Ôn thi thpt quốc gia môn toán – Phần giải tích
PHẦN GIẢI TÍCH
Chủ đề 1: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
Giả sử hàm số
( )f x
liên tục trên khoảng
( ; )a b
và
0
( ; )x a b∈
.
A- Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị :
Nếu
( )f x
có đạo hàm trên khoảng
( ; )a b
và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại
0
( ; )x a b∈
thì
0
'( ) 0f x =
.
B- Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị :
1. ĐL 1 :
a)
0
0
0
'( ) 0, ( ; )
'( ) 0, ( , )

0
0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
x
f x
=

⇒

>

là điểm cực tiểu của
( )f x
b)
0
0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
x
f x
=

⇒

<

3
( 1) (5 )y x x= + −
c)
2
1
8
x
y
x
+
=
+
d)
2
5
1
x x
y
x
+ −
=
+
e)
cos siny x x= −
2- CMR hàm số
| |y x=
không có đạo hàm tại
0x =
nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.
3- CMR với mọi giá trị của tham số m, hàm số

3
2
y x
x
= − +
−
c)
3y x x= −
e)
[ ]
2sin cos 2 , 0;y x x x
π
= + ∈
2- Cho hàm số
2
1
x x m
y
x
− +
=
+
. Xác định m sao cho :
a) Hàm số có cực trị. b) Hàm số có hai cực trị và hai cực trị trái dấu nhau.
3- Tìm các số thực m và n sao cho hàm số
( )
1
n
f x x m
x

y mx m x= + + + +
a) Xác định m để hàm số có cực trị. b) Xác định m để hàm số có hai cực trị nằm về hai phía của trục tung.
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ 1
Ôn thi thpt quốc gia môn toán – Phần giải tích
Chủ đề 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.
1- Định nghĩa : Cho hàm số
( )y f x=
xác định trên tập D
• Số
max ( )
D
M f x=
nếu
( ) ,f x M x D≤ ∀ ∈
và tồn tại
0
x D∈
sao cho
0
( )f x M=
• Số
min ( )
D
m f x=
nếu
( ) ,f x m x D≥ ∀ ∈
và tồn tại
0
x D∈
sao cho

( )f x
liên tục trên
( ; )a b
x
a
0
x
b
x
a
0
x
b
'y
−
+
'y
+
−
y
GTNN
y
GTLN
Trong đó
0
'( ) 0f x =
hoặc
'( )f x
không xác định tại
0

( )
1
x
f x
x
−
=
−
trên đoạn [-3; -2]
c)
2
( )
4
x
f x
x
=
+
trên khoảng
( ; )−∞ +∞
d)
1
( )
sin
f x
x
=
trên khoảng
(0; )
π

x
= + +
−
trên khoảng
(1; )+∞
c)
2
( ) 1f x x x= −
d)
3
( ) sin cos 2 sin 2f x x x x= − + +
.
e)
( ) 2
x
f x =
trên đoạn
[ ]
1;2−
f)
ln
( )
x
f x
x
=
trên đoạn [1 ; e
2
]
2- Trong các tam giác vuông mà cạnh huyền có độ dài bằng 10, hãy xác định tam giác có diện tích lớn nhất.

3 2
( 0) = + + + ≠y ax bx cx d a
:
Ví dụ 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
3 2
2 3 2y x x= − −
Giải :
1) TXĐ : D = R
2) Sự biến thiên :
• Chiều biến thiên :
2
' 6 6 6 ( 1)y x x x x= − = −
0
' 0
1
x
y
x
=

= ⇔

=

;
0
' 0
1
x
y

x
-∞ 0 1 +∞
y’
+ 0 − 0 +
y
-2 +∞
-∞ -3
3) Đồ thị :
2- Hàm số
4 2
( 0)= + + ≠ y ax bx c a
:
Ví dụ 2 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
4 2
2 2y x x= − +
TXĐ : D = R
3 2
' 4 4 4 ( 1)y x x x x= − = −
0
' 0
1
x
y
x
=

= ⇔

= ±


Tiệm cận :
1 1
3
lim lim
1
x x
x
y
x
− −
→ →
+
= = −∞
−
1 1
3
lim lim
1
x x
x
y
x
+ +
→ →
+
= = +∞
−
Do đó, đt
1x
=

phương trình
( ) ( )f x g x=
bằng số giao điểm của
1
( )C
và
2
( )C
, tọa độ giao điểm là nghiệm của PT
( ) ( )f x g x=
.
2- Viết phương trình tiếp tuyến :
Giả sử hàm số
( )y f x=
có đồ thị là
( )C
và
0 0
( ; ( )) ( )M x f x C∈
;
( )f x
có đạo hàm tại
0
x x=
. Phương
trình tiếp tuyến của
( )C
tại M là :
0 0 0
'( )( )y y f x x x− = −

a) TXĐ : D = R;
3 2
' 4 ( 4)y x x x x= − = −
,
' 0 0, 2y x x= ⇔ = = ±
b)
4
2 4 2 2 2
3
9
2 0 8 9 0 ( 1)( 9) 0
3
4 4
x
x
x x x x x
x
=

