BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH


CAO THỊ TỪ TÂM

KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN VÀ
SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA
CÁC ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH YẾU
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết điểm bất động là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của
giải tích, nó được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm. Nguyên lý
ánh xạ co Banach (1922) trong không gian mêtric đầy đủ là kết quả quan trọng đầu
tiên trong lý thuyết điểm bất động. Sau đó, người ta đã mở rộng nguyên lý này cho
nhiều loại ánh xạ và nhiều loại không gian.
Vào năm 2007, Huang Long - Zhang Xian [5] đã thay tập số thực trong định
nghĩa mêtric bởi một nón định hướng trong không gian Banach và đã thu được khái
niệm mới tổng quát hơn đó là khái niệm không gian mêtric nón. Từ đó, nguyên lý
điểm bất động của ánh xạ co trong không gian mêtric nón đầy đủ đã được chứng
minh. Vấn đề về sự tồn tại điểm bất động và bất động chung của các ánh xạ co
trong không gian mêtric nón được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và thu
được nhiều kết quả [3, 4, 5, 6].
Để tập dượt nghiên cứu khoa học, chúng tôi tiếp cận hướng nghiên cứu này. Tìm
hiểu, nghiên cứu các tính chất của không gian mêtric nón, các kết quả về sự tồn tại
điểm bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu trong không gian mêtric nón.
Với mục đích đó, luận văn được chia làm hai chương
Chương 1. Không gian mêtric nón
Trong chương này, trình bày một số khái niệm và kết quả về không gian tôpô,
không gian mêtric, không gian Banach, ánh xạ liên tục ; các định nghĩa, ví dụ
và một số tính chất của nón và không gian mêtric nón mà chúng được dùng trong
chương hai.
Chương 2. Sự tồn tại điểm bất động chung của ánh xạ tương thích
yếu trong không gian mêtric nón
Đây là nội dung chính của luận văn. Trong mục 2.1 chúng tôi trình bày một số
kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu trong
không gian mêtric nón. Các kết quả này đã có trong các tài liệu tham khảo nhưng
2
với giả thiết mêtric nón nhận giá trị trong nón chuẩn tắc. Chúng tôi chứng minh
các kết quả này vẫn đúng trong không gian mêtric nón mà không cần giả thiết nón

X nếu thỏa mãn các điều kiện
(T
1
) ∅ và X ∈ T ;
(T
2
) Nếu G
i
∈ T , i ∈ I thì

i∈I
G
i
∈ T ;
(T
3
) Nếu G
1
, G
2
∈ T thì G
1
∩ G
2
∈ T .
Tập hợp X cùng với tôpô T trên nó được gọi là không gian tôpô và ký hiệu là
(X, T ) hoặc X.
Các phần tử của X được gọi là điểm của không gian tôpô.
Các phần tử thuộc T được gọi là tập mở.
Giả sử A ⊂ X. Tập A được gọi là đóng nếu X\A là mở.

Không gian tôpô X được gọi là T
2
- không gian hay không gian Hausdorff nếu
hai điểm bất kỳ x, y ∈ X, x = y tồn tại các lân cận tương ứng U
x
, U
y
của x và y sao
cho U
x
∩ U
y
= ∅.
Nếu X là không gian Hausdorff thì mỗi dãy trong X mà hội tụ thì hội tụ tới
một điểm duy nhất.
1.1.5 Định nghĩa. ([3]) Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và ánh xạ f : X → Y .
Ánh xạ f được gọi là liên tục tại điểm x ∈ X nếu với mỗi lân cận V của f(x), tồn
tại lân cận U của x sao cho f (U) ⊂ V . Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X (nói
gọn là liên tục) nếu nó liên tục tại mọi điểm của X.
1.1.6 Định lý. ([3]) Giả sử X và Y là các không gian tôpô, ánh xạ f : X → Y. Khi
đó các điều kiện sau đây tương đương
1) f liên tục trên X;
2) Nếu E là tập mở trong Y thì f
−1
(E) mở trong X;
3) Nếu E là tập đóng trong Y thì f
−1
(E) đóng trong X.
1.1.7 Định nghĩa. ([3]) Giả sử X là tập khác rỗng và ánh xạ d : X × X → R. Ánh
xạ d được gọi là mêtric trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

