BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
VÕ THỊ ÁNH TUYẾT KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN
VÀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM GIẢ BẤT ĐỘNG
CỦA ÁNH XẠ CYCLIC

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. ĐINH HUY HOÀNG
NGHỆ AN - 2014

mêtric nhận giá trị trong tập các số thực không âm bởi nhận giá trị trong
một nón định hướng trong không gian Banach và đưa ra khái niệm không
gian mêtric nón. Sau đó, nhiều nhà Toán học đã nghiên cứu và đạt nhiều
kết quả về sự tồn tại điểm bất động trong không gian mêtric nón.
Trong [1], Lê Thị Dung đã định nghĩa không gian giả mêtric nón và
nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động trong không gian này. Một vấn đề
được đặt ra một cách tự nhiên là các kết quả về sự tồn tại điểm bất động
của các ánh xạ cyclic trong không gian mêtric có còn đúng cho trường hợp
không gian giả mêtric nón nữa hay không?
Để tập dượt nghiên cứu khoa học, để tìm hiểu về lý thuyết điểm bất
động chúng tôi tiếp cận vấn đề này để nghiên cứu các ánh xạ cyclic và
các điều kiện để ánh xạ cyclic tồn tại điểm bất động trong không gian giả
2
mêtric nón, tìm cách mở rộng một số kết quả về điểm giả bất động của các
ánh xạ cyclic trong không gian mêtric cho không gian giả mêtric nón.
Với mục đích đó luận văn được trình bày thành hai chương.
Chương 1. Không gian giả mêtric nón
Trong chương này, đầu tiên chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản
của tôpô đại cương, giải tích hàm có liên quan đến nội dung của luận văn.
Trình bày khái niệm, ví dụ và các tính chất cơ bản của nón trong không
gian Banach.
Sau đó, chúng tôi trình bày khái niệm, ví dụ về không gian giả mêtric
nón và chứng minh tính chất tôpô của không gian giả mêtric nón mà chúng
ta cần dùng trong chương 2.
Chương 2. Sự tồn tại điểm giả bất động của ánh xạ cyclic
trong không gian giả mêtric nón
Đây là nội dung chính của luận văn. Trong chương này đầu tiên chúng
tôi đưa ra một số kết quả về sự tồn tại điểm giả bất động của các ánh
xạ cyclic co và co suy rộng kiểu Banach trong không gian giả mêtric nón,
đó là các Định lí 2.1.4, Hệ quả 2.1.5 và Hệ quả 2.1.6. Sau đó, chúng tôi

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị
Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng trong
luận văn.
1.1.1 Định nghĩa. ([4]) Cho tập hợp X. Họ T các tập con của X được
gọi là tôpô trên X nếu thoả mãn các điều kiện
(T
1
) ∅ và X ∈ T ;
(T
2
) Nếu G
i
∈ T , i ∈ I thì

i∈I
G
i
∈ T ;
(T
3)
Nếu G
1
, G
2
∈ T thì G
1

G
2
∈ T .

lực lượng đếm được.
Không gian tôpô X được gọi là T
2
- không gian hay không gian Haus-
dorff nếu hai điểm bất kỳ x, y ∈ X, x = y tồn tại các lân cận tương ứng
U
x
, U
y
của x, y sao cho U
x
∩ U
y
= ∅.
Nếu X là không gian Hausdorff thì mỗi dãy trong X mà hội tụ thì hội
tụ tới một điểm duy nhất.
1.1.5 Định nghĩa. ([4]) Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và f : X → Y .
ánh xạ f được gọi là liên tục tại điểm x ∈ X nếu với mỗi lân cận V của
f(x), tồn tại lân cận U của x sao cho f(U) ⊂ V . ánh xạ f được gọi là liên
tục trên X (nói gọn là liên tục) nếu nó liên tục tại mọi điểm của X.
1.1.6 Định lý. ([4]) Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và f : X → Y .
Khi đó các điều kiện sau đây tương đương
1. f liên tục trên X
2. Nếu E là tập mở trong Y thì f
−1
(E) mở trong X
3. Nếu E là tập đóng trong Y thì f
−1
(E) đóng trong X
6

