Phách đính kèm Đề thi chính thức lớp 12 THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH

KÌ THI CẤP TỈNH GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
NĂM HỌC 2011 - 2012
@

Lớp: 12 Trung học phổ thông. Bảng :A

Thời gian thi: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 16/02/2012

Họ và tên thí sinh:

Nam
(
Nữ
)
Số báo danh:

Ngày, tháng, năm sinh:

Nơi sinh:

Học sinh lớp: Nơi học: Họ và tên, chữ ký của giám thị SỐ PHÁCH


LỚP: 12 THPT. BẢNG A
Ngày thi: 16/02/2012
Thời gian làm bài: 150 phút
(không kể thời gian giao đề)

Chú ý:
- Đề thi này có : 07 trang (cả trang phách).
- Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này.

Điểm của toàn bài thi

Họ và tên, chữ ký

các giám khảo

SỐ PHÁCH
(Do Chủ tịch HĐ chấm ghi)
Bằng số

Bằng chữ

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Trang
2

BÀI 2 (5 điểm) Tìm các nghiệm thực gần đúng của hệ phương trình:
2
2 2
( 16)(2 ) 2012
( 9) 588
x x x y
x y

+ + =


+ + =

 Trang
3

BÀI 4 (5 điểm) Cho
∆
ABC có AB = 4; BC = 6; CA = 9. Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp
xúc với các cạnh AB; BC; CA lần lượt tại M; N; P. Tính gần đúng diện tích
∆
MNP.
Tóm tắt cách giải Kết quả
a
a
a
a
a
a a
a

BÀI 5 (5 điểm) Cho biểu thức
2 3 20
1 1 1 1
( ) 3 3 3 3
P x x x x x

a
a
a
a
a
a

aa
a
a
a

BÀI 7 (5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho elip
2 2
( ) : 1
16 2
x y
E
+ =
và đường thẳng
: 20 12
a

BÀI 8 (5 điểm) Cho dãy số
( )
n
u
xác định như sau:
1
1
2
3
, 1
1 3.
n
n
n
u
u
u n

a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

a

Trang
6

BÀI 9
(
5 điểm
): Một tấm đề can hình chữ nhật được cuộn tròn lại theo chiều dài, được một
khối trụ đường kính 50cm. Người ta trải ra 250 vòng để cắt chữ và in tranh cổ động, khối còn
lại là khối trụ có đường kính 45cm. Hỏi phần đã trải ra dài bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng
đơn vị)?
Tóm tắt cách giải Kết quả
6km
800m

Trang 1
LỚP:
12 THPT. BẢNG A ĐỀ CHÍNH THỨC
(Hướng dẫn chấm này có
04
trang)
Câu

Tóm tắt cách giải Kết quả
Cho
điểm
1
TXĐ D = [0; 4].
y’ = 2–
xx
x
4
2
2
+−
+−
.
x
0
= 1 + ln2; y
0
= y(x

a
≈
1,8447
b
≈
-3,7134

1,0 đ 2,0 đ
2,0 đ
2
HPT ⇔
2 2
2 2
( 16 )(2 ) 2012
16 2 507
x x x y
x x x y

+ + =



503
4
a
b
=


=

hoặc
4
503
a
b
=


=


+ Với
503
4
a
b
=


=


x x
y x

+ =


+ =



+ Tính ra được x, y và ghi đáp số.
Chú ý
: Tóm tắt cách giải cho 2 điểm, kết quả 3 điểm
(mỗi nghiệm 0,5 điểm).

a 0,2462
22,4167
x
y
≈


≈


0,2462
22,4167

x
y
≈ −


≈


31,8118
8,2234
x
y
≈ −


≈ −
1,0 đ
1,0 đ 3,0đ
3
Đặt
0

) < 0.
mà
lim ( )
t
f t
→±∞
= +∞
nên phương trình f(t) = 0 có 2 nghiệm.
Dùng chức năng SOLVE ta tìm được 2 nghiệm gần đúng
của t là:
t
1
> t
2
(t
2
không thỏa mãn điều kiện).
+ với t = t
1
⇒
0
2 sin( 45 )
x +
= t
1
⇒ nghiệm x



3,0đ
SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY MÔN TOÁN
NĂM HỌC 2011 - 2012

Trang
2

4
Đặt AB = c; BC = a; CA = b. Gọi p là nửa chi vi p =
2
cba ++
. Áp dụng định lí hàm cos cho
ABC
∆
có cosA =
cb
abc
2
222
−+
⇒
A; Tương tự
⇒
B
⇒
C = 180

