ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ THU HOÀN

TÁN XẠ HẠT NHÂN CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC VÀ VÉC TƠ
PHÂN CỰC CỦA CÁC NƠTRON TÁN XẠ TRÊN BỀ MẶT TINH THỂ
PHÂN CỰC TRONG ĐIỀU KIỆN CÓ PHẢN XẠ TOÀN PHẦN

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Hà Nội – 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ THU HOÀN

TÁN XẠ HẠT NHÂN CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC VÀ VÉC TƠ
PHÂN CỰC CỦA CÁC NƠTRON TÁN XẠ TRÊN BỀ MẶT TINH THỂ
PHÂN CỰC TRONG ĐIỀU KIỆN CÓ PHẢN XẠ TOÀN PHẦN
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Hà Nội – 2014
1

TRONG MÔI TRƯỜNG PHÂN CỰC ............................................................... 12
2.1. Tính góc tiến động bằng phương pháp toán tử. .......................................... 12
2.2. Tính góc tiến động bằng phương pháp hàm sóng ....................................... 14
2.3. Sử dụng bảo toàn năng lượng để tính góc tiến động ................................... 18
CHƯƠNG 3 TÁN XẠ HẠT NHÂN CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC TRÊN
BỀ MẶT TINH THỂ CÓ CÁC HẠT NHÂN PHÂN CỰC TRONG ĐIỀU
KIỆN CÓ PHẢN XẠ ........................................................................................... 20
3.1. Tiết diện tán xạ hiệu dụng của tán xạ không đàn hồi của các nơtron trên
tinh thể có các hạt nhân phân cực. ..................................................................... 20
3.2. Tiết diện tán xạ bề mặt hiệu dụng của các nơtron trong trường hợp có
phản xạ toàn phần. .............................................................................................. 27
CHƯƠNG 4 VÉC TƠ PHÂN CỰC CỦA CÁC NƠTRON TÁN XẠ HẠT
NHÂN TRÊN BỀ MẶT TINH THỂ CÓ CÁC HẠT NHÂN PHÂN CỰC
TRONG ĐIỀU KIỆN CÓ PHẢN XẠ TOÀN PHẦN ......................................... 31
KẾT LUẬN .......................................................................................................... 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 46

1


MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây, sự tán xạ của nơtron chậm đã được sử dụng rộng
rãi để nghiên cứu vật lý các chất đông đặc [12, 13, 18].
Các nơtron chậm là một công cụ độc đáo trong việc nghiên cứu động học của
các hạt nhân nguyên tử vật chất và các cấu trúc từ của chúng [2, 13, 15, 19, 21]
Hiện nay, để nghiên cứu cấu trúc tinh thể, đặc biệt là cấu trúc từ của tinh thể
phương pháp quang học nơtron phân cực đã được sử dụng rộng rãi. Chúng ta dùng
chùm nơtron chậm phân cực bắn vào bia (năng lượng cỡ dưới 1 MeV và không đủ
để tạo ra quá trình sinh, hủy hạt).
Nhờ nơtron có tính trung hòa điện, đồng thời momen lưỡng cực điện vô cùng

LÝ THUYẾT TÁN XẠ CỦA NƠTRON CHẬM
TRONG TINH THỂ
1.1. Cơ sở lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể.
Hiện tượng: Dùng một chùm nơtron chậm phân cực chậm bắn vào bia (năng
lượng dưới 1MeV và không đủ để tạo ra quá trình sinh hủy hạt), nhờ tính chất trung
hòa về điện, đồng thời moment lưỡng cực điện vô cùng nhỏ (gần bằng 0) nên
nơtron không tham gia tương tác điện, dẫn đến độ xuyên sâu của chùm nơtron vào
tinh thể là lớn và bức tranh giao thoa của sóng tán xạ sẽ cho ta thông tin về cấu trúc
tinh thể và cấu trúc từ của bia.
Một chùm hạt nơtron phân cực khi đi vào trong tinh thể sẽ chịu tác dụng của
tương tác hạt nhân, tương tác trao đổi spin và tương tác từ gây ra bởi phân cực của
chùm nơtron và sự chuyển động của các electron, cả electron tự do và electron
không kết cặp trong bia tinh thể.
Nguyên nhân gây ra tương tác từ:
Nếu tính trung bình trong 1 chùm nơtron không phân cực thì moment spin sẽ