Số p(x) được gọi là chuẩn của vectơ x ∈ E. Ta thường kí hiệu chuẩn của x là
||x||. Không gian vectơ E cùng với một chuẩn xác định trên nó được gọi là không
gian định chuẩn.
1.1.10 Mệnh đề. Nếu E là không gian định chuẩn thì công thức
d(x, y) = ||x − y||, ∀x, y ∈ E,
xác định một mêtric trên E.
Ta gọi mêtric này là mêtric sinh bởi chuẩn hay mêtric chuẩn.
Một không gian định chuẩn và là không gian mêtric đầy đủ theo mêtric sinh bởi
chuẩn được gọi là không gian Banach.
6
1.1.11 Định lý. ([2]) Nếu E là không gian định chuẩn thì ánh xạ chuẩn
x → ||x|| , ∀x ∈ E,
phép cộng
(x, y) → x + y, ∀(x, y) ∈ E × E,
và phép nhân với vô hướng
(λ, x) → λx, với mọi (λ, x) ∈ K × E
là các ánh xạ liên tục.
1.1.12 Định lý. ([2]) Giả sử E là không gian định chuẩn. Khi đó, với mỗi a ∈ E
và mỗi λ ∈ K, λ = 0 các ánh xạ
x → x + a, x → λx, ∀x ∈ E
là các phép đồng phôi E lên E.
1.1.13 Định nghĩa. Cho X là một tập khác rỗng. Quan hệ hai ngôi ≤ được gọi là
thứ tự bộ phận trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau
(i) x ≤ x với mọi x ∈ X;
(ii) Từ x ≤ y và y ≤ x suy ra x = y với mọi x, y ∈ X;
(iii) x ≤ y; y ≤ z suy ra x ≤ z với mọi x, y, z ∈ X.
Tập hợp X cùng với một thứ tự bộ phận trên nó được gọi là tập sắp thứ tự bộ
phận và ký hiệu (X, ≤) hoặc X.
1.1.14 Định nghĩa. Giả sử "≤" là một quan hệ hai ngôi trên X và A ⊆ X.
Phần tử x ∈ X được gọi là cận trên (tương ứng cận dưới) của A nếu a ≤ x

trong của P.
1.2.2 Ví dụ. 1) Trong không gian Banach các số thực R với chuẩn thông thường,
tập P = {x ∈ R : x ≥ 0} là một nón.
8
2) Giả sử E = R
2
, P = {(x, y) ∈ E : x, y ≥ 0} ⊂ R
2
. Khi đó, P thỏa mãn ba điều
kiện
(i) P là đóng trong E, P = ∅, P = {0};
(ii) Với mọi (x, y), (u, v) ∈ P và mọi a, b ∈ R, a, b ≥ 0 ta có
a(x, y) + b(u, v) ∈ P ;
(iii) Với (x, y) ∈ P và (−x, −y) ∈ P ta có (x, y) = (0, 0).
Vậy P là một nón trên E.
3) Giả sử C
[a,b]
là tập tất cả các hàm số nhận giá trị thực liên tục trên [a, b]. Ta
đã biết C
[a,b]
là không gian Banach với chuẩn
f = sup
x∈[a,b]
|f(x)| ∀f ∈ C
[a,b]
.
Trên C
[a,b]
có quan hệ thứ tự bộ phận thông thường ≤ được xác định bởi f, g ∈ C
[a,b]