} trong A đều có một dãy con {x
n
k
} hội
tụ đến một điểm thuộc A.
1.1.10 Định nghĩa. ([3]) ánh xạ f : (X, d) → (Y, ρ) từ không gian
mêtric (X, d) vào không gian mêtric (Y, ρ) được gọi là ánh xạ co nếu tồn
tại α ∈ [0, 1] sao cho ρ(f(x), f(y)) ≤ αd(x, y) với mọi x, y ∈ X.
1.1.11 Định lý. ([3]) Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ, f : X →
X là ánh xạ co từ X vào chính nó. Khi đó, tồn tại duy nhất điểm x
∗
∈ X
sao cho f (x
∗
) = x
∗
.
Điểm x
∗
có tính chất f(x
∗
) = x
∗
được gọi là điểm bất động của ánh xạ
f.
7
1.1.12 Định nghĩa. Giả sử X là tập khác rỗng và ánh xạ
d : X × X → R
(x, y) → d(x, y)
ánh xạ d được gọi là giả khoảng cách hay là giả mêtric trên X nếu d thỏa

là các phép đồng phôi E lên E.
1.1.17 Định nghĩa. ([4]) Cho tập hợp X và ≤ là quan hệ hai ngôi trên
X. Quan hệ ≤ được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận trên X nếu thoả mãn
các điều kiện sau:
(i) x ≤ x với mọi x ∈ X;
(ii) Từ x ≤ y và y ≤ x suy ra x = y với mọi x, y ∈ X;
(iii) x ≤ y; y ≤ z suy ra x ≤ z với mọi x, y, z ∈ X.
Tập hợp X cùng với một thứ tự bộ phận trên nó được gọi là tập sắp thứ
tự bộ phận và kí hiệu (X, ≤) hoặc X.
1.1.18 Định nghĩa. ([4]) Giả sử ≤ là một quan hệ hai ngôi trên X và
A ⊂ X.
1) Phần tử x ∈ X được gọi là cận trên (tương ứng cận dưới) của A nếu
a ≤ x (tương ứng x ≤ a) với mọi phần tử a ∈ A.
2) Phần tử x ∈ X được gọi là cận trên đúng (tương ứng cận dưới đúng)
của A nếu x cũng là một cận trên (tương ứng cận dưới) của A và nếu y
cũng là một cận trên (tương ứng cận dưới) của A thì x ≤ y (tương ứng
y ≤ x). Khi đó, ta kí hiệu x = sup A ( tương ứng x = inf A ).
9
1.2 Nón trong không gian Banach
Mục này trình bày một số vấn đề cơ bản về nón trong không gian Banach.
1.2.1 Định nghĩa. ([6]) Cho E là không gian Banach trên trường số thực
R. Một tập con P của E được gọi là nón trong E nếu:
(i) P là đóng, P = ∅, P = {0};
(ii) Với a, b ∈ R, a, b ≥ 0 và x, y ∈ P thì ax + by ∈ P ;
(iii) Nếu x ∈ P và −x ∈ P thì x = 0.
1.2.2 Ví dụ. 1) Trong không gian Banach các số thực R với chuẩn thông
thường, tập P = {x ∈ R : x ≥ 0} là một nón.
2) Giả sử E = R
2
, P = {(x, y) ∈ E : x, y ≥ 0} ⊂ R

Khi đó, P thoả mãn ba điều kiện
(i) P là tập đóng, P = ∅, P = {0};
10
(ii) Với mọi a, b ∈ R, a, b ≥ 0 và mọi f, g ∈ P ta có
0 ≤ af(x) + bg(x) ∀x ∈ [a, b].
Do đó af + bg ∈ P ;
(iii) Với f ∈ P và −f ∈ P ta có f = 0.
Vậy P là một nón trên E.
Cho P là một nón trong không gian Banach E. Trên E, ta định nghĩa
quan hệ thứ tự

