LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Nguyễn Văn Khải. Sự giúp đỡ và
hướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình
thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong
cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính
trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường
và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ,
tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin chân thành cảm ơn người thân, gia đình, bạn bè đã
giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa
học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, ngày 05 tháng 11 năm 2013
Tác giả
Đặng Thị Hương
LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Khải.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa
những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự
trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn
trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày 05 tháng 11 năm 2013
Tác giả
Đặng Thị Hương
Mục lục
Mở đầu 1
1 Một số vấn đề về đa thức nội suy 5

tính các giá trị ở cuối bảng".
Giải tích số, Phạm Kỳ Anh, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà
Nội, 2005 tại trang 49 "Nếu cần tính f(x) tại x  x
0
(x  x
n
) ta nên
dùng công thức nội suy Newton tiến (lùi) thì độ chính xác cao hơn."
Giải tích số, Nguyễn Minh Chương - Nguyễn Văn Khải - Khuất Văn
Ninh - Nguyễn Văn Tuấn - Nguyễn Tường, Nhà xuất bản giáo dục, 2009
tại trang 54 "Nếu cần tính f (x) tại x gần x
0
thì nên dùng đa thức nội
suy Newton ở đầu bảng, ý nghĩa tương tự cho đa thức nội suy Newton
ở cuối bảng và giữa bảng."
Phương pháp số, Tôn Tích Ái, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà
Nội, 2001 tại trang 104 "Công thức nội suy Newton tiến được sử dụng để
nội suy và ngoại suy các điểm x nằm gần điểm x
0
đầu tiên của bảng.",
tại trang 105 "Công thức nội suy Newton lùi được sử dụng để nội suy
và ngoại suy các điểm gần với điểm cuối của bảng x
n
."
Toán học tính toán, Doãn Tam Hòe, Nhà xuất bản giáo dục, 2005
tại trang 79 "Với các bảng số liệu quá dài, người ta dùng công thức
2
Newton tiến để nội suy ở đầu bảng, công thức lùi để nội suy ở cuối
bảng".
Giải tích số, Trần Anh Bảo - Nguyễn Văn Khải - Phạm Văn Kiều -

thì tính gần
đúng f(x) sử dụng công thức nội suy Newton tiến lại tốt hơn so với sử
dụng công thức nội suy Newton lùi; tương tự khi x gần x
n
thì tính gần
đúng f (x) sử dụng công thức nội suy Newton lùi lại tốt hơn so với sử
dụng công thức nội suy Newton tiến.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu phương pháp nội suy Newton một cách chi tiết về lý
thuyết và phân tích công thức nội suy Newton tiến, công thức nội suy
Newton lùi trên những bài toán cụ thể nhằm làm sáng tỏ vấn đề trên.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng: Nghiên cứu về đa thức nội suy Newton mốc cách đều
và ứng dụng.
Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, giáo trình liên quan đến công
thức nội suy Newton. Trình bày cụ thể các bài toán nhằm làm sáng tỏ
mục đích nghiên cứu.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết: Thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng
hợp để được một nghiên cứu tổng quan về công thức nội suy Newton
mốc cách đều.
Nghiên cứu ứng dụng: Vận dụng công thức nội suy Newton mốc
cách đều vào giải bài toán.
4
6. Dự kiến đóng góp mới
Đề tài nghiên cứu làm sáng tỏ vấn đề nêu trên và làm rõ tại sao
dẫn đến kết quả đó. Luận văn là tài liệu phục vụ cho các bạn sinh viên
học tập và nghiên cứu.
Chương 1
Một số vấn đề về đa thức nội suy

1
, . . . , ω
n
.
Khi đó, tồn tại duy nhất P
n
(x) ∈ P
n
sao cho
P
n
(x
i
) = ω
i
, i = 0, . . . , n (1.1)
Chứng minh. Đa thức P
n
(x) ∈ P
n
có dạng a
0
+a
1
x +. . . + a
n
x
n
với n +1
hệ số a