1
∈ intP và c
2
∈ P tồn tại d ∈ intP sao cho c
1
 d và c
2
 d;
7) Với mỗi c
1
, c
2
∈ intP tồn tại e ∈ intP sao cho e  c
1
và e  c
2
;
8) Nếu a ∈ P và a ≤ x với mọi x ∈ intP thì a = 0;
9) Nếu a ≤ λa với a ∈ P, 0 < λ < 1 thì a = 0;
10) Nếu 0 ≤ x
n
≤ y
n
với mỗi n ∈ N và lim
n→∞
x
n
= x, lim
n→∞
y





δ
||x|| + δ
.x








=
||x||
||x|| + δ
.δ < 1.δ = δ.
6) Do c
1
∈ intP nên mc
1
∈ m.intP ⊂ intP với m > 1. Do đó mc
1
∈ intP
với m > 1. Đặt d = mc
1
+ c
2

m
c
2
∈ B(0, r) và do B(0, r) là tập cân nên −
1
m
c
2
∈ B(0, r) suy ra c
1
−
1
m
c
2
∈
c
1
+ B(0, r) ⊂ intP. Do đó, c
1
−
1
m
c
2
∈ intP. Đặt e =
1
m
c
2

n
x
với mọi x ∈ intP , với mọi n = 1, 2, . . . hay
x
n
− a ∈ P với mọi n = 1, 2, . . . Suy ra

x
n
− a

⊂ P và P đóng trong E. Mặt khác, vì






x
n






=
||x||
n
→ 0 nên

10) Ta có x
n
≤ y
n
suy ra y
n
− x
n
∈ P. Do P đóng nên lim
n→∞
(y
n
− x
n
) ∈ P. Mặt
khác, lim
n→∞
x
n
= x, lim
n→∞
y
n
= y nên lim
n→∞
(y
n
− x
n
) = y − x. Từ đó suy ra y − x ∈ P

0
∈ N sao cho
x
n
 < δ, ∀n > n
0
.
Suy ra c − x
n
∈ intP với mọi n > n
0
. Do đó x
n
 c với mọi n ≥ n
0
.
1.3. KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN
Mục này trình bày định nghĩa, ví dụ và các tính chất cơ bản của không gian
mêtric nón.
Ta luôn giả sử P là nón trong không gian Banach thực E sao cho intP = 0 và
≤ là quan hệ thứ tự bộ phận trên E tương ứng với P.
1.3.1 Định nghĩa. ([4]) Cho X là tập khác rỗng, và d : X × X → E. Hàm d được
gọi là mêtric nón trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) 0 ≤ d(x, y), ∀x; y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;
(ii) d(x, y) = d(y, x), với mọi x; y ∈ X;
(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), với mọi x, y, z ∈ X.
12
Tập hợp X cùng với một mêtric nón d trên X được gọi là không gian mêtric nón
và ký hiệu (X, d) hoặc X.
Từ định nghĩa trên ta nhận thấy, khái niệm không gian mêtric nón tổng quát

B(a, c) = {x ∈ X : d(x, a)  c}
và gọi B(a, c) là hình cầu mở tâm a, bán kính c. Đặt
 = {G ⊂ X : ∀x ∈ G, c ∈ intP : B(x, c) ⊂ G} .
13
1.3.4 Mệnh đề. ([5]) Cho (X, d) là không gian mêtric nón và  xác định ở Định
nghĩa 1.3.3 Khi đó,
1)  là một tôpô trên X;
2) B(x, c) ∈  với mọi x ∈ X, c ∈ intP;
3) (X, ) là T
2
− không gian;
4) (X, ) thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất.
Chứng minh.  = {U ⊂ X : ∀x ∈ U, c ∈ intP : B(x, c) ⊂ U} .
1) Ta có ∅ ∈ , X ∈ . Giả sử U
i
∈  với mọi i ∈ I, ta sẽ chứng minh

i∈I
U
i
∈ .
Thật vậy, với mọi x ∈

i∈I
U
i
thì tồn tại i = i
0
∈ I sao cho x ∈ U
i

∈ intP suy ra tồn tại c ∈ intP sao cho c  c
1
và
c  c
2
. Do đó ta được B(x, c) ⊂ U ∩ V. Từ đó ta có U ∩ V ∈ .
Vậy ta có  thỏa mãn 3 điều kiện trong định nghĩa tôpô nên  là một tôpô trên
X hay (X, ) là một không gian tôpô.
2) Giả sử y ∈ B(x, c). Khi đó, vì d(y, x)  c nên c − d(y, x) ∈ intP. Đặt c