≤

xác định bởi P như sau x ≤ y nếu và chỉ nếu y−x ∈ P .
Ta viết x < y nếu x ≤ y và x = y và viết x  y nếu y − x ∈ intP , trong
đó intP là phần trong của P .
1.2.3 Định nghĩa. ([6]) Cho P là một nón trong không gian Banach E.
1) Nón P được gọi là nón chuẩn tắc nếu tồn tại số thực K > 0 sao cho với
mọi x, y ∈ E và 0 ≤ x ≤ y ta có x ≤ Ky. Số thực K nhỏ nhất thoả
mãn điều kiện này được gọi là hằng số chuẩn tắc của P .
2) Nón P được gọi là nón chính quy nếu mọi dãy tăng và bị chặn trên trong
E đều hội tụ. Nghĩa là, nếu {x
n
} là dãy trong E sao cho
x
1
≤ x
2
≤ ≤ x
n

{f
n
} trong E cho bởi f
n
(x) = x
n
với mọi x ∈ [0, 1]. Rõ ràng dãy {f
n
} giảm
và bị chặn dưới nhưng {f
n
} không hội tụ trong E.
Vậy P không phải là nón chính quy.
1.2.6 Bổ đề. ([6]) Giả sử P là một nón trong không gian Banach E;
a, b, c ∈ E; {x
n
}, {y
n
} là các dãy trong E và α là số thực dương. Khi đó,
(i) Nếu a  b và b  c thì a  c;
(ii) Nếu a ≤ b và b  c thì a  c;
(iii) Nếu a  b và c  d thì a + c  b + d;
(iv) αintP ⊂ intP ;
(v) Với mỗi δ > 0 và x ∈ intP tồn tại 0 < γ < 1 sao cho γx < δ;
(vi) Với mỗi c
1
∈ intP và c
2
∈ P tồn tại d ∈ intP sao cho c
1

và b  c thì b − a ∈ intP và c − b ∈ intP . Suy ra c − a = c − b + b − a ∈
intP + intP ⊂ intP . Vậy a  c.
(iv) Vì phép nhân vô hướng liên tục nên αintP ⊂ intP .
(ii) Để ý rằng intP + P =

x∈P
(x + intP ) là tập mở và P là nón nên
suy ra x + intP ⊂ P . Do đó P + intP ⊂ intP . Nếu a ≤ b và b  c thì
12
b −a ∈ P và c − b ∈ intP . Suy ra c −a = c − b + b − a ∈ intP + P ⊂ intP
hay c − a ∈ intP . Vậy a  c.
(iii) Ta có a  b và c  d nên b − a ∈ intP và d − c ∈ intP suy ra
b − a + d − c ∈ intP hay (b + d) − (a + c) ∈ intP . Do đó a + c  b + d.
(v) Với mỗi δ > 0 và x ∈ intP chọn số tự nhiên n > 1 sao cho
δ
nx
< 1.
Khi đó, với γ =
δ
nx
thoả mãn: 0 < γ < 1 và
γx ≤ γx ≤
δ
nx
x ≤
δ
n
< δ.
(vi) Chọn δ > 0 sao cho c
1


}. Do tính hút của B(0, δ

) tồn
tại m > 0 sao cho c
1
∈ mB(0, δ

), c
2
∈ mB(0, δ

) suy ra suy ra −c
1
∈
mB(0, δ

), −c
2
∈ mB(0, δ

) và mc
1
− c
1
∈ intP, mc
2
− c
2
∈ intP . Đặt


x
n
− a

⊂ P và P đóng trong E nên
−a ∈ P . Như vậy, a và −a ∈ P . Vì P là nón nên a = 0.
(ix) Vì a ≤ λa nên λa − a ∈ P hay (λ − 1)a ∈ P . Do 0 < λ < 1 nên
1 − λ > 0. Từ đó suy ra −a =
1
1−λ
a ∈ P hay −a ∈ P . Như vậy, a và
−a ∈ P . Vì P là nón nên a = 0.
(x) Ta có x
n
≤ y
n
suy ra y
n
−x
n
∈ P . Do P đóng nên lim
n→∞
(y
n
− x
n
) ∈ P .
Mặt khác, lim
n→∞

