LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2 dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Hà Đức Vượng. Qua đây, cho
phép tôi bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến TS. Hà Đức Vượng - người
thầy đã giúp đỡ, chỉ bảo tận tình để tôi hoàn thành Luận văn này.
Tôi bày tỏ lòng biết ơn đối với Ban giám hiệu, Phòng sau Đại học
và các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy và quan tâm trong suốt thời
gian học tập tại Trường ĐHSP Hà Nội 2.

Hà nội, ngày 1 tháng 10 năm 2010
Tác giả LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng
tôi.
Trong khi nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừa
thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân
trọng và biết ơn. Hà nội, tháng 9 năm 2010
Tác giả


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

1.1. Không gian metric
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2. Không gian metric xác suất
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3. Không gian metric xác suất Menger
. . . . . . . . . . . . . . .
17
Chương 2. Điểm bất động của các ánh xạ co trong không
gian metric

2.1. Các lớp ánh xạ co
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.2. Điểm bất động
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Chương 3. Các lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất

3.1. Các lớp ánh xạ co xác suất
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.2. Điểm bất động
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Kết luận
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

tục, mở đầu là Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912).
Hướng thứ hai nghiên cứu về điểm bất động của các ánh xạ dạng
co, mở đầu là Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922).
Năm 1922, Banach đã đưa ra một kết quả quan trọng về điểm bất
động cho lớp ánh xạ co, đó là Nguyên lý ánh xạ co Banach. Từ đó lớp ánh
xạ này đã được mở rộng bởi nhiều tác giả khác như Rakotch, Sadovskij,
Krasnoselskij, Boyd – Wong, Meir – Keeler,
Năm 1942 Menger đã đưa ra khái niệm "metric xác suất" . Đó là sự
2 mở rộng " xác suất" của khái niệm metric thông thường: thay cho việc
xét khoảng cách
(, )dxy
, người ta xét hàm phân bố
,
()
xy
Ft
biểu diễn xác
suất để cho
(, )dxy t
, với
t
là một số thực. Khái niệm này đã thu hút sự
quan tâm của nhiều nhà toán học, đặc biệt là Schweizer và Sklar đã xây
dựng thành lý thuyết về không gian metric xác suất, viết thành sách
chuyên khảo xuất bản năm 1983. Các lớp ánh xạ co cùng với kết quả về
điểm bất động của chúng đã được nghiên cứu trong các không gian này.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, nhờ sự hướng dẫn

trong không gian metric và lớp ánh xạ co trong không gian metric xác
suất.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về:
“Các lớp ánh xạ co trong không gian metric xác suất
và điểm bất động”.
5. Phương pháp nghiên cứu
− Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu.
− Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
6. Dự kiến đóng góp mới
Đây là một bài tổng quan về các lớp ánh xạ co và điểm bất động.
Mối quan hệ giữa lớp ánh xạ co và điểm bất động trong không gian
metric và không gian metric xác suất.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị Năm 1942 Menger đã đưa ra khái niệm "metric xác suất" . Đó là sự
mở rộng " xác suất" của khái niệm metric thông thường: thay cho việc
xét khoảng cách
(, )dxy
, người ta xét hàm phân bố
,
()
xy
Ft
biểu diễn xác

   
, ,, ,d xy dyx xy X 
.
3.
     
, ,,dxy dxz dzy
,
,xy X
.
Ánh xạ
:dX X
gọi là metric trên X, số
 
,d xy
gọi là khoảng
5 cách giữa hai phần tử
x
và
y
. Các phần tử của
X
gọi là các điểm, các
tiên đề 1, 2, 3 gọi là hệ tiên đề metric.

Định nghĩa 1.1.2 [1]. Cho không gian metric
 
,Xd

ta đặt:

2
1
(, ) ( )
k
jj
j
dxy x y



.
(1.1)
Ta có
 
,d xy
là một metric trên
k

.
Chứng minh.
Hiển nhiên ta có:
 
2
1
0
k
jj
j

2
1
0
k
jj
j
xy



.
Ta suy ra
 
2
0, 1,2, , .
jj
xy j k  

Hay
, 1,2, , .
jj
x yj k 

Do đó ta có
xy
.
Vậy
 
, 0 ,, .
k

Vậy
   
, ,, , .
k
d xy dyx xy 

Bây giờ ta kiểm tra tiên đề 3 về metric. Trước hết ta chứng minh
bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopski.
Với 2k số thực a
j
, bj (j = 1, 2, ,k) ta có:

22
1 11
.
k kk
jj j j
j jj
ab a b
 

 
. (1. 2)
Thật vậy:
7
2
11

kk k
j j jj
jj j
a b ab
 
    
 
 
 

 
 
 
 
 
    
 
.
Từ đó suy ra bất đẳng thức (1.2).
Với 3 vectơ bất kỳ
12 12 12
( , , , ), ( , , , ), ( , , , )
k kk
x xx x y yy y z zz z 

thuộc
k

ta có:


