ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
TRẦN THỊ TÂM
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI
VỚI HAI BIẾN ĐỘC LẬP
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn
THÁI NGUYÊN – 2012
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Mục lục
Mở đầu 2
1 Một số kiến thức chuẩn bị 4
1.1. Lớp hàm Holder ……………………………………………… 4
1.1.1 Liên tục Holder ……………………………………… 4
1.1.2 Không gian
,k
C
phức.
Mục tiêu của Luận văn là trình bày lý thuyết phương trình elliptic á
tuyến tính cấp hai với hai biến độc lập. Khác với trường hợp khi số biến lớn
hơn hoặc bằng ba, trong trường hợp hai biến, người ta không đòi hỏi các hệ số
của phương trình là các hàm trơn, mà chỉ cần là các hàm liên tục.
2. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kết quả và phương pháp của lý thuyết ánh xạ á bảo giác và
của lý thuyết phương trình elliptic cấp hai tuyến tính cùng với phương pháp
lặp.
3. Mục đích của Luận văn
Trình bày các tính chất định tính về độ trơn của nghiệm phương trình
elliptic á tuyến tính cấp hai với hai biến độc lập.
4. Nội dụng của luận văn
Nội dung chủ yếu của Luận văn được dựa vào một chương của tài liệu
[1]. Trong chương 1 Luận văn đã trình bày khái niệm ánh xạ á bảo giác cùng
với các đánh giá tiên nghiệm trong lớp Holder của chúng.
Các kết quả trong chương 1 đã được áp dụng trong chương 2 vào các
đánh giá tiên nghiệm và tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương
trình á tuyến tính elliptic đều và không đều. Đối với trường hợp elliptic không
đều, bài toán Dirichlet chỉ được xét trong các miền lồi với dữ kiện biên thoả
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
mãn điều kiện độ nghiêng bị chặn. Luận văn cũng đã chỉ ra rằng điều kiện độ
nghiêng bị chặn là tương đương với điều kiện ba điểm.
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo nhiệt tình
của PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn, Viện toán học. Em xin được bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc đến thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám
hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán – trường Đại học sư phạm, Đại học Thái
Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Định nghĩa 1.1. Cho
0
x
là một điểm trong
n
và
f
là một hàm xác định trên
miền bị chặn
D
chứa
0
x
. Nếu
01
, ta nói rằng
f
là liên tục Holder với
số mũ
tại
0
x
nếu:
(1.1)
x
.
Nếu
f
là liên tục Holder tại
0
x
thì
f
liên tục tại
0
x
. Khi (1.1) là hữu hạn
với
1
,
f
là liên tục Lipschitz tại
0
x
.
Ví dụ 1.2. Hàm
f
trên
1
0B
được cho bởi
5
(1.2)
;
,
sup , 0 1,
D
x y D
xy
f x f y
f
xy
hữu hạn. Ta nói
f
là liên tục Holder địa phương với số mũ
trong
D
k
fC
mà các đạo hàm riêng cấp
k
liên tục Holder
với số số mũ
trong
. Để đơn giản ta viết:
0, 0,
, .C C C C
Và ta hiểu rằng với
01
ký hiệu này được sử dụng bất cứ khi nào, trừ khi
có quy ước khác.
Cũng như vậy, ta đặt:
,0 ,0
, .
k k k k
là không gian
các hàm trên
,k
C
có giá compact trong
.
Ta đặt:
(1.3)
,0;
0;
,;
;;
supsup , 0,1,2,
sup .
k
k
k
k
k
k
u D u D u k
u D u D u
, ; ; ;
,;
;
,
,
k
k
kk
j
C k k
j
jj
k
C k k k
k
u u u u D u
u u u u u D u
d
là
đường kính của
, ta đặt,
(1.5)
,
;
,0;
0;
00
, ; ; ;
,;
;
,
.
k
k
kk
j j j
Ck
j
jj
k k k
C k k k
k
,k
C
với các chuẩn tương ứng là những không
gian Banach.
