B,ψ) ∈Ω. Khi đó định lý sẽ được chứng minh nếu ta
chỉ ra rằng B = M. Thật vậy, giả sử ngược lại B ≠M, tức tồn tại x ∈M\B. Xét
tập hợp con của R.
I = { a ∈ R \ ax ∈ B}

Dễ kiểm tra thấy I là một iđêan . Tiếp theo ta xây dựng một ánh xạ h: I →E xác
định bởi h(a) = ψ(a,x), ∀a ∈ I. Rõ ràng h là một R- đồng cấu. Khi đó theo giả
thiết tồn tại một R- đồng cấu π: R →E sao cho h = π o j, trong đó j là phép
nhúng tự nhiên iđêan I vào R. Bây giờ ta có thể định nghĩa được một tương ứng:
φ: B + Rx → E,
xác định bởi:
φ(y+ax) = ψ(y) + π(a) , ∀y ∈ B, ∀a ∈ R
Nếu y + ax = 0, suy ra ax ∈ B, tức a ∈ I. Khi đó:
ψ(y) + π(a) = -ψ(ax) + π(j(a)) = -h(a) + h(a) = 0
Điều này chứng tỏ φ là một ánh xạ và suy ra φ cũng là một R- đồng cấu thỏa
mãn tính chất φ(x) = ψ(x) = h(x), ∀x ∈ N, vì N ⊆ B. Vậy cặp (B+Rx,φ) ∈ Ω.


{ ( α ( a ) , −a ) | a ∈ I} . Khi đó

ta có thể dễ dàng kiểm tra được các tương ứng β: b a (0,b) + W, ∀b ∈ R;
j*: x a ( x, 0 ) + W , ∀x ∈E và p*: (x,b) + W a p ( b ) , ∀x ∈E, ∀b ∈R là những Rđồng cấu, hơn nữa chúng làm cho biểu đồ sau là giao hoán với các dòng là
những dãy khớp ngắn.
j
p
0 
→ I 
→ R 
→ R / I 
→0

α

β

*

*

j
p
0 
→ E 
→ P 
→ R / I 
→0


Vậy E là chia được. „
Nói chung mệnh đề ngược của Mệnh đề 1.2.9 là không đúng trong
trường hợp tổng quát, tuy nhiên nó vẫn còn đúng đối với một vài vành cụ thể.
1.2.10. Định lý. Giả sử R là một miền iđêan chính. Khi đó một R- môđun E là
nội xạ khi và chỉ khi E là chia được.
Chứng minh. Điều kiện cần của định lý là hiển nhiên nhờ mệnh đề
1.2.9. Ngược lại, giả sử E là chia được. Theo tiêu chuẩn Baer ta chỉ cần chứng
minh rằng mọi R- đồng cấu f: I →E, trong đó I ≠ 0 là một iđêan của R, luôn
có một mở rộng g: R → E. Thật vậy, vì R là miền iđêan chính nên tồn tại một


18
phần tử không là ước của không a ∈ R để I = Ra. Đặt x = f(a) ∈ E. Do E là
môđun chia được, tồn tại y ∈ E sao cho x = ay. Bây giờ ta xây dựng một ánh
xạ g: R → E xác định bởi g(b) = by, ∀b ∈ R. Rõ ràng g là R- đồng cấu. Hơn
nữa ta được:

g(ba) = bay = bx =bf(a) = f(ba), ∀b∈ R

Vậy g là một nửa mở rộng của f. „
Vì vành các số nguyên Z là miền iđêan chính nên Định lý 1.2.10 cho ta
hệ quả trực tiếp sau.
1.2.11. Hệ quả. Một nhóm Abel là nội xạ khi và chỉ khi nó là chia được.
Để chứng tỏ tầm quan trọng của khái niệm nội xạ ta phải biết trước hết
rằng lớp các môđun nội xạ là đủ nhiều trong phạm trù các R- môđun.
1.2.12. Định lý. Mỗi R- môđun luôn đẳng cấu với môđun con của một Rmôđun nội xạ.
Trước khi chứng minh định lý trên ta sẽ đưa ra hai bổ đề là các trường
hợp đặc biệt của định lý đó.
1.2.13. Bổ đề. Mỗi nhóm Abel luôn đẳng cấu với nhóm con của một nhóm
Abel nội xạ.

≅

)
Z(

→
Hom

f ,G

Hom Z ( N, G )

≅

f*
Hom R ( M, Hom Z ( R, G ) ) 
→ Hom R ( N, Hom Z ( R, G ) )

Theo giả thiết G là nhóm Abel nội xạ Hom Z(f,G) là một R- toàn cấu.
Vậy dựa vào tính giao hoán của biểu đồ với các ánh xạ đứng là những đẳng
cấu ta suy ra f* cũng là một R – toàn cấu và bổ đề được chứng minh. „
Chứng minh Định lý 1.2.12. Cho M là một R- môđun . Xem M như là một
nhóm Abel. Khi đó theo Bổ đề 1.2.13 tồn tại một đơn cấu nhóm j: M → G,
trong đó G là một nhóm Abel nội xạ. Vì hàm tử Hom(R,*) khớp trái, suy ra
ánh xạ j*=HomZ(R,j): HomZ(R,M) → HomZ(R,G) là một Z- đơn cấu với