=
c − d(y, x), ta sẽ chứng minh B(y, c

) ⊂ B(x, c). Thật vậy, với mọi z ∈ B(y, c

)
ta có d(z, y)  c

nên d(z, y)  c − d(y, x). Do đó theo Bổ đề 1.2.4.3) ta có
d(z, y) + d(y, x)  c. Theo Định nghĩa 1.3.1 ta suy ra d(z, x)  c hay z ∈ B(x, c).
Vậy B(y, c

) ⊂ B(x, c) hay B(x, c) ∈ .
3) Giả sử x, y ∈ X mà x = y. Từ 2) suy ra rằng, để chứng minh (X, ) là T
2
−
Không gian chỉ cần chứng tỏ tồn tại c
1
, c
2

2n
) ∩ B(y,
c
2n
), n = 1, 2, . . .
Do đó ta có
d(x, y) ≤ d(x, z
n
) + d(z
n
, y) 
c
n
, n = 1, 2, . . .
Vì
c
n
≤ c với mọi n = 1, 2, . . . nên d(x, y)  c. Do c là phần tử bất kì trong intP
nên theo Bổ đề 1.2.4.8) ta có d(x, y) = 0, tức là x = y. Điều này mâu thuẫn với giả
thiết x = y. Vậy (X, ) là T
2
− không gian.
4) Giả sử x ∈ X. Ta cần chứng minh tại x có một cơ sở lân cận đếm được. Lấy
c ∈ intP và đặt
U =

B(x,
c
n
) : n = 1, 2, . . .

E
(y, ε) ⊂ P. Vì B
E
(y, ε) là tập mở trong E nên y −
c
n
∈ intP. Do
đó
c
n
 y. Từ đó suy ra
B(x,
c
n
) ⊂ B(x, y) ⊂ V.
Như vậy, U là cơ sở lân cận tại x (đối với tôpô ). Hiển nhiên U đếm được. Vậy
(X, ) là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất.
Từ đây về sau, nếu không giải thích gì thêm thì tôpô trên không gian mêtric nón
được hiểu là tôpô . Như vậy, các hình cầu B(x, c) là các tập mở trong không gian
mêtric nón (X, d).
Từ Mệnh đề 1.3.4.3) ta có hệ quả sau
1.3.5 Hệ quả. Cho (X, d) là một không gian mêtric nón. Nếu dãy {x
n
} ⊂ X hội
tụ tới x và y thì x = y.
1.3.6 Định nghĩa. ([6]) Cho không gian mêtric nón (X, d). Khi đó
15
1) Dãy {x
n
} được gọi là dãy hội tụ tới x, nếu và chỉ nếu với mỗi c  0, tồn tại

Chứng minh. Giả sử x
n
→ x ∈ X. Khi đó, với mọi c ∈ intP, vì B(x, c) là lân cận
của x, theo Mệnh đề 1.3.4 nên tồn tại số tự nhiên n
c
sao cho x
n
∈ B(x, c) với mọi
n ≥ n
c
, tức là d(x, x
n
)  c với mọi n ≥ n
c
.
Ngược lại, giả sử với mỗi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên n
c
sao cho d(x, x
n
)  c
với mọi n ≥ n
c
. Giả sử U là một lân cận của x. Khi đó, tồn tại c
0
∈ intP sao cho
B(x, c
0
) ⊂ U. Từ đó suy ra tồn tại n
c
0

tồn tại N sao cho d(x
n
, x) 
c
2
với mọi n > N. Từ đó, với mọi m, n > N ta có
d(x
m
, x
n
) ≤ d(x
n
, x) + d(x, x
m
) 
c
2
+
c
2
= c.
Suy ra {x
n
} là dãy Cauchy.
1.3.10 Mệnh đề. Giả sử {x
n
} là dãy Cauchy trong không gian mêtric nón X. Khi
đó, nếu {x
n
} có dãy con {x