CCN sin
2
1
2
.
Chú ý
: Tóm tắt cách giải cho 2 điểm, kết quả 3 điểm.
S
MNP

≈
0,8522(đvdt) 2,0đ

x
 
−
 
 
là
2
( 1) 3
n k k k k n
n
C x
− −
−
khi
2 0
2
n
k n k
− = ⇔ =
(n chẵn).
Do đó số hạng không chứa x trong khai triển và rút gọn
của
( )
P x
là:
1 2 2 3 3 10 10
2 4 6 20
3. 3 . 3 . 3
C C C C
− + − + +

trung điểm của AB và CD.
Ta có BN = AN và CM =
DM nên MN vuông góc
với AB và CD.
+ Gọi O là trung điểm MN
ta có OA = OB, OC = OD mà ∆OMB = ∆ONC nên OB =
OC. Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
+ Có ∆ABC = ∆ABD = ∆ACD =∆BCD ⇒ các đường tròn
ngoại tiếp các tam giác đó có bán kính bằng nhau. Các
đường tròn đó đều nằm trên mặt cầu tâm O nên khoảng
cách từ O đến tới các mặt phẳng chứa các đường tròn đó
bằng nhau. Suy ra O cũng là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện.
+ Có
2 2 2
2
145
2 4 4
BC BD CD
BN
+
= − =
⇒
2 2
30
MN BN BM= − =
.
+ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện:
2 2
55
2


3,0đ


(cm)
Chú ý
: Tóm tắt cách giải cho 3 điểm, kết quả 2 điểm (mỗi
ý 1đ). 55
2
R
=
(cm)
570
24
r
=
(cm)

1,0đ

1,0đ
7.1
Tọa độ giao điểm A, B của (E) và d là nghiệm của hệ
phương trình:
2 2
2 2
20 12
1


0,5 đ

1,0 đ
1,0đ
7.2
Gọi
0 0
( ; ) ( )
M x y E
∈
⇒
2 2
0 0
8 16
x y
+ =

1 1
( , ). ( , ).
2 2
MAB
S d M AB AB d M d AB
= =
.
Do AB không đổi nên
MAB
S
lớn nhất khi
( , )

8 16
x y
x
y
x y
− ≥



= −



+ =


Giải ra ta được giá trị của x
0
, y
0
từ đó suy ra tọa độ của M.
Chú ý:
Thí sinh có thể giải bằng cách lượng giác hóa tọa
độ điểm M hoặc viết phương trình tiếp tuyến của (E) song
song với d.
11
S
=1,0đ

8.2
Đặt
1
tan
u
α
=
.
Ta có:
1
2
1
tan tan
3
3
tan
3
1 3
1 tan tan
3
u
u
u

, ,
n n n
u u u u u u
+ +
= = =
với
1
n
∀ ≥
.
2012 1 2 3 4 5 6
2008 2009 2010 2011 2012
1 2 3 1 2
( ) ( )
( )
670( )
S u u u u u u
u u u u u
u u u u u
= + + + + + +
+ + + + +
= + + + +
2.250
a
−
=
.
Thể tích của tấm đề can đã trải ra là:
2 2
50 45
2 2
h hda d
π
 
   
− = ⇒
 
   
 
   
 

373 (m)

22
' HBHA
+
.
Quãng đường cần tìm s = A’B + CD.
s =16,4(km)

+) Nếu kết quả lấy thừa chữ số thập phân (hoặc thừa chữ số phần đơn vị khi tính góc)
theo yêu cầu thì tùy từng bài trừ từ 0,5đ đến 1,0đ.
+) Nếu kết quả làm tròn sai 01 chữ số thập phân cuối cùng theo yêu cầu thì trừ 0,5đ, nếu
sai từ 02 chữ số thập phân trở lên thì không cho điểm.
+) Mỗi kết quả thiếu đơn vị đo trừ 0,5đ.
+) Trường hợp học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm.
2) Mọi vấn đề phát sinh khác đều phải được bàn bạc thống nhất trong cả tổ chấm, ghi vào
biên bản thảo luận đáp án biểu điểm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất đó.
Hết

A'
H
G
F
800m
C'
D'
800m
D
C
B
A
1,5km
16km
5,2km
800m
Phách đính kèm Đề thi chính thức lớp 12 THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH


Giám thị số 2: (Do Chủ tịch hội đồng chấm thi ghi)

Quy định :
1)
Thí sinh phải ghi đầy đủ các mục ở phần trên theo hướng dẫn của giám thị.
2) Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi có phách đính kèm này.
3) Thí sinh không được kí tên hay dùng bất cứ kí hiệu gì để đánh dấu bài thi, ngoài
việc làm bài thi theo yêu cầu của đề thi.
4) Bài thi không được viết bằng mực đỏ, bút chì; không viết bằng hai thứ mực. Phần
viết hỏng, ngoài cách dùng thước để gạch chéo, không được tẩy xoá bằng bất cứ cách gì
kể cả bút xoá. Chỉ được làm bài trên bản đề thi được phát, không làm bài ra các loại giấy
khác.
5) Trái với các điều trên, bài thi sẽ bị loại.

