1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2


HÀ NỘI, 2013 2
LỜI CẢM ƠN
Để có thể hoàn thành đề tài luận văn thạc sĩ một cách hoàn chỉnh, bên
cạnh sự cố gắng nỗ lực của bản thân còn có sự hướng dẫn nhiệt tình của quý
Thầy Cô, cũng như sự động viên ủng hộ của gia đình và bạn bè trong suốt
thời gian học tập nghiên cứu và thực hiện luận văn thạc sĩ.
Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến TS. Nguyễn Thế Lâm, người đã
hết lòng giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi hoàn thành luận văn
này. Xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều Thầy đã dành cho tôi.
Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến toàn thể quý Thầy Cô giảng dạy
chuyên ngành Vật lí chất rắn và quý Thầy Cô trong trường Đại học Sư phạm
Hà nội 2 đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo mọi
điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu và
cho đến khi thực hiện đề tài luận văn.
Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè, những người
đã không ngừng động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong
suốt thời gian học tập và thực hiện luận văn này.
Mặc dù tôi đã rất cố gắng hoàn thiện luận văn của mình, tuy nhiên
không thể tránh khỏi những thiếu sót hoặc có phần nghiên cứu chưa sâu. Rất
mong nhận được sự chỉ bảo của các Thầy, các Cô.
Tôi xin chân thành cảm ơn! 4
MỤC LỤC

Trang
Trang bìa phụ………………………………………………………….
1
Lời cảm ơn…………………………………………………………….
2
Lời cam đoan………………………………………………………….
3
Mục lục………………………………………………………………
4
Danh mục các kí hiệu, các chữ viết tắt………………………………
6
MỞ ĐẦU……………………………………………………………
7
NỘI DUNG……………………………………………………………

Chương 1: Mô hình Hubbard cho hệ vật liệu từ………………………
9
1.1 Giới thiệu………………………………………………………
9
1.2 Mô hình Hubbard cho hệ vật liệu từ…………………………….
9
Chương 2: Phương pháp Monte Carlo cho lí thuyết trường lượng tử
13
2.1 Cơ sở hình thành phương pháp Monte Carlo cho lí thuyết
trường lượng tử………………………………………………………

3.2.4 Sự phụ thuộc của nhiệt dung vào nhiệt độ…………………
44
3.2.5 Sự phụ thuộc của tổng thống kê Z vào nhiệt độ……………
45
KẾT LUẬN…………………………………………………………
47
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………
48
PHỤ LỤC……………………………………………………………
51

7
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong lịch sử nghiên cứu Vật lý con người đã sử dụng nhiều phương
pháp nghiên cứu như: phương pháp vật lý lý thuyết, phương pháp thực
nghiệm, phương pháp mô hình hóa,…trong đó phương pháp mô hình hoá là
phương pháp được xây dựng để mô tả hệ Vật lý bằng máy tính có mức chi phí
và thời gian tiết kiệm đáng kể.
Trong quá trình nghiên cứu Vật lý, chúng ta gặp phải rất nhiều hệ hạt vật
lý mà đặc biệt là các tính chất của hệ hạt. Chúng ta có thể nghiên cứu bằng
các phương pháp ở trên nhưng phương pháp mô hình hoá đưa ra kết quả bằng
mô hình phù hợp tốt với thực nghiệm. Trước đây, phương pháp mô hình hoá
đã được áp dụng cho nghiên cứu các hệ hạt theo mô hình cổ điển đã mô tả
khá tốt các tính chất điện, từ và các tính chất nhiệt động của hệ hạt.
Trên thế giới, phương pháp trên đã được sử dụng tuy nhiên còn rất ít,
còn đối với Việt Nam thì phương pháp này còn rất mới lạ, ít người biết đến và
hầu hết các tài liệu được viết bằng tiếng Anh. Phương pháp mô hình hoá trên
thế giới đã nhiều năm tiếp cận với hệ cổ điển, nhưng với lý thuyết trường
lượng tử còn rất ít. Do đó tôi đã chọn phương pháp mô hình hoá các tính chất
của hệ hạt Vật lý theo mô hình lý thuyết trường lượng tử làm đề tài nghiên
cứu chuyên ngành của mình. Trên cơ sở đó tôi đã chọn đề tài nghiên cứu
“Phương pháp Monte Carlo nghiên cứu một số tính chất của hệ vật liệu từ
với mô hình Hubbard ”.
Phương pháp Monte Carlo là một lớp thuật toán để giải quyết nhiều bài
toán trên máy tính và thường sử dụng các số ngẫu nhiên. Phương pháp này
tính bằng số hiệu quả cho nhiều bài toán liên quan đến nhiều biến số mà
không dễ dàng giải được bằng các phương pháp khác, chẳng hạn bằng tính