( ) 2. ( )
kk k
jj jjjj jj
jj j
xz xzzy zy
 
     
 2 2 22
11
( , ) 2. ( ) . ( ) ( , )
kk
jj jj
jj
dxz x z z y dzy

   
22
(, ) 2.(, ).(, ) (, )d xz dxz dzy d zy 2
(, ) (, )dxz dzy



,,ab a b

    


. Với hai hàm
số bất kỳ
,
(), ()
ab
x xt y yt C



 
ta đặt:
     
, max
atb
d xy x t yt


(1.3)
Vì các hàm số
   
,xt yt
liên tục trên đoạn
,ab



, max 0
atb
d xy x t yt

 
với mọi
,.t ab





Ta có
(, ) 0dxy

   
max 0
atb
xt yt

 () () 0xt yt() () 0xt yt

atb
xt yt

 
,
,, , .
ab
d yx xy C



 

Vậy
   
,,d xy d yx
,
,
,
ab
xy C




.
Bây giờ ta kiểm tra bất đẳng thức tam giác, nghĩa là:


    
   
max max
atb atb
xt zt zt yt
 
     
,
, , , ,, .
ab
dxz dzy xyz C



  

Suy ra ta có
     
, ,,dxy dxz dzy
,
,
,,
ab

d xy
khi x y










(1.4)
Khi đó
 
,Xd
là một không gian metric.
10 Chứng minh.
Thật vậy hệ thức (1.4) xác định một ánh xạ từ tích Descartes
XX

vào tập hợp số thực

. Ta kiểm tra hệ thức (1.4) về các tiên đề metric.
Với hai phần tử bất kỳ
,xy X
.

, ,0d xy d yx
.
Nếu
xy
thì
yx
, do đó
   
, 1, , 1d xy d yx
.
Vì vậy
   
,,d xy d yx
với mọi
,xy X
.
Do đó (1.4) thỏa mãn tiên đề 2 về metric.
Cuối cùng, ta kiểm tra tiên đề 3 về metric, đó là bất đẳng thức tam giác.
Với ba phần tử
,,xyz X
ta có:
Giả sử
xy
thì
 
,0d xy 
. Theo chứng minh trên ta có
 
,0
d xz 

     
, ,,dxy dxz dzy
.
Nếu
zy
thì
zx
, khi đó
 
,1d xz 
,
 
,0d zy 
. Suy ra
     
, ,,dxy dxz dzy
.
Nếu
zx
,
zy
thì
   
, ,1dxz dzy
, khi đó ta có
     
, ,,dxy dxz dzy

Vì vậy ta có
     

( , ) , , max .
k
jj jj
jk
j
d xy x y d xy x y


  


Dễ dàng ta kiểm tra được
1
d
và
2
d
cũng là các metric trên
k

.

1.2. Không gian metric xác suất
Định nghĩa 1.2.1 [8]. Một ánh xạ
: 0, 1F






t
t
t uv
Ft
t
















Ta có
 
,uv
Ft
là hàm phân bố.
Chứng minh.
Trước hết ta chứng minh
 
,uv

Ft
t uv



Ta phải chứng minh
   
,1 ,2uv uv
Ft Ft
.
Thật vậy, ta có
 
  
21
21
21
21
t tu v
tt
t uv t uv
t uvt uv


 
 
.
Do
21
0tt
nên

.
Ta có
   
,1 ,2
.
uv uv
Ft Ft

Vậy
 
,uv
Ft
là hàm không giảm.
Tiếp theo ta chứng minh
 
,uv
Ft
là hàm nửa liên tục dưới.
Do
 
,uv
Ft
là hàm liên tục nên nó là hàm nửa liên tục dưới.
Cuối cùng ta tính
 
,
sup
uv
t
Ft








 








Vậy
 
,
sup 1
uv
t
Ft




.
Mặt khác, do
 

,X 
, ở đây
X
là một tập hợp khác rỗng
và
 
 
,xy
Ft
là họ các hàm phân bố thỏa mãn các điều kiện sau:
1.
 
,
00
xy
F 
với mọi
,.xy X

2.
 
,
1
xy
Ft
,
0t
nếu và chỉ nếu
.xy



Định lý 1.2.1 [12]. Mọi không gian metric đều là không gian metric xác
suất.
Chứng minh.
Cho không gian metric
 
,Xd
, xác suất
P
.
Với
,xy X

,
t
đặt
 
,
() ( , ) ,
xy
F t P dxy t t  
.
Họ các hàm phân bố
 
,
,,
xy
F xy X 
là một metric xác suất trên X.
Khi đó

Ft
là hàm không giảm.
Giả sử
12
tt
,
12
,tt

ta có:15  
   
 
,1 1
1 21 2
2
,2
( ) (, )
(, ) (,
(, )
( ).
xy
xy
F t P dx y t
P dxy t P t t dxy t

xy
t Ft  
. Để chứng minh
 
,xy
Ft
là hàm nửa
liên tục dưới ta sẽ chứng minh
 
 
,
:1
xy
t Ft  
là tập đóng.
Thật vậy, theo định nghĩa của hàm phân bố ta có:
   
