-1
-
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN HOÀNG HƯƠNG
TÍCH PHÂN LOẠI CAUCHY
VÀ CÁC BÀI TOÁN BIÊN
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Huy Lợi
Trang phụ bìa 1
Lời cam đoan 2
Mục lục 3
Mở đầu 4
Chương 1. Tích phân Cauchy 6
1.1. Khái niệm về hàm giải tích 6
1.2. Lý thuyết tích phân Cauchy 8
Chương 2. Tích phân loại Cauchy và các bài toán biên 11
2.1. Tích phân loại Cauchy 11
2.2. Các bài toán biên 23
2.2.1. Bài toán biên Hilbert – Privalov 23
2.2.2. Công thức Keldysh – Sedov 32
2.2.3. Bài toán biên Riemann – Hilbert 38
2.2.4. Bài toán đạo hàm riêng 40
2.2.5 Dạng khác của bài toán đạo hàm riêng 41
2.2.6. Bài toán hỗn hợp đối với hàm điều hoà 43
Chương 3. Một số ứng dụng 45
3.1. Ứng dụng để giải quyết các vấn đề của lý thuyết toán học 45
3.1.1. Hệ Carleman 45
3.1.2. Hệ Elliptic tuyến tính 49
3.1.3. Lý thuyết đạn lõm 57
3.2. Ứng dụng để giải quyết một số bài toán cụ thể 70
3.2.1. Bài toán Tricomi 70
3.2.2. Các bài toán thuỷ - khí động học 74
3.2.3. Các bài toán về lý thuyết đàn hồi 84
Kết luận 95
Tài liệu tham khảo
96
-4
-
trong không gian phức và một số ứng dụng của nó.
Nội dung luận văn gồm có 3 chương:
- Chương 1. Tích phân Cauchy
- Chương 2. Tích phân loại Cauchy và các bài toán biên
- Chương 3. Một số ứng dụng
5. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc sách, nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo
- Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu và ứng dụng
của nó.
6. Giả thuyết khoa học
Luận văn tập trung nghiên cứu một số đối tượng Toán học, nâng nó
thành đề tài nghiên cứu và đề xuất các ứng dụng của nó.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS.NGƯT
Nguyễn Huy Lợi đã hướng dẫn tôi tận tình, thường xuyên dành cho tôi sự chỉ
bảo, động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn đúng thời hạn.
Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ban lãnh đạo, các thầy
cô giáo, cán bộ nhân viên Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiên
thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập tại trường.
Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, anh em, bạn bè, đồng nghiệp đã
động viên, tạo mọi điều kiện để luận văn này có thể được hoàn thành.
Do thời gian và khả năng còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi
những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các
thầy giáo, cô giáo và các bạn.
Hà Nội, tháng 09 năm 2009
Tác giả
Nguyễn Hoàng Hương
-6
-
Như vậy
'
( )f z
=
z
zfzzf
z
)()(
lim
0
.
Hàm f có đạo hàm phức tại z cũng được gọi là khả vi phức hay
-khả vi
tại z.
Bởi vì
0
lim
z
[f(z+
z
)-f(z)] =
0
( ) ( )
lim 0
z
Định lý 1.1.
Nếu f(z) và g(z) khả vi phức tại z
o
thì αf(z) + βg(z), f(z)g(z) và f(z)/g(z)
(g(z
o
) ≠ 0) cũng khả vi phức tại z
o
với mọi α, β
và
(i) (αf + βg)’(z
o
) =
' '
0 0
f (z ) + g (z )
-7
-
(ii) (fg)’(z
o
) =
)()()()(
0000
zgzfzgzf
thì hàm hợp
g f
khả vi phức tại z
o
và
' ' '
0 0 0
(gf) (z )= g (f(z ))f (z )
.
Ví dụ 1.1.
a) Rõ ràng
z
= 1, do đó theo công thức (ii) và quy nạp theo n ta có:
(z
n
)’ = nz
n-1
.
Từ đó, nếu f(z) = a
o
z
n
+ … + a
n
thì
' 1
0 1
.
Như vậy f
-khả vi tại
1
2
z
.
c) Từ ví dụ b) suy ra nếu f(z) = P(z)/Q(z) là hàm hữu tỉ thì nó
-khả vi tại
mọi z mà nó xác định.