20
HomZ(R,G) là R- nội xạ. Mặt khác hai môđun trên có cấu trúc R- môđun và
kiểm tra được rằng khi đó f* cũng R- đơn cấu. Bây giờ xét ánh xạ φ: M→

nếu với một S – tác động tùy ý N, một tác động con tùy ý M của N, và mọi
đồng cấu f ∈ Hom (M,A),tồn tại một đồng cấu g∈ Hom (N,A), mà nó là mở
rộng của f, nghĩa là g |M = f .
M

⊆

f

∃g

N
(*)

A
(ii) Trong biểu đồ (*), nếu M hữu hạn sinh thì A được gọi là F – nội xạ, nếu
N là S và M là một iđêan phải (tương ứng: iđêan chính, hữu hạn sinh) của S
thì A được gọi là W - nội xạ (tương ứng PW – nội xạ hay FW - nội xạ).
Ta có mối liên hệ giữa các loại nội xạ trên như sau:
F – nội xạ
Nội xạ

W – nội xạ

FW – nội xạ → PW – nội xạ

Chú ý rằng sự kéo theo ở đây là ngặt (Mũi tên ngược lại là không đúng).
2.1.2.Định nghĩa. Một S- tác động A được gọi là C- nội xạ nếu M là xyclic
trong biểu đồ (*).
2.1.3.Chú ý. Từ các định nghĩa 2.1.1 và 2.1.2 trực tiếp suy ra:

Chúng ta biết rằng, tích của một họ các S- tác động nội xạ { Qi | i ∈ I} là
một nội xạ nếu và chỉ nếu mỗi Qi, i∈I nội xạ . Nhưng điều đó không đúng
trong trường hợp đối tích.Kết quả sau đây về tính C- nội xạ có thể chứng
minh trực tiếp.
2.1.7.Mệnh đề. Giả sử { A i | i ∈ I} là một họ tác động. Thế thì:
Ai là C- nội xạ nếu và chỉ nếu mỗi A (i∈I) là C-nội xạ.
(1) A = ∏
i
i∈I


23
(2) Mỗi Ai (i∈I) là C- nội xạ nếu và chỉ nếu A = i∈I Ai là C-nội xạ và mỗi
Ai(i∈I) có zero.
Định lý sau đây trình bày một sự phân loại đồng điều của một vị nhóm
bởi các tính chất của các iđêan phải C- nội xạ.
2.1.8.Định lý. Đối với một vị nhóm S, các điều kiện sau đây là tương đương:
(1) Mọi iđêan phải của S là C- nội xạ
(2) Mọi iđêan phải hữu hạn sinh của S là C- nội xạ
(3) Mọi iđêan phải chính của S là C- nội xạ
(4) Mọi iđêan phải chính của S là nội xạ
(5) Mọi iđêan phải chính của S là F- nội xạ
(6) S là một vị nhóm tự nội xạ chính quy.
Chứng minh.
(1) ⇒ (2) ⇒ (3) là hiển nhiên
(3) ⇒ (1). Giả sử I là một iđêan phải bất kỳ của S, bS là một tác động
con xyclic của S- tác động B và f∈Hom(bS,I). Thế thì f(bS) = f(b)S ⊆ I là
một iđêan phải chính của S. Do (3), f(bS) là nội xạ, và do đó tồn tại một đồng
cấu g ∈ Hom ( B,f ( bS ) ) sao cho g |bS = f . Rõ ràng, g có thể được xét như một
đồng cấu từ B vào I.

2.2.1. Ký hiệu. Giả sử K là một iđêan phải của vị nhóm S, s là một phần tử
của S và µ là một tương đẳng phải trên S. Tập

{

}

Kµ = [ k ] µ ∈ S /µ | k ∈ K
và

{

K ( s, µ ) = a ∈ S | [ sa ] µ ∈ K µ

}

trong đó [ k ] µ là µ - lớp tương đương chứa k ∈ S .Thế thì K µ là một tác
động con của S- tác động xyclic S/µ.
Chú ý rằng S/ µ tác động trên S bởi s. [ k ] µ = [ sk ] µ
Giả sử µ, λ là các tương đẳng phải trên S và q ∈ S. Định nghĩa một
quan hệ R(K,µ,λ,q) = R trên S bởi (s,t) ∈ R nếu và chỉ nếu K(s,µ) = K(t,µ) và
(qsa,qta)∈ µ , với mọi a∈ K (s,µ).
2.2.2.Bổ đề. Giả sử µ, λ là các tương đẳng phải trên vị nhóm S và K là một
iđêan phải của S .Thế thì với mỗi q ∈S, R(K,µ,λ,q) là một tương đẳng phải
trên S.
Chứng minh. Kiểm tra trực tiếp được R= R(K,µ,λ,q) là một quan hệ
tương đương trên S. Ta chứng minh R ổn định phải.
Giả sử sRtt. Thế thì đối với mọi x ∈ S và y∈K(sx,µ) có [ sxy ] µ ∈ K µ
nghĩa là xy∈ K(s,µ) = K(t,µ). Điều này kéo theo [txy]µ ∈ K µ và y ∈ K ( tx, µ ) .
Suy ra K ( sx, µ ) ⊆ K ( tx, µ ) . Do tính chất đối xứng ta có K ( tx, µ ) ⊆ K ( sx, µ )