8


1.1 Giới thiệu
Chúng tôi xem xét và quyết định phương pháp Monte Carlo lượng tử
cho hệ fermionic, sử dụng mô hình Hubbard như một trường hợp nghiên cứu.
Bắt đầu với thành phần cơ bản của mô phỏng Monte Carlo cho hệ cổ điển.
Chúng ta giới thiệu các khía cạnh như tầm quan trọng của việc lấy mẫu,
nguyên nhân lỗi, và giới hạn kích thước. Sau đó, chúng ta thiết lập các bước
sơ bộ để chuẩn bị cho các mô phỏng, thực sự chúng được thực hiện bằng việc
lấy mẫu rời rạc của trường Hubbard – Stratonovich. Trong phương pháp này
hàm Green xuất hiện như một công cụ cơ bản, từ khi hàm Green được sử
dụng trong cập nhật các quá trình, và, trong cùng một thời điểm, hàm Green
trực tiếp liên quan các đại lượng như từ, điện, kim loại và siêu dẫn. Chúng ta
cũng thảo luận việc chưa được giải quyết đó là vấn đề về dấu của hàm sóng,
và hai cách để ổn định các thuật toán tại nhiệt độ thấp.
1.2 Mô hình Hubbard cho hệ vật liệu từ
Trong việc xử lí với hệ nhiều fermion tương tác, nói chung ta sẽ thấy thú
vị trong một số tính chất tập thể, điều này là phù hợp được mô tả trong cơ học
thống kê. Không giống như nam châm điện, mà bậc tự do của spin được chỉ
ra, tương tác giữa điện và spin tương ứng cho một hiện tượng thú vị (trong đó
số bậc tự do của quỹ đạo cũng có thể được tính đến, nhưng chúng kèm theo
vô cùng những phức tạp, và không được xem xét ở đây). Những câu hỏi bình
thường về một hệ có liên quan đến trạng thái từ tính của nó (Nó có từ tính
không? Nếu có, sắp xếp như thế nào?), đến phân bố điện tích, và liệu nó là
điện môi, kim loại hay siêu dẫn.

10
Một cách hiểu sâu hơn của tương tác giữa spin và các bậc tự do điện
tích có thể đạt được thông qua các mô hình, trong khi đó để có cơ chế vật lí
cơ bản tương ứng với cái quan sát được, nên để đơn giản để cho việc tính toán
đại lượng có thể so sánh với thực nghiệm. Mô hình đơn giản nhất được mô tả


i
chạy từ vị trí của một mạng không gian
d
– chiều;
Tiếp theo, chúng ta xem xét tương tác giữa các lân cận gần nhất, như
được kí hiệu bằng

. Toán tử
i
c


và
i
c

tương ứng là toán tử sinh và hủy
một fermion với spin

trên (đơn) orbital trung tâm tại
i
, khi đó
i i i
n c c
  


.
Mô hình Hubbard mô tả sự cạnh tranh giữa xu hướng đối lập của lưu động

muốn chương trình đưa ra. Ví dụ, chúng có thể được phân loại theo bậc tự do
trong không gian liên tục, hoặc trên một mạng tinh thể, hoặc nó là một trạng
thái cơ bản hoặc một bài toán nhiệt độ hữu hạn; hay nó là biến hay là hàm;
hoặc thậm chí theo cách thực hiện của chúng như nếu một trường ngoài được
đặt vào, hoặc nếu hàm Green được xây dựng bằng phương pháp lũy thừa.
Tuyệt vời để mở rộng các thuật toán một cách có hiệu quả trong ngôn ngữ
như [20, 37], vì vậy ở đây chúng ta tập trung trên các chi tiết thực tế là việc
kết hợp công thức lớn kinh điển với trường phụ trợ để tạo nên định thức
fermion [21]. Chúng ta sẽ phải đặc biệt chú ý đến các khai triển và các cải
tiến đã đạt được trong nhiều năm qua [13, 14, 15, 32, 6]. Chúng ta cũng sẽ có