Định nghĩa 1.2.
Hàm f xác định trong miền
với giá trị trong
gọi là giải tích
(chỉnh hình) tại
0
z
nếu tồn tại r > 0 để f
-khả vi tại mọi z
D(z
0
,r)
) và f(z) ≠ 0 với
z
thì 1/f
H(
)
(iv) Nếu f
H(
) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi.
-8
-
Định lý 1.3.
Nếu f :
và g :
là các hàm giải tích, ở đây
và
là các
miền trong mặt phẳng (z) và (w) thì
tuyến trơn từng khúc γ
Ω ta có:
.0
fdz
Định lý 1.6.
Giả sử Ω là miền đơn liên bị chặn, với biên,
là một chu tuyến trơn
từng khúc. Khi đó, nếu f là hàm liên tục trên
=
và chỉnh hình trên
Ω thì:
.0
D
fdz
Ta gọi Ω là miền n – liên (hay đa liên bậc n) nếu biên của Ω gồm có chu
tuyến ngoài γ và các chu tuyến γ
1
, γ
, giải tích trên Ω thì
.0
fdz
-9
-
Định lý 1.8. (Định lý về sự tồn tại của nguyên hàm)
Giả sử f là hàm liên tục trên miền đơn liên Ω sao cho tích phân của f dọc
theo mọi chu tuyến bất kỳ nằm trong Ω đều bằng 0.
Khi đó, với mọi z
o
= Ω cố định, hàm
z
z
dfz
0
)()(
là giải tích trong
miền Ω và
)()(
'
zfz
z
0
)(
2
1
(1.1)
Nếu thêm f liên tục trên
và
là
một chu tuyến thì với mọi
z
ta có:
f(z) =
d
z
f
i
)(
2
1
zD
,
,
là miền 2-liên, nên theo định lý 1.4. ta có:
0
)(
0
d
z
f
C
.
Hình 1.1
-10-
Từ đó có đẳng thức:
d
z
f
C
0
)(
=
2
0
0
2
0
0
2
0
00
0
0)()(lim dzfezfi
i
.
Vì thế
)(2
)(
lim
0
0
0
zifd
z
f
C
f(z) =
C
z
df
i
)(
2
1
(2.1)
là hàm số giải tích bên trong chu tuyến đóng C thông qua các giá trị của nó
trên đường biên. Ta giả sử rằng C là đường cong tự do không có điểm gãy
khúc (đóng kín hoặc không đóng kín) và trong đó đã cho hàm số tự do
)(
f
liên tục khắp nơi, có thể trừ ra hữu hạn điểm.
Tích phân
F(z) =
C
z
df
phân loại Cauchy trong trường hợp tổng quát không phải là tích phân Cauchy,
-12-
nghĩa là giá trị hàm
( )f
sẽ không là giá trị F(z) khi
z
. Thật vậy, việc
cho trên biên của miền chỉ một phần thực của hàm giải tích xác định được
phần thực ở bên trong miền. Khi đó, từ phương trình Cauchy - Riemann bên
trong miền với độ chính xác đến hằng số xác định được phần ảo của hàm và
do đó xác định được cả giá trị giới hạn của nó theo z tiến tới biên của miền.
Bởi vậy, khi đó trên biên hai hàm không có liên hệ gì với nhau là phần thực
và phần ảo của hàm
( )f
, cho nên trong trường hợp tổng quát không thể hy
vọng rằng hàm F(z) với
z
tiến tới giá trị đã cho.
Để xét các giá trị giới hạn của tích phân loại Cauchy, đầu tiên chúng ta
tìm hiểu ý nghĩa của tích phân này, khi điểm z nằm trên giới hạn tích phân C.
Nếu điểm z nằm trên C, tích phân (2.2), nói chung, khác với hàm số tích phân
dần tới vô cùng khi
z
Hiển nhiên rằng, điều kiện Golder biểu diễn sự kiện là số gia của hàm số
là vô cùng bé, bậc không nhỏ hơn μ đối với số gia của biến số.