0
, x
1
, . . . , x
n
, ) =











1 x
0
x
2
0
··· x
n
0
1 x
1
x
2
1





Để tính V , ta xét hàm dạng định thức
V (x) = V (x
0
, x
1
, . . . , x
n−1
, x) =











1 x
0
x
2
0
··· x
n







(1.3)
rõ ràng V (x) ∈ P
n
, đồng thời V (x) triệt tiêu tại x
0
, x
1
, . . . , x
n−1
hay nói
cách khác V (x) có n nghiệm là x
0
, x
1
, . . . , x
n−1
. Do đó
V (x
0
, x
1
, . . . , x
n−1
, x) = A(x − x

0
, x
1
, . . . , x
n−1
, x) = V (x
0
, x
1
, . . . , x
n−1
)(x −x
0
) . . . (x −x
n−1
). (1.4)
Đặc biệt
V (x
0
, x
1
, . . . , x
n−1
, x
n
) = V (x
0
, x
1
, . . . , x

2
) = (x
1
− x
0
)(x
2
− x
0
)(x
2
− x
1
)
Vậy
V (x
0
, x
1
, . . . , x
n
) =
n

i>j
(x
i
− x
j
). (1.6)


i=j
(x
j
− x
i
)
j = 0, . . . , n.
Khi đó Φ
j
(x) là một đa thức của ẩn x và deg Φ
j
(x) = n với mọi
j = 0, . . . , n, hơn nữa,
Φ
j
(x
i
) =

1 i = j
0 i = j
8
với j = 0, . . . , n.
Đặt
L
n
(x) =
n


n+1
(x
j
) =
n

i=j
(x
j
− x
i
) j = 0, . . . , n.
Thay ω
n+1
(x) và ω

n+1
(x
j
) vào biểu thức của L
n
(x) ta có
L
n
(x) =
n

j=0
y
j

i+1
− x
i
được gọi là tỷ sai phân cấp 1 của hàm số y = f (x)
tại x
i
và kí hiệu là f (x
i
; x
i+1
).
Tỷ số
f(x
i+1
; x
i+2
) −f (x
i
; x
i+1
)
x
i+2
− x
i
được gọi là tỷ sai phân cấp 2 của
hàm số y = f(x) tại x
i
và kí hiệu là f (x
i

Tính chất 1.
f(x
0
; . . . ; x
k
) =
k

i=0
f(x
i
)
ω

(x
i
)
(1.9)
trong đó ω(x) =
k

j=0
(x −x
j
).
Chứng minh. Với k = 1, ta có f (x
0
, x
1
) =

; . . . ; x
n
)
x
n+1
− x
0
=
1
x
n+1
− x
0

n+1

i=1
f(x
i
)
ω

1
(x
i
)
−
n

i=1

; x
1
; . . . ; x
n+1
) =
f(x
0
)
ω

0
(x
0
)(x
0
− x
n+1
)
+
f(x
n+1
)
ω

1
(x
n+1
)(x
n+1
− x

.
Ta có
ω

1
(x
i
) =
ω

(x
i
)
x
i
− x
0
; ω

0
(x
i
) =
ω

(x
i
)
x
i

Vậy
f(x
0
; x
1
; . . . ; x
n+1
) =
n+1

i=0
f(x
i
)
ω

(x
i
)
.
Điều phải chứng minh.
Tính chất 2. Tỷ sai phân là hàm đối xứng với các x
i
,
f(x
0
; x
1
; . . . ; x
n

0
, x
1
, . . . , x
m
là
đôi một khác nhau.
Ta có P (x; x
0
) =
P (x) −P(x
0
)
x −x
0
là đa thức bậc m −1 vì
P (x) −P(x
0
)
x −x
0
=
m

i=1
P
(i)
(x
i
)

0
; x
1
; . . . ; x
m−1
) là đa thức bậc 0. Từ đó ta có điều phải
chứng minh.
1.2.2.2. Công thức nội suy Newton với mốc bất kì
Gọi L
n
(x) là đa thức nội suy Lagrange của hàm số thực y = f(x)
xác định trên đoạn [a; b] và kí hiệu L
n
(x; x
0
), L
n
(x; x
0
; x
1
), . . . là các tỷ
sai phân của L
n
(x) tại x.
Khi đó ta có
L
n
(x; x
0