 

bằng 0, moment từ trung bình của chùm cũng bằng 0 ( m mag = µ o s ,
nơtron, µ = −1.1913µo với µo là manheton của hạt nhân µ o =

s là spin của
e

2 m proton c

. Còn

trong trường hợp nơtron phân cực sẽ tồn tại một moment từ xác định. Sự chuyển
động của các electron tự do và các electron không kết cặp trong nguyên tử sẽ tạo ra

sang trạng thái | p , λ 〉 mà không cần quan tâm tới trạng thái của bia được tính theo
'

'

công thức:

2π
Wp λ \ pλ = ∑ ρm | 〈n, , p, ,λ, |V | n, p,λ〉 |2 δ(Ep+ nE −− Ep nE )
 n,n
,

,

,

,

,

Trong đó:
4

(1.1.1)


V: là toán tử tương tác của nơtron với hạt nhân bia (thế nhiễu loạn gây ra sự
chuyển trạng thái, thế này bao gồm thế hạt nhân, thế trao đổi spin và thế từ)

ρm : thành phần chéo của ma trận mật độ hạt nhân bia

| 〈n p, | V| n p〉 |=| 〈n' | Vp, p | n〉 |

Như vậy là các yếu tố ma trận của toán tử trong tương tác của nơtron với hạt
bia lấy theo các trạng thái của nơtron và V p p, là toán tử tương đối với các biến số
hạt bia.
`

Viết (1.1.1) dưới dạng tường minh:
+∞

1

i

Wp, λ, \ pλ= 2 ∫ ∑ρnn | 〈n, | Vp, λ, \|pλn〉*〈np λ, \|pλV , , | n〉e p n
 −∞ n,n,

1

+∞

i

i

− (E , ,+E
−Ep n ) t−E

(En, −En )t



∑ρ
n,n

,

nn

| 〈n | Vp+, λ, \ pλ | n, 〉〈n, | Vp, λ, \ pλ | n〉e n
5

(E , −En )t

dt (1.1.2)

dt


E n , En, là các giá trị riêng của toán tử Hamilton với các hàm riêng | n〉,| n, 〉 , ta viết
lại trong biểu diễn Heisenberg.
i

,

〈n |V | n〉e
,,
p λ \ pλ

i



− Ht

Thay (1.1.3) vào (1.1.2), chú ý rằng trong trường hợp này ta không quan tâm
tới sự khác nhau của hạt bia trước và hạt bias au tương tác, vì vậy công thức lấy
tổng theo n’, n chính là vết của chúng và được viết lại:

Wp λ
,

+∞

1

,

\ pλ

i

∫e

=2




+
nn


p λ \ pλ

,,
p λ \ pλ

i

| n 〉〈n | e



(E , −Ep )t
p

Ht

V

,
p λ , \ pλ

e

− Ht

| n〉dt

dt

,


Sp ρV + V (t) dt
λ, \ pλ p, λ, \ pλ
,p

〈V +λ λ V
p ,,\p

p, λ, \ pλ

(t)〉dt

(1.1.4)

Ở biểu thức trên, dưới dấu vết có chứa toán tử thống kê của bia ρ , các phần
tử đường chéo của ma trận của nó chính là xác suất ρn
Theo quy luật phân bố Gibbs nếu hạt bia nằm ở trạng thái cân bằng nhiệt
động ta có hàm phân bô trạng thái:
6


e−βH
Sp (e − β H )

1

(1.1.5)

kzT


 −∞

p, λ, \ pλ

λ,

Trong đó: ρσ = (I + po σ ) là ma trận mật độ của nơtron tới, I là ma trận

+∞ i

(E , −Ep ) t

Sp(ρσ 〈Vp, +λ, \ pλVp, λ, \ pλ (t)〉)dt (1.1.7)

1
2



đơn vị, po = Sp(ρσ σ ) là véc tơ phân cực của nơtron, σ là các ma trận
Pauli.
Nếu chuẩn hóa hàm sóng của nơtron trên hàm đơn vị thì tiết diện tán xạ hiệu
dụng được tính trên một đơn vị góc khối và một khoảng đơn vị năng lượng
 d 2σ 
  là:
 d ΩdE 

 d 2σ 
m k,
=

λ, \ pλ

V

p, λ, \ pλ

(t)〉)dt

(1.1.8)

