1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
…………………………………. NGUYỄN TIẾN TUẦN SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG
KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN CÓ
THỨ TỰ BỘ PHẬN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2014
2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
…………………………………. NGUYỄN TIẾN TUẦN


( 3 )


đã mở rộng khái niệm không gian mêtric bằng cách thay
tập số thực trong định nghĩa mêtric bởi không gian Banach có thứ tự và đã đưa ra
khái niệm không gian mêtric nón.
Cũng tương tự như đối với không gian mêtric nón, có thể đưa ra khái niệm
không gian giả mêtric nón bằng cách thay giả thiết hàm giả mêtric nhận giá trị
trong tập các số thực không âm bởi nhận giá trị trong nón định hướng trong không
gian Banach. Với cách làm này, trong
1


,Lê Thị Dung đã giới thiệu khái niệm
không gian giả mêtric nón và chứng minh một số định lý về sự tồn tại điểm bất
động của các ánh xạ co trong không gian giả mêtric nón.
4

Trong lý thuyết điểm bất động, vấn đề tìm điều kiện đủ để cho các ánh xạ xác
định trên các không gian có trang bị thứ tự, có điểm bất động cũng được nhiều nhà
Toán học quan tâm nghiên cứu Xem [4]; [5] .
Để tập dượt nghiên cứu khoa học, chúng tôi tiếp cận hướng nghiên cứu này
nhằm tìm hiểu các tính chất của không gian giả mêtric nón, tìm các điều kiện để
cho các ánh xạ co suy rộng có điểm bất động trên các không gian giả mêtric nón có
thứ tự bộ phận. Vì thế, chúng tôi chọn đề tài luận văn là: “Về sự tồn tại điểm bất
động trong không gian giả mêtric nón có thứ tự bộ phận”.
Với mục đích đó, luận văn chia làm hai chương.
Chương I. Không gian giả mêtric nón
Chương này trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của không gian giả
mêtric nón.
6

CHƯƠNG 1
KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN
1.1. Một số kiến thức chuẩn bị
Mục này dành cho việc trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng
trong luận văn. Các kết quả này được lấy từ
2


và
3


.
1.1.1. Định nghĩa. Cho tập hợp . Họ  các tập con của  được gọi là tôpô trên
 nếu thỏa mãn điều kiện
(T
1
) ,  ;
(T
2
) Nếu 
i
 ,   







được gọi là cơ sở lân cận của  nếu với mọi    tồn tại   
sao cho   .
1.1.3. Định nghĩa. Dãy{
n
}trong không gian tôpô  được gọi là hội tụ tới  
nếu với mỗi lân cận  của  tồn tại 
0
 cho

n
 với mọi   
0
.
7

Khi đó, ta viết
n
xx
hoặc
lim
n
x
xx


.
1.1.4. Định nghĩa. Không gian tôpô  được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ


được gọi là liên tục tại
xX
nếu với mỗi lân cận
V
của
()fx
, tồn tại lân cận
U

của  sao cho
()f U V
. Ánh xạ
f
được gọi là liên tục trên  nói gọn là liên tục
nếu nó liên tục tại mọi điểm của .
1.1.6. Định lý. Giả sử  và  là các không gian tôpô
f
:   . Khi đó các điều
kiện sau đây tương đương
i)
f
liên tục trên ;
ii) Nếu  là tập mở trong  thì
1
f

() mở trong ;
iii) Nếu  là tập đóng trong  thì
1

 



với mọi  
X
.
8

Tập  cùng với một mêtric trên nó được gọi là không gian metric và ký hiệu là
( , )X d
hoặc .
1.1.8. Định nghĩa. Giả sử  là các tập khác rỗng và ánh xạ
:d X X R

  
được gọi là giả khoảng cách hay giả mêtric trên
X
nếu
d
thỏa mãn 3 tiên đề sau
đây với bất kỳ  thuộc vào
X

i) 0 



   nếu   ;
ii) 




 khi và chỉ khi   ;
ii) 

 

 



    ;
iii) 

 

 



 



  
được gọi là một chuẩn trên không gian vectơ . Số 




1.1.13. Định lý. Giả sử  là không gian định chuẩn. Khi đó, với mỗi   và mỗi
 ,  các ánh xạ
  ,
  
xE

là các phép đồng phôi  lên .
1.2. Nón trong không gian Banach
Mục này trình bày một số vấn đề cơ bản về nón trong không gian Banach
1.2.1. Định nghĩa ([4]). Cho  là không gian Banach trên trường số thực . Tập
con  của  được gọi là một nón nếu thỏa mãn các điều kiện sau
i)  là tập đóng ,   và 




ii) Với mọi    mọi   ta có    
iii) Nếu    và   thì  .
10

1.2.2. Ví dụ ([4]). 1. Trong không gian các số thực với chuẩn thông thường, tập
=

     

là một nón.
2. Giả sử  = 
2
, ={(     
2

[a,b]

  







 




Đặt
    
[a,b]
: 0  }
Khi đóthỏa mãn ba điều kiện
i)  là tập đóng,    



;
ii)Với mọi  , 0 và với mọi  ta có 



 

2


…  
n
 …  với   
thì tồn tại     
n
-

    khi 



.
Định lý sau nói về mối quan hệ giữa nón chính quy và nón chuẩn tắc.
1.2.4. Định lý ([4]). Mọi nón chính quy trong không gian Banach là nón chuẩn tắc.
1.2.5. Nhận xét ([4]). Điều ngược lại của Định lý 1.2.4 là không đúng, tức là có
những nón chuẩn tắc nhưng không chính quy . Thậy vậy, xét không gian Banach
E = 

[0,1] với chuẩn sup :
0.1

sup
x
f




Chứng tỏ  là nón chuẩn tắc
Bây giờ, ta chứng minh  không phải là nón chính quy. Thật vậy, lấy dãy{
n
}
trong  cho bởi
()
n
n
f x x
với  



. Rõ ràng dãy {
n
} giảm và bị chặn dưới
nhưng {
n
} không hội tụ trong . Vây  không phải là nón chính quy .
12

1.2.6. Bổ đề ([4]). Giả sử  là nón trong không gian Banach ,    và  là
số thực dương . Khi đó,
i) Nếu
ab
và
bc
thì
ac
;

  tồn tại e   sao cho e  
1
và e  
2
;
viii) Nếu    và a với mọi   thì   
ix) Nếu
aa


với
aP
,
01


thì   ;
x) Nếu 0 
n
y
n
với mỗi n  và
lim ,lim
nn
nn
x x y y
 

thì
0 xy

  

   
 


 
vi) Chọn  sao cho
1
+  (0, )   trong đó
   
0, : x E x

  
.
Do tính hút của (0,tồn tại    sao cho c
2


 suy ra

2
  và 
1
– 
2
 . Đặt  = 
1
– 
2

– 
1
+ 
2
– 
2
. Khi đó,
e
thỏa
mãn vii).
viii) Giả sử   . Từ giả thiết suy ra  


với mọi  



 với mọi    





 


 Do đó


   .

n
) =  – 
14

Từ đó suy ra  –    do đó   Hoàn toàn tương tự như trên ta chứng minh
được   
n
suy ra 0 . Vậy 0    .
1.2.7. Bổ đề. Giả sử  là nón trong không gian Banach E và {x
n
} là dãy trong .
Khi đó,nếu
x
n
 thì với mỗi c  int tồn tại n
0
  sao cho x
n
 c với mọi nn
0
.Hơn nữa
nếu  chuẩn tắc thì khẳng định ngược lại cũng đúng .
Chứng minh. Giả sử {x
n
} là dãy trong  và x
n
0. Với mọi c vì
 là tập mở nên tồn tại   sao cho B
E
(0,)  Do đó,