− − = ⇔ − − = ⇔ + − = ⇔

= −

(C) cắt trục Ox tại x = -3 và x = 3
Ta có :
3
' 4 '( 3) 15, '(3) 15y x x y y= − ⇒ − = − =
P.trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = -3 và x = 3 lần lượt là :
15( 3)y x= − +
và

4
k < −
(C) và (P) không cắt nhau
Bài tập :
1 - Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau :
a)
3 2
9y x x x= + +
b)
3
2 5y x= − +
c)
4 2
1 3
2 2
y x x= + −
d)
2 4
2 3y x x= − − +
e)
3
1
x
y
x
+
=
−
f)
2

( 3) 1y x m x m= + + + −
có đồ thị là
( )
m
C
a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là
1x = −
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ 4
Ôn thi tốt nghiệp 2012 – Phần giải tích
b) Xác định m để
( )
m
C
cắt trục hoành tại
2x = −
5- Cho hàm số
2 1
2 1
x
y
x
+
=
−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng
2y x= +
.
BÀI TẬP TỔNG HỢP :

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
5
−
.
4- Cho hàm số y =
4 2
1 5
3
2 2
x x− +
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1; 0).
5- Cho hàm số
3 2
6 9 6y x x x= − + −
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm
(2; 4)−
và có hệ số góc bằng k. Tìm các giá trị của k
để d là tiếp tuyến của (C).
6- Cho hàm số
4 2
2y x x= −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Xác định m để phương trình :
4 2
2 0x x m− − =
có 4 nghiệm thực phân biệt.
7- Cho hàm số

b) CMR với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số luôn luôn có cực trị.
c) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
0m
=
.
d) Xác định k để (C) cắt đường thẳng
y kx=
tại ba điểm phân biệt.
10- Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
− +
=
−
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng
y x m= +
luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B.
Gọi
1 2
,k k
lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng
1 2
k k+
đạt giá trị
lớn nhất.
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ 5

, PT luôn có nghiệm duy nhất
b
x a=
2. Phương trình mũ đơn giản :
a) Phương trình có thể đưa về phương trình cơ bản bằng cách áp dụng các phương pháp : đưa về cùng
cơ số, đặt ẩn phụ, mũ hoá hai vế.
b) Phương trình có thể giải bằng phương pháp đồ thị.
Các ví dụ :
1. Giải các phương trình mũ sau :
a)
3 2 3 2 0
2
(0,3) 1 (0,3) 3 3 2 0
3
x x
x x
− −
= ⇔ = ⇔ − = ⇔ =

b)
7 1 2 8 1
(0,5) .(0,5) 2 2 2 8 1 9
x x x
x x
+ − −
= ⇔ = ⇔ − = ⇔ =
2. Giải các phương trình mũ sau :
a)
2 1 2 2 2 4
3 3 108 4.3 3.108 3 3 2

 ÷  ÷
   
. Đặt
2
0
3
x
t
 
= >
 ÷
 
, PT trở thành :
2
2
1 1 0
1
3
3 2 3 2 1 0 0
1
(
3
loaïi)
x
t x
t t t x
t
t

 

2 2
2
6
log ( 5)( 2) 3 3 10 8 3 18 0
3 ( loaïi)
x
x x x x x x
x
=

⇔ − + = ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔

= −

c)
2
log( 6 7) log( 3)x x x− + = −
; ĐK :
2
6 7 0
3 2 3 2
3 2
3 0
3
hoaëc
x x
x x
x
x
x

2
1 1
log( 5) log5 log
2 5
x x x
x
+ − = +
; ĐK :
21 1
2
x
−
>
PT
2 2 2
2
log( 5) 0 5 1 6 0 2
3 ( loaïi)
x
x x x x x x x
x
=

⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ ⇔ =

= −

b)
4 8
2

 
c)
1
7 2
x x−
=
d)
4 2 1
2 2 5 3.5
x x x x+ + +
+ = +
e)
4.9 12 3.16 0
x x x
+ − =
f)
8 2.4 2 2 0
x x x
− + + − =
g)
2 5 2
3 3 2
x x+ +
= +
h)
2 1
5 126.5 25 0
x x+
+ + =
i)

x
x
+
+ = +
3. CMR các phương trình sau chỉ có một nghiệm
1x
=
:
a)
4 5 9
x x
+ =
b)
9 2( 2).3 2 5 0
x x
x x+ − + − =
c)
2
2 ( 2) 3 2 0
x
x x x− + − + =
Chủ đề 5 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
I. Bất phương trình mũ :
1) BPT mũ cơ bản :
x
a b>
(hoặc
, , )
x x x
a b a b a b≥ < ≤

