TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
===#T)CQGS===
LIÊU THỊ PHƯƠNG ■
TẬP LỒI TRONG R” VÀ MỘT SỐ BÀI
TOÁN HÌNH HỌC
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • •
Chuyên ngành: Hình học
Người hướng dẫn khoa học ThS. GYC. PHAN HỒNG TRƯỜNG
HÀ NỘI - 2014
Để hoàn thành được bài khóa luận với đề tài: “ Tập lồi t ron g
i?"
v à một số b ài to án hì nh họ c”,
trước hết em xin được bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong tổ Hình học, các thầy cô giáo khoa
Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ em trong
suốt thời gian qua.
Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo: THS. GVC PHAN
H ồn g
TRƯỜNG, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý
kiến quý báu để em có thể hoàn thành bài khóa luận này.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và kiến
thức của bản thân nên chắc chắn đề tài này không ừánh khỏi những thiếu
sót. Vì vậy em rất mong nhận được sự cảm thong và những ý kiến đóng góp
của thầy cô, các bạn sinh viên để bài khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên thực hiện
lồi, toán kinh tế, hình học Có thể nói nghiên cứu về tập lồi là một đề tài
thú vị, nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học.Với mong
muốn nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu phương pháp giải các
bài toán hình học hay hơn, thú vi hơn, nhằm bổ xung kiến thức cho bản
thâ n e m đ ã chọ n đ ề tài : “ Tập lồ i t ron g R
n
v à m ột số bài
toá n h ìn h h ọc ”
để làm đề tài khóa luận.
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu И hơn các kiến thức về tập lồi.
- Làm rõ ứng dụng một số tính chất của tập lồi trong không gian
trong giải một số bài toán hình học.
3. Đối tượng, phạm vỉ nghiên cứu
- Đối tương nghiên cứu: Kiến thức về tập lồi.
- Phạm vi nghiên cứu: Một số bài toán của hình học giải bằng cách
sử dụng một số tính chất của tập họp lồi.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Trình bày cơ sở lý thuyết về tập hợp lồi và một số tính chất.
- Nêu một số phương pháp giải bài toán của hình học bằng sử dụng
tính chất của tập hợp lồi.
5. Các phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu sử dụng các công cụ toán học.
- Nghiên cứu sách tham khảo, tài liệu có liên quan.
5
gồm điểm Xi(khi X, =1) và
x
2
(khi À^O) và những điểm ứng với À-( A, e (0
, 1
)).
VIII. Hai điểm Xi, x
2
gọi là 2 mút của doạn thẳng Xi, x
2
, những
điểm khác cả đoạn thẳng X1
X2
gọi là ở giữa Xi và x
2
.
• Cho m + 1 điểm độc lập P
0
, Ta biết rằng m phẳng a đi
IX. qua m + 1 điểm đó gồm những điểm M sao cho( với điểm o nào đó
).
X.
XI.
XII. Tập họp đó gọi là rn đơn hình với các đính P
0
• [xi,x
2
], m_hộp, m_đơn hình là tập lồi
• Hình cầu đơn vị trong không gian Banach là tập lồi.
• Mỗi m_phẳng a trong không gian afin thực A là tập lồi vì nếu 2 điểm
P,Q là 2 điểm phân biệt thuộc A thì tất cả đường thẳng PQ thuộc a, do
đó đoạn thẳng PQ nằm trong a.
1.3. Tổ họp lồi
1.3.1. Định nghĩa: Véc tơ X E X được gọi là tổ họp lồi của các véc tơ
Xi, x
2
, ,x
m
eXnếu:
* Chú ý: tập 0 được gọi là tập lồi.
*VÍ dụ:
I.
II.
XXIV.
III.m m
IV.
V. i=0
VI. i=0
XXV.
1.3.2. Đinh lí: Giả sử tập A lồi, Xi, х
2
, ,хщ
e
£ A thì :
XXVII. [x
b
x
2
) ={ ẰXi + (1 - Ằ)x
2
: 0< Ả < 1} Œ intA.
XXVIII.Nếu intA Ф 0 thì: A = int Л.
XXIX. int А = int A.
1.4.2.3. ĐỊNH //:• Bao lồi đóng của tập A trùng với bao đóng của bao
lồi của A, tức là:
XXX. со А = со А.
• Giả sử tập A D R
n
đóng và bị chặn. Khi đó coA đóng.
XXXI. Nghĩa là: coA = CO A.
XXXII. *Định lí Carathéodory :
XXXIII. Giả sử A cR“. Khi đó mỗi điểm của tập coA là tổ
hợp lồi không quá n+1 điểm khác nhau của A.
1.5. Nón lồi
1.5.1. Đinh nghĩa nón: Tập K c R "
được gọi là nón có đỉnh tại о nếu:
XXXIV. V X G к, 3 А, >0 => Ax G K.
1.5.2. Định n gh ĩa
nón lồi: Nón к có đỉnh tại о được gọi là nón
lồi nếu К là một tập lồi, nghĩa là:
1
G к, X
2
G K, ,x
m
G к và (Xi> о, a
2
>
0, , a
m
>
0. Khi đó:
XXXIX. ỵ V G K .
XL. i=l
• Giả sử A là tập bất kì trong R
n
, к là tập tất cả các tổ hợp tyến tính
dương của A. Khi đó к là nón lồi nhỏ nhất chứa A.