Trang 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NINHKÌ THI CẤP TỈNH GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
NĂM HỌC 2011 - 2012

@

LỚP: 12 THPT. BẢNG B
Ngày thi: 16/02/2012

Quy định :

1) Thí sinh được dùng một trong các loại máy tính: Casio fx-500MS, ES; Casio fx-570MS,
ES; Casio fx-570MS, ES Plus; Casio fx-500 VNplus; Vinacal Vn-500MS, 570MS và Vinacal-
570MS New.
2) Thí sinh trình bày tóm tắt cách giải, công thức tính, kết quả tính toán vào ô trống theo yêu cầu
được nêu với từng bài.
3) Các kết quả tính toán gần đúng, nếu không có yêu cầu cụ thể, được quy định lấy đến 4 chữ số
thập phân sau dấu phẩy; riêng số đo góc lấy đến giây.

BÀI 1
(5 điểm) Cho hàm số:
3 2
16
y x ax bx c
= + + +
. Tìm a, b, c biết đồ thị hàm số đi qua các điểm
( 1; 6)
A
− −
,
1 39
( ; )
2 2
B −
,
3 33
( ; )
2 2
C


BÀI 2 (5 điểm) Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình:
2 3
2
2
cos 4cos 1
cos2 tan
cos
x x
x x
x
− −
− =
.
Tóm tắt cách giải Kết quả

a

BÀI 3 (5 điểm) Cho biểu thức: P(x) = 1+ x + 2(1+ 2x)
2

+ 3(1 + 3x)
3
+ + 10(1 + 10x)


Trang
3

BÀI 4 (5 điểm) Cho
∆
ABC có A(2; 1); B(1; –2); C(–4; 3). Chân các đường phân giác trong
kẻ từ A, B, C xuống các cạnh đối diện lần lượt là M, N, P. Tính gần đúng diện tích
∆
MNP.
Tóm tắt cách giải Kết quả
a
a
a
a
a
a a
a

BÀI 5 (5 điểm) Cho phương trình:
2011

2
+ y
2
- 2x - 2my + m
2
- 26 = 0 có tâm I. Tìm giá trị gần đúng của m biết đường thẳng ∆
cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A và B thỏa mãn diện tích tam giác IAB bằng 10
.
Tóm tắt cách giải Kết quả
a
a
a
a
a
a
a

aa
a
a
a

a
a
a
a Trang
5
a

BÀI 8 (5 điểm) Cho hai dãy số (u
n
) và (v
n
) bằng công thức truy hồi sau:

và v
n
(ghi rõ loại máy tính sử
dụng).
2. Tính gần đúng giới hạn của hai dãy số đó.
Tóm tắt cách giải Kết quả a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

aBÀI 9
(5 điểm): Khi sản xuất cái phễu hình nón (không có nắp)
bằng nhôm, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí
nguyên liệu làm phễu là ít nhất, tức là diện tích xung quanh của
hình nón là nhỏ nhất. Tính gần đúng diện tích xung quanh của


Lạm phát xảy ra khi đồng tiền bị mất giá. Tỉ lệ phần trăm tăng lên của chỉ
số giá bán lẻ trong một năm được gọi là tỉ lệ lạm phát của năm. Thí dụ, khi nói tỉ lệ lạm phát
là 5%/năm, nghĩa là ta cần 1000 + 1000×5% = 1050đ khi mua một vật trị giá 1000đ trước
đây một năm. Hiện nay, để xây một ngôi nhà 3 tầng cần số tiền là 900.000.000đ (chín trăm
triệu đồng). Đầu mỗi tháng, một người gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng 5.000.000đ (năm
triệu đồng) với lãi suất 1,2%/tháng. Hỏi sau 10 năm số tiền người đó tiết kiệm được có đủ để
xây một ngôi nhà 3 tầng không? Nếu không đủ thì số tiền tối thiểu hàng tháng người đó gửi
vào ngân hàng là bao nhiêu nghìn đồng để đủ tiền xây nhà. Biết rằng tỉ lệ lạm phát hàng năm
là 5%/năm.
Tóm tắt cách giải Kết quả Hết

Trang 1
LỚP: 12 THPT. BẢNG B. - ĐỀ CHÍNH THỨC
(Hướng dẫn chấm này có 04 trang)
Câu