.
Chứng minh. Giả sử {x
n
} là dãy trong P và x
n
→ 0. Với mọi c ∈ intP , vì
intP là tập mở nên tồn tại δ > 0 sao cho c + B
E
(0, δ) ⊂ intP, trong đó
B
E
(0, δ) là hình cầu mở tâm 0, bán kính δ trong E. Do đó, nếu x ∈ E mà
x < δ thì c − x ∈ intP . Với δ > 0 xác định như trên tồn tại n
0
∈ N sao
cho
x
n
 < δ ∀n > n
0
.
Suy ra c − x
n
∈ intP với mọi n > n
0
. Do đó x
n
 c với mọi n ≥ n
0
.

mêtric nón.
14
Chứng minh. Đặt P = [0, ∞). Khi đó P là nón trong không gian Banach
các số thực R. Hơn nữa thứ tự bộ phận ≤ trên R được xác định bởi P
chính là thứ tự nhỏ hơn hoặc bằng thông thường trên R.
Rõ ràng 0 ≤ d(f, g), d(f, g) = 0 nếu f = g và d(f, g) = d(g, f) với mọi
f, g ∈ L
[a,b]
. Giả sử f, g, h ∈ L
[a,b]
. Ta có
d(f, g) =

b
a
|f(x) − g(x)|dx =

b
a
|f(x) − h(x) + h(x) − g(x)|dx
≤

b
a
|f(x) − h(x)|dx +

b
a
|h(x) − g(x)|dx = d(f, h) + d(g, h).
Vậy d là giả mêtric nón trên L

nữa quan hệ ≤ trên C
[a,b]
được xác định bởi P trùng với quan hệ ≤ thông
thường trên [a, b]. Ta kí hiệu X = {f ∈ C
[a,b]
: f có đạo hàm liên tục trên
[a, b]} và xác định hàm d : X ×X → P bởi công thức d(f, g) = |f

−g

| với
mọi f, g ∈ X, tức là d(f, g)(x) = |f

(x) − g

(x)| ∀f, g ∈ X, ∀x ∈ [a, b].
15
Khi đó, d thỏa mãn các điều kiện của Định nghĩa 1.3.1, tức là giả mêtric
nón trên X.
Ta thấy rằng d không là mêtric nón. Thật vậy, nếu ta xét các hàm
f, g ∈ X với f(x) = x, g(x) = x + 1 với mọi x ∈ [a, b] thì f = g nhưng
d(f, g) = 0.
Từ đây về sau, ta giả thiết (X, d) là không gian giả mêtric nón với d
nhận giá trị trong nón P.
1.3.5 Định nghĩa. ([1]) Giả sử (X, d) là không gian giả mêtric nón, với
bất kì a ∈ X và c ∈ intP . Đặt
B(a, c) = {x ∈ X : d(a, x)  c}
Tập B(a, c) được gọi là hình cầu mở tâm tại a, bán kính c.
1.3.6 Mệnh đề. ([1]) Đặt
T = {G ⊂ X : ∀x ∈ G, ∃c ∈ intP, B(x, c) ⊂ G}

1
và c
2
∈ intP sao cho B(x, c
1
) ⊂ A và
B(x, c
2
) ⊂ B . Theo Bổ dề 1.2.6.vii) tồn tại c ∈ intP sao cho c  c
1
và c  c
2
. Từ đó suy ra B(x, c) ⊂ B(x, c
1
) ∩ B(x, c
2
) ⊂ A ∩ B. Do đó,
A ∩ B ∈ T . Vậy T là một tôpô trên X.
b) Giả sử x ∈ B(a, c). Khi đó 0 ≤ d(x, a)  c. Đặt c

= c − d(x, a). Vì
d(x, a)  c nên ta có c

∈ intp. Với mọi y ∈ B(x, c

) ta có d(y, x)  c

.
Do đó, từ điều kiện c) của Định nghĩa 1.3.1, suy ra
d(y, a) ≤ d(y, x) + d(x, a)  c

