CHƯƠNG 7: PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ - TOÁN
 
§1. PHÂN LOẠI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TUYẾN TÍNH
CẤP 2 VỚI CÁC BIẾN ĐỘC LẬP
1. Phân loại các phương trình: Khi khảo sát các bài toán vật lí, ta nhận được phương
trình đạo hàm riêng cấp 2 dạng:
)x(du)x(c
x
u
)x(b
yx
u
)x(a
n
1i
i
i
n
1j,i
ji
2
j,i
=+
∂
∂
+
∂∂
∂
∑∑
==
(1)

2
22
2
2
=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
(2)
Trong đó a, b, c, d, g, h là các hàm hai biến của x và y.
Trong giáo trình này ta chỉ xét các phương trình dạng (2). Để đơn giản ta viết lại (2):
0
y
u
,
x
u
,u,y,x
y

∂
+
∂
∂
(3)
Các phương trình này có thể phân thành các loại sau:
Phương trình hyperbolic:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
Φ=
∂∂
∂
y
u
,
x
u
,u,y,x
yx
u

x
u
2
2
2
2
2

Phương trình parabolic:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
Φ=
∂
∂
y
u
,
x
u
,u,y,x

2
2
2
2
2
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂

Giả sử ta cần xác định hàm u(x, y, z, t) trong miền V và t
≥
0. V được giới hạn bằng
mặt biên kín và trơn S với các điều kiện đầu:

kiện đầu và xét trong toàn bộ không gian.

b. Bài toán Cauchy và bài toán hỗn hợp của phương trình truyền nhiệt
: Cho
phương trình truyền nhiệt dưới dạng chính tắc:
()
t,z,y,xf
z
u
y
u
x
u
a
t
)t,z,y,x(u
1
2
2
2
2
2
2
2
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

Bài toán Cauchy của phương trình truyền nhiệt là bài toán tìm nghiệm của phương
trình truyền nhiệt trong toàn bộ không gian.

§2
.
PHƯƠNG TRÌNH LOẠI HYPERBOLIC
PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT
1. Bài toán Cauchy - Phương trình sóng của dây vô hạn và nửa vô hạn
: Bài toán
Cauchy của phương trình hyperbolic trong trường hợp một biến được xác định như
sau:
2
2
2
2
2
x
u
a
t
)t,x(u
∂
∂
=
∂
∂
-
∞

≤

+=
(3)
nghĩa là:

2
ηξ
x
+
=

a2
ηξ
t
−
=
Ta có:

η
u
~
ξ
u
~
x
u
~
∂
∂
+
∂

~

2
22
2
2
2
2
η
u
~
ηξ
u
~
2
ξ
u
~
x
u
~
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
=

2
η
u
~
ηξ
u
~
2
ξ
u
~
a
t
u
~

Thay vào (2.1) ta có:

0
ξ
u
~
η
hay0
ηξ
u
~
2
=
⎟

+= )η(ψξd)ξ(φ)η,ξ(u
~
1

với ψ(η) là hàm tuỳ ý.
Từ đó ta có:

)η,ξ(u
~
= ϕ(ξ) + ψ(η)
hay: u(x, t) = ϕ(x + at) + ψ(x - at) (3)
Trong đó ϕ và ψ là các hàm tuỳ ý, liên tục và khả vi 2 lần. Nghiệm của (3) được gọi
là nghiệm tổng của (1). Từ (3) nếu tính đến điều kiện (2) ta sẽ có:
ϕ(x) + ψ(x) = u
o
(x) (4)
aϕ(x) - aψ(x) = u
1
(x) (5)
Lấy tích phân hai vế của (5) ta có:
[][]
∫
=−−−
x
0
1
θd)θ(u)0(ψ)x(ψa)0(φ)x(φa

Vậy nên:


1
)x(ψ
2
C
θd)θ(u
a2
1
)x(u
2
1
)x(φ
x
0
1o
x
0
1o

Đặt các hệ thức trên vào (3) ta được nghiệm:
[]
∫
+
−
+−++=
atx
atx
1oo
θd)θ(u
a2
1

o
2
0t
=
+
=
=152
)x(uxsin
t
u
1
0t
==
∂
∂
=

Áp dụng công thức D’Alembert ta có:
xsinatsin
a
1
)atx(1
atx
)atx(1
atx
2
1

∂
∂
=
∂
∂
-∞ < x < ∞, t ≥ 0
với các điều kiện:

)x(u
x1
1
t
u
)x(u
x
xsin
)t,x(u
1
2
0t
o
0t
=
+
=
∂
∂
==
=
=

)atx)(atx(1
)atx()atx(
)atx(arctgtg)atx(arctgtg1
)atx(arctgtg)atx(arctgtg
αtg
−+
=
−++
−
−+
=
−×++
−−+
=Ví dụ 3
: Giải phương trình:

2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂

(x) = x
2
và u
1
(x) = sin
2
x sẽ
được các hàm:
⎩
⎨
⎧
<−
≥
=
∗
0xx
0xx
u
2
2
o

⎩
⎨
⎧
<−
≥
=
∗
0xxsin

>>
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
θθ−θθ+−−+
≤θθ+−++
=
θθ+−++=
∫∫
∫
∫
+
−
+
−
+
−
∗∗∗
at2cosx2sinx2
a4
1
axt2
a
x
tat2sinx2cos
a4
1

0
atx
2222
atx
atx
222
atx
atx
1ooVí dụ 4
: Giải phương trình điện báo:
0
x
u
LC
1
u
LC
RG
t
u
LC
LGRC
t
u
2
2
2

∂
∂
−+
∂
∂+
+
∂
∂

Trong các trường hợp:
- Dây không tổn hao R = G = 0
- Dây không méo RC = LG
)
Trường hợp dây không tổn hao: Khi đó các phương trình trên có dạng:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
i
a
t
i
x

)x(i)t,x(i
)x(u)t,x(u
o
0t
o
0t
-∞ < x < ∞, y > 0
Với R = G = 0 ta có điều kiện đối với phương trình điện báo:
)x(i
C
1
t
u
o
0t
−=
∂
∂
=

)x(u
C
1
t
i
o
0t
−=
∂
∂