Tóm tắt cách giải Kết quả
Cho
điểm
1
+ Thay tọa độ A, B, C vào phương trình của hàm số
ta có hệ PT bậc nhất 3 ẩn a, b, c. Giải hệ phương
trình tìm được a, b, c.
+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
có hoành độ x
0

=


= −


= −


110,6557
m
≈

150,3992
n
≈ −1,0 đ

1,0 đ 1,0 đ

1,0 đ
1,0 đ

=



− +
=



suy ra nghiệm x.
0 0
1
77 0'44" 360
x k≈ ± +
2,0đ

3,0đ
3

10
là:
8 8
10
10. .10
C
.
+ Vậy hệ số của x
8
trong khai triển đã cho là:
8.8
8
+
8 8
9
9. .9
C
+
8 8
10
10. .10
C
2
C

⇒
BP = c – AP; NC = b
– AN.
Áp dụng định lí hàm sin cho
AMC
∆
, có:
MC =
)45sin(
45sin.
0
0
+
B
b
⇒
MB = a – MC.
S
MNP
= S
ABC
– S
ANP
– S
BMP
– S
CMN

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CẤP TỈNH
GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY MÔN TOÁN
NĂM HỌC 2011 - 2012

Trang
2

5
ĐK: x > 1/8.
Xét hàm số
2011
( ) log (16 2)
2012
x
f x x
π
= − −
với
1
8
x
>
.
Có
16 ln2011.2011
'( )
ln .(16 2) 2012
x
f x
x
0,1876
x
≈

1,1159
x
≈ 2,0đ 3,0đ
6
Đường tròn (C) có tâm I(1; m), bán kính R =
3 3
.
Gọi H là trung điểm của dây cung AB.
Ta có IH là đường cao của tam giác IAB.
IH =
2
|5 |

2
2
4 2
432 2 |5 |
( , ). 10 . 10
16
16
152 512 0
m m
d I AH
m
m
m m
+
⇔ ∆ = ⇔ =
+
+
⇔ − + =

a
a
a
a
a
a 12,1882
m
≈

AC =
3
a
.
+ Có AB
2
+ BC
2
= AC
2
nên
∆ABC vuông ở B.
+ Gọi H là trung điểm AC, ta
có H là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC.

+ Có
3
2 2
AC a
BH
= =
,
0
.cos60
2
a
SH AB
= =
.

S ABC ABC
a a
V SH S SH AB BC a a
= = = =
.

a
a
a
a
a
a
a

a
a
a
a
a
a
a

.
237,02233

C
B
A
S
Trang
3

8.1
Máy Casio fx – 570MS:
2012 SHIFT STO A
1 EXP - 20 SHIFT STO B
1 SHIFT STO D
ALPHA D ALPHA
=
ALPHA D + 1 ALPHA
:

ALPHA A ALPHA
=

(
ALPHA A + ALPHA B
)
÷ 2 ALPHA
:
ALPHA B ALPHA
=

(
2

≈
16,1237
2,0đ

1,0đ
1,0đ
8.2
Bấm
=

=

=
Kết quả không thay đổi, ta
được giới hạn.
lim u
n
= limv
n

≈
57,4157
1,0đ
9

+
= + =

Diện tích xung quanh của hình nón là:
2 6 2 6
2
9 9
( ) .
x x
S x xl x
x x
π π
π π
π
+ +
= = =
(x > 0)
Xét hàm số
2 6
9
( )
x
f x
x
π
+
=
(x > 0)
2 6
2 2 6

của hàm số f(x).
6
2
9
min ( )
2
f x f
π
 
=
 
 

10
= A
+ Gọi số tiền người đó gửi vào tháng đầu tiên là y
0
đ.
+ Cuối tháng thứ nhất người đó nhận được số tiền là :
1 0 0
1,2
(1 ) .
100
y y y m
= + =
.
+ Đầu tháng thứ 2 người đó có số tiền tiết kiệm là:

1 0 0 0 0
( 1)
y y y m y y m
+ = + = +

+ Cuối tháng thứ 2 người đó nhận được số tiền là:
2
2 0 0
.( 1). ( )
y y m m y m m
= + = +


y y y m m y y m m y
m
−
+ = + + = + + =
−
.
+ Cuối tháng thứ 3 người đó có số tiền là:
3
3 0
1
. .
1
m
y y m
m
−
=
−

+ Tương tự cuối tháng thứ n người đó có số tiền là:
0
1
. .
1
n
n
m
y y m
m
−
5.459.000đ
(5.459 nghìn đồng)

1,0đ 1,0đ 2,0đ Các chú ý khi chấm: