Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Hà Tiến Ngoạn.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS. TS Hà Tiến
Ngoạn. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình
làm luận văn đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp
cận một vấn đề mới.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban Giám hiệu trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy
chuyên ngành Toán Giải tích, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ,
động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tác giả
học tập và hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Mạnh Linh
Lời cam đoan
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của PGS. TS Hà Tiến Ngoạn.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Mạnh Linh
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Định lý đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính . . . 8
1.2.1. Toán tử vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Công thức tích phân từng phần. . . . . . . . . . . . 9
1.2.3. Khái niệm nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng 9

tử tương ứng của các phương trình có tính chất này sẽ là các toán tử
elliptic và hypoelliptic.
Vì vậy tôi mạnh dạn chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là
“Độ trơn của nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính
với hệ số hằng”.
Tài liệu tham khảo chính của luận văn là chương 2 của cuốn sách
chuyên khảo [3].
2. Mục đích nghiên cứu
Mô tả lý thuyết độ trơn của nghiệm yếu đối với các lớp phương trình
elliptic và hypoelliptic.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Khái niệm nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng.
- Điều kiện cần để mọi nghiệm yếu là khả vi liên tục.
- Lớp toán tử elliptic và hypoelliptic.
- Các định lý về so sánh.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nội dung chủ yếu của luận văn là nghiên cứu độ trơn của nghiệm yếu,
các toán tử elliptic và hypoelliptic, định lý về độ trơn.
Luận văn gồm hai chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức
chuẩn bị như: Định lý đồ thị đóng, nghiệm yếu của phương trình đạo
hàm riêng tuyến tính, toán tử làm trơn Friedrichs, không gian Sobolev
H
s
(R
n
). Chương 2 là nội dung chính của luận văn, trong đó trình bày
sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình với hệ số hằng, điều kiện cần để
mọi nghiệm yếu là khả vi liên tục, độ trơn nghiệm yếu của phương trình
elliptic, độ trơn của nghiệm phương trình hypoelliptic.
5. Phương pháp nghiên cứu

vào không gian Hilbert Y xác định khắp nơi trên X và A là toán tử
đóng. Khi đó tồn tại hằng số C sao cho
Ax ≤ C x , ∀x ∈ X. (1.1)
Chứng minh. Giả sử D là tập hợp các phần tử y ∈ Y sao cho tồn tại
y
∗
∈ X thỏa mãn
(y, Ax) = (y
∗
, x), x ∈ X. (1.2)
5
Dễ thấy D là không gian con của Y. Ta đi chứng minh y
∗
là duy nhất.
Thật vậy, giả sử tồn tại phần tử z ∈ X thỏa mãn
(y, Ax) = (z, x), x ∈ X.
Khi đó,
((y
∗
− z) , x) = 0, x ∈ X.
Lấy x = y
∗
− z, suy ra y
∗
− z = 0, chứng tỏ z = y
∗
. Ta đi chứng minh
tồn tại hằng số C sao cho:
y
∗

(x)| ≤ Ax y
n
 = Ax ,
chứng tỏ rằng với mỗi x ta có
sup
n
|F
n
(x)| ≤ Ax < ∞.
Ta áp dụng Định lý Banach-Steinhaus (xem [3], tr.19) đối với dãy {F
n
} ,
khi đó tồn tại hằng số C sao cho |F
n
(x)| ≤ C x , x ∈ X,
6
hay
|(x, y
∗
n
)| ≤ C x , x ∈ X.
Chọn x = y
∗
n
, ta được y
∗
n

2
≤ C y

1
, y
1
} , {x
2
, y
2
}) = (x
1
, x
2
) + (y
1
, y
2
) .
Khi đó H trở thành không gian Hilbert và gọi là tích Descartes của X
và Y, ký hiệu là X × Y.
Ta thấy đồ thị G
A
của A là không gian con đóng của H. Thật vậy, giả sử
{x
n
, Ax
n
} → {x, y} thuộc H; khi đó x
n
→ x thuộc X, Ax
n
→ y thuộc