Giả sử rằng tích phân loại Cauchy tồn tại
với z =
0
, nếu hiểu theo cách đặc biệt là tìm
thấy những biểu thức thông qua các tích phân
thông thường. Đầu tiên giả sử
0
là một điểm
nhọn của đường C,
và
là điểm giao
của C với đường tròn
0
z r
, c là một
Hình 2.1
-13-
đoạn của đường cong C nằm giữa
. (2.4)
Nhưng
0
'
0
''
0
0
00
0
lnln)ln()ln(
''
'
-
0
) là liên tục thay đổi khi
mô tả cung tròn
rz
0
từ phía trái của đường C. Từ điều kiện cuối
0
''
0
'
, ta có:
i
r
0
'
0
"
d
ff
d
ff
CcC
r
(2.6)
thêm vào đó tích phân cuối có thể được hiểu theo nghĩa thông thường. Vì vậy,
công thức (2.4) trở thành:
),()(ln)(
)()(
)(
0
0
0
0
0)(
rO
khi
.0r
Từ công thức (2.7) cho thấy rằng tồn tại giới hạn
CcC
r
dfdf
00
0
)()(
lim
;
-14-
giới hạn này được gọi là giá trị chính của tích phân, còn bản thân tích phân
trong giới hạn này xác định bởi công thức (2.7) được gọi là tích phân đặc biệt
(trong ý nghĩa Cauchy). Trong định nghĩa của tích phân đặc biệt tồn tại một
cung c từ đường cong C nén lại tại điểm
0
1
lnlnlimlim
0
1
1
0
r
r
x
Cauchy sẽ tồn tại tại điểm này và giá trị chính của nó sẽ biểu thị qua tích
phân thông thường bằng công thức:
.ln
2
)(
)(
2
1
)()(
2
1)(
2
1
)(
0
00
0
0
0
0
0
1)(
2
1
)(
0
0
0
0
0
fd
ff
i
df
i
F
CC
)()(
2
1
)(
0
00
0
0
0
0
a
từ z tới đường cong C - là một số hữu hạn thì ta có công thức:
.
)()()()(
lim
0
00
0
d
ff
d
z
ff
CC
z
(2.11)
Để chứng minh ta sẽ đánh giá hiệu các tích phân nằm phía trái và phía
là một số bất kỳ, số đó ta sẽ nghiên cứu sau, đoạn thứ hai chúng ta sẽ
nghiên cứu trên phần còn lại C
’
= C - c.
Đối với tích phân thứ nhất, sử dụng điều kiện Golder (chúng ta coi
là
đủ nhỏ) và cùng với điều kiện
dz
, ta thu được:
.
1
0
0
0
1
cc
d
d
hM
const
t
dt
MA
d
h
Từ đây, rõ ràng thấy rằng
có thể chọn nhỏ đến mức sao cho
1
không
vượt quá
2/
cho trước.
Bởi vì đường cong C
’
không chứa điểm
0
nên khi cố định
. Đối với giá trị h ta có
21
, điều này
đã chứng minh xong bổ đề.
Với bổ đề này chúng ta thu được công thức đối với các giá trị giới hạn
của tích phân loại Cauchy.
-17-
Định lý 2.2. (J. V. Sokhotsky)
Giả sử rằng
0
là điểm đúng của chu tuyến C khác với hai đầu mút của
nó, hàm số f(
0
) ở tại điểm này thoả mãn điều kiện Golder với chỉ số
1
và điểm z →
0
sao cho tỉ số h/d vẫn còn bị chặn. Lúc đó tích phân loại
Cauchy có giá trị giới hạn
)(
0
1
)()(
000
000
fFF
fFF
(2.12)
ở đó
)(
0
F
là tích phân đặc biệt (2.9).
Giả sử C là đường cong kín chạy theo hướng dương, chúng ta có:
CCC
z
d
i
f
d
,
)()(
0
0
d
ff
C
còn tích phân thứ hai bằng
i
2
, hoặc bằng 0, tuỳ thuộc vào z nằm bên trái hay
phải của đường cong C (nghĩa là bên trong hay bên ngoài C). Với điều này,
chúng ta chuyển công thức (2.13) tiến đến giới hạn khi z →
0
(bên trái hay
bên phải của C):
),(
)()(
2
1
0
d
ff
i
F
C
-18-
Thay vào đây giá trị của tích phân lấy từ công thức (2.9), chúng ta nhận
được công thức Sokhotsky cần tìm (2.12).