12
lưu ý chủ yếu của mô hình Hubbard, nhưng sẽ không thảo luận nhiều về kết
quả thu được; thay vì, tài liệu tham khảo sẽ cho người đọc những phân tích
chi tiết và chúng tôi xin lỗi về việc đưa ra nhiều giấy tờ có liên quan, mà nó
được kể đến cho việc cần phải giữ tập trung thảo luận trong thực hiện QMC
đặc biệt này, và không phải mô hình Hubbard (hoặc bất kì mô hình khác).
Để phù hợp với mục đích hướng dẫn của bài viết này, chúng tôi giới
thiệu thành phần cơ bản của mô phỏng Monte Carlo, hình ảnh cho spin “cổ
điển”. Trong cách này, chúng ta có cơ hội để kéo dài sự chú ý của người đọc
thiếu kinh nghiệm để thấy được tầm quan trọng của việc phân tích dữ liệu đầy
đủ, bình thường cả hai hệ cổ điển và lượng tử, trước khi bắt tay vào nghiên
cứu công thức lượng tử. Việc đầu tiên, kể cả gần đúng, là sự xuất hiện của
hàm Green trong nội dung này được thảo luận. Chúng ta mô tả cập nhật các
quá trình, cũng như mở rộng phạm vi của các đại lượng trung bình đã có để
tìm hiểu các tính chất vật lí khác nhau của hệ. Sau đó chúng ta xác định hai
khó khăn chính được giới thiệu theo thuật toán đơn giản được trình bày, và
cho đến nay: vấn đề này vẫn chưa giải quyết được đó là vấn đề dấu trừ, và
những bất ổn tại nhiệt độ thấp với vấn đề này cho hai giải pháp thành công
được thảo luận. Sau đó các kết luận và một số tổng quan được trình bày trong

12
det
T
n
x Ax
N
Z dx dx dx e
A



  

  

  
(2.3)
Trong đó: vectơ
x

là một vectơ thực
N
chiều, và
A
là một ma trận
thực, đối xứng
N
chiều. Ta sử dụng kí hiệu
Z
cho tích phân và nhấn mạnh

(2.4)

14
Nhắc lại kí hiệu
ij
xx
nhấn mạnh một giải thích thống kê khả dĩ cho tỉ
lệ của tích phân.
Xa hơn nữa, hệ số của
i
x
trong biểu thức tích phân sinh ra những biểu
thức đơn giống như phương trình (2.5).


1
12
1 1 1 1 1 1
1
4
T
x Ax
i j k l N i j k l
ij kl ik jl il jk
x x x x Z dx dx dx x x x x e
A A A A A A


  





(2.6)

Tr
là trace trên không gian Hilbert
4
N
chiều, trong đó
N
là số vị trí.
Tương tự tích phân Gaussian nhiều chiều, chúng ta có thể thực hiện
trace làm tương tự nếu chúng có dạng bậc 2 của toán tử fermion.
Giả sử:

15
 
11 12
1
1 2 21 22
2
ˆ
hh
c
H c c h h
c




N

chiều của cơ học lượng tử. Thì “det” là một định thức của ma trận
NxN
. “
I
”
ma trận đồng nhất
N
chiều và
h
là ma trận số đầu vào định nghĩa toán tử
ˆ
H
.
Điều đó nhấn mạnh rằng bởi vì chúng ta đang thực hiện Trace theo không
gian Hilbert
4
N
chiều đầy đủ, bao gồm tất cả các trạng thái của số lấp đầy.
Chính phương pháp định thức QMC như được tính toán thực hiện trong chính
tắc lớn. Mật độ hạt được điều khiển bằng sự biến đổi của thế hoá.
Đó là cho phép kiểm tra thông thường (phương trình 2.8) viết cho một
bậc tự do fermion đơn. Với toán tử
ˆ
H e c c


. Có hai trạng thái không gian
Hilbert và














(2.10)

16
Thì,
           
垐
1 2 1 2
det
H H H L h h h L
Z Tr e e e I e e e
     
     


  






(2.12)
Hàm Green Fermion vừa là một phần tử nghịch đảo của ma trận
NxN

mà định thức của nó đưa ra được hàm phân bố.
Công thức ở trên đã mô tả khá tốt cách thực hiện Trace cho dạng bậc 2
của các bậc tự do fermion. Không may là Hubbard Hamiltonian có một đại
lượng tương tác
i i i i i i
Un n Uc c c c

     

là bậc 2 trong các toán tử fermion.
Để xử lí các đại lượng này chúng ta sử dụng khai triển Hubbard –
Stratonovich (rời rạc hoá).
 