0
nn

Vì  là chuẩn tắc với hằng số K nên x
n
      <  với mọi
0
nn
. Do đó
x
n
  0.
Vậy x
n
 
.
1.3 Không gian giả mêtric nón
Từ đây về sau ta quy ước  là một nón không gian Banach thực
E
sao cho
 ; ; ;<< là các thứ tự bộ phận trên
E
được xác định bởi .
1.3.1 Định nghĩa. Giả sử là tập khác rỗng và
15

    
  
Ánh xạ d được gọi là giả khoảng cách nón hay là giả mêtric nón trên  nếu thỏa
mãn các điều kiện sau






( ) ( )f x g x
 


L
[a,b]
.
Khi đó,  là giả mêtric nón trên L
[a,b]
và do đó L
[a,b]
là không gian giả mêtric nón.
Chứng minh. Đặt  = [0,). Khi đó,  là nón trong không gian Banach các
số thực . Hơn nữa thứ tự bộ phận  trên được xác định bởi  chính là thứ tự
nhỏ hơn hoặc bằng thông thường trên .
Rõ ràng 



 



  nếu    và 







 



 



 







16

 





 


Chú ý. 1) Nếu  là giả mêtric trên  và thỏa mãn theo điều kiện 



 
kéo theo    thì  là mêtric nón trên . Như vậy, không gian mêtric nón là
trường hợp đặc biệt của không gian giả mêtric nón.
2)Trong ví dụ trên  không phải là mêtric nón trên 

.Thật vậy lấy và  với








  
 
1
0
neáu a x b
neáu x b






.
3) Trong  xét nón  như trong Ví dụ 1) thì ta thấy rằng mọi không gian giả
mêtric là giả mêtric nón.
Ví dụ 2). Ta đã biết  

 



  

là nón trong không gian Banach




các hàm liên tục trên



, nhận giá trị trong . Hơn nữa quan hệ ≤ trên




được xác định bởi  trùng với quan hệ ≤ thông thường trên



. Ta kí hiệu








 




  



. Khi đó, 
thỏa mãn các điều kiện của Định nghĩa 1.3.1, tức  là giả mêtric nón trên .
Ta thấy rằng  không là mêtric nón. Thật vậy, nếu ta xét các hàm    với




 



   



ii) Với mọi    và mọi   , hình cầu mở 



là lân cận của mỗi
điểm thuộc ;
iii)  không là 

 không gian.
Chứng minh.
i)   và    vì với mỗi    và    ta có 



 .
Giả sử



  

là các họ phần tử thuộc . Khi đó 

 , với mọi   . Ta
cần chứng minh




  

  


Do đó




  

  .
Giả sử    . Lấy bất kỳ   . Khi đó,     . Do  
   nên tồn tại 

và 

  sao cho 

  và 

 . Theo Bổ
18

đề 1.2.6.vii) tồn tại   sao cho  

và  

. Từ đó suy ra  



 



 

 



  



 



 .
Từ đó  



và do đó 




 


1.3.5 Hệ quả. Mọi hình cầu mở trong X là tập mở trong X.
Chứng minh. Từ chứng minh Mệnh đề 1.3.4.ii) suy ra 



là tập mở. 
1.3.6 Định lý. Giả sử (X,d) là không gian giả mêtric nón,




  . Khi đó,
i)




hội tụ tới a khi và chỉ khi với mỗi    tồn tại số tự nhiên 

sao
cho 





  với mọi   

.
ii) Nếu P là nón chuẩn tắc thì 


  với mọi
  

.
19

Ngược lại, giả sử với mỗi    tồn tại số tự nhiên 

sao cho 





 với mọi  

. Với mỗi lân cận  của  tồn tại    sao cho 



 .
Từ đó suy ra tồn tại số tự nhiên 

sao cho 

 







  



 

.
Chứng minh. i) Với mọi  ta có  








 

