LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo, tiến sĩ Trần
Văn Bằng, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo giảng dạy
chuyên ngành Toán Giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học
tập và làm luận văn.
Cuối cùng, tác giả xin được cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp
đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành bản
luận văn này.
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Tác giả
Chu Thanh Vân
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình của nghiên cứu của cá nhân
tôi, dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Tác giả
Chu Thanh Vân
Mục lục
Mở đầu 4
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 6
1.1 Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp 1 6
1.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . 6
1.1.2 Phép toán trên các nghiệm nhớt . . . . . . . . . . . 12
1.1.3 Hàm lề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Tính duy nhất và sự so sánh nghiệm . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Tính chính quy của nghiệm nhớt . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.1 Tính liên tục Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Xuất phát từ lý do trên và được sự định hướng của TS. Trần Văn Bằng
em chọn đề tài:
“Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp 1 và
bài toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạn”
Nội dung của Luận văn gồm hai chương:
Chương 1, trình bày các kiến thức chuẩn bị về nghiệm nhớt của phương
trình đạo hàm riêng cấp một, bao gồm: khái niệm, các tính chất, các phép
toán,
Chương 2, tìm hiểu về bài toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạn
trong lý thuyết cổ điển và những ứng dụng của nghiệm nhớt đối với bài
5
toán đó.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu Nghiên cứu ứng dụng của nghiệm nhớt liên tục của
phương trình đạo hàm riêng cấp 1 đối với bài toán điều khiển tối ưu thời
gian vô hạn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
-Tìm hiểu về nghiệm nhớt liên tục của phương trình đạo hàm riêng
cấp 1;
-Tìm hiểu về bài toán điều khiển tối ưu nói chung;
-Tìm hiểu về bài toán điều khiển tối ưu thời gian vô hạn.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu: Các điều kiện tối
ưu cho bài toán điều khiển tối ưu thời gian vô hạn.
+ Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu tất
định với hàm giá trị liên tục. số không gian hàm.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng một số phương pháp của Giải tích hàm, phương trình đạo
hàm riêng và lý thuyết điều khiển tối ưu.
6. Đóng góp mới của luận văn
Định nghĩa 1.1.1. Hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm nhớt dưới của phương
trình (HJ) nếu với mọi ϕ ∈ C
1
(Ω) ta có:
F (x
0
, u(x
0
), Dϕ(x
0
)) ≤ 0 (1.1)
tại mọi điểm cực đại địa phương x
0
∈ Ω của u − ϕ.
7
Hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm nhớt trên của phương trình (HJ) nếu với
mọi ϕ ∈ C
1
(Ω) ta có:
F (x
1
, u(x
1
), Dϕ(x
1
)) ≥ 0 (1.2)
tại mọi điểm cực tiểu địa phương x
1
∈ Ω của u − ϕ.
Hàm u là một nghiệm nhớt nếu nó vừa là nghiệm nhớt trên vừa là
x→0
+
u(x)
x
= 1
và
ϕ
(0) = lim
x→0
−
ϕ(x) − ϕ(0)
x − 0
≤ lim
x→0
+
−
u(x)
x
= −1.
Vô lý, vậy 0 không thể là cực đại địa phương của u −ϕ.
Để ý rằng, hàm số u(x) = |x| không phải là nghiệm nhớt của phương
trình:
|u
(x)| − 1 = 0, x ∈ (−1, 1).
Thật vậy điều kiện nghiệm trên không thỏa mãn tại x
0
= 0 là điểm cực
tiểu địa phương của |x| − (−x
0
là điểm cực đại địa phương ngặt của hàm u −ϕ (nếu không ta
có thể thay ϕ(x) bởi ϕ(x) + |x − x
0
|
2
). Hơn nữa do (1.1) chỉ phụ thuộc vào
giá trị của Dϕ tại x
0
, nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng
u(x
0
) = ϕ(x
0
). Đối với định nghĩa nghiệm nhớt trên ta cũng có nhận xét
tương tự.
