LỜI CẢM ƠN
Qua đây tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến người
thầy, người hướng dẫn khoa học của mình, PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn.
Thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ tác giả từ những ngày
đầu làm quen với Phương trình đạo hàm riêng, đến quá trình viết và
bảo vệ luận văn này.
Tác giả xin chân thành cảm ơ n các thầy cô trong khoa To án, trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong Bộ môn Giải
tích đã tạo điều kiện cho tác giả được học tập và nghiên cứu trong một
môi trường khoa học. Xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã
động viên và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên
cứu.
Hà Nội, mùa hè năm 2013.
Tác giả
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu khoa học của
riêng tôi dướ i sự hướng dẫn trực tiếp của PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, mùa hè năm 2013.
Tác giả
ii
Bảng ký hiệu
C(Ω) tập các hàm liên tục trên miền Ω
C
m
(Ω) t ập các hàm khả vi cấp m trên miền Ω
C
m
(

k
= −i
∂
∂x
k
, i là đơn vị ảo
L
2
(Ω) không gian các hàm bình phương khả tích trong Ω
S(Ω) tập các hàm khả vi vô hạn trên
Ω sao cho
(1 + |x|)
k
|D
α
u(x)| bị chặn với mọi k và α
P (D) =

|µ|≤m
a
µ
D
µ
, a
µ
∈ C toán tử vi phân cấp m
P (D) =

|µ|≤m
a

1
1
∂ξ
µ
2
2
∂ξ
µ
n
n
đạo hàm cấp |µ| của P (ξ)
R
n
không gian tọa độ thực n chiều
R
n+1
+
= {(x, t) ∈ R
n
× R, t > 0}
iii
Ω = Ω
0
∩ R
n+1
+
Ω
0
là một mi ền trong R
n+1

!
ξ = (ξ
1
, ξ
2
ξ
n
)
ξ
µ
= ξ
µ
1
1
ξ
µ
2
2
ξ
µ
n
n
iv
Mục lục
Mở đ ầu vi
1 Khái niệm bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm
riêng 1
1.1 Đặt bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Nghiệm yếu của bài t oán Cauchy . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm yếu . . . . . . . 9

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nội dung chính của luận văn chủ yếu được trình bày dựa trên chương
4 của tài l iệu [5] trong mục tài liệu tham khảo.
• Chương 1. Phát biểu bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm
riêng tuyến tính với hệ số hằng. Trình bày khái niệm nghiệm yếu
của bài toán Cauchy. Phát biểu và chứng minh định l ý về điều k iện
cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán Cauchy.
• Chương 2 . Trình bày một lớp con bao gồm các phương trình hyper-
bolic theo biến t mà bài toán Cauchy tương ứng trong nửa khô ng
gian t > 0 luôn có nghiệm yếu duy nhất.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết: Thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp
để được một nghiên cứu tổng quan về sự tồn tại nghiệm yếu đối với
bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm ri êng tuyến tính.
vii
6. Giả thuyết khoa học
Tổng quan về sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán Cauchy cho phương
trình hyperbolic tuyến tính.
viii
Chương 1
Khái niệm bài toán Cauchy
cho phương trình đạo hàm
riêng
Trong chương này luận văn trình bày hai khá i niệm cơ bản, đó là
bài toán Cauchy và nghiệm yếu của bài toán Cauchy. Các khái niệm
này được trình bày trong mục 1.1 và 1.2. Riêng trong mục cuối cùng
sẽ trình bày về điều kiện cần và đủ để bài t oán Cauchy có nghiệm yếu.
1.1 Đặt bài toán Cauchy
Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số hằng
P (D

trong đó
D
x
= (D
1
, , D
n
), D
j
= −i
∂
∂x
j
, j =
1, n, D
t
= −i
∂
∂t
µ = (µ
1
, µ
2
, , µ
n
), µ
k
∈ N, k = 1, n, |µ| = µ
1
+ µ

(
Ω), sao cho
P (D
x
, D
t
)u = f(x, t) trong Ω (1.3)
và
D
k
t
u(x, 0) = g
k
(x), 0 ≤ k < m, (x, 0) ∈ ∂
0
Ω (1.4)
trong đó ∂
0
Ω = ∂Ω
0
= {(x, t) ∈ R
n
× R, t = 0} với f là một hàm cho
trước trên Ω còn g
k
là các hàm cho trước trên ∂
0
Ω.
Ta sẽ nói rằng bài toán Cauchy (1.3) và (1.4) là đặt chỉnh nếu nó có
nghiệm duy nhất với mỗi cách chọn f, g