; x
1
) =
L
n
(x; x
0
) −L
n
(x
0
; x
1
)
x −x
1
.
Từ đó rút ra:
11
L
n
(x; x
0
) = L
n
(x
0
; x
1
) + L

i
.
Từ đó rút ra
L
n
(x) = L
n
(x
0
) + L
n
(x
0
; x
1
)(x − x
0
) + L
n
(x
0
; x
1
; x
2
)(x − x
0
)(x − x
1
) +

k
) = f (x
0
; x
1
; . . . ; x
k
)
(∀k = 1, . . . , n).
Vậy ta có
P
n
(x) = f (x
0
) + f (x
0
; x
1
)(x −x
1
) + f (x
0
; x
1
; x
2
)(x −x
0
)(x −x
1

n−1
f(x)

, n ≥ 1 là sai phân cấp n của f (x) tại x.
Tính chất 4. ∆ là toán tử tuyến tính, nghĩa là ∀α, β ∈, ∀f, g thì
∆(αf + βg) = α∆f + β∆g.
12
Tính chất 5.
i, ∆(c) = 0 với mọi hằng số c.
ii, ∆(x
n
) là đa thức bậc n −1.
iii, ∆
m
(x
n
) = 0 với m > n.
iv, ∆
n
(x
n
) = c.
Tính chất 6. f (x + nh) =
n

i=0
C
i
n
∆

i
C
i
n
f[x + (n −i)h] .
Chứng minh. Ta có ∆
n
f(x) = [(1 + ∆) −1]
n
f(x)
=
n

i=0
(−1)
i
C
i
n
(1 + ∆)
n−i
f(x)
=
n

i=0
(−1)
i
C
i

1
)+. . .+a
n
(x−x
0
) . . . (x−x
n−1
).
Ta có P
n
(x
i
) = f(x
i
) = y
i
với i = 0, . . . , n. Thay x lần lượt bằng
x
0
, x
1
, . . . , x
n
ta thu được
a
0
= y
0
, a
1

0
2!h
2
(x −x
0
)(x −x
1
) + . . .
. . . +
∆
n
y
0
n!h
n
(x −x
0
) . . . (x −x
n−1
).
Dùng phép biến đổi x = x
0
+ th, x
j
= x
0
+ jh, j = 0, . . . , n −1 ta
thu được
P
n

0
, x
i+1
− x
i
= h
∀i = 0, . . . , n − 1. Ta tìm đa thức nội suy

P
n
(x) ở dạng

P
n
(x) = a
0
+a
1
(x−x
n
)+a
2
(x−x
n
)(x−x
n−1
)+. . .+a
n
(x−x
n

h
, . . . , a
i
=
∆
i
y
n−i
i!h
i
.
Vậy ta có

P
n
(x) = y
n
+
∆y
n−1
1!h
(x −x
n
) +
∆
2
y
n−2
2!h
2

n
+
∆y
n−1
1!
t+
∆
2
y
n−2
2!
t(t+1)+. . .+
∆
n
y
0
n!
t(t+1) . . . (t+n+−1).
(1.12)
Công thức (1.12) là công thức nội suy Newton lùi hoặc đa thức nội
suy Newton ở cuối bảng.
Nhận xét 1.3. Công thức nội suy Newton tiến, công thức nội suy New-
ton lùi cũng chỉ là cách viết khác của công thức nội suy Lagrange.
Chương 2
Phân tích công thức nội suy
Newton mốc cách đều
Trong chương này, tác giả tiến hành phân tích định tính và phân
tích định lượng công thức nội suy Newton tiến, công thức nội suy Newton
lùi trên các bài toán cụ thể thông qua đánh giá số phép toán cần thực
hiện và sai số mắc phải nhằm làm sáng tỏ vấn đề luận văn đưa ra, đó

n!
t(t −1) . . . (t −n +1),
công thức nội suy Newton lùi

P
n
(x
n
+th) = y
n
+
∆y
n−1
1!
t+
∆
2
y
n−2
2!
t(t+1)+. . .+
∆
n
y
0
n!
t(t+1) . . . (t+n−1).
Công thức nội suy Newton tiến và công thức nội suy Newton lùi
đều là các đa thức có bậc cao nhất bằng n.
14

