PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG
ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6
Năm học: 2012-2013
Môn: Toán
Thời gian làm bài:120 phút
Đề thi này gồm 01 trang
Chú ý: Thí sinh dự thi không được dùng máy tính cầm tay!
Câu 1.(2.0 điểm) Thực hiện phép tính:
a) S =
2 2 2
3 5 61

(1.2) (2.3) (30.31)
+ + +
b) B=
12 12 12 4 4 4
12 4
6 124242423
19 37 53 15 4 2013
1 . : .
3 3 3 5 5 5
41 237373735
3 5
19 37 53 15 4 2013
 
+ − − + + +
 ÷
 ÷
 ÷
+ − − + + +
 

+ r
2
cũng là số nguyên tố.
Câu 4 (2.0 điểm)
Cho
·
0
100xOy =
. Vẽ tia phân giác Oz của
·
xOy
; vẽ tia Ot sao cho
·
0
25yOt =
.
a) Tính số đo các góc:
·
·
,zOt xOt
b) Ot có phải là tia phân giác của góc zOy không? Vì sao?
Câu 5 (2.0 điểm)
a) Cho A = 2012
2012
+ 2
2012
và B = 2012
2012
.
Chứng tỏ rằng khi biểu diễn A, B dưới dạng các số tự nhiên thì số chữ số của A và

n
n n
n n
+
= −
+
+
với n ∈N
*

Do đó:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
(1 )
2 2 3 30 31
S
   
= − + − + + −
 ÷  ÷
   
2
2 2 2
1 31 1 30.32
1
31 31 31
−
= − = =
.
0.25
0.5

3 1 5 1
19 37 53 15 4 2013
 
   
+ − − + + +
 ÷  ÷
 ÷
   
 ÷
   
 ÷
+ − − + + +
 ÷  ÷
 ÷
   
 
=
5.47
3.41
).
4
5
.4.(
41
47
= 3
0.5
0.5
Câu 2: (2,0 điểm)
Phần Nội dung trình bày Điểm

B B
 
= => = =
 ÷
 
Vậy
2013
1
A
B
 
=
 ÷
 
0.25
0.25
0.25
0.25
b
(1.0
điểm)
Xét : n = 1 ⇒ 1! = 1
2
n = 2
⇒
1! +2! = 3
n=3
⇒
1! + 2! + 3! = 9 =3
2

=> a ≤
15
4
=> a ∈ {1;2;3}
+ Với a = 1 thì
1 1 4
1
5b c
+ = −
. Không tồn tại b, c ∈N thỏa mãn.
+ Với a = 2:
Ta có:
1 1 1 4
2 5b c
+ + =
=>
1 1 3
10b c
+ =
Do b ≤ c nên
1 1 2
b c b
+ ≤
2 3
10b
=> ≥

2 3
10b
=> ≥

b
(1.0
điểm)
- Vì p > q > r nên: p
2
+ q
2
> 2
Do vậy p
2
+ q
2
+ r
2
là số nguyên tố thì p
2
+ q
2
+ r
2
phải là số lẻ => p
2
, q
2
, r
2
là
các số lẻ => p, q, r là các số nguyên tố lẻ.
- Trong ba số p,q,r phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3 vì nếu không có số
nào chia hết cho 3 thì p

0.25
0.25
Câu 4: (2,0 điểm)
Phần Nội dung trình bày Điểm
a
(1.0
điểm)
Tia Oz là phân giác góc xOy nên
·
0
50yOz =
Xét hai trường hợp:
* Trường hợp 1: Ot nằm giữa Oz và Oy
Mà
·
0
25yOt =
và Ot nằm giữa Oz, Oy nên
·
0
25zOt =
Vì Oz nằm giữa Ox, Oy và Ot nằm giữa Oy, Oz nên Oz nằm giữa Ox, Ot
=>
·
0
75xOt =
* Trường hợp 2: Oy nằm giữa Oz, Ot
Tia Oy nằm giữa Oz, Ot nên
·
0

z
t
b
(1.0
điểm)
- Trường hợp Oy nằm giữa Oz, Ot thì Ot không là phân giác của góc zOy
- Trường hợp Ot nằm giữa Oz và Oy ta có:
·
0
25yOt =
và
·
0
25zOt =
nên Ot là phân giác của góc zOy.
0.5
0.5
Câu 5: (2,0 điểm)
Phần Nội dung trình bày Điểm
a
(1.0
điểm)
Giả sử số B=2012
2012
khi biểu diễn dưới dạng số tự nhiên có n chữ số, ta có:
1000
2012
< 2012
2012
< 10

.1006
2012
< 2
2012
. 2
n – 2012
.5
n
≤ 2
2012
.(1006
2012
+1) Do n > 6036
=> 1006
2012
< 2
n-2012
.5
n
≤ 1006
2012
+1.
=> 2
n-2012
.5
n
= 1006
2012
+1. Điều này là vô lý vì 1006
2012

=> n ≥
1 1 0

m m
a a a a
−
+ + + +
=> n ≥ S
(n)

=> n
2
– 2013n + 6 ≤ n
=> n
2
+ 6 ≤ 2014n
=>
6
2014n
n
+ ≤
=> n< 2014 (1)
Mà S
(n)
≥ 0
=> n
2
– 2013n + 6 ≥ 0
=> n
2