Về mặt hình học thì điều đó có nghĩa rằng: các hàm thử trong điều kiện
nghiệm nhớt dưới (1.1) đối với u là tiếp xúc trên với đồ thị của u.
Ta cũng chú ý rằng không gian C
1
(Ω) các hàm thử trong Định nghĩa
1.1.1 có thể được thay thế bằng C
∞
(Ω).
Mệnh đề sau đây sẽ thể hiện những đặc trưng cơ bản của nghiệm nhớt
và mối quan hệ của nó với nghiệm cổ điển:
Mệnh đề 1.1.4. (a) Nếu hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm nhớt của (HJ)
trong Ω, thì u là nghiệm nhớt của (HJ) trong Ω
, với mọi tập con mở
Ta nói rằng hàm số u ∈ C(Ω) thỏa mãn nguyên lý cực đại nếu với mọi
ϕ ∈ C
1
(Ω) và tập mở O ⊂ Ω sao cho:
F (x, ϕ(x), Dϕ(x)) > 0, ∀x ∈ O
thì u −ϕ không thể có cực đại không âm trong O.
Dễ thấy rằng nếu hàm u ∈ C(Ω) thỏa mãn nguyên lý cực đại thì nó
thỏa mãn nguyên lý so sánh. Mối quan hệ giữa chúng với khái niệm nghiệm
nhớt dưới của phương trình (HJ) sẽ được trình bày ở mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 1.1.6. Nếu hàm số u ∈ C(Ω) thỏa mãn nguyên lý so sánh thì u
là một nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ). Ngược lại, nếu u là một
nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) và r → F (x, r, p) là một hàm
không giảm với mọi x, p thì u thỏa mãn nguyên lý cực đại và nguyên lý so
sánh.
Kết quả tương tự cũng đúng với nghiệm nhớt trên. Khi đó ta chỉ cần
đổi chiều các bất đẳng thức trong nguyên lý so sánh và nguyên lý cực đại
và thay cực đại không âm bởi cực tiểu không dương.
10
Một điều cần lưu ý là nghiệm nhớt không được bảo toàn khi ta đổi dấu
của phương trình. Thực tế, vì bất kỳ cực đại địa phương nào của u − ϕ
đều là cực tiểu địa phương của −u −(−ϕ), nên u là nghiệm nhớt dưới của
phương trình (HJ) nếu và chỉ nếu v = −u là nghiệm nhớt trên của phương
trình −F (x, −v(x), −Dv(x)) = 0 trong Ω; tương tự u là nghiệm nhớt trên
của phương trình (HJ) nếu và chỉ nếu v = −u là nghiệm nhớt dưới của
phương trình −F (x, −v(x), −Dv(x)) = 0 trong Ω.
Bây giờ ta đưa ra một đặc trưng của nghiệm nhớt của phương trình
(HJ) thông qua trên vi phân và dưới vi phân. Cho hàm số u ∈ C(Ω) và
x ∈ Ω, xét các tập hợp:
D
+
−
u(0) = [−1, 1].
Những bổ đề sau đây sẽ mô tả D
+
u(x) và D
−
u(x) qua các hàm thử và
một số tính chất của chúng:
Bổ đề 1.1.8. Cho u ∈ C(Ω). Khi đó:
(a) p ∈ D
+
u(x) nếu và chỉ nếu tồn tại ϕ ∈ C
1
(Ω) thỏa mãn Dϕ(x) = p
và u −ϕ đạt cực đại địa phương tại x;
(b) p ∈ D
−
u(x) nếu và chỉ nếu tồn tại ϕ ∈ C
1
(Ω) thỏa mãn Dϕ(x) = p
và u −ϕ đạt cực tiểu địa phương tại x.
Bổ đề 1.1.9. Cho u ∈ C(Ω), x ∈ Ω. Khi đó:
(a) D
+
u(x) và D
−
u(x) là các tập con lồi, đóng (có thể rỗng) của R
N
;
(b) Nếu u khả vi tại x thì {Du(x)} = D
F (x, u(x), Du(x)) = 0
tại mọi điểm mà u khả vi.