Bây giờ xét với C là đường cong không kín, chúng ta bổ sung vào đó
một đường cong C
’
để được một đường cong khép kín C
0
=C+C
’
và đặt
0)(
chúng ta đã chứng minh công thức Sokhotsky (2.12) sẽ là đúng, trong đó tích
phân
)(
0
F
được lấy dọc theo C
0
. Tuy nhiên, vì
0)(
f
trên đường cong
C
’
nên tích phân cuối sẽ được thay thế bằng tích phân dọc theo đường cong C.
Định lý đã được minh chứng.
Nếu điểm
0
không là điểm nhọn trên C với góc tiếp tuyến bằng α, thì
thay vì sử dụng công thức (2.9) ta dùng công thức (2.10) (trong đó đặt a = b),
chúng ta thu được công thức Sokhotsky ở dạng đơn giản hơn:
Từ công thức Sokhotsky (2.12) đối với trường hợp điểm nhọn, công thức
(2.14) kết luận rằng khi chuyển qua đường tích phân C tại điểm
0
thì tích
phân loại Cauchy sẽ là:
).()()(
000
fFF
(2.15)
Công thức (2.15) có chứa lời giải cho vấn đề mà chúng ta đã đặt ra ở
phần đầu về việc tìm điều kiện để tích phân loại Cauchy trở thành tích phân
Cauchy. Chúng ta thấy rằng, nếu đường cong C khép kín và tại mỗi điểm của
-19-
nó
0)(
F
thì giá trị giới hạn F(z) tính từ bên trong C, tức là F
+
(
), bằng
f(
), điều đó có nghĩa là F(z) là tích phân Cauchy. Ngược lại, nếu F(z) là tích
phân Cauchy, tức là F
với chỉ số
1
, thì để giá trị của nó là giá trị biên của các hàm số, giải tích
bên trong C, cần và đủ thoả mãn đẳng thức sau:
C
n
df 0)(
(n = 0, 1, 2, …). (2.17)
Thật vậy, bởi vì đối với | z | lớn
,1
11
0
1
1
iz
d
f
i
zF
)(
1
2
1
)(
2
1
)(
1
0
. (2.18)
Do đó, nếu điều kiện (2.17) thoả mãn thì trong lân cận vô cùng nhỏ điểm
0 F(z)
. Nhưng bởi vì tích phân loại Cauchy F(z) giải tích ở khắp nơi bên
ngoài đường cong C nên suy ra
0 F(z)
ở khắp mọi nơi bên ngoài C. Do đó,
giá trị giới hạn
mọi z:
0
)(
2
1
)(
C
z
df
i
zF
và suy ra đẳng thức (2.18) bằng 0. Điều này và kết hợp với điều kiện (2.17) ta
có điều phải chứng minh.
Định lý được chứng minh.
Định lý 2.4.
Trong điều kiện của định lý trước, điều kiện cần và đủ để giá trị của f(
)
là giá trị biên của hàm số này, giải tích bên trong C, là đẳng thức:
0
)(
2
1
fzf
z
df
i
C
(2.20)
(đường cong C tính ngược chiều kim đồng hồ).
Thật vậy, nếu điểm z nằm bên ngoài C thì chúng bao quanh C thành
đường cong đóng C
’
, chứa trong nó một điểm nối giữa C và C
’
, chúng ta áp
dụng công thức Cauchy:
khi z nằm ngoài C
khi z nằm trong C
-21-
C
C
z
df
iz
,
ở đó
)(
0
fc
, nên hàm số
z
f
)(
trong lân cận tại điểm
)(
0
fc
và suy ra
)(
)(
2
1
'
f
z
z
df
và kết hợp các kết quả trước đó, chúng ta có công thức (2.20).
Trên cơ sở những công thức thu được ta có điều phải chứng minh.
Định lý 2.5.
Theo các điều kiện của định lý 2.3, điều kiện cần và đủ để các giá trị của
)(
f
là giá trị biên của hàm f(z), giải tích bên ngoài C, là đẳng thức:
consta
z
df
i
C
)(
2
1
(2.21)
F
, vì vậy theo công thức Sokhotsky ta có
)()(
fF
. Định lý đã được minh chứng.