11
22
4
1
2
U
U n n
s n n
s
e e e

n

,
n

.
Bây giờ, chúng ta chia
L


và sử dụng phép phân tích Trotter.
Điều này cho phép chúng ta tính ra các thành phần khác nhau của toán tử
Hamiltonian. Ta viết,
垐
H K V
, ở đó toán tử
ˆ
K
là toán tử chứa tất cả phần tử
đơn hạt và toán tử
ˆ
V
là phần tử tương tác Hubbard giữa các vị trí. Khi đó,

17
垐 垐 垐
L
H H K V K V
Z Tr e Tr e Tr e e e e
     


là bậc 2 trong toán tử fermion. Mỗi một
L
như vậy sẽ tốt hơn khi
ˆ
V
e


ở trên. Chúng ta đã đưa vào
N
trường Hubbard – Stratonovich, mà ở tại
mỗi điểm không gian riêng chúng ta có một tương tác cặp. Trường Hubbard –
Stratonovich
 
,s i l
có 2 chỉ số, không gian
i
và thời gian tưởng tượng
l
. Bây
giờ,
 
ˆ
Vl
e


là bậc 2 trong các toán tử fermion. Chúng ta đặt một đối số
l

  
  

(2.16)
Chúng ta nhận được một định thức cho cả 2 spin. Hàm phân bố lượng
tử bây giờ đã được điều biến như một bài toán Monte Carlo cổ điển. Chúng ta
cần tính tổng trên cấu hình có thể thực, cổ điển, biến
 
lis ,
với trọng số
“Boltzmann” là tích của hai định thức fermion. Chú ý rằng như mã QMC trên
thế giới, biến cổ điển được tính bằng tổng một chỉ số bổ sung
l
biểu thị cho
thời gian ảo.

18
Phương trình ma trận động năng và ma trận năng lượng tương tác có
thể được hiểu như việc đến từ việc đồng nhất toán tử tổng quát của phương
trình (2.10 – 2.11) tương tác
ˆ
V
có dạng bậc 2 bằng việc sử dụng phương trình
(2.13).
Thuật toán như đã nói, thì trong thời gian tính CPU như tỉ lệ với
4
NL
.
Lý do là việc tính lại định thức của
M

GM


. Nó chỉ ra rằng
dM
là rất đơn giản bởi vì khi
một trường Hubbard – Stratonovich lật trạng thái, một đầu vào chéo đơn
trong
 
vl
sẽ thay đổi. Bởi vì
dM
là rất nhỏ, nên việc tính của
 
det I G dM

nếu thời gian cpu tính toán không phụ thuộc
N
và
L
! Trong thực tế, suy nghĩ
một chút sẽ thuận lợi rằng phương trình update trường Hubbard –
Stratonovich xuất hiện từ phương trình (2.19) và dạng của
dM
.
Tuy nhiên, chúng ta cần biết
1
GM





là một ứng dụng của công thức “Sherman – Morrison” đã cho, ví
dụ trong xử lí số liệu số Press. Nếu bạn thực hiện với công thức Sherman –

19
Morrison, áp dụng cho vấn đề của chúng ta, kết thúc với phương trình cập
nhật hàm Green.
Một nhận xét cuối cùng liên quan đến sự cần thiết (Wrapping) đóng gói
C cho phương trình đóng gói hàm Green. Việc sử dụng phương trình (2.19)
để nhận được phương trình update trường Hubbard – Stratonovich và công
thức Sherman – Morrison để nhận được phương trình cập nhật hàm Green
yêu cầu rằng thời điểm ảo cho biến Hubbard – Stratonovich được cập nhật ở
cuối của tích trong phương trình (2.16). Quá trình đóng gói C chuyển ma trận
tương tác gần đúng tới cuối của tích thông qua một giao hoán tuần hoàn. Đó
là,
         
11
12v L v v v L v L
k k k k k
e e I e e e e e e e e
    

    
    
     

     
(2.18)
     

11
i i i i i i
n c c d d n
     

    
(2.21)
Và xem xét định thức fermion tại hệ,
2U


. Sau đó ta có

20

 
 
 
   
 
det
det
i
i
i
ii
i
ii
i
il


(2.22)
Trong đó, các nét nghiêng biểu thị các giá trị biến lỗ. Do đó,
det .det 0

  
, cho
1, 0nU
(2.23)

Hình 2.1: Dấu trung bình của tích định thức fermionic như một hàm của miền năng
lượng điền đầy, của mô hình Hubbard với
4U 
:
 
a

44
mạng vuông, cho nghịch đảo
nhiệt độ
6


(vòng tròn),
8
(hình vuông), và
10
(tam giác); được chuyển thể từ Refs
[37] và [32]. (b)
66

dương
 

với tất cả các hàm.