Như vậy với một cấu trúc tinh thể xác định, về mặt nguyên tắc chúng ta có
thể tính toán được tiết diện tán xạ của chùm nơtron phân cực tán xạ trên bia tinh thể.
Trên đây chúng ta đã xem xét hiện tượng, các loại tương tác tham gia và đi tới công
thức tổng quát của tiết diện tán xạ của chùm nơtron phân cực trong bài toán nghiên
cứu.
1.2. Thế tương tác của nơtron chậm trong tinh thể
Thế tương tác của nơtron chậm và bia tinh thể gồm ba phần: thế tương tác
hạt nhân, thế tương tác từ và thế tương tác trao đổi giữa nơtron và hạt nhân, giữa
nơtron và electron tự do và electron không kết cặp trong bia tinh thể.
Yếu tố ma trận của tương tác hạt nhân
Thế tương tác hạt nhân và tương tác trao đổi giữa nơtron và hạt nhân được
cho bởi giả thiết Fermi:

Vnuclear ≡ Vnu =

()(

  
α l + β l σ I l δ r − Rl
∑l 

  
m neutron ≡ m neu = gγµ nu s

Trong đó:

γ = −1.913 - độ lớn mômen từ hóa trên manheton Bohr hạt nhân

g = 2; µnu =

e
2mproton c


s - spin của nơtron tới
Thế véc tơ do các electron tự do và các electron không kết cặp gây ra là:


A(r ) =

=

∑
j

 
µo melectron × (r − R j )
= o
 3
4π
4π

 
B(r) = ∇× A(r) =

 

gµo µB
S j ×∇  1 
4π ∑j ∇× 
 r − R j 
  

Dùng công thức giải tích véc tơ:

(

)()()

()()

      
∇ × a × b = b∇ a − a∇ b + a ∇b − b ∇a
Ta có:

 
 
 −gµo µB 
1
 + S j∇2  1 
B(r) = − S j∇ ∇
4π 


 
1

g µ o B 
= −m neu B = − gγµ nu
s∑ S j ∇ ∇  
4π j  r − R j 
 

(

)



 
1 
γµnu µo µB 
=
∑j s S j ∇ ∇ r −Rj 
π
 

()

Dấu

∑ lấy tổng theo tất cả các electron tự do lẫn các electron không kết
j

l

l

l

l

l

 


1 
S j ∇ ∇   + F∑ sS jδ r − R j
 r − Rj  j
 

)

(

)

Như vậy khi xét bài toán của một chùm nơtron chậm không phân cực tán xạ
trong tinh thể, ngoài tương tác hạt nhân chúng còn tương tác từ và tương tác trao
đổi giữa nơtron và electron tự do và electron không kết cặp trong bia tinh thể. Tiết
diện tán xạ vi phân sẽ gồm đóng góp ba phần được đặc trưng bởi ba loại tương tác ở
trên.


Trong đó, χ n là hàm sóng spin của nơtron tới, χn0 là hàm sóng spin của hạt
nhân.
Trong trường hợp các nơtron chậm, bước sóng lớn hơn nhiều so với kích
thước của hạt nhân, vì vậy biên độ tán xạ không phụ thuộc vào góc tán xạ và có thể
viết dưới dạng:

f = α + βσ J

(2.1.2)



Trong đó: σ = 2S , S là toán tử spin của nơtron

σ là toán tử ma trận được tạo bới các ma trận Pauli

J là toán tử spin của hạt nhân
α=

I
I+1+
a+
2I
+
1
2I + 1

a − và β =

a+ − a−

Trong đó

∏

l

r − Ri


ik r − Ri



(2.1.3)

m

χnuc.m là hàm sóng pin của các hạt nhân với giả thiết rằng các

m

hạt nhân không tương tác với nhau.
Để tìm sóng kết hợp trong trường hợp này, chúng ta làm trung bình cộng
công thức (2.1.3) theo phân bố của các hạt nhân bia và theo trạng thái spin của
chúng.
Sự trung bình hóa đó dẫn đến biểu thức sau của hàm sóng:

()

ψr

 J
p=
: Véc tơ phân cực của hạt nhân
I

I: spin của hạt nhân
Nếu các hạt nhân được phân bố hỗn loạn trên mặt phẳng z = zo thì chúng ta
sẽ nhận được biểu thức sau cho sóng kết hợp đi qua mặt phẳng trên:

13



 
ψ r = 1+ α + β Iσ p  eik r χ n
kz 


()

(

)

(2.1.5)

Trong công trình [16], toán tử:
B = 1 + i 
2


Chọn trục lượng tử song song với véc tơ phân cực của hạt nhân p . Nếu nơtron tới


1

mặt phẳng có spin song song với véc tơ p ( χ n =   ), thì sóng kết hợp ψ ( r ) có
0

dạng:

14

+




()

ψr

+



= 1+ 2π iρ
f − eik r 01

kz


n− = 1 + 2π 2iρ
f− = 1 +
k
kz
z2

Hiệu số n+ − n− =

kz

(α − β Ip )

(

2πρ −

(2.2.4)

)

(2.2.5)

được xác định bởi hiệu các biên độ tán xạ của sóng kết hợp tương ứng và khác 0 chỉ
trong bia phân cực.
Như vậy, trong hạt nhân bia phân cực, nơtron có hai hệ số khúc xạ.
Xét trường hợp nơtron có véc tơ phân cực tạo thành một góc tương đối với
hướng của véc tơ phân cực hạt nhân. Chọn một hướng của p tạo thành một góc
tương đối với trục z. Véc tơ phân cực của hạt nhân bia có phương vuông góc với bề
mặt.
Hàm sóng cơ sở có dạng:

Hàm sóng của nơtron trong trạng thái phân cực thay đổi theo chiều sâu xác
định theo biểu thức sau:

  cψ1 + r 
1 


 2c− ψ r 
 

() ()

0
eik⊥ r⊥ c
1 

 

()

0

(2.2.7)



(2.2.8)

Véc tơ phân cực của nơtron là: pn = ψ σ ψ
có các thành phần là:


+

(2.2.10)

−

16


pnz =e−2k

z

Im(n+ )z

−e−2k

z

Im(n− )z

Suy ra, véc tơ phân cực của nơtron hợp với véc tơ phân cực của hạt nhân một
góc:
2πρ

θ = k z Re ( n+ − n− ) z  =

kz



m


(2.2.12)

Sau khi nơtron đi qua lớp vật chất có bề dày là z = ma (a là bề dày của một
lớp) thì ψ r ()được viết như sau:


()

      

ik⊥ r ⊥ ikz nz
1

ce

χn

(2.2.13)

n = 1 + 2πρf( 0)
k z2

(2.2.14)

f ( 0) là biên độ tán xạ đàn hồi trên hạt nhân với một góc bằng 0. So sánh



ρ f ( 0)

(2.3.1)

Như vậy, trong hạt nhân bia phân cực, sóng nơtron có khả năng khúc xạ với
các mức năng lượng là:
2k 2 2π2
U=

(1 − n± ) = −

ρ f ± ( 0)

2

2m

m

(2.3.2)

So sánh với (2.2.14) ta viết lại năng lượng dưới dạng toán tử:

U =− 2π2
m

2π2
m


l

νz

Vậy spin của nơtron quay đi một góc:
∂=ω

νz kz

4πρ

l mωl
= =

kz

Re β Ipl

Điều này hoàn toàn phù hợp với công thức (2.1.9)
Trong từ trường thì tương tác giữa spin của nơtron với hạt nhân có từ trường
hiệu dụng:
H eff = ω
2µ

Tương tự, nếu như bia phân cực có từ trường phụ thuộc vào thời gian B(t ) và
véc tơ phân cực của hạt nhân cũng phụ thuộc vào thời gian P = P(t) thì từ trường
hiệu dụng tổng hợp là:
G (t ) = B(t ) + H eff (t )

Trong đó: H eff (t ) =

nuc



ở đó H eff là giả từ trường hiệu dụng hạt nhân [15]
Theo giả thuyết trên thì trong một nửa không gian x > 0, trong tinh thể có các



hạt nhân phân cực có từ trường hiệu dụng đồng nhất G eff ( x) dạng:

 1, 0x
G effx = G effy = 0; G effz = G eff ⋅ θ ( x) , ở đó θ (x) = 
0, 0x
Quá trình tán xạ phi đàn hồi của các nơtron phân cực trong tinh thể có các
hạt nhân phân cực được xác định bởi Hamilton [22,25]:
H = Ho + Hk + W1 + W2
ở đó:

2 2o

(3.1.1)

H ∇= −
2m
20


Hk: Hamilton của tinh thể - bia tán xạ



Ở đó ϕk , và

(3.1.2)

ϕk(+) là nghiệm của phương trình schrodinger sau:

 2

ϕ
− 2m ∇ + Vo (x) − µσ zGeff (x)ϕk = Ek k
Với tiệm cận ở vô cùng trong dạng sóng phân kì và sóng hội tụ
Biểu diễn ϕ k trong dạng:

21

(3.1.3)