Chứng minh. Giả sử x
n
→ a. Khi đó, với mỗi c ∈ intP , vì B(a, c) ∈ T
nên tồn tại số tự nhiên n
c
sao cho x
n
∈ B(a, c) với mọi n > n
c
. Do đó,
d(a, x
n
)  c với mọi n > n
c
. Ngược lại, giả sử với mỗi c ∈ intP tồn tại số
tự nhiên n
c
sao cho d(a, x
n
)  c với mọi n > n
c
. Với mỗi lân cận U của a
17
tồn tại c ∈ intP sao cho B(a, c) ⊂ U. Từ đó suy ra tồn tại số tự nhiên n
c
sao cho x
n
∈ B(a, c) ⊂ U với mọi n ≥ n
c
. Do đó, x

∈ F
a
, x ∈ X\F
a
ta có d(x, b) = d(x, b

).
b) F
a
là tập đóng.
c) Với mọi a, b ∈ X ta có d(x, y) = d(a, b) với mọi x ∈ F
a
, với mọi y ∈ F
b
.
Chứng minh. a) Với mọi b và b

∈ F
a
ta có
0 ≤ d(b, b

) ≤ d(b, a) + d(a, b

) = 0.
Do đó d(b, b

) = 0. Với mọi x ∈ X\F
a
ta có

n
→ x nên với mọi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên n
c
sao cho d(x
n
, x)  c
với mọi n ≥ n
c
. Vì x
n
∈ F
a
với mọi n nên d(x
n
, a) = 0 với mọi n = 1, 2,
Do đó
d(x, a

) ≤ d(x, x
n
) + d(x
n
, a) = d(x, x
n
)  c, ∀n ≥ n
c
.
Từ đó suy ra d(x, a)  c với mọi c ∈ intP . Do đó, theo bổ đề 1.2.6 thì
d(x, a) = 0, tức x ∈ F
a

Trong chương này ta luôn giả thiết (X, d) là không gian giả mêtric nón
(nói gọn là X) với giả thiết mêtric nón d nhận giá trị trong nón P của
không gian Banach thực E với intP = ∅ và ≤ cùng  là hai quan hệ trên
E được xác định bởi P .
2.1 Sự tồn tại điểm giả bất động của các ánh xạ
cyclic co kiểu Banach trong không gian giả mêtric
nón
Mục này chứng minh một số định lý về sự tồn tại điểm giả bất động của
các ánh xạ thoả mãn điều kiện co cyclic.
2.1.1 Định nghĩa. Giả sử X là không gian giả mêtric nón và f : X → X.
1) ánh xạ f được gọi là co kiểu Banach (nói gọn là co) với hằng số co α
nếu tồn tại α ∈ [0, 1) sao cho
d(fx, fy) ≤ αd(x, y), ∀x, y ∈ X,
ở đây, ta viết fx thay cho f(x) với mọi x ∈ X.
2) ánh xạ f được gọi là co suy rộng nếu tồn tại hàm g : P → [0, 1] sao cho
d(fx, fy) ≤ g(d(x, y))d(x, y), ∀x, y ∈ X.
20
3) Điểm x ∈ X được gọi là điểm giả bất động của f nếu d(x, f x) = 0.
2.1.2 Nhận xét. 1) Nếu f là ánh xạ co thì f liên tục.
2) ánh xạ co là trường hợp đặc biệt của ánh xạ co suy rộng khi lấy g(t) =
α ∈ [0, 1) với mọi t ∈ P.
3) Nếu X là không gian mêtric nón thì điểm giả bất động chính là điểm
bất động. Nói cách khác, điểm bất động là trường hợp đặc biệt của điểm
giả bất động.
2.1.3 Định nghĩa. ([8]) Cho A
1
, A
2
, , A
p

i
.
2.1.4 Định lý. Giả sử X là không gian giả mêtric nón đầy đủ,A
1
, A
2
, , A
p
là các tập con đóng khác rỗng trong X, A
p+1
= A
1
và f :

p
i=1
A
i
→

p
i=1
A
i
là ánh xạ cyclic sao cho tồn tại hàm g : P → [0, 1) thỏa mãn
d(fx, fy) ≤ g(d(x, y))d(x, y) (2.1)
với mọi x ∈ A
i
, y ∈ A
i+1

