SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM 2012-VÒNG 1
LONG AN Môn: TOÁN- Bảng B
Ngày thi:23/10/2012
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút( không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (6,0 điểm)
a) Giải hệ phương
trình: ,với

b) Giải phương trình: ,với
Câu 2: (5,0 điểm)
a) Trong mặt phẳng với hệ toạ
độ §, cho tam giác ABC cân tại A,
cạnh BC nằm trên đường thẳng có phương trình: §. Đường cao kẻ từ B có phương
trình: §, điểm § thuộc đường cao kẻ từ đỉnh C. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác
ABC.
b) Trong mặt phẳng cho bốn điểm phân biệt A,B,C,D sao cho bốn điểm đó
không cùng nằm trên một đường thẳng.
Chứng minh
rằng:
Câu 3: (3,0 điểm)
Cho dãy số(u
n
) xác định như sau :

a) Chứng
minh:
b) Tính:
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho ba số dương a, b c thỏa mãn abc = 1.Chứng minh rằng:
a)
b)

( )
1;1M
⊥ ⇔ + = +
2 2 2 2
AC BD AB CD AD BC
1
1
2
2 1
( 1, )
1 ( 2 1)
n
n
n
u
u
u n n
u
+

=


+ −
= ∀ ≥ ∈

− −

¥
tan 2 1

¡
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM 2012-
VÒNG 1
LONG AN Môn: TOÁN- Bảng B
Ngày thi:23/10/2012
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1a
(3,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
Điểm
Điều kiện: 0,25
Đặt: ĐK: ta có hệ: 0,25
0,5
0,5
Thế (1) vào (2) ta có:
. 0,5
Kết hợp (1) ta có:
0,5
(vì u>v). 0,25
Từ đó ta có: x = 2; y = 2.(Thỏa đk). Vậy nghiệm của hệ là: (x; y) = (2; 2). 0,25
Câu 1b
(3,0 điểm)
Giải phương trình: (1)
Từ pt ta thấy
(1)
0,5
Đặt: 0,5
Pt trở thành: 0,5
1,0
0,5

x+y 0, x-y 0≥ ≥
u x y
v x y
= +


= −

0, 0u v≥ ≥
2 2 2 2
2 ( ) 2 4
2 2
3 3
2 2
u v u v u v uv
u v u v
uv uv
 
− = > + = +
 
⇔
 
+ + + +
− = − =
 
 
2
2 4 (1)
( ) 2 2
3 (2)

u
v

=



=


⇔

=



=



4
0
u
v
=

⇔

=



− + =

1
2 1x x
x
+ = ⇔ =
Oxy
2 2 0x y+ − =
1 0x y+ + =
( )
1;1M
1 0
2 2 0
x y
x y
+ + =


+ − =

( )
3; 4B −
: 2 3 0d x y⇒ + − =
2 3 0
1 0
x y
x y
+ − =


 
⇒ −

 ÷
 

+ − =

6 2
;
5 5
C
 
⇒ −
 ÷
 
8
: 0
5
CA x y− − =
13
2 0
2
8
0
5
x y
x y

− − =

a c⇔ ≠
AC BD⇔ ⊥





=
−−
−+
=
=
+
, )3,2,1(
)12(1
12
2
1
1
n
u
u
u
u
n
n
n
tan 2 1
8
= −

⇔


= − −


π
π
tan 2 1
8
⇒ = −
π
tan
8
π
1
2 tanu a= =
2
tan tan
8
tan( )
8
1 tan .tan
8
a
u a
a
π
+
π

u a k= + −
π
1
tan( ( 1) ) tan
2 1
8 8
tan( . )
8
1 ( 2 1)
1 tan( ( 1) ).tan
8 8
k
k
k
a k
u
u a k
u
a k
+
+ − +
+ −
= = = +
− −
− + −
π π
π
π π
tan( ( 1) ), 1,
8

2
1 2a a+ ≥
2
1 2b b+ ≥
2
1 2c c+ ≥
( ) ( )
2 2 2
3a b c a b c a b c⇔ + + ≥ + + + + + −
3
3 3a b c abc+ + ≥ =
2 2 2
a b c a b c+ + ≥ + +
1a b c= = =
( )
( )
( )
2 2
3 3
3 3 3
3 3 3
a b a b a ab b
ab a b
+ = + − +
≥ +
( ) ( ) ( )
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
a b 1 ab a b 1 ab a b abc ab a b c⇒ + + ≥ + + = + + = + +
( ) ( )
3 3

≤ = =
+ +
+ +
+ + + +
3 3 3
3 3 3
1 1 1 a b c
1
a b 1 b c 1 c a 1
a b c
+ +
+ + ≤ =
+ + + + + +
+ +
2
3
(1)
2
2
( 2) 2 3 ( )(2)
3
x y m
x y xy m y

+ =




+ + = +

2 2
1 2
( ). ( ) 0 4 0f y f y m m⇔ −
( )
2 2
0
4 0
m
m m
≠



−


( , 2) (2, )m⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞
I
B
C
A
N
M
E

Ghi chú: Thí sinh giải khác hướng dẫn chấm mà đúng thì vẫn chấm điểm theo thang
điểm tương ứng.