∗
) + (w, y) = 0.
Điều này chứng tỏ rằng phần tử {0, w} thuộc

G
⊥
A

⊥
. Vì không gian con
của

G
⊥
A

⊥
là G
A
(xem [3], Bổ đề 1.7), do đó tồn tại x ∈ X thỏa mãn
7
{x, Ax} = {0, w} . Nếu x = 0 thì Ax = 0 suy ra w = 0. Điều này mâu
thuẫn với điều giả sử D = Y . Vậy D = Y.
Nếu (1.1)không thỏa mãn thì tồn tại dãy {x
n
} các phần tử thuộc X sao
cho khi n → ∞ ta có
x
n
 = 1, Ax

n
, ta có Ax
n

2
≤ C Ax
n
 hay Ax
n
 ≤ C. Điều này mâu
thuẫn với (1.5). Định lý được chứng minh. 
1.2. Nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng
tuyến tính
1.2.1. Toán tử vi phân tuyến tính
Giả sử toán tử A được xác định như sau:
A =

|µ|≤m
a
µ
(x)D
µ
, x ∈ Ω ⊂ R
n
, (1.6)
8
trong đó x = (x
1
, x
2

D
µ
n
n
, D
j
= −i
∂
∂x
j
, a
µ
(x) là các hàm số trơn vô hạn nhận
giá trị phức được cho trước và được gọi là các hệ số của toán tử A.
Với mọi hàm u
1
, u
2
và mọi số thực α
1
, α
2
ta có:
A(α
1
u
1
+ α
2
u

ϕdx = −

Ω
uϕ
x
j
dx, ∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω). (1.8)
Áp dụng liên tiếp công thức (1.8) ta có công thức sau

Ω
(Au) ¯ϕdx =

Ω
u(A

ϕ)dx, ∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω), (1.9)
trong đó A

là toán tử liên hợp của toán tử A được xác định theo (1.7).
1.2.3. Khái niệm nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng
Xét phương trình
Au = f (1.10)
trong đó f ∈ L
2

0
(Ω).
Từ đó suy ra
Au(x) = f(x), ∀x ∈ Ω.
1.2.4. Điều kiện cần để tồn tại nghiệm yếu
Định lý 1.2. Điều kiện cần để phương trình (1.10) có nghiệm yếu là
∃ C > 0 sao cho
|(f, ϕ)| ≤ C A

ϕ , ∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω). (1.12)
Chứng minh. Ta có
(f, ϕ) = (Au, ϕ) = (u, A

ϕ) .
10
Theo bất đẳng thức Schwarz ta có
|(f, ϕ)| = |(u, A

ϕ)| ≤ u A

ϕ .
Chọn C = u suy ra: |(f, ϕ)| ≤ C A

ϕ. Định lý được chứng minh.
1.2.5. Điều kiện đủ để tồn tại nghiệm yếu
Định lý 1.3. Nếu bất đẳng thức (1.12) được thỏa mãn thì phương trình
(1.10) có nghiệm yếu.


(ϕ − ϕ
1
) = C w − w = 0,
suy ra (f, ϕ) = (f, ϕ
1
). Do đó F chỉ phụ thuộc w và không phụ thuộc ϕ.
F gán cho mỗi w ∈ W một số phức được cho bởi phương trình (1.14),
suy ra F là phiếm hàm trên W. Dễ thấy F tuyến tính. Hơn nữa, theo
bất đẳng thức (1.12) thì
|F w| = |(ϕ, f)| ≤ C A

ϕ = C w ,
11
suy ra F bị chặn. Theo Định lý Hahn-Banach (xem [3], tr.16) F có thể
mở rộng tới một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên L
2
(Ω). Do đó, theo
Định lý Fr´echet-Riesz (xem [3], tr.15) tồn tại hàm u ∈ L
2
(Ω), sao cho
u = F  ≤ C và
F w = (w, u), (1.15)
với mỗi w ∈ L
2
(Ω). Do vậy theo phương trình (1.14) và (1.15) ta có
(u, A

ϕ) = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ C
∞



|x|<1
exp


|x|
2
− 1

−1

dx

−1
.
Ta chọn giá trị của a như trên để

j(x)dx = 1.
Ta chú ý rằng j(x) ∈ C
∞
0
(R
n
). Với ε > 0, đặt j
ε
(x) = e
−n
j(
x

ε
(z)dz. (1.19)
Định lý 1.5. Với u ∈ L
2
(R
n
) ta có
J
ε
u ≤ u , (1.20)
J
ε
u − u → 0 khi ε → 0. (1.21)
Chứng minh. Theo phương trình (1.19) và Bất đẳng thức Schwarz ta
có
|J
ε
u|
2
≤


|u (x − z)|
2
j
ε
(z)dz


j

.
Để chứng minh (1.21) trước tiên ta giả sử u là liên tục. Theo phương
trình (1.18) ta có
J
ε
u − u =

j
ε
(z) [u(x − z) − u(x)] dz.
Do đó
|J
ε
u − u|
2
≤

j
ε
(z) |u(x − z) − u(x)|
2
dz
13
và

|J
ε
u − u|
2
dx ≤

2
dx <
ρ
8
.
Vì u là liên tục nên lấy ε đủ nhỏ ta suy ra
max
|z|≤ε

|x|<2R
|u(x − z) − u(x)|
2
dx <
ρ
2
.
Kết hợp các bất đẳng thức trên, với ε đủ nhỏ ta được:

|J
ε
u − u|
2
dx < ρ.
Điều này chứng minh (1.21)với u liên tục. Nếu u không liên tục ta có
thể tìm được một hàm liên tục w ∈ L
2
(R
n
) thỏa mãn u − w <
ρ

∞
(R
n
), ∀u ∈ L
2
(R
n
) (1.22)
(J
ε
u, v) = (u, J
ε
v), ∀u, v ∈ L
2
(R
n
) (1.23)
D
k
J
ε
v = J
ε
D
k
v, ∀v ∈ C
∞
(R
n
), 1 ≤ k ≤ n. (1.24)

Ω
2
. Giả sử
ˆu là hàm bằng u trên Ω
2
và bằng 0 bên ngoài Ω
2
. Ta có u là hàm liên
tục đều trên Ω
2
. Do đó, nếu η > 0 cho trước thì tồn tại δ > 0 sao cho
|u(x − z) − u(x)| < η, với |z| < δ.
Giả sử d > 0 là khoảng cách từ
¯
Ω
1
tới biên của Ω
2
.
Khi đó, nếu ε < min(δ, d), ta có
|J
ε
ˆu − u(x)| ≤

j
ε
(z) |u(x − z) − u(x)| dx
< η

j

v(x) ∈ C
∞
(R
n
); ∀k, µ ∃ m = m(k, µ) > 0 : (1 + |x|)
k
|D
µ
v(x)| ≤ m

.
Biến đổi Fourier của v ∈ S xác định bởi
F v(ξ) =

e
−i(ξ,x)
v(x)dx. (1.25)
Nếu v ∈ S, ta có thể lấy đạo hàm phương trình (1.25) dưới dấu tích
phân và thu được
D
µ
ξ
F v(ξ) = (−1)
|µ|
F (x
µ
v). (1.26)
Hơn nữa, nếu lấy tích phân từng phần F(D
µ
v) =

16
Chứng minh. Trước tiên ta thấy rằng, chỉ cần chứng minh hai tính
chất trên cho trường hợp n = 1 là đủ.
Nếu n > 1, đặt F
k
v =

∞
−∞
e
−iξ
k
x
k
vdx
k
và G
k
w =
1
2π

∞
−∞
e
ix
k
ξ
k
wdξ

k
=
1
2π

∞
−∞
F
k
vF
k
wdξ
k
, 1 ≤ k ≤ n, v, w ∈ S
áp dụng với mỗi k. Do đó, ta có thể giả sử n = 1. Để chứng minh phương
trình (1.28), ta đặt
G
R
(x) =
1
2π

R
−R
e
ixξ
F vdξ
=
1
2π

Chúng ta có thể thay đổi thứ tự lấy tích phân vì các tích phân lặp là hội
tụ tuyệt đối. Đặt t = y − x, ta có
G
R
(x) =
1
2π

∞
−∞
v(x + t)


