1
LỜI CẢM ƠN

 S.



giáo Phòng Sau 
 
 Hà Nội, tháng 11 năm 2013
Tác giả Trần Hoài Anh 2
LỜI CAM ĐOAN



S. 


     “Ứng dụng phƣơng trình vi phân giải bài toán
kinh tế” 


Chƣơng 2: Ứng dụng phƣơng trình vi phân giải bài toán kinh tế 18
 18
2. 23
ng Solow 28
 34
Chƣơng 3: Ứng dụng hệ phƣơng trình vi phân giải bài toán kinh tế 44
3.1 44
3.2. Mô hình   46
 56
KẾT LUẬN 64
TÀI LIỆU THAM KHẢO 65

4
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài



 



      


       

́
ng go
́
p cu
̉
a luâ
̣
n văn
  
. , 




6
CHƢƠNG 1
PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN

1.1. Một số khái niệm về phƣơng trình vi phân
1.1.1. Phƣơng trình vi phân thƣờng
Định nghĩa 1.1. 
 
()
, , , , 0
n
F x y y y y
 

,







()n
y















()n
y







dx




  







1.1.3. Nghiệm
 vi phân  
()y y x

n


( , )ab
 , 




 
( 1)
, ( ), ( ), , ( ) 0
n


:
 
,y f x y


, (1.2)
 v
- Hàm
 
yx

 
,I a b


a,
   
 
,,x x x D



xI
;
b,
   
 
, , 0F x x x


ii) Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

   
y p x y q x


, (1.4)

   
,p x q x

 
,ab

 
y y t



 
0qx 

 
0y p x y


(1.5)

 
0qx 

n
0a 
;
p
y bx

n
0a 
.
- (1.6) có d

9
.
pc
y y y

V
(0)
ax ax
b b b
y Ae y e
a a a



    


, v
0a 

.
p x dx
c
y Ce




- 
Coi
C
là   
x
, t    
(1.7
 
 
p x dx
y C x e



. (1.8)
7
 
 
 
p x dx
C x e q x


C
.
iii) Phương trình Bernoulli
Bernoulli là 
   
y p x y q x y



,
  
. (1.9)
Cách giải:

0 
hay
1 
, thì (1.9) tr thành vi phân 
tính c 1.
+ 
0 
và
1 
, ta chia c hai 9) cho
y


   
1
.y y p x y q x

z
. Gi phng trình
này ta tìm  nghi
()z z x
. T  suy ra nghi c phng trình
(1.9) là
1/(1 )
( ) .y z x






iv) Phương trình vi phân toàn phần
vi phân c m
   
, , 0P x y dx Q x y dy
(1.11)
 

 
,U x y
sao cho

11
     
, , ,dU x y P x y dx Q x y dy

hay

, nên
PQ
yx



 


.
PQ
yx



(1.13)
Cách giải:
T
( , )
U
P x y
x



ta có
( , ) ( , ) ( ).U x y P x y dx y


L  hàm hai v theo


n


12
( ) ( 1)
1 1 0
( ) ( ) ( ) ( )
nn
n
y p x y p x y p x y f x



    
, (1.14)
 
0 1 1
( ), ( ), , ( )
n
p x p x p x

và
()fx



( , )ab



1.3.2. Cấu trúc nghiệm của phƣơng trình vi phân tuyến tính
 
n
 vi phân
tuy tính thu nh (1.15) 

12
, , ,
m
y y y



 (1.15)

1
()
m
kk
k
y c y x



,

12
, , ,
m
c c c

kk
k
y x y x c y x




.
1.3.3. Phƣơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp
n
với hệ số hằng số
v 
trình 

( ) ( 1)
1 1 0
0
nn
n
y p y p y p y



    
, (1.16)

0 1 1
, , ,
n
p p p



 
1
1 1 0
0
n n x
n
p p p e

  


    
.