. (1) Vì


  và 

  nên từ Định lý 1.3.6.i) suy ra mỗi   tồn tại số tự nhiên


sao cho 

  với
mọi   

. Với mọi  

ta có 



 . Do đó
 











 



   

.
Từ đó suy ra: 





   . Suy ra  là cơ sở lân cận tại
điểm .
Hiển nhiên  là tập đếm được. Do đó  là không gian thỏa mãn tiên đề đếm
được thứ nhất. 
1.3.9 Mệnh đề. Giả sử  là không gian giả mêtric nón và   . Đặt 



 



 

.
Khi đó, các khẳng định sau đây là đúng.
i) Với mọi b và 

 

  

ta có 







 




 
Do đó 




 . Với mọi  

ta có

       
, , , ,





d x b d x b d b b d x b
(1)
và



để chứng minh 

đóng ta chỉ cần chứng minh  

. Vì 

  nên với mọi
  tồn tại số tự nhiên 

sao cho 

   với mọi  

. Vì 

 


với mọi nên 





  với mọi    Do đó




 






 



 



   




và








 




22

CHƯƠNG 2
SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN
GIẢ MÊTRIC NÓN CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN
Trong chương này, ta giả thiết  là không gian giả mêtric nón với giả
mêtric nón  nhận giá trị trong nón , trong đó  là nón trong không gian Banach
thực    và  là hai thứ tự bộ phận trên  được xác định bởi . Mặt
khác, ta cũng giả thiết rằng, trên  có thứ tự bộ phận và cũng được kí hiệu bởi .
2.1 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co và tựa co theo thứ tự trong
không gian giả mêtric nón có thứ tự bộ phận.
Trong mục này, chúng tôi sẽ đưa ra một vài kết quả về sự tồn tại điểm bất
động của các ánh xạ co và tựa co theo thứ tự trong không gian giả mêtric nón có
thứ tự bộ phận.
2.1.1 Định nghĩa. Giả sử   . Điểm   được gọi là điểm bất động của
nếu 



 
Ánh xạ  được gọi là co theo thứ tự nếu tồn tại 

 sao cho



.
2.1.3 Định lý. Giả sử  là không gian giả mêtric nón đầy đủ và    là
ánh xạ thỏa mãn các điều kiện
(i)  là co theo thứ tự;
(ii)  không giảm và tồn tại 

  sao cho 

 

;
(iii)  liên tục hoặc
23

(iii’) Từ




là dãy không giảm trong  và hội tụ tới   kéo theo 

 
với mọi .
Khi đó,  có điểm bất động trong .
Chứng minh.Ta xác định dãy





 













  








  
Từ đó, suy ra rằng với mọi   và mọi    Ta có






  










 

  

  










  



 
n
1









 .
Điều này chứng tỏ




là dãy Cauchy. Vì  đầy đủ nên tồn tại    sao cho


  .
Bây giờ, giả sử  liên tục. Khi đó, 

 

 . Do đó theo Mệnh đề
1.3.7 ta có 



 




 






 




 







  
Từ 

 , sử dụng Định lý 1.3.6.i) suy ra rằng với mọi   tồn tại số tự
nhiên 

(ii)  là hàm không giảm và tồn tại 

  sao cho 

 

;
(iii) 



 







   ;
(iv)  liên tục hoặc
(iv’) Nếu




là dãy không giảm trong  và 

    thì 





 







 













 






 














 


































  
Từ bất đẳng thức này và bất đẳng thức tam giác ta có







 





 














































  











  

















  
Do đó với mọi   tồn tại số tự nhiên 

sao cho với mọi   

ta có






   

  
Do đó




là dãy Cauchy. Vì  đầy đủ nên tồn tại    sao cho 

 .
Giả sử  liên tục. Khi đó 

 

 . Do đó, theo Mệnh đề 1.3.7 ta có




 . Vậy  là điểm bất động của .