2
∀n
k
≥ n
0
.
Do đó ta có
d(x
n
, x) ≤ d(x
n
, x
n
k
) + d(x
n
k
, x)  c ∀n, n
k
≥ n
0
.
Từ đó suy ra x
n
→ x.
1.3.11 Định nghĩa. Không gian mêtric nón (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy
Cauchy trong X đều hội tụ.
1.3.12 Định lý. Giả sử (X,d), (Y,d) là hai không gian mêtric nón và f : X → Y .
Khi đó, f liên tục tại a ∈ X khi và chỉ khi từ {x
n

Do đó f(x
n
) → f(a).
Ngược lại, giả sử từ {x
n
} là dãy trong X, x
n
→ a kéo theo f(x
n
) → f(a). Ta
cần chứng tỏ f liên tục tại a.
Giả sử f không liên tục tại a. Khi đó, từ Mệnh đề 1.3.4 và Định nghĩa 1.1.5 suy
ra tồn tại y
0
∈ intP sao cho với mọi c ∈ intP đều có
f(B(a, c)) ⊂ B(f(a), y
0
).
17
Từ đó suy ra rằng với mỗi n = 1, 2, . . . tồn tại x
n
∈ B(a,
c
n
) sao cho f(x
n
) /∈
B(f(a), y
0
). Từ x

+
→ R
+
là hàm thỏa mãn điều kiện φ(t) < t với mỗi t > 0.
2.1.1 Định lý. ([5]) Cho (X,d) là không gian mêtric nón và P là một nón chuẩn
tắc. Giả sử f,g là các ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên từ X vào X và thỏa mãn
điều kiện sau
d(fx, fy)  φ (sup {d(gx, gy), d(gx, f y), d(gy, fx), d(gy, fy)}) (2.1)
với mọi x, y ∈ X thì f và g có điểm bất động chung duy nhất.
Chứng minh. Vì f, g là các ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nên tồn tại điểm
u ∈ X sao cho f u = gu và fgu = gfu. Ta sẽ chứng minh fu là điểm bất động
chung duy nhất của f và g tức là sẽ chỉ ra ffu = fu và gfu = fu. Thật vậy, giả sử
ffu = fu. Khi đó, từ (2.1) ta có
d(fu, ffu)  φ (sup {d(gu, gfu), d(gu, ffu), d(gfu, fu), d(gfu, ffu)})
= φ (sup {d(fu, ffu), d(ff u, fu), 0}) = φ (d(fu, ffu)) < d(fu, f fu).
Đây là điều mâu thuẫn. Do đó ffu = fu. Suy ra gf u = fgu = ffu = fu, tức
gfu = fu. Vậy fu là điểm bất động chung của f và g.
19
Giả sử u, v ∈ X sao cho fu = gu = u và fv = gv = v và u = v. Theo (2.1) ta có
d(u, v) = d(fu, fv)
 φ (sup {d(gu, gv), d(gu, fv), d(gv, fu), d(gv, fv)})
= φ (sup {d(u, v), d(v, u), 0}) = φ (d(u, v)) < d(u, v).
Đây là điều mâu thuẫn. Do đó u = v. Vì thế, điểm bất động chung của f, g là duy
nhất.
2.1.2 Ví dụ. ([5]) Cho E = R
2
, P = {(x, y) ∈ E : x, y  0}
và d: R × R → E cho bởi
d(x, y) = (|x − y| , α |x − y|), ∀x, y ∈ R,
trong đó α là các hằng số dương cho trước.