(b) Nếu u là một hàm liên tục Lipschitz địa phương và nó là nghiệm nhớt
của (HJ) thì:
F (x, u(x), Du(x)) = 0 hầu khắp nơi trong Ω.
Nhận xét 1.1.12. Phần (b) của Mệnh đề 1.1.11 thể hiện rằng mọi nghiệm
nhớt đều là nghiệm tổng quát (hàm số u liên tục Lipschitz địa phương là
nghiệm tổng quát nếu:
F (x, u(x), Du(x)) = 0 h.k.n trong Ω.
Ngược lại nói chung là không đúng: có nhiều nghiệm tổng quát không
phải là nghiệm nhớt. Thật vậy ví dụ sau cho ta điều đó:
12
Ví dụ 1.1.13. Ta thấy hàm u(x) = |x| thỏa mãn:
|u
(x)| − 1 = 0 trong (−1, 1) \ {0}
do đó u là nghiệm tổng quát của |u
(x)| − 1 = 0 trong (−1, 1) nhưng nó
không phải là nghiệm nhớt của phương trình trên (theo Ví dụ 1.1.2).
1.1.2 Phép toán trên các nghiệm nhớt
Trong mục này ta sẽ trình bày một vài tính chất quan trọng về các phép
toán trên các nghiệm nhớt. Để trình bày các kết quả trong phần này chúng
ta cần tới khái niệm mô đun và mô đun liên tục của một hàm:
Mô đun là một hàm liên tục, đơn điệu tăng bất kì ρ : [0, +∞) → [0, +∞)
thỏa mãn ρ(0) = 0.
Mô đun liên tục của một hàm u ∈ C(Ω) là một mô đun ρ
u
sao cho
|u(x) − u(y)| ≤ ρ
2
, y
2
) ∈ Ω
1
×Ω
2
.
Ví dụ 1.1.14. Nếu u là hàm Lipschitz với hằng số Lipschitz L (xem Định
nghĩa 1.1.24) thì ta có thể chọn mô đun liên tục của u là ρ
u
(r) = Lr.
Cho u(x), v(x) ∈ C(Ω). Ta ký hiệu:
(u ∨ v)(x) = max {u(x), v(x)},
(u ∧ v)(x) = min {u(x), v(x)}.
Mệnh đề 1.1.15. Ta có các khẳng định sau:
(a) Cho u(x), v(x) ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ).
Khi đó u ∨ v cũng là một nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ).
(b) Cho u(x), v(x) ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt trên phương trình (HJ) thì u∧v
13
cũng là một nghiệm nhớt trên của phương trình (HJ).
(c) Nếu u ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) mà u ≥ v
với mọi nghiệm dưới v ∈ C(Ω) của phương trình (HJ). Khi đó u là nghiệm
nhớt trên và do đó là nghiệm nhớt của phương trình (HJ).
Mệnh đề 1.1.16. [Tính ổn định của nghiệm nhớt] Cho u
n
∈ C(Ω)(n ∈ N)
là một nghiệm nhớt của phương trình:
F
n
. Từ tính hội tụ đều ta có với n đủ lớn
u
n
− ϕ đạt cực đại địa phương tại x
n
→ x
0
(xem Bổ đề 1.1.18). Khi đó
F
n
(x
n
, u
n
(x
n
), Dϕ(x
n
)) ≤ 0.
Từ x
n
→ x
0
, qua giới hạn bất đẳng thức trên khi n → +∞ ta được:
F
n
(x
0
, u(x
0
− x, nếu x ∈ [(2j + 1)/2
n
, (2j + 2)/2
n
] ,
trong đó j = 0, 1, , 2
n−1
−1. Với x ∈ [0, 1] rõ ràng là |u
n
(x)|−1 = 0 hầu
khắp nơi trong [0, 1], mặc dù u
1
là nghiệm cổ điển (nên cũng là nghiệm
nhớt) nhưng u
n
không phải là nghiệm nhớt với n ≥ 2. Giới hạn của dãy
hàm là bằng 0 và không thỏa mãn phương trình |u
(x)| − 1 = 0 tại mọi
điểm.