log
a
x b<
2) BPT mũ đơn giản : Ta biến đổi về BPT mũ cơ bản hoặc BPT đại số.
II. Bất phương trình lôgarit :
1) BPT lôgarit cơ bản :
log
a
x b>
(hoặc
log , log , log )
a a a
x b x b x b≥ < ≤
với
0, 1a a> ≠
.
Xét BPT
log
a
x b>
:
+
1:a >

log
b
a
x b x a> ⇔ >
+
0 1:a< <

+ −
+ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤
c)
2
2 1 0
4 3.2 2 0 2 3.2 2 0
1
2 2
x
x x x x
x
x
x

< <

− + > ⇔ − + > ⇔ ⇔


>
>


2. Giải các BPT lôgarit sau :
a)
8
log (4 2 ) 2 4 2 64 2 60 30x x x x− ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤ − ⇔ ≤ −
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ 7
Ôn thi tốt nghiệp 2012 – Phần giải tích
b)

2 3 0
x
x
x x
>

⇔ ⇔ >

− − >

c)
2
3 3
3
0
0
log 5log 6 0 9 27
2 log 3
9 27
x
x
x x x
x
x
>
>


− + ≤ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤
 

x x
− − ≤
2. Giải các BPT lôgarit sau :
a)
1
3
log ( 1) 2x − ≥
b)
2
1
2
log ( 2 8) 4x x+ − ≥ −
c)
2
0,2 0,2
log 5log 6x x− < −
d)
4
4log 33log 4 1
x
x − ≤
3. Cho
+ =a b c
, với
> >0, 0a b
.
a) CMR :
+ <
m m m
a b c

a b
c c
< <
. Suy ra : nếu
1m >
thì
1
1
m
a a a
m
c c c
   
> ⇔ < =
 ÷  ÷
   
và
m
b b
c c
 
<
 ÷
 
Suy ra :
+
   
+ < + = =
 ÷  ÷
   

3 3 3
2 2 2 2
3 3
3
3 3
3 2
3
2
:
a a a b a b a b ab
B a
a b
a ab
 
− + −
= +
 
−
−
 
 
3/
3 3
6 6
a b
C
a b
−
=
−

3
1
2
x x− +
 
=
 ÷
 
4/
3 7 7 3
9 7
49 3
x x− −
   
=
 ÷  ÷
   

5/
1 1
1
7 .4
28
x x− −
=
6/
2
2 2 20
x x+
+ =

GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ 8
Ôn thi tốt nghiệp 2012 – Phần giải tích
1/ Cho
25 2
log 7 , log 5 a b= =
. Tính
5
49
log
8
theo
,a b
2/ Cho
2 2
log 5 , log 3 a b= =
. Tính
3
log 135
theo
,a b
Bài 5 : Tính đạo hàm các hàm số sau :
1/
2
( 2 2)
x
y x x e= − +
2/
2
( 2)
x

+
8/
2
ln( 1 )y x x= + +
Bài 6 : Giải các phương trình mũ sau (đưa về cùng cơ số) :
1/
5.3 3.2 7.2 4.3
x x x x
+ = −
2/
1 2 1 1 2
5 5 5 3 3 3
x x x x x x− − + − −
+ + = + +
Bài 7 : Giải các phương trình mũ sau (logarit hóa) :
1/
5 3
3 5
x x
=
2/
5 2
3 2
x x−
=
3/
1 3
( 2) ( 2)
x x
x x

x x− −
− − =
5/
( ) ( )
7 4 3 2 3 6
x x
+ + + =
6/
2 2
sin cos
9 9 6
x x
+ =
Bài 9 : Giải các phương trình mũ sau (đưa về tích số) :
1/
25.2 10 5 25
x x x
− + =
2/
12.3 3.15 5.5 20
x x x
+ − =
Bài 10 : Giải các phương trình logarit sau (đưa về cùng cơ số) :
1/
3
log (2 1) 2x − = −
2/
2 2
log ( 2) log ( 2) 2x x+ − − =
3/

2 2
6 4
3
log 2 logx x
+ =
2/
2 1
2 2
log (2 1).log (2 2) 2
x x+
+ + =
3/
3 9
3
4
(2 log ).log 3 1
1 log
x
x
x
− − =
−
Bài 12 : Giải các bất phương trình sau :
1/
3 6
2 1
x−
>
2/
5

[ ( )]. ( ) [ ( )]f u x u x dx F u x C
′
= +
∫
2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần :
udv uv vdu
= −
∫ ∫
II- Tích phân :
( ) ( ) ( ) ( )
= = −
∫
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
1. Phương pháp đổi biến số :
[ ]
b
a
f x dx f t t dt( ) ( ) ( )
β
α
ϕ ϕ
′
=
∫ ∫
VÀ
[ ( )]. ( ) ( )