Trong kết luận đã xây dựng ở định lý 2.4 và định lý 2.5 liên quan đến
đường cong C là một đường tròn đơn vị.
Định lý 2.6.
Để các giá trị của hàm số
)(
f
tại mỗi điểm của đường tròn đơn vị C
thoả mãn điều kiện Golder với chỉ số
1
là giá trị biên của giá trị hàm số
giải tích tương ứng a) bên trong hình tròn
1z
hoặc là b) bên ngoài hình
tròn, cần và đủ là thoả mãn các điều kiện:
a) đối với mọi z bên trong C
consta
z
df
i
C
z
FzF
1
)(
1
giải tích bên ngoài hình tròn
1
z
nếu F(z) giải tích bên trong hình tròn đó,
suy ra, trên đường tròn | z | = 1, với
1
giá trị giới hạn của hàm số F
1
(z)
bên ngoài giá trị giới hạn phức của hàm số F(z) từ bên trong (và ngược lại). -23-
2.2. Các bài toán biên
2.2.1. Bài toán biên Hilbert – Privalov
Trên chu tuyến C với hai hàm số phức
0)(
f
của các hàm số này trên C tồn tại
và thoả mãn hệ thức:
)()()()(
bfaf
. (2.24)
Trường hợp cụ thể của bài toán này, khi
0)(
b
, chúng ta có:
)()()(
faf
, (2.25)
D. Hilbert đã giải bài toán này năm 1905. Bài toán biên Hilbert - Privalov có
tầm quan trọng trong các ứng dụng khác nhau của toán học, vật lý.
Cần lưu ý rằng các lời giải của Hilbert và Privalov là không đầy đủ và
F.D. Gахоv đã cung cấp một lời giải rất đơn giản (năm 1938), lời giải này
chúng ta sẽ trình bày dưới đây.
Hãy bắt đầu với nghiệm của bài toán Hilbert (2.25). Chúng ta thấy rằng,
C
z
da
i
zF
)(ln
2
1
)(
(2.27)
-24-
và kí hiệu
)(zF
và
)(zF
là các hàm số mà tích phân xác định tương ứng
bên trong và bên ngoài C, khi đó nghiệm sẽ là:
)(
)(
zF
Aezf
tương ứng giải tích bên ngoài và
bên trong C và có giá trị giới hạn. Theo công thức Sokhotsky:
),(ln
2
1
)()(
aFF
),(ln
2
1
)()(
aFF
ở đó F(
) là giá trị chính của tích phân (2.27). Công thức cuối cùng này và sử
dụng công thức (2.28) ta tìm được:
)(
)()(
F
eaAf
thoả mãn yêu cầu.
Chứng minh tính duy nhất của nghiệm với hằng số nhân A. Giả sử tồn
tại nghiệm thứ hai
)(
1
zf
thì hàm số (2.28) không đi đến 0, sẽ giải tích (trong
miền tương ứng), hàm số
)(
)(
)(
1
zg
zf
zf
. Vì điều kiện biên (2.25) trên đường
cong C:
1
)(
1
)(
)(
)(
)(
)(
và
)(zg
hình thành một
giải tích trong toàn bộ mặt phẳng z của hàm số g(z). Theo định lý Liouville
constzg
)(
, chính điều này đã chứng minh khẳng định.
-25-
Bây giờ cho
)(ln
a
là hàm số hỗn hợp và các chỉ số n là âm; để đơn
giản ta giả sử C chứa toạ độ gốc bên trong nó. Khi đó, chỉ số hàm số:
)()(
1
aa
n
sẽ bằng không, bởi vì:
022)(argarg)(arg
1
nnaa
C
n
, để biểu diễn dạng:
).()()(
111
faf
(2.31)
Vì chỉ số hàm số
)(
1
a
bằng không nên ta có thể sử dụng kết quả đã thu
được, nghĩa là đặt:
)(
1
)(
1
11
)(,)(
zFzF
ezfezf
, (2.32)
ở đó F
thì (2.33) có ý nghĩa với hàm số
)(
2
zf
và
)(
2
zfz
n
trùng nhau trên C, do đó tạo thành một hàm giải tích trên
Copyright: Tài liệu đại học ©