)
≤ g(d(x
n−1
, x
n
))d(x
n−1
, x
n
) ≤ d(x
n−1
, x
n
)
21
Vì g không giảm nên với mỗi n = 1, 2 ta có
gd(x
n
, x
n+1
) ≤ gd(x
n−1
, x
n
).
Do đó, với mỗi n = 1, 2 ta có
d(x
n
, x
n+1

, x
n−1
))
≤ ≤ [g(d(x
0
, x
1
))]
n
d(x
0
, x
1
).
Từ đó và sử dụng nhiều lần bất đẳng thức tam giác suy ra rằng với mỗi
n = 1, 2 và với mọi p = 0, 1 ta có
d(x
n
, x
n+p
) ≤ d(x
n
, x
n+1
) + d(x
n+1
, x
n+2
) + + d(x
n+p−1

))]
n
1 − [g(d(x
0
, x
1
))]
p
1 − g(d(x
0
, x
1
))
d(x
0
, x
1
)
≤
[g(d(x
0
, x
1
))]
n
1 − [g(d(x
0
, x
1
))]

ta có
[g(d(x
0
, x
1
))]
n
1 − [g(d(x
0
, x
1
))]
d(x
0
, x
1
)  c.
Kết hợp với bất dẳng thức trên suy ra
d(x
n
, x
n+p
)  c ∀n ≥ n
c
, ∀p = 0, 1
Từ đó suy ra {x
n
} là dãy Cauchy.Vì X là không gian đầy đủ nên tồn
tại x ∈ X sao cho x
n

→ x nên với mọi t ∈ intP tồn tại n
t
∈ N sao cho
d(x
n
, x)  t, ∀n ≥ n
t
. (2.2)
Vì x ∈

p
i=1
A
i
nên sử dụng điều kiện (2.1), kết hợp với g(t) ∈ [0, 1) với
mọi t ∈ P và (2.2) ta có
d(x, f x) ≤ d(x, x
n+1
) + d(x
n+1
, f x)
= d(x, x
n+1
) + d(fx
n
, f x)
≤ d(x, x
n+1
) + g(d(x, x
n

i=1
A
i
→

p
i=1
A
i
là các ánh
xạ cyclic. Khi đó, nếu tồn tại α ∈ [0, 1) sao cho
d(fx, fy) ≤ αd(x, y) (2.3)
với mọi x ∈ A
i
, y ∈ A
i+1
, ∀i = 1, 2, , p trong đó A
i+1
= A
1
thì f có
điểm giả bất động. Hơn nữa, nếu x và y là hai điểm giả bất động của f thì
d(x, y) = 0.
Chứng minh. Ta xác định hàm g : P → [0, 1) bởi
g(t) = α, ∀t ∈ P
23
Khi đó, từ (2.3) suy ra điều kiện (2.1) được thỏa mãn. Do đó, các điều kiện
của Định lí 2.1.4 đều được thỏa mãn. Như vậy đ.p.c.m được suy ra từ Định
lí 2.1.4
2.1.6 Hệ quả. Giả sử X là không gian mêtric nón đầy đủ. Khi đó, nếu

A
i
, là ánh xạ cyclic
tức là
T (A
i
) ⊂ A
i+1
i = 1, 2, p, (2.4)
trong đó A
p+1
= A
1
.
Khi đó, nếu tồn tại a ∈ [0,
1
2
) sao cho
d(T x, T y) ≤ a[d(x, T x) + d(y, T y)], (2.5)
với mọi x ∈ A
i
, y ∈ A
i+1
, 1 ≤ i ≤ p.
thì
24