Trong chứng minh Mệnh đề 1.1.16 chúng ta đã sử dụng kết quả cơ bản
sau:
Bổ đề 1.1.18. Cho v ∈ C(Ω) và giả sử rằng x
0
∈ Ω là một điểm cực đại
địa phương ngặt của v trong B(x
0
, δ) ⊆ Ω. Nếu v
n
−1
.
Một kết quả tổng quát rất hữu dụng khi giải các phương trình (HJ) tiến
hóa đó là:
Mệnh đề 1.1.20. Cho u ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt của phương trình (HJ)
và Φ : Ω ×R → R thuộc C
1
thỏa mãn:
Φ
r
(x, r) > 0, ∀(x, r) ∈ Ω ×R.
15
Khi dó hàm v ∈ C(Ω) được xác định bởi
Φ(x, v(x)) = u(x),
là một nghiệm nhớt của phương trình
F (x, v(x), Dv(x)) = 0 trong Ω, (1.9)
với
F (x, r, p) = F (x, Φ(x, r), D
x
Φ(x, r) + Φ
r
(x, r)p).
Mệnh đề tiếp theo nêu nên một số dạng của bán vi phân trong các
trường hợp thông dụng.
Mệnh đề 1.1.21. [xem [2], Proposition 2.7] Cho u ∈ C(Ω). Khi đó
(i) với v(x, r) = ϕ(r)u(x) (x ∈ Ω, r ∈ R) và ϕ ∈ C
1
(R), ϕ(r) ≥ 0, với mọi
một vi phôi, A
t
là chuyển vị của A và y
0
= T (x
0
);
(iii) với η(r) = u(y(x)), y ∈ C
1
(R, Ω) ta có (công thức đạo hàm hàm hợp)
D
+
η(r) ⊇ D
+
u(y(r)) · ˙y(r).
Nhận xét 1.1.22. Các kết quả tương tự vẫn đúng với D
−
. Từ công thức
“đổi biến” (ii) ta có u là một nghiệm dưới của phương trình (HJ) trong Ω
nếu và chỉ nếu v(ˆx) = u(T
−1
(ˆx)) là một nghiệm dưới của phương trình:
F (T
−1
(ˆx), v(ˆx), DT (T
−1
(ˆx))Dv(ˆx)) = 0, ˆx ∈
Ω.
Bây giờ ta sẽ đi tìm điều kiện để một hàm khả vi liên tục từng mảnh
tại mọi điểm cực đại địa phương (tương ứng cực tiểu địa phương) ¯x của
u − ϕ trên (a, b] × Ω
với mọi ϕ ∈ C
1
((a, b] ×Ω
).
1.1.3 Hàm lề
Định nghĩa 1.1.24. Cho hàm số g : Ω ×B → R
N
, Ω ⊆ R
n
là một tập mở
và B là một không gian topo. Hàm số u(x) được xác định bởi:
u(x) = inf
b∈B
g(x, b), (1.12)
được gọi là hàm lề.
Một số ví dụ rất cơ bản về hàm lề: đó là hàm khoảng cách đến một tập
hợp S ⊆ R
N
được xác định bởi:
d(x, S) := inf
s∈S
|x − s|.
Trong chương sau ta cũng đề cập đến một ví dụ khác về hàm lề đó là phép
chập-inf của một hàm u được xác định bởi:
u
ε
−
x
g(x, b) ⊇ D
−
u(x),
với mọi b ∈ M(x).
Nhận xét 1.1.26. Từ bổ đề trên ta có D
+
u(x) = ∅ tại những điểm x mà
g khả vi và M(x) = ∅.