R
−R
e
−iξt
dξ

dt
=
1
π

∞
−∞
sin Rt
t
v(x + t)dt, (1.33)
17


v(x + t) − v(x)
t

sin Rtdt.
Lấy tích phân từng phần, ta được
G
R
(x) − v(x) =
1
π

∞
−∞

v(x + t) − v(x)
t

d

−
cos Rt
R

=
1
πR

∞
−∞

2
t
2
(v

(x + t
1
) + t
1
v

(x + t
1
)) ,
ở đó t
1
nằm giữa 0 và t. Vì v ∈ S nên điều này chứng tỏ rằng H(x, t)
liên tục theo (x, t) và tồn tại hằng số K
1
sao cho với mọi x, t ta có
|H(x, t)| ≤ K
1
.
18
Thêm nữa, vì v(x), v(x + t) và (x + t)v

(x + t) đều bị chặn với v ∈ S
nên suy ra
|tv





. (1.35)
Điều này chứng tỏ rằng G
R
(x) → v(x) khi R → ∞, suy ra phương trình
(1.28) và cũng chứng tỏ rằng nếu ta hạn chế x trên đoạn nào đó |x| ≤ M
thì sự hội tụ là hội tụ đều.
Để chứng minh phương trình (1.29), ta viết

M
−M
w(x)v(x)dx =

M
−M
w(x)


∞
−∞
e
ixξ
F vdξ

dx
=

∞


dξ.
Mặt khác, khi M → ∞ ta có








∞
−∞
F v




|x|>M
e
ixξ
w(x)dx









R
n
dưới dấu tích phân.Theo phương trình (1.28) ta có
G [F v · F w] = (2π)
−n

e
i(x,ξ)
F v(ξ) · Fw(ξ)dξ
= (2π)
−n

e
i(x,ξ)
F w(ξ)


e
−i(ξ,y)
v(y)dy

dξ
= (2π)
−n

v(y)


e
i(ξ,x−y)

x
ε

dx
=

e
−i(εξ,y)
j(y)dy = F j(εξ).
20
Do vậy
F (J
ε
v) = F j(εξ) · Fv. (1.37)
Chú ý rằng
|F j
ε
(ξ)| = |F j(εξ)| ≤

j(y)dy = 1.
Do đó, nếu v ∈ S, ta có
|J
ε
v|
2
s
=

(1 + |ξ|)
2s

v|
s
≤ |v|
s
, v ∈ S, s ∈ R. (1.38)
Hơn nữa điều này cũng đúng với v ∈ H
s
nên khi ε → 0 ta cũng có
|J
ε
v − v|
s
→ 0, v ∈ H
s
. (1.39)
Vì S trù mật trong H
s
và (1.38) đúng, điều này là đủ để chứng minh
(1.39) với v ∈ S. Nếu u ∈ H
s
và ρ > 0 cho trước thì tồn tại v ∈ S sao
cho
|v − u|
s
<
ρ
3
.
Do vậy
|J

.
Do đó |J
ε
u − u|
s
< ρ, chứng tỏ (1.39) thỏa mãn với u.
Để chứng minh (1.39) với v ∈ S, ta chú ý rằng theo phương trình (1.37)
|J
ε
v − v|
2
s
=

|F j(εξ) − 1|
2
|F v|
2
(1 + |ξ|)
2s
dξ.
Hơn nữa,
|F j(εξ) − 1| ≤




e
−iε(ξ,y)
− 1

|J
ε
v − v|
2
s
≤ ε
2


|y| j(y)dy

2

|ξ|
2
(1 + |ξ|)
2s
|F v|
2
dξ → 0.
Định lý 1.7.
F (vw) = (2π)
−n

R
n
F v(η)F w(ξ − η)dη, v, w ∈ S.
22
Chứng minh. Theo phương trình (1.30), ta có
F (vw) = F (wGF v)

e
−i(ξ−η,x)
w(x)dx


dη
= (2π)
−n

R
n
F v(η)F w(ξ − η)dη.
Định lý được chứng minh. 
1.4.2. Không gian Sobolev
Chúng ta sử dụng hai tính chất của biến đổi Fourier để xác định một
họ các tích vô hướng.
Với s là số thực bất kỳ, ta đặt
(v, w)
s
=

(1 + |ξ|)
2s
F vF wdξ, (1.42)
và
|v|
2
s
= (v, v)
s