Ta chú ý rằng, tích các hàm liên tục Holder cũng liên tục Holder. Thật
vậy, nếu
,u C v C
, ta có
uv C
trong đó
min ,
,
và
(1.6)
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
trong mặt phẳng
,z x y
tới mặt phẳng
w,pq
là á bảo giác hay
K
á
bảo giác, trong miền
nếu với mỗi hằng số
0K
, ta có:
(1.7)
2 2 2 2
2
x y x y x y y x
p p q q K p q p q
với mọi
,xy
. Mặc dù bất đẳng thức (1.7) thỏa mãn cho
của Jacobian thì ánh xạ này giữa mặt phẳng
z
và mặt phẳng
w
sẽ bảo toàn
định hướng và ánh xạ đường tròn đủ nhỏ vào các đường elliptic đủ nhỏ với
tâm sai bị chặn đều, trong đó tỉ số của trục nhỏ tới trục lớn là bị chặn dưới bởi
1/2
2
10KK
.
Ta sẽ quan tâm đến lớp các ánh xạ tổng quát hơn
,,x y p q
xác
định bởi bất đẳng thức:
(1.8)
2 2 2 2
2'
x y x y x y y x
p p q q K p q p q K
trong đó
K
,
'K
( , )
r
r
xy
z B z
r z Dw dx dy w w dx dy
B
D
của ánh xạ
,'KK
á bảo giác
w
được lấy trên đĩa
r
Bz
. Khi đó để đơn
giản ta viết
rD
thay cho
,rzD
và
r
B
2
2
2 1/2
( ) , ( 1) ,
r
r
r Dw dx dy C K K
R
B
D
với
22
1
( )( ' )C C K M K R
. Nếu
'0K
, kết luận vẫn đúng với
1.K
Chứng minh. Trước tiên chúng ta thiết lập đánh giá cho tích phân Dirichlet
trong hình tròn bán kính
/ 2.R
D
với s là ký hiệu độ dài cung tròn
rr
CB
lấy theo phương ngược chiều kim
đồng hồ. Mặt khác sử dụng
2
()
r
C
z Dw ds
D'
, ta thấy:
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
(1.12)
1/2
2
2
1/2
1/2
được:
(1.13)
2
12
( ) '( )r k k r rDD
với
2
1
'k R K
,
22
2
8.k M K
Bây giờ hoặc là
1
( / 2)RkD
, ta có ước
lượng cần tìm; hoặc nếu không thì
1
()rkD
với
0
/2r r R
nào đó và do
.
Lấy
12
/ 2, r R r R
ta thu được:
(1.14)
2 2 2
8
( / 2) '
log2
R M K R K
D
.
Ta chú ý rằng việc chứng minh đánh giá này không liên quan tới các hạn
chế lên
, 'KK
ngoài giả thiết
K
không âm. Ta cũng lưu ý rằng trong trường
hợp tổng quát ta cũng không thể thu được đánh giá trong toàn bộ hình tròn
r
B
, bởi vì rằng tập các hàm giải tích
, 1,2,
n
n
w z n
tất cả đều thỏa mãn
với bất kỳ
0
cố định, trong đó
()C
độc lập với
n
.
Ta tiếp tục sử dụng (1.14) cho tích phân Dirichlet trong
/2R
B
để đánh giá
cấp tăng cho
rD
. Từ bất đẳng thức,
22
1
22
x y x y
p q p q
2'
xy
w w KJ K
,
và thế
2 1/2
( 1)KK
(hoặc tương tương
2
(1 ) / 2K
), ta tìm được
2
2
22
1 2 '
.
1
xy
K
ww
Vì vậy
(1.15)
s
w
thay bởi
x
w
.
Chúng ta sẽ áp dụng (1.15) để thu được đánh giá chính xác hơn của
r
s
C
pq ds
trong (1.11). Giả sử kí hiệu
()p p r
là giá trị trung bình của p trên
đường tròn
r
C
. Khi đó
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
(1.16)
2
2
1 ( )
( ) .
2
r r r
s s s
s
CC
p p ds r p ds
(Kết quả này dễ dàng được chứng minh bằng cách khai triển
( , )p p r
thành chuỗi Fourier theo
và ứng dụng bất đẳng thức Parseval). Thay (1.17)
vào (1.16), ta thấy rằng:
2
22
( )
22
r r r
s s s s
C C C
rr
pq ds p q ds w ds
,
và do đó từ (1.15),
2
2
2
24
21
r
r r kr k K
DD
.
Điều này kéo theo
2
d
rr
dr
D
12
2,kr
DD
Đặt
0
/2rR
và thay vào (1.14) ta thu được đánh giá (1.10) với
22
23
max , 'C C K C K M K R
, với
2
2
32
,
log2
CK
3
2
2
4 1 .
11
C
và Ω là các miền trong
2
. Ta ký hiệu
nếu bao đóng
của
chứa trong
, tức là
.