1.5.3. Nón lồi sinh bỏi môt tâp
XLI. Giao tất cả các nón lồi (có đính tại 0) chứa tập A và điểm 0 là
một nón lồi và được gọi là nón lồi sinh bởi tập A. Kí hiệu: K
A
.
• Định
lí: Giả s ử A c
R", А Ф0, K
XLV. ii) Nếu A là tập lồi thì K
A
= PỊẩA ={ a £X: a = A,b, X > 0, b £
A}.
XLVI.я>0
1.6. Tập affine và bao affine
1.6.1. Tập affine:
• ĐỊNH NGHĨA'. Tập А с R" được gọi là tập affine nếu:
XLVII. (1- X,)x + ХУ eА ( Vx,y GA, VA, G R ) .
• Nhận xét: Nếu A là tập affine thì với a G R",
XLVIII. A + a ={ X + a: X G A} là tập affine.
• MỆNH ĐỀ: Tập м с R“ là không gian con khi và chỉ khi M là tập
affine chứa 0
.
• Hai tập affine song song’.
XLIX. Tập affine A được gọi là song song với tập affine M nếu 3
a G R "
sao cho:
L. A=M+a
LI. Kí hiệu: А // M.
• Các định lí:
* Mỗi tập affine А Ф 0 song song với một không gian con duy nhất L
được xác định như sau:
LII. L = A - A ={ X - у: X G A, y G A}.
* Giả sử / ? G R , 0
Фb ER
n
LVII. Đinh nghĩa 2: Điểm X e R
n
được gọi là tổ họp affine của các điểm
LVIII. m m
LIX. xi,x2
, ,x
m
£ R
n
, nếu 3 Ằb ^ER. ^ Ai =1 sao cho: X = ^ AiXị.
LX. i=l 1=1
* Nhận xét: AFFA trùng với tập tất cả các tổ họp affine các điểm của
LXI. A: a f f A = {A4X1+ + ХщХщ, Xi G А, X
=1
}•
LXII. ;=1
LXIII.Đinh nghĩa 3: Tập m+1 điểm bo, bi, ,b
m
được gọi là tập affine nếu
A
FF{ bo, bi, ,b
m
} là m chiều.
* bo, b
b
,b
m
độc lập affine <=> br b
0
m
. Khi đó ints Ф 0.
LXIX.Định nghĩa 5: Chiều của tập lồi A là chiều của AFFA.
LXX. Định nghĩa 6
: Giả sử A cR" là tập lồi. Khi đó dimA là cực đại của
chiều các đơn hình trong A.
1.7. Phần trong tương đối
• Định nghĩa: Phần trong tương đổi của tập A cR" là phần trong
của A trong af fA, kí hiệu là riA.
LXXI. Các điểm thuộc riA được gọi là điểm trong tương đối của tập
A.
• Nhận xét: Ai D А
2
Ф riAi A riA
2
.
LXXII. intA = {x GR
n
: 3í> о, X + íB cA}.
LXXIII. riA = {x € af f A : 3 £> 0, (x + £B) r ^a ff Œ A }. (Trong đó
В là hình cầu đơn vị đóng trong R" )
• Các đỉnh lí:
LXXIV. «
• Giả sử A là tập lồi trong R", X €= ri A, y G Ã. Khi đó:
LXXV. (1- X )x + Xy
G
riA , Vx É [0,1]
LXXVI. Hệ quả: Giả sử A là tập lồi trong R". Khi đó riA lồi.
• Giả sử A là tập lồi trong R
LXXXVI. aeì
• TÍNH CHẤT 2: Giả sử A
a
a R
n
(a £ I ) là các tập lồi, I là tập chỉ số bất
kì. Khi đó: A = (J chưa chắc đã là tập lồi.
LXXXVII. ( Hình ảnh minh họa cho hai tập loi A, B)
VII.
* V í dụ:
Cho А, в là các tập lồi. Với А = {а}, в là hình tròn tâm 0
bán kính R.
LXXXIX. Khi đó: A LJ В không phải tập lồi vì nếu lấy E e a, E e в
thi EF Ể A ^JB.
XC.
• TÍNH CHẤT 3: Giả sử Ai czR” là những tập lồi, Ai e R (i = l.m). Khi đó:
XCI. AiAị là tập lồi.
XCII. i=1
• TÍNH chấ t
4: Giả sử Ai <^R
n
là những tập lồi. Khi đó:
XCIII. ^ Ai là tập lồi.
XCIV. i=l
• TÍNH CHẤT 5: Giả sử A là tập lồi và Xi >0, X
2
> 0. Khi đó:
XCV. (À4+Ầ2 )A = À4A + A%2-
hay
CX.Đảo lại, Giả sử m ax
ỊA
Ẻ
; <2
;
. Ị
< min
ỊBỊ ; BJ Ị. Khi đó ta có thể
chọn c sao cho NAAXỊA^A^^C^NÀNỊB^B^. (1
)
CXI. Từ (1) suy ra DỊ <C <BỊ => c e [ai; bi]
CXII. a . j < c < b j =>c e[aj;bj]
CXIII.=> [aiỉ bi] n [Ọj; bj] *0
. Bổ đề được chứng m in h.