21
Tương tự đối số được áp dụng để biểu thị định thức fermionic là luôn luôn
dương cho mô hình Holstein của tương tác electron – phonon [7, 22].
Trong một số trường hợp khác, định thức fermionic trở thành âm của một
vài cấu hình. Để phá vỡ vấn đề này, nhớ lại rằng hàm riêng có thể được viết
bằng một tổng của các cấu hình,
 
cs
, của „trọng số Boltzmann‟,
   
 
 
 
det detp c s s

  
. Nếu chúng ta viết
     
p c s c p c
, trong đó
 
1sc
để chú ý dấu của
 
pc

p c s c
p c s c A c p c
p c s c p c
sA
p c s c A c
s
p c s c
























.
Trong hình 2.1a, chúng ta thể hiện điều kiện của
sign
như một hàm của
miền năng lượng điền đầy, cho mô hình Hubbard trên một mạng tinh thể hình

22
vuông
44
với
4U 
, và cho ba nhiệt độ khác nhau. Ta thấy rằng, từ
1n 
,
sign
chỉ các điều kiện tại điền đầy nhất định, tương ứng để đóng cấu hình;
như vậy trạng thái cơ bản của hệ là không suy biến [32]. Đối với một số
trường hợp, các hàm đặc biệt là 2 và 10 fermion trên
44
vị trí, tương ứng,
dẫn đến
0.125n 
và
0.625
. Tại bất kì hàm không đặc biệt,
sign
bị suy giảm
dần giống như nhiệt độ giảm, thể hiện mô phỏng trong một số trường hợp.
Hình 2.1b làm rõ rằng đối với một nhiệt độ cho trước, nhưng trong
sign

tăng, dấu bị suy giảm ngay cả đối với các hàm đặc biệt.
Cho các hàm khác dấu trung bình cũng giảm với
U
, và có những khẳng định
tổng quát [7] là
s
N
sign e


(2.25)
Trong đó:

phụ thuộc vào
n
và
U
. Trong khi cho
n
,

phụ thuộc vào
U

là đơn điệu, cho
U
,

nhỏ hơn ở các hàm đặc biệt so với các hàm khác.



   

(2.26)
Trong đó: một cấu hình Hamiltonian Stratonovich tổng quát của lát cắt
thời gian
l
bây giờ được kí hiệu bằng
     
 
12
, ,
s
lN
S s l s l s l
;
 
12
, ,
M
S S S S

xác định hoàn chỉnh một đường trong không gian của trường Hamiltonian
Stratonovich. Thay vì áp dụng khai triển Hubbard – Stratonovich cho tất cả

24
lát cắt thời gian tại một thời điểm, ta cần áp dụng nó cho mỗi lát cắt thời gian
kế tiếp và thu thập các kết quả từ một cấu hình Hamiltonian – Stratonovich
cho lát cắt thời gian
l

s
N
giá trị khác nhau của
1
P
xuất
hiện từ
0
P
; xem hình 2.3. Mỗi một giá trị tiếp theo được đưa vào của trường
HS dẫn đến showers của
2
s
N
giá trị của
l
P
xuất hiện từ
1l
P

. Trong hình 2.3,
chúng chỉ chạy theo hai đường dẫn đại diện: đường trên luôn luôn là dương
 

trong khi đường dưới cắt trục
l
tại
0
l

rằng ta tìm thấy các trường mà cấu hình đưa đến trọng số âm nhiều hơn
những trường cấu hình đưa đến trọng số dương. Quan điểm này giúp chúng ta
hiểu tại sao chỉ đơn giản là loại bỏ những cấu hình trọng số âm là không

25
đúng: những đóng góp tổng thể của cấu hình trọng số dương sẽ được đánh giá
trong tổng các giá trị trung bình.

Hình 2.3: Sơ đồ điều kiện của phần đường dẫn (xem hình) như một hàm của chiều dài.
Chỉ hai đường đại diện từ „shower‟ tại
0l 
được thể hiện: một đường nét liền đưa đến
một phần tử
 

khi nó đạt tại
lM
, trong khi đường nét đứt đạt
0P 
tại
0
l
.
Phân tích phần đường dẫn này của một đề nghị gần đây [34] để giải quyết
vấn đề về dấu của hàm sóng. Nó đưa ra thực tế rằng khi phần đường dẫn
chạm đến trục
0P 
, đưa đến showers, khi tổng trên tất cả các trường HS tiếp
theo, cho một biến; xem hình 2.3. Nói cách khác, thay thế tất cả
B

B
thử nghiệm và kết quả dường như
được khuyến khích sơ bộ. Rõ ràng, điều này là cần thiết để đánh giá đầy đủ
hiệu quả và mạnh mẽ của phương pháp.
Hơn nữa, những đề xuất gần đây thú vị để giải quyết vấn đề về dấu của
hàm sóng cần được xem xét triệt để và kĩ lưỡng. Trong phương pháp tiếp cận
của nhóm Meron [30], các trường HS được đặt vào trong tất cả các vị trí như