0
x
e


, 

, ta suy ra
1
1 1 0
( ) 0
nn






 (1.16) 
















 (1.17). Xét các  h
sau:

14
i) Phng trình (1.17) có
m
nghi th khác nhau:
12






(1.16).
iii) Phng trình (1.17) có  
i

m
. Khi 
1
os , os , , os
x x m x
e c x xe c x x e c x
  
  

;
1
sin , sin , , sin
x x m x
e x xe x x e x
  
  


là
2m



       (1.18)  
này 

15
trình vi phân tuy tính Ta xét 






()fx

nh sau:
i)
( ) ( )
x
k
f x e P x


, 
()
k
Px

k

x

k

x
.
ii)
( ) ( )cos ( )sin
x
f x e P x x Q x x






, 
( ), ( )P x Q x
là

,


.

i
, thì ta tìm

()yx

(1.18) 
( ) ( )cos ( )sin


()Rx
và
()Sx


()Px
và
()Qx
.

1.4. Hệ phƣơng trình vi phân cấp một
1.4.1. Định nghĩa

16
H phng trình sau
 
 
1
11
1
, , ,

, , ,
n
n
nn
dy
f x y y
dx

n
yy
là các hàm ph tìm và các hàm
i
f
(
1,in
) xác 
trên mi
1n
G

 
.
H
11
( ), , ( )
nn
y x y x
kh vi trên kho
( , )ab
g là nghi
c h phng trình n:
i)
 
1
, ( ), , ( ) ;
n
x x x G


dy
p x y p x y p x y f x
dx




    









    







(1.20)
trong 
 
; , 1,
ij
18
CHƢƠNG 2
ỨNG DỤNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
GIẢI BÀI TOÁN KINH TẾ

2.1. Khái niệm phân tích cân bằng động
2.1.1. Một số định nghĩa
n

an:
()P P t

i

19
x

()xt
có tính



 
- 
t
.
- 
t
 
0 1 2
, , , t t t t
.
Trên hình 2.
 
Pt


t

 
Pt
. 

 

P(t)

O
t

Hình 2.1
P 20
2.1.2. Một số ứng dụng của phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân
Bài toán 1.
Cho
1/2
dH
t
dt


và
 
0 100H 



dt
dH
t


( ) 2 ,H t t c  

 
0t 
ta có
 
0Hc

( ) 2 (0)H t t H  
.
Theo bài ra ta có
(0) 100H 
.

( ) 2 100H t t
.

()Ht
.
Bài toán 2.
Cho
0,2
( ) 2
Q
MC C Q e


0,2
2
Q
dC e dQ


0,2
10 .
Q
C e k  


(0) 90FC C
thì
0
(0) 10 80k C e  
, nên

0,2
( ) 10 80.
Q
C Q e

Bài toán 3.

MSP=
0,5
0,3 0,1
dS


  
     


 ta có
 
81 0S 
suy ra
22,5c 
.

 
0,5
0,3 0,2 22,5S Y Y Y  
.
2.1.3. Ứng dụng phƣơng trình vi phân xác định hàm cầu khi biết hệ số co
dãn của cầu



22



d
dQ p
E
dp Q


p Q cp
c
    
  

Bài toán 4.

 
Q f p

giá
p
là:

2
10 4
d
pp
E
Q


 mãn
1000Q 
khi
20p 
.

Ta có:
d


Hay
2
10 2Q p p c   
,
1000Q 
khi
20p 
nên

   
2
1000 10 20 2 20 400cc     23

2
10 2 400Q p p   

Bài toán 5.

 
Q D p
, cho b
giá
p
là:

2

52
d
dp p p Q
dQ E Q dp
p Q p
p dp



   




  

Hay
2
5Q p p c   
,
500Q 
khi
10p 
nên

   
2
500 5 10 10 650cc     



24
d
Q

s
Q
: hàm cung
P

Cho
ds
QQ

.P





+ Khi
(0)PP

P

Q

P

25

()P j P P   

   ( ) ( ).P j P j   

    



()
(0) .
jt
cp
P P P P e P







()Pt
  
P
khi
t 
. Ngoài ra, do
const
p
PP
.

(0)PP

()P t P

()Pt
và
P

t
.
Bài toán 6.

P(0)