,,
inf 0 1
xy xy
Ft Ft   

,
với
 
, 0;1t   
.
Do đó tập hợp
 
 

xy
F t t xy X    
, với
0t 
thì
 
,
00
xy
F 
,
,xy X
.
Vậy
 
,,
inf ( ) 0 0 .
xy xy
t
Ft F




Bây giờ ta tính
,
sup ( )
xy
t
Ft

 
 
,
lim lim ,
, 1.
xy n n
nn
F t P d xy t
P d xy
 

   

Suy ra
 
,
su p 1, , .
xy
t
F t xy X

 


Vậy
,xy
F
là hàm phân bố.
Bây giờ ta chứng minh
 

,0d xy 
. Đặt
 
1
,t d xy
. Suy ra
1
0.t Do tính chất trù mật của tập hợp

,
2
0t
sao cho
12
0.tt

Ta có
 
 
2
,0P d xy t
, mâu thuẫn với (1.5).
Vậy
xy
.
Nếu
xy

nên ta có
17    
 
 
 
 
,
,
,
,.
xy
yx
F t P d xy t
P d yx t F t t

   

Vậy
   
,,xy yx
Ft Ft
,
,xy X
.
4. Cuối cùng,
,,xyz X
,

.

Vậy họ hàm phân bố
 
,
,,
xy
F xy X 
xác định như trên là
một metric xác suất trên X.
Ta có
 
,X 
là một không gian metric xác suất.

1.3. Không gian metric xác suất Menger
Định nghĩa 1.3.1 [17]. Một ánh xạ
: 0;1 0;1 0;1
 
 
 
 
được gọi là một
chuẩn tam giác, viết tắt là
t
- chuẩn (triangular norm) nếu những điều
kiện sau đây được thỏa mãn:
1.
 
,1aa


.
4.
 
 
 
 
, , ,,a bc ab c   
với mọi
, , 0;1abc




.

Nhận xét 1.3.1. Ta có một số chuẩn tam giác cơ bản thường gặp sau đây:
 
 
1
, max 1, 0ab a b  
.
 
2
,.a b ab
.
 
 
3
, min ,ab ab

2
,.a b ab
.
Vì
, 0;1ab




, nên
10a 
;
10b 
.
Suy ra
( 1)( 1) 0ab
 
.
Hay
10ab a b
.
Do đó
1ab a b 
.
Vậy
12
 
.
Mặt khác do
, 0;1ab

- chuẩn thỏa mãn các điều kiện
sau:
1.
 
,
0 0, ,
xy
F xy X 
.
2.
 
,
1, 0
xy
Ft t x y   
.
3.
   
,,
, ,,
xy yx
Ft Ft t xyX   
.
4.
   
 
 
,, ,
, , , , ,,
xy yz xz

F t s F tF t 
 

Do định nghĩa của hàm phân bố:
 
,
sup 1
xy
t
Ft



nên suy ra
 
,
1
xz
Fts
.
Vậy không gian metric xác suất Menger là trường hợp riêng của
không gian metric xác suất.

Nhận xét 1.3.3. Nếu
 
,,X 
là một không gian metric xác suất Menger
thì nó là một không gian tô pô Hausdorff , tô pô sinh bởi một họ
 
,

nếu với
0 
và
0 
tùy ý,
tồn tại một số nguyên dương
 
,NN
sao cho
 
,
1
n
xx
F 
với mọi
nN
.
Điều này nghĩa là: Với
0 
tùy ý và
0 
,


,,NN N 
sao cho
 
,
1

,NN
sao cho
,
1
nm
xx
F 
với mọi
,nm N
.
Điều này nghĩa là: Với
0 
tùy ý và
0 
,
 
,,NN N 
sao
cho
 
,
1
nm
xx
F 
với mọi
,nm N
. Tức là
 
,

1.
 
, 0,d xx x X 
.
2.
   
, ,, ,d xy d yx xy X 
.
3.
     
, , , , ,,d xz d xy d yz xyz X  
.

Định nghĩa 1.3.7 [8]. Cho tập hợp
X
khác rỗng và ánh xạ
 
: , 0;1d XX

 
.
Họ
 
 
, 0;1d

 
được gọi là một họ giả metric nếu:
1.
 

,
0;1a




,
thì không gian metric xác suất Menger
 
,,XF
chứa một họ giả metric.
Chứng minh.
Với
 
0;1 
và mọi
,xy X
, ta đặt
   
 
,
, sup : 1
xy
d xy t F t

 
.
Hiển nhiên
:d XX


 
,
sup : 1 0
xx
t Ft   
.
Vậy
 
,0d xx


.
2.
   
,,d xy d yx


,
,xy X
.
Theo tính chất của hàm phân bố
   
,,xy yx
Ft Ft
,
t
,
,xy X
ta
có:

   
 
 
,
, sup : 1 , 0,1
xy
d xy t F t

   
.
Theo định nghĩa của supremum,
 
nn
tt
sao cho
 
,
n
t d xy


.
Ta có

 
 
 
,
, 1 , , , 0,1
xy