0
ta
nên dùng công thức nội suy Newton tiến, nếu cần tính gần đúng f(x)
tại x gần x
n
ta nên dùng công thức nội suy Newton lùi thì độ chính xác
cao hơn." về lý thuyết là chưa thuyết phục.
2.2. Phân tích qua các bài toán cụ thể
Trong mục này, tác giả sử dụng phần mềm Maple 16 để tính gần
đúng giá trị của f(x) bằng công thức nội suy Newton tiến và công thức
nội suy Newton lùi. Từ đó đánh giá sai số của công thức trong từng
trường hợp cụ thể. Trong các bài toán sau, các kết quả được làm tròn
đến 15 chữ số sau dấu chấm thập phân.
2.2.1. Các bài toán lượng giác, lượng giác ngược
Bài toán 2.1. Cho f(x) = sin(πx) trên [0; 1] với 15 mốc nội suy cách
đều x
i
= 0 + ih, h =
1
15
, i = 0, . . . , 15.
16
1) Tính gần đúng f

1
100

, f

99


P (x) và chỉ ra sai số ∆

P .
Lời giải.
1) Ta có f

1
100

≈ 0.031410759078128
f

99
100

≈ 0.031410759078128.
2) Lập đa thức nội suy Newton tiến P (x) của hàm số f(x) = sin(πx)
với 15 mốc nội suy cách đều trên [0; 1]:
P (x) = P

t
15

= −3.474640026 ×10
−21
t
14
+ 3.648372031 × 10
−19

+ 0.000003358242421t
5
−3.19587 ×10
−12
t
4
− 0.001531174155t
3
−1.5625 ×10
−12
t
2
+ 0.2094395102t.
3) Lập đa thức nội suy Newton lùi

P (x) của hàm số f (x) = sin(πx) với
15 mốc nội suy cách đều trên [0; 1]:
17

P (x) =

P

1 +
t
15

= −3.474640026 ×10
−21
t

−13
t
6
−0.000003358242421t
5
− 3.19587 × 10
−12
t
4
+0.001531174155t
3
− 1.5625 × 10
−12
t
2
− 0.2094395102t.
4) Tính gần đúng f

1
100

bằng cách áp dụng:
a) P

1
100

= 0.031410759072201.
Sai số mắc phải ∆P = 10
−12


P

99
100

= 0.031410759072201.
Sai số mắc phải ∆

P = 10
−12
× 5.927.
Nhận xét 2.1. Sử dụng công thức nội suy Newton tiến, công thức nội
suy Newton lùi để tính gần đúng f(x) = sin(πx) với 15 mốc nội suy cách
đều trên [0; 1] ta thấy:
- Với x =
1
100
gần x
0
thì công thức nội suy Newton tiến cho ta kết
quả có độ chính xác cao hơn công thức nội suy Newton lùi.
- Với x =
99
100
gần x
15
thì công thức nội suy Newton lùi cho ta kết
quả có độ chính xác cao hơn công thức nội suy Newton tiến.
Như vậy, trong bài toán này để tính gần đúng f(x) khi x gần x


P (x) với 15 mốc nội suy cách
đều ở trên.
4) Tính gần đúng f

1
100

bằng cách áp dụng:
a) Công thức nội suy Newton tiến P (x) và chỉ ra sai số ∆P .
b) Công thức nội suy Newton lùi

P (x) và chỉ ra sai số ∆

P .
5) Tính gần đúng f

99
100

bằng cách áp dụng:
a) Công thức nội suy Newton tiến P (x) và chỉ ra sai số ∆P .
b) Công thức nội suy Newton lùi