Bổ đề 1.5. Giả sử
1
()wC
và
với
dist( , ) R
. Giả sử các
hằng số dương
, , ' 0CR
thỏa mãn
D
()
2
.
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
Sau đây là định lý về đánh giá tiên nghiệm Holder cho ánh xạ
,'KK
á
bảo giác.
Định lý 1.6. Giả sử
w
là
,'KK
á bảo giác trong miền
với
1, ' 0KK
và giả sử
wM
. Giả sử
với hình tròn
dist , d
. Khi đó với mọi
12
,zz
. Ta có
1K
.
Chứng minh. Đầu tiên giả sử
21
.
2
d
zz
Điều kiện của Bổ đề 1.4 và 1.5 áp
dụng với
Rd
và
'
2
d
R
, vì vậy ta có:
21
21
zz
w z w z L
d
trong đó
max 4, .C K C K
Để kết thúc phần này, ta có một số chú ý sau. 15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Chú ý 1.7.
1. Số mũ
1
2
2
1KK
là lớn nhất để cho Bổ đề 1.4 và Định lý 1.6 là
đúng. Điều này có thể thấy từ ví dụ của ánh xạ
K
á bảo giác
1
2
2
, 1
i
w z r e K K
. Tuy nhiên nếu
một ánh xạ thỏa mãn (1.8) với
1K
, nó cũng thỏa mãn bất đẳng thức đó
với giá trị lớn hơn của
K
và kết quả tương ứng trong Bổ đề 1.4 và Định lý
1.6 khi áp dụng với số mũ
tùy ý gần đến 1.
3. Nếu
bị chặn và được phủ và bởi
N
đĩa đường kính
2
d
, chứng minh ta
thấy Định lý 1.6 vẫn đúng với giả thiết yếu hơn
pM
, với hằng số
C
trong (1.20) cũng phụ thuộc vào
N
và do đó phụ thuộc vào đường kính
của
.
,
M
và
. Để chứng minh, đặt
là
hợp hữu hạn các cung chồng lên nhau mà được duỗi thẳng bằng một đồng
phôi
1
C
phù hợp
,,xy
được xác định trong lân cận của cung.
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Hàm
w
là bảo giác trong biến số
,
với hằng số
, 'KK
phụ thuộc vào
, 'KK
ta thu được đánh giá Holder cho
w
trong
; đó
là
1 2 1 2 1 2
, ,w z w z C z z z z
,
trong đó
, ',KK
và
, ', ,C C K K M
. Nếu
pp
trên
với
1
pC
và
1,
pM
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Chương 2
Bài toán Dirichlet cho phương trình
elliptic á tuyến tính cấp hai 2.1 Đánh giá địa phương đối với chuẩn Holder cho đạo
hàm cấp một của nghiệm phương trình tuyến tính cấp
hai
Những kết quả phần trước sẽ được áp dụng để thu được đánh giá Holder
cho các nghiệm của đạo hàm cấp một của phương trình elliptic đều.
(2.1)
2
xx xy yy
Lu au bu cu f
,
với
, , , a b c f
được xác định trong miền
của mặt phẳng
,z x y
. Ký
hiệu
với hằng số
1
. Ta giả sử
sup f
. Chia (2.1) bởi giá trị riêng
cực tiểu
, Ta giả thiết rằng
1
và (2.2) cố định với
1
và
, khi
f
. Ta giả thiết như sau. Đặt:
,
và tương tự ta có phương trình đối với
q
.
Nhân vế trái của (2.4) với
x
cp
, ta thu được:
2 2 2 2
2 ,
x y x x y y x x y y x
p p ap bp p cp cJ fp J q p q p
,
tương tự
22
x y y
q q aJ fq
Cộng các bất đẳng thức này và lưu ý rằng
2 1 1ac
, ta có
(2.5)
22
1
1 1 .
2
), từ (2.5) ta thu được:
(2.6)
22
2
2
2 1 1 / 2.Dp Dq J
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Do đó
w p iq
(hoặc
q ip
) xác định một ánh xạ
,'KK
á bảo giác thỏa
mãn (1.8) với
(2.7)
1,K
K
á bảo giác với hằng số
1 / 2K
. Có thể chỉ ra rằng hằng số á bảo giác nhỏ nhất không vượt quá
1/ / 2K
.