CXIV. Từ bổ đề trên suy ra nrin^. > maXA
T
CXV. , suy ra tồn tại c sao
cho:
CXVI. Ì<I<N 1
<ị<7
í
3
n f
4
^ 0
nên tồn tại. A
Ỉ
EF
2
NF
3
NF
4
Tương tự tồn tại:\ € FỊ n F
3
n F
4
CXXVII. Aị & F
x
r\F
2
nf
4
A
4
r\F^ ^0
CXXX. Vậy định lí kelly đúng khi n =4.
ii) Ai, A
2
, A
3
, A
4
là 4 điểm phân biệt. Khi đó có 2 khả năng sảy
CXXXI. ra:
• Bao lồi của Ai, A
2
, A
3
, A
4
chính là tứ
giác lồi A1
A2
A3
A4
.
CXXXII. Giả sử o là giao của hai đường
chéo A1
nên A
2
e F
3
Vì F
3
lồi, mà A
2
£
F
3
nên [Ai, A
2
] e F
3
.
CXXXIV. Do đó o £F
3
.
CXXXV. Lập luận tương tự suy ra o ễF
2
, o e F
4
nF
3
CXXXIX.=>A4
ep|5
^0
.Từđó suy ra Pl 5^0
CXL. Vậy định lí kelly đúng khi n = 4.
Aì
Ai
- Giả sử kết luận của định lí Kelly đúng đến n > 4.
- Ta xét trường họp có n+1 hình lồi, tức có Fl, F
2
, ,F
n
hình lồi sao cho
với bất kì ba hình lồi nào trong chúng đều có giao khác rỗng.
CXLI. Xét các hình sau:
CXLII. K=Fr
CXLIII. F
2
=F
2
CXLIV. ^4=^4
CXLV.
F
n=
Nếu trong chúng có F
N
= F
N
nF
n+1
. Khi đó, giả
sử F
K
= F
N
Từ đó FL NF] NF
K
= F
Ì
nF. R\F
N
NF
N +L
CXLIX. Vì giao của 3 hình lồi trong các hlnh lồi ^,F
y
,F„,F
n+1
là
khác rỗng (giả thiết) nên theo trường hợp n = 4, ta có FỊ R)FJ nF„nF„
+1
Ф 0
CLVI. Dưới đây là một số bài toán hình học tổ họp liên quan đến tính
giao khác rỗng của các hình lồi.
CLVII. Bà i 1 :
Xét không gian R
2
. Biết rằng có bốn nửa mặt phẳng
lấp đầy không gian. Chứng minh rằng: Tồn tại ba trong bốn mặt phẳng ấy
sao cho ba nửa mặt phẳng này cũng lấp đầy không gian.
CLVIII. Giải
CLIX. Gọi Pi, p
2
, Рз, P4
là bốn nửa mặt phẳng => PỊ lồi, với mọi I = 1.4
CLX. Theo giả thiết ta có:
CLXI. ^uP
2
u?
3
uP
4
=Ấ
2
CLXII. ^P
1
UP
hãyP
i
^jPjKjP
k
jt0
(2)
CLXIX. Theo quy tắc Demorgan ^P
I
NP
J
NP
K
JT0 (3
)
CLXX. Theo định lí Kelly thì từ (3) => P
X
Г\Р
2
Г\Р
Ъ
Г\Р
А
Ф 0
(4)
CLXXI. Từ (4) suy ra mâu thuẫn với (1).
CLXXII. Điều giả sử phản chứng là sai. Vậy ta có điều phải chứng
minh.
CLXXIII. Bài 2: Trên mặt phẳng cho n hình tròn (n >4). Giả sử
cứmỗi ba hình
,R)
e
Bj
CLXXXV. (Ạ
JJc
,R) GB
k
CLXXXVI. Do vậy Bị r\B
j
r\B
k
* 0
CLXXXVII. Suy ra theo định lý Kelly ta có:
B
L
R\B
2
R\ R\B
N
^0 Giả sử A* e(fi( n n5J
CLXXXVIII.Xét hình tròn (A*, R). Do A* epỊ
CLXXXIX. Vì vậy hình ừòn (A*, R) cắt hình tròn (Oi, Ri) =>
đpcm.
CXC. B ài 3 :
Cho n đoạn thẳng song song ừên mặt phẳng (n > 3). Biết
rằng cứ với bất kì ba đoạn thẳng nào cũng có một đường thẳng cắt cả ba
đoạn thẳng ấy. Chứng minh tồn tại một đường thẳng cắt cả n đoạn thẳng
đã cho.
CXCI. Giải
song vô hạn. Gọi dải này là Hi, ta thấy Hi là hình lồi ( Hình 3 )
X. № 9 F
XI.Môi đường thăng như vậy được đặc trưng bởi hai sô (a
Ì5
bi).
(Hình2)
XII.
Copyright: Tài liệu đại học ©