= −
∫
Nếu trên [
α
;
β
] biểu thức f
1
(x) – f
2
(x) không đổi dấu thì:
f x f x dx f x f x dx
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
β β
α α
 
− = −
 
∫ ∫
IV. Thể tích khối tròn xoay :
b
a
V f x dx
2
( )
π
=
∫
BÀI TẬP :

=
+ +
2- Tìm :
a)
3
( )x x dx+
∫
b)
2
x x x
dx
x
+
∫
c)
1 cos4
2
x
dx
+
∫
d)
2
4sin xdx
∫
e)
2
2 1
3 2
x

2
1
( )
(1 )
f x
x x
=
+
4- Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của :
a)
( ) sin
2
x
f x x=
b)
2
( ) cosf x x x=
c)
e( )
x
f x x=
d)
3
( ) ln(2 )f x x x=
Bài tập tổng hợp : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :
1- a)
2
( ) 3 7 3f x x x= −
b)
( ) cos(3 4)f x x= +

( ) sin cosf x
x x x
=
c)
e
3
( )
x
f x x=
d)
e
3 9
( )
x
f x
−
=
3- a)
2
( ) cos2f x x x=
b)
( ) lnf x x x=
c)
4
( ) sin cosf x x x=
d)
2
( ) cos( )f x x x=
4- Tìm :
a)

f)
2
cos
cos 1 sin
dx xdx
x x
 
=
 ÷
−
 
∫ ∫
g)
sin
dx
x
∫
h)
2
sin3
x
e xdx
∫
TÍCH PHÂN
1- Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số :
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ 10
Ôn thi tốt nghiệp 2012 – Phần giải tích
1
2 2
0

1
x
dx
x x
−
+
+ +
∫
1
0
1 x dx+
∫
1
3 4 3
0
(1 )x x dx+
∫
1
2 2
0
5
( 4)
x
dx
x +
∫
6
0
(1 cos3 )sin 3x xdx
π

x
xe dx
−
∫

2
4
cos ln(sin )x x dx
π
π
∫
3
3
2
0
1
x dx
x +
∫
1
cos
x
e xdx
π
∫
2
0
sin cosx x xdx
π
∫

x
e
dx
e
1
0
1+
∫

1
0
x
x
dx
e
∫

2
3
ln
e
e
dx
x x
∫

5
1 2
2 1x x dx−
∫

2 lnx xdx
∫

0
(1 cos )x x dx
π
+
∫

1
0
(2 )
x
x xe dx+
∫
5- Tính các tích phân:

dx
x x
2
1
2
1
( 1)+
∫

x x dx
2
2
0

1
0
(1 )
1
+
+
∫
a
dx
a x
2
2 2
0
1
−
∫

x xdx
2
0
( 1)sin
π
+
∫
e
x xdx
2
1
ln
∫

x
x e dx
0
1 sin 2
π
+
∫
xdx

2
2
0
cos2 sin
π
∫
x xdx
2
2
0
1
2 3− −
∫
dx
x x
2
0
( sin )
π
+
∫

x
 
−
 ÷
 
∫
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :
a)
4 2
0; 1; 0; 5 3 3x x y y x x= = = = + +
b)
2
1; 3y x x y= + + =
c)
2
4 ; 0y x x y= − =
d)
ln ; 0; y x y x e= = =
e)
3
, 1; 8x y y x= = =
f)
; ; 0; cos
2
x x y y x
π
π
= − = = =
2- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

b)
2
, 0, 3y x x x= = =
và trục
Ox
THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY
1- Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi nó
quay xung quanh trục Ox :
a)
2
0; 2y y x x= = −
b)
sin ; 0; 0;
4
y x y x x
π
= = = =
c)
2
; 0; 0; 1
x
y xe y x x= = = =
2- Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi hình elip (E) :
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
, khi nó quay xung quanh

( )
3
31 iz +=
c)
i
i
z
+
−
=
1
1
d)
i
i
z
−
−
=
3
31
e)
ii
z
−
+
+
=
1
1

a)
31
4
i
z
+
=
b)
26
1
i
z
+
=
c)
( )
4
3
31
)1(
i
i
z
+
+
=
4- Tìm số phức z thoả điều kiện
10=z
và phần thực bằng hai lần phần ảo
5- Tìm các số phức sao cho

7- Giải các phương trình sau :
a)
01
2
=++ zz
b)
02
2
=+− zz
c)
016910
24
=++ zz
d)
zz =
2
8- Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thoả mãn điều kiền :
a)
1=z
b)
21 ≤< z
c)
1≤z
d)
3 4 2z i− + =
e)
2 | 3 |z z i− = +
f)
11 <−− iz
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ 12