P (x) và chỉ ra sai số ∆

P .
Lời giải.
1) Ta có
f

13
+1.400517347 ×10
−17
t
12
+ 1.15564540 × 10
−17
t
11
−4.486962438 ×10
−14
t
10
+ 8.97847882 × 10
−16
t
9
+9.181704978 ×10
−11
t
8
+ 2.37842 × 10
−14
t
7
−1.172247952 ×10
−7
t
6
+ 1.983241 × 10

15
+5.478024786 ×10
−21
t
14
+ 4.80880809 × 10
−20
t
13
−1.400517350 ×10
−17
t
12
+ 1.15564538 × 10
−17
t
11
+4.486962439 ×10
−14
t
10
+ 8.97847882 × 10
−16
t
9
−9.181704978 ×10
−11
t
8
+ 2.37842 × 10

1
100

= 0.999506560365706.
Sai số mắc phải ∆P = 10
−14
× 2.6.
b)

P

1
100

= 0.999506566761575.
Sai số mắc phải ∆

P = 10
−9
× 6.395843.
5) Tính gần đúng f

99
100

bằng cách áp dụng:
a) P

99
100

99
100
gần x
15
thì công thức nội suy Newton lùi cho ta kết
quả có độ chính xác cao hơn công thức nội suy Newton tiến.
Như vậy, trong bài toán này để tính gần đúng f(x) khi x gần x
0
sử
dụng công thức nội suy Newton tiến tốt hơn công thức nội suy Newton
lùi, tương tự để tính gần đúng f(x) khi x gần x
15
sử dụng công thức nội
suy Newton lùi tốt hơn công thức nội suy Newton tiến.
Bài toán 2.3. Cho f(x) = tan(x) trên [0; 1] với 15 mốc nội suy cách
đều x
i
= 0 + ih, h =
1
15
, i = 0, . . . , 15.
1) Tính gần đúng f

1
1000

, f

999
1000


P (x) và chỉ ra sai số ∆

P .
Lời giải.
1) Ta có
f

1
1000

≈ 0.001000000333333
f

999
1000

≈ 1.553987531329528.
2) Lập đa thức nội suy Newton tiến P (x) của hàm số f (x) = tan(x) với
15 mốc nội suy cách đều trên [0; 1]:
P (x) = P

t
15

= 1.561286677 ×10
−18
t
15
− 1.5056778 × 10

7
− 5.98637 × 10
−8
t
6
+ 3.41433 × 10
−7
t
5
−3.18260 ×10
−7
t
4
+ 0.00009916195t
3
− 2.8383 × 10
−7
t
2
+0.06666675331581t.
3) Lập đa thức nội suy Newton lùi

P (x) của hàm số f(x) = tan(x) với
15 mốc nội suy cách đều trên [0; 1]:

P (x) =

P

1 +

9
+ 4.139700443 × 10
−8
t
8
+4.397372 ×10
−7
t
7
+ 0.0000041907803t
6
+ 0.000037463668t
5
+0.000324793967t
4
+ 0.00279892817t
3
+ 0.02370997856t
2
+0.2283676829394t + 1.55740772465490.
4) Tính gần đúng f

1
1000

bằng cách áp dụng:
a) P

1
1000

= 1.553987534809942.
Sai số mắc phải ∆P = 10
−9
× 3.480414.
b)

P

999
1000

= 1.553987534726090.
Sai số mắc phải ∆

P = 10
−9
× 3.396562.
Nhận xét 2.3. Sử dụng công thức nội suy Newton tiến, công thức nội
suy Newton lùi để tính gần đúng f(x) = tan(x) với 15 mốc nội suy cách
đều trên [0; 1] ta thấy:
- Với x =
1
1000
gần x
0
thì công thức nội suy Newton tiến cho ta
kết quả có độ chính xác cao hơn công thức nội suy Newton lùi.
- Với x =
999
1000

trực tiếp từ biểu thức f(x) =
cot(x).
2) Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến P (x) với 15 mốc nội suy cách
đều ở trên.
3) Xây dựng đa thức nội suy Newton lùi

P (x) với 15 mốc nội suy cách
đều ở trên.