Chúng ta thiết lập đánh giá cơ bản cho nghiệm của (2.1) mà nó cần
cho lí thuyết phi tuyến tính tiếp theo. Chúng ta sử dụng kí hiệu
12
1.2
dist , , min ,
z z z
d z d d d
và phần trong chuẩn và nửa chuẩn
12
2
21
12
,
với
L
là elliptic đều, thỏa mãn (2.2) và (2.3) trong miền
của
2
. Khi đó
với bất kỳ
( ) 0
, ta có:
(2.8)
2
00
1,
/,u C u f
()CC
.
trong vị trí tương ứng của
,
và
1K
,
2
'
[(1 )sup / ]
'
2
f
K
. Bất đẳng thức (1.20) với
w p iq
được trình bày trong các số hạng của gradient của
Du
, trở thành
với
2 1/2
(1 ) ( 2 )
21
(sup ( ) sup / ),
z
Du z Du z
d C d Du z d f
zz
kéo theo
(2)
1, ; ' 1; '
0; '
[ ] ([ ] / )u C u f
, với bất kỳ
'
.
Áp dụng bất đẳng thức trên cho
1, 0jk
1
2
C
, ta thu được một hằng số thích hợp
()CC
,
(2)
1,
00
[ ] ( / ),u C u f
đó là kết quả cần tìm (2.8).
21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Từ (2.8) và bất đẳng thức (2.9), ta có đánh giá chuẩn như sau:
(2.10)
2
1,
00
[ ] ,u C u f
trên
. Khi đó ta có thể khẳng định rằng
1, ,
uC
với
( , )
và
00
( , , , ).C C u f
Ta sẽ chứng minh điều khẳng định trên.
Ta đặt
0
1v u Du
, sao cho
v
thỏa mãn
0
1Lv f Du
và
( , ),KK
0
' '( , , / )K K f
. Cũng vậy,
0p
trên
0
. Lập luận tương tự như
trong Nhận xét 1.2.4(4) chứng tỏ rằng p và q và do đó
Dv
thỏa mãn một điều
kiện Holder toàn cục trong
, trong đó số mũ Holder
chỉ phụ thuộc vào
,
và hệ số Holder cũng phụ thuộc vào
0
/f
và
u
trên
, khi đó xét
u
thay vị trí của
u
và nhắc
lại rằng
0
u
có thể được đánh giá trong các số hạng của
sup
và
0
/f
.
Chúng ta suy ra đánh giá toàn cục sau đây
1, , 2 0
( , , , / )u C C f
()C
. Giả sử
20
( ) ( ),u C C
2,
()C
thỏa mãn
Lu f
trong
,
u
trên
. Khi đó
1,
()uC
và
1, ,
m
u
của bài toán Dirichlet,
m m m
L u f
trong
,
m
u
trên
sẽ thuộc
2
()C
và có chuẩn
1,
()C
bị chặn đều
1,
m
uC
với
Ta xét bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính dạng tổng
quát,
(2.11)
, , , , 2 , , , ,
, , , , , , , , 0
x y xx x y xy
x y yy x y
Qu a x y u u u u b x y u u u u
c x y u u u u f x y u u u
được xác định trong một miền bị chặn
trong mặt phẳng
,xy
. Liên quan
đến toán tử Q, ta giả thiết:
i) Hàm
, , , , , , , , , ,a a x y u p q f f x y u p q
được xác định với mọi
, , , ,x y u p q
trong
2
với
là hàm không giảm.
iii) Hàm
f
thỏa mãn các điều kiện:
(2.13)
1
f
u p q
(2.14)
2
sign 1 , , , , ,
f
u v p q x y u p q
trong đó
thỏa mãn điều kiện mặt cầu bên
ngoài và giả sử
là hàm liên tục trên
. Khi đó nếu
Q
là một toán tử
elliptic á tuyến tính thỏa mãn điều kiện (i) – (iii), thì bài toán Dirichlet
(2.15)
0Qu
trong
,
u
trên
,
có nghiệm
2, 0
( ) ( )u C C
.
Chứng minh. Đầu tiên chúng ta chứng minh định lý dưới giả thiết hẹp hơn
(2.16)
f
là bị chặn thì bài toán Dirichlet tuyến tính,
(2.17)
20
xx xy yy
au bu cu f
trong
,
u
trên
,
có duy nhất một nghiệm
20
( ) ( )u C C
. Ta có
10
0
sup supu u C M
,
11
CC
(diam
).
25Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Copyright: Tài liệu đại học ©