. Vì ta muốn có nghi ệm
cho mọi sự lựa chọn của g
k
(thỏa mãn điều kiện khả vi) nên cần tránh
được tình huống này. Do đó ta giả sử rằng
a
(0, ,0),m
= 0. (1.6)
Chúng ta mô tả điều này bằng cách nói rằng siêu phẳng t = 0 không
là mặt đặc trưng của toán tử (1.2).
1.2 Nghiệm yếu củ a b ài toán Cauchy
Trước hết chúng ta có khái niệm nghiệm yếu được xuất phát từ
công thức tí ch phân từng phần
Định nghĩa 1.1. Một hàm u ∈ L
2
(Ω) được gọi là một n ghiệm yếu
của ph ương trình 1.1 nếu nó thỏa mãn
(u,
P(D)ϕ) = (f, ϕ) (1.7)
với ∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω).
Để nghiên cứu về nghiệm yếu của bài toán Cauchy, ta hãy bắt đầu
với một trường hợp đơ n giản. Trước hết, giả sử rằng cho các g
k
trong
(1.4) triệt tiêu và g iả sử rằng f ∈ C
∞
0

(Ω
0
). Bây giờ giả sử
u ∈ C
∞
(
Ω) là một nghiệm của bài toán Cauchy (1.8) và (1.9). Để ý
rằng nếu ta mở rộ ng hàm u t riệt tiêu trên Ω
0
\Ω khi đó hàm mở rộng
u
1
thuộc C
m
(
Ω
0
). Ta khẳng định như vậy vì mọi đạo hàm D
k
t
u với
0 ≤ k < m liên tục trên ∂
0
Ω. Hơn nữa, vì
P (D) = P (D
x
, D
t
) =


t
u(x, 0) = 0 trên ∂
0
Ω (nhắc lại rằng f cũng triệt tiêu
ở đây). Vì cả f
1
và u
1
đều triệt tiêu trong Ω
0
\Ω, ta suy ra rằng u
1
là
nghiệm của
P (D)u
1
= f
1
(1.12 )
trong Ω
0
.
Đặc biệt, nó là m ột nghiệm yếu, và do đó

Ω
0
u
1
P (D)ϕdxdt =


Tóm lại, chúng ta thấy rằng, mọi nghiệm của bài toán (1.8) và (1.9)
thỏa mãn phương trình (1.14) . B ây gi ờ ta chứng minh điều ngược lại.
Nếu u ∈ C
m
(
Ω) t hỏa mãn phương trình (1.14) thì nó là một nghiệm
của các bài toán Cauchy (1.8) và (1.9). Để làm được điều đó chúng ta
cần nhắc lại công thức tính tích phân từng phần, vì hàm ϕ ∈ C
∞
0
(Ω
0
)
không nhất thiết t riệt tiêu trên ∂
0
Ω.
Với kí hiệu đang sử dụng t hì công thức tích phân từng phần của
chúng ta có dạng

Ω
D
k
hdxdt = −i

∂Ω
hγ
k
dσ 1 ≤ k ≤ n + 1 (1.16 )
trong đó γ
k

0
(Ω
0
), thì
(D
k
w, ϕ) = (w, D
k
ϕ) 1 ≤ k ≤ n (1.19 )
và
(D
t
w, ϕ) = (w, D
t
ϕ) − i

∂
0
Ω
w
ϕdx (1.20 )
Một lần nữa ứng dụng phương trình (1.20) ta được
(D
k
t
w, ϕ) = (w, D
k
t
ϕ) − i
k

0
). Ta
được
(P (D) u, ϕ)=

|µ|+k≤m
a
µ,k
(D
µ
x
D
k
t
u, ϕ)
=

|µ|+k≤m
a
µ,k

(u, D
k
t
D
µ
x
ϕ) − i
k


j−1
t
ϕdx (1. 22)
trong đó
N
j
u =
m

k=j

|µ|≤m−k
a
µ,k
D
µ
x
D
k−j
t
u 1 ≤ j ≤ m (1.23 )
Bây giờ giả sử u ∈ C
m
(
Ω) thỏa mãn phương trình (1.14) với mọi
ϕ ∈ C
∞
0
(Ω
0