Để nghiên cứu sâu hơn ta giả sử g(·, b) khả vi đều tại x, tức là với mô
đun ω
1
nào đó,
|g(x + h, b) − g(x, b) −D
x
g(x, b).h| ≤ |h|ω
1
(|h|) (1.14)
với mọi b ∈ B và h đủ nhỏ. Ta cũng giả sử rằng
b → D
x
g(x, b) liên tục (1.15)
b → g(x, b) nửa liên tục dưới. (1.16)
Ta sẽ sử dụng những ký hiệu sau đây:
Y (x) := {D
x
g(x, b) : b ∈ M(x)}
và đạo hàm theo hướng (một phía) của u theo hướng q,
∂u
u(x)
y ·q.
Tiếp theo áp dụng Mệnh đề 1.1.27 ta tính các bán vi phân của hàm
khoảng cách từ tập bất kỳ S ∈ R
N
, S = ∅ xác định bởi
d(x, S) := inf
z∈S
|x − z| = min
z∈
¯
S
|x − z|. (1.20)
Biểu thức sau của d(x) thuận tiện hơn trong tính toán và liên quan đến
việc xét tập hình chiếu của x lên
¯
S có dạng
P (x) := {z ∈ ∂S : d(x) = |x −z|} = ∅.
Mệnh đề 1.1.28. Với S = ∅, d ∈ C(R
n
) bất kỳ và với mọi x /∈
¯
S và vector
đơn vị q. Khi đó
D
+
d(x) = co
x − z
|x − z|
\
¯
S. Trong trường hợp này hình chiếu p(x) phụ
thuộc liên tục trên x do vậy d ∈ C
1
(R
N
\
¯
S).
19
Dễ biết rằng nếu ∂S trơn thì hàm khoảng cách là trơn ở gần ∂S và thỏa
mãn phương trình eikonal
|Du| = 1 trong R
N
\
¯
S (1.21)
một cách địa phương quanh ∂S. Nếu phương trình này xét theo nghĩa nhớt
thì nó là nghiệm toàn cục với mọi S.
Hệ quả 1.1.30. Hàm khoảng cách d đến S là nghiệm nhớt của phương
trình (1.21) trong S. Nó cũng là nghiệm nhớt dưới, nhưng không là nghiệm
nhớt trên trong cả R
N
.
Một khái niệm khác liên quan mật thiết đến tính chất của hàm khoảng
cách đó là véc tơ pháp tuyến ngoài đơn vị n(x) của S tại x ∈ ∂S. Trong
trường hợp ∂S trơn, hàm n là mở rộng duy nhất của Dd lên ∂S, với x /∈
¯
S
2
∈ C(Ω) tương ứng là nghiệm nhớt
trên và dưới của
u(x) + H(x, Du(x)) = 0, x ∈ Ω, (1.24)
và
u
1
≤ u
2
trên ∂Ω. (1.25)
Cũng giả sử rằng H thỏa mãn:
|H(x, p) −H(y, p)| ≤ ω
1
(|x − y|(1 + |p|)) (H
1
)
với x, y ∈ Ω, p ∈ R
N
, trong đó ω
1
: [0, +∞) → [0, +∞) là liên tục không
giảm với ω
1
(0) = 0. Khi đó u
1
≤ u
2
trong Ω.
Nhận xét 1.2.2. Nếu u
1
(|x − y| + λ |y −x|
2
, R)
+ ω
3
(|p − q|), (H
2
)
với mọi λ ≥ 1, p, q ∈ B(0, 1), x, y ∈ B(0, R), ∀R > 0, trong đó ω
2
, ω
3
là
các mô đun. Dễ thấy rằng (H
1
) và (H
3
) xác định bởi
|H(x, p) −H(x, q)| ≤ ω(|p − q|) ∀x, p, q ∈ R
N
(H
3
)
thỏa mãn (H
2
) với ω
3
= ω và ω
2
(r, R) = ω
BC(Ω) tương ứng là nghiệm nhớt dưới, nghiệm nhớt trên của phương
trình
u(x) + H(x, Du(x)) = 0, x ∈ Ω,
với H thỏa mãn H
2
và u
1
≤ u
2
trên ∂Ω thì u
1
≤ u
2
trong Ω.