thích yếu ngẫu nhiên. Khi đó, nếu
d(fx, gy) < sup{d(Sx, T y), d(Sx, fx), d(T y, gy),
d(Sx, gy), d(T y, fx)},
(2.4)
với mỗi x, y ∈ X, mà fx = gy thì f, g, S và T có điểm bất động chung duy nhất.
Chứng minh. Từ giả thiết mỗi cặp ánh xạ {f, S} và {g, T } là tương thích yếu ngẫu
nhiên nên tồn tại các điểm x, y ∈ X sao cho fx = Sx và gy = T y. Ta cần chỉ ra
fx = gy. Giả sử fx = gy. Khi đó, theo (2.4) ta có
d(fx, gy) < sup{d(Sx, T y), d(Sx, fx), d(T y, gy), d(Sx, gy), d(T y, fx)}
= sup{d(fx, gy), 0, d(gy, fx)} = d(fx, gy)
Đây là điều mâu thuẫn. Do đó fx = gy hay fx = Sx = gy = T y.
Ta sẽ chứng minh w := fx = Sx là giá trị chung duy nhất của f và S. Giả sử tồn
tại điểm z ∈ X, z = x sao cho fz = Sz. Ta cần chỉ ra fz = gy. Giả sử fz = gy. Áp
dụng (2.4) cho fz = gy dẫn đến mâu thuẫn d(fz, gy) < d(fz, gy). Do đó fz = gy,
suy ra fz = Sz = gy = Ty. Từ đó fx = fz. Do đó, w = fx = Sx là giá trị chung
duy nhất của f và S. Theo Mệnh đề 1.1.16, ta có w là điểm bất động chung duy
nhất của f và S hay w = fw = Sw.
Tương tự, ta chứng minh được g và T có duy nhất điểm bất động chung là v,
tức v = gv = T v.
21
Bây giờ ta sẽ chứng minh v = w. Giả sử w = v. Khi đó, áp dụng (2.4) ta có
d(w, v) = d(fw, gv) < sup {d(w, v), 0, d(v, w)} = d(w, v).
Điều này mâu thuẫn. Do đó w = v hay w là điểm bất động chung duy nhất của
f, g, S và T.
Cho φ: R
+
→ R
+
là hàm liên tục, không giảm, φ(2t) < 2φ(t) với mọi t ∈ R
+

22
2.1.6 Nhận xét. Trong các Định lý 2.1.1, 2.1.3, 2.1.4 và 2.1.5 thừa giả thiết "P là
nón chuẩn tắc". Trong Định lý 2.1.3, thừa giả thiết f(X) ⊂ g(X).
2.1.7 Định lý. ([4]) Cho (X, d) là không gian mêtric nón, P là nón chuẩn tắc với
hằng số chuẩn tắc k. Giả sử các ánh xạ S, T, f : X → X thỏa mãn
d(Sx, T y)  αd(fx, T y) + βd(fy, Sx) + γd(fx, fy), (2.6)
với mọi x, y ∈ X, ở đó α, β, γ là các số thực không âm với α + β + γ < 1. Khi đó,
nếu S(X) ∪ T(X) ⊆ f(X) và f (X) là một không gian con đầy đủ của X thì S, T
và f có điểm chung duy nhất. Hơn nữa, nếu (S, f) và (T, f) là tương thích yếu thì
S, T và f có điểm bất động chung duy nhất.
Chứng minh. Cho x
0
∈ X. Do S(X) ⊆ f(X) nên ta có thể chọn điểm x
1
∈ X
sao cho fx
1
= Sx
0
. Tương tự, do T (X) ⊆ f(X) nên chọn được x
2
∈ X sao cho
fx
2
= T x
1
. Tiếp tục quá trình này ta xây dựng được dãy {x
k
} trong X sao cho
fx

2k+1
) + βd(fx
2k+1
, Sx
2k
) + γd(fx
2k
, fx
2k+1
)
 αd(fx
2k
, fx
2k+2
) + γd(fx
2k
, fx
2k+1
)
 [α + γ] d(fx
2k
, fx
2k+1
) + αd(fx
2k+1
, fx
2k+2
).
Do đó
d(fx