0
Ω. Chúng ta để lại chứng minh của khẳng định này đến cuối mục
này. Bây giờ chúng ta chú ý rằ ng phương trình (1. 25) suy ra phương
trình (1. 9). Thực tế, theo phương trình (1.23)
N
m
u = au
6
N
m−1
u = aD
t
u +

|µ|≤1
a
µ,m−1
D
µ
x
u
và, một cách tổng quát , N
m−k
u = aD
k
t
u+ một biểu thức tuyến tính
chỉ chứa u, D
t
u, , D

m

j=1

∂
0
Ω
N
j
u
D
j−1
t
ϕdx (1.26 )
Mà trong phương trình ( 1.23) ta thấy rằng D
m
t
u không xuất hiện trong
các N
j
u. Do đó, nếu u thỏa mã n phương trình (1.9) thì N
j
u = 0 trên
∂
0
Ω với mỗi j, chứng tỏ rằng phương t rình (1.14) đúng. Ngược lạ i, nếu
phương trình (1. 14) đúng thì phương trình (1.24) cũng đúng và do đó
phương trình (1.9) đúng.
Ta có định nghĩa nghiệm yếu
Định nghĩa 1.2. Giả sử f(x) ∈ L

Ω
w
j
D
j−1
t
ϕdx = 0 ∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω
0
) (1.27)
thì w
j
đồng nhất 0.
Chứng minh. Gi ả sử với j nào đó và với x
0
∈ ∂
0
Ω nào đó w
j
(x
0
) = 0.
Ta có thể giả sử rằng Re w
j
(x
0
) > 0. Do tính liên tục nên tồn tại lân
cận N của x

0
(R
1
) thỏa mãn
ρ(t) = 1 |t| ≤ b
ρ(t) = 0 |t| ≥ 2b
Đặt
ϕ(x, t) = (it)
j−1
ψ( x)ρ(t).
Rõ ràng ϕ ∈ C
∞
0
(Ω
0
). Hơn nữa, D
k
t
ϕ(x, 0) = 0 với k = j − 1 và
D
j−1
t
ϕ(x, 0) = (j − 1)!ψ(x)
8
chứng tỏ rằng hàm này là dương trong |x − x
0
| < r, k hông âm trong
N và triệt tiêu bên ngoài N. Do đó, ta phải có
Re


∞
0
(Ω
0
) (1.29 )
Thêm nữa, ta có
Định lý 1.3. Điều kiện cần và đủ để các bài toán Cauchy (1.8) và
(1.9) có nghiệm yếu v ới mọi f ∈ L
2
(Ω) là t ồn tại C > 0 sao cho
ϕ ≤ C


P (D)ϕ


∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω
0
) (1.30)
9
Chứng minh. Điều kiện đủ là rõ ràng, vì từ (1.30), với mỗi f ∈ L
2
(Ω),
|(f, ϕ)| ≤ f  ϕ ≤ f C


P (D)ϕ

2
(Ω) k = 1, 2,
Khi đó, với mỗi k, F
k
là một hàm tuyến tính bị chặn trên L
2
(Ω) và với
mỗi f ∈ L
2
(Ω), theo (1.29) ta có
|F
k
(f)| ≤ |(f, ϕ
k
)| ≤ C


P (D)ϕ
k


= C
vậy nên
sup
k
|F
k
(f)| < ∞
Theo định lí Banach-Steinhaus, sẽ tồn tại một hằng số C sao cho
|F

Định lý 1.4. Nếu Ω chứa một dải có dạng 0 < t < 2b, b > 0 và P (D)
thỏa mãn (1.30), thì tồn tại một hằng số K, sao cho
| Im τ| ≤ K (1.32)
với ξ thực, suy ra
P (ξ, τ) = 0.
Chứng minh. Lấy (ξ, τ) sao cho ξ thực và P (ξ, τ) = 0. Giả sử ψ(x) = 0
là một hàm thuộc C
∞
0
(R
n
) và ρ(t) l à một hàm thuộc C
∞
0
(R
1
) thỏa mãn
ρ(t) = 1 |t| ≤ b
ρ(t) = 0 |t| ≥ 2b
và
0 ≤ ρ(t) ≤ 1 |t| ≤ 2b
Đặt
ϕ
ε
(x, t) = ψ(εx)ρ(t)e
i(x,ξ)+itτ
(1.33 )
Ta có thể lấy Ω
0
chứa dải |t| ≤ 2b. Trong trườ ng hợp này ϕ