Nhận xét 1.2.5. Một biến thể rất hữu dụng của Định lý 1.2.4 có được
khi ta thay giả thiết về tính bị chặn của u
1
, u
2
bằng tính liên tục đều của
chúng. Người ta có thể chứng minh được rằng nếu u
1
, u
2
∈ UC(R
N
) tương
ứng là nghiệm nhớt dưới, trên của phương trình (1.26) với H thỏa mãn H
1
và H
1
, u
2
∈ UC([0, T ] × R
N
) tương ứng là nghiệm
nhớt dưới, nghiệm nhớt trên của phương trình
u
t
(x, t) + H(t, D
x
u(t, x)) = 0 trong [0, T ] ×R
N
.
Khi đó
sup
[0,T ]×R
N
(u
1
− u
2
) ≤ sup
R
N
(u
1
(0, ·) −u
2
(0, ·)).
1
), (H
3
) với mỗi n ∈ N. Cũng giả sử rằng
sup
x∈R
N
|H
n
(x, 0)| ≤ C < +∞
với hằng số C nào đó rõ ràng là C và −C tương ứng là nghiệm trên và
nghiệm dưới của ( 1.27) với mọi n ∈ N. Khi đó theo Định lý 1.2.4 thì
−C ≤ u
n
(x) ≤ C,
với mọi n ∈ N và x ∈ R
N
.
23
1.3 Tính chính quy của nghiệm nhớt
Trong mục này ta giới thiệu hai kết quả (Mệnh đề 1.3.2 và Mệnh
đề 1.3.3). Chúng chỉ ra rằng với những giả thiết thích hợp trên H thì
nghiệm nhớt của phương trình
(HJ) λu(x) + H(x, Du(x)) = 0, x ∈ R
N
là liên tục Lipschitz, cùng với một số tính chất khả vi của hàm liên tục
Lipschitz.
Tiếp đến là một số định lý cơ bản về hàm nửa lõm và mối liên hệ với
phép chập-inf. Kết quả quan trọng trong phần này đó là Định lý 1.3.11,
trong đó khẳng định rằng: với những điều kiện thích hợp trên H thì nghiệm
4
) đúng là tính bị chặn của l cùng với giả thiết
∃r > 0 : B(0, r) ⊆ cof(x, A), ∀x ∈ R
N
. (1.29)
Mệnh đề 1.3.2. Cho điều kiện (H
4
). Khi đó mọi nghiệm nhớt dưới u ∈
BC(R
N
) của phương trình (HJ) là liên tục Lipschitz.
Một điều kiện khác trên H đảm bảo tính liên tục Lipschitz của nghiệm
nhớt đó là
∃C > 0 : H
x, C
x − y
|x − y|
) − H(y, C
x − y
|x − y|
≥ −C |x − y|, ∀x, y ∈ R
N
.
(H
5
)
Với H có dạng (1.28), điều kiện (H
5
: p = lim
n→+∞
Du(x
n
), x
n
→ x
là tập không rỗng và đóng với mọi x ∈ Ω. Ký hiệu coD
∗
u là bao lồi của
nó. Một kết quả khá nổi tiếng trong giải tích không trơn đó là
coD
∗
u(x) = ∂u(x), ∀x ∈ Ω, (1.30)
25
trong đó ∂u(x) là gradient tổng quát hay gradient Clarke của u tại x được
xác định bởi
∂u(x) :=
p ∈ R
N
: u
0
(x; p) ≥ p.q, ∀q ∈ R
N
=
p ∈ R
+
u(x; q) : = lim sup
t→0
+
u(x + tq) −u(x)
t
∂
−
u(x; q) : = lim inf
t→0
+
u(x + tq) −u(x)
t
Từ những định nghĩa trên ta thấy rằng
u
0
(x; q) ≤ ∂
−
u(x, q) ≤ ∂
+
u(x, q) ≤ u
0
(x; q), ∀x ∈ Ω, q ∈ R
N
, (1.31)
và điều này có nghĩa là với u ∈ Lip
loc
(Ω),
D
−
+
u(x) = ∂u(x, q).
Copyright: Tài liệu đại học ©