0
e
2t Im τ
dt
Mặt khác,
11
P (D)ϕ
ε
=

µ+k>0
1
µ!k!
P
(µ,k)
e
i(x,ξ)+itx
D
µ
x
ψ( εx)D
k
t
ρ(t)
= e
i(x,ξ)+it
τ

|µ|+k>0
1




P
(µ,k)
(ξ, τ)





D
µ
x
ψ( εx)D
k
t
ρ(t)


và ngược lại


P (D)ϕ
ε


2
≤ C


(0,k)
(ξ, τ)|
2
ψ(x)
2
2b

b
e
2t Im τ
dt
+ε
−n
C
2

|µ|>0

k≥0
|P
(µ,k)
(ξ, τ)|
2|µ|
D
µ
x
ψ( x)
2
2b



k≥0
|P
(µ,k)(ξ,τ )
|
2
2b

b
e
2t Im τ
dt. (1.34 )
Giả sử ε → 0. Nếu Im τ ≤ 0 thì
1 − e
2b Im τ
≤ C
5
(1 + |ξ| + |τ|)
2m
(e
2b Im τ
− e
4b Im τ
)
chứng tỏ
1 ≤ C
6
(1 + |ξ| + |τ|)
2m
e

(ξ) (1.36)
trong đó a
j
(ξ) là đa thức biến ξ và có bậc không lớn hơn j. Khi đó,
theo định lí cơ bản của đại số, với mỗi ξ có m nghiệm τ
1
, , τ
m
của
P (ξ, τ) = 0. Hơn nữa,
m

1
τ
j
=
−a
1
(ξ)
a
(1.37 )
vì vậy
m

1
Im τ
j
= − Im
a
1

Vì vậy, với mỗi k
Im τ
k
= C
8
−

j=k
Im τ
j
≤ C
8
+ (m − 1 )K.
Chúng ta hoàn thành chứng minh.
Chúng ta kết thúc mục này với khái niệm toán tử hyperbolic
Định nghĩa 1.3. Toán tử P (D) thỏa mãn điều kiện (1.32) được gọi là
toán tử hyperbolic theo trục t.
14
Chương 2
Bài toán Cauchy cho phương
trình hyperbolic
2.1 Toán tử hyperbolic và các tính chất
Xuất phát từ Định nghĩ a 1.3 ta thấy ngay bổ đề sau
Bổ đề 2.1. Toán tử P ( D) là hyperbolic khi và chỉ khi
P (D) là hyper-
bolic.
Từ đó ta có hệ quả
Định lý 2.1. Giả sử
P (D) = P (D
x

bolic. Để chứng minh p(ξ, τ ) chỉ có nghiệm thực ta giả sử ξ thực và
p(ξ, τ ) = 0 với Im τ = c > 0. Khi đó
P (λξ, λz)
λ
m
= p(ξ, z) +
Q(λξ, λz)
λ
m
(2.2)
trong đó Q là một đa thức bậc nhỏ hơn m. Giả sử Γ là một đường tròn
trong nửa mặt phẳng trên có t âm τ và bán kính không lớn hơn c/2 sao
cho p(ξ, z) không có nghiệm t rên Γ. Do đó,
|p(ξ, z)| ≥ δ > 0 (2.3)
với z nằ m trên Γ. Hơn nữa, t ồn tại hằng số M sao cho
|Q(λξ, λz)| ≤ Mλ
m−1
(2.4)
với z nằ m trên Γ. Do đó, với λ đủ lớn
|Q(λξ, λz)|
λ
m
< |p(ξ, z) |
với z nằm trên Γ. Theo định lí Rouché’s và phương trình (2.2) chúng
ta thấy rằng P (λξ, λz)/λ
m
có ít nhất một nghi ệm bên trong Γ. Gọi
nghiệm này là σ. Theo định nghĩa của tính hyperbol ic, ta có
|Im λσ| ≤ K
hay

µ



P
(µ)
(ξ)



Định nghĩa 2.2. Một toán tử thuần nhất p(D) bậc m được gọi là
hyperbolic tổng thể nếu p(ξ, τ ) có m nghiệm th ực riêng biệt τ với mỗi
ξ = 0 thực.
Sự quan trọng của khá i niệm xuất phát từ định lí
Định lý 2.3. Nếu p(D) là hyperbo l i c tổng thể bậc m và Q(D) là một
toán tử nào đó có bậc nhỏ hơn m, thì P(D) = p(D) + Q(D) là một
toán tử hyperbolic .
17