PHÒNG GD&ĐT
THÁI THỤY
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN
Năm học 2010 – 2011
Môn : Toán 6
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (4 điểm)
a) Cho A = 3 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ … + 2
2010
và B = 2
2011
So sánh A và B.
b) Cho dãy số : 4 ; 10 ; 18 ; 28 ; …
Hãy tìm quy luật của dãy và viết thêm 2 số liên tiếp của dãy.
Bài 2 (3 điểm)
a) Cho
1 2 3 2009 2010
A
2010 2009 2008 2 1
= + + + + +

1 1 1 1 1
B 1
2 3 4 2010 2011
= + + + + + +

6 5 6 7 100 4
< + + + + <
.
Bài 5 (2 điểm)
a) Cho n tia chung gốc tạo thành 190 góc. Tính n.
b) Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox lấy 3 điểm phân biệt không trùng O là A, B,
C. trên tia Oy lấy 4 điểm phân biệt không trùng O là D, E, G, H.
Có bao nhiêu tam giác mà 3 đỉnh là 3 điểm trong 8 điểm: O, A, B, C, D, E, G, H?
Họ và tên học sinh:…………………………………………… Số báo danh:…………………
Trường THCS:………………………………………………………………………………………
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1 (4 điểm)
a) A = 3 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ … + 2
2010

= 1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ … + 2
2009
+ 2

Nếu
1 1 1 1 1
B 1
2 3 4 2010 2011
= + + + + + +
thì
A
2011
B
≠
Để đúng với đáp án, ta có thể sửa lại thành
1 1 1 1 1
B
2 3 4 2010 2011
= + + + + +
A
1 2 3 2009 2010

2010 2009 2008 2 1
= + + + + +
1 2 3 2009
1 1 1 1 1
2010 2009 2008 2
       
= + + + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
2011 2011 2011 2011 2011

2011 2010 2009 2008 2

< 10
n

10
m – 1
. 10
n – 1
< 2
2010
. 5
2010
< 10
m
. 10
n

10
m + n – 2
< 10
2010
< 10
m + n
Vì m + n – 2 < m + n – 1 < m + n nên 10
m + n – 1
= 10
2010
⇒ m + n – 1 = 2010 ⇒ m + n = 2011.
Vậy m + n = 2011.
Bài 3 (3 điểm)
a) Ta có : x

+ 2n + 3 ; 2n + 1) = d
⇒ 2(3n
2
+ 2n + 3) – 3n(2n + 1) ⋮ d hay n + 6 ⋮ d
⇒ 2(n + 6) – (2n + 1) ⋮ d hay 11 ⋮ d ⇒ d = 1 hoặc d = 11.
Để P là phân số không tối giản thì d = 11.
Mà n + 6 ⋮ 11 ⇒ n + 6 = 11k ⇒ n = 11k – 6 (k ∈ Z).
b) Đặt
2 2 2 2
1 1 1 1
A
5 6 7 100
= + + + +
. Ta có :
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A
4.5 5.6 6.7 99.100 4 5 5 6 6 7 99 100 4 100
< + + + + = − + − + − + + − = −
⇒
1
A
4
<
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A
5.6 6.7 7.8 100.101 5 6 6 7 7 8 100 101 5 101
> + + + + = − + − + − + + − = −
Vì
1 1 1 1
5 6 30 101

−
=
⇒ n(n – 1) = 2.190 = 20.19 ⇒ n = 20.
Vậy n = 20.
b) (Hình vẽ)
Xét ba trường hợp :
- Các tam giác có đỉnh là O:
+ Đỉnh thứ 2 là một trong các điểm A, B, C : có 3 cách chọn.
+ Đỉnh thứ 3 là một trong các điểm D, E, G, H : có 4 cách chọn.
Loại tam giác này có 3.4 = 12 tam giác.
- Các tam giác có đỉnh là là một trong các điểm A, B, C : có 3 cách chọn.
Hai đỉnh còn lại là 2 trong các điểm D, E, G, H : có 6 cách chọn
Loại tam giác này có 3.6 = 18 tam giác.
- Các tam giác có đỉnh là là một trong các điểm D, E, G, H : có 4 cách chọn.
Hai đỉnh còn lại là 2 trong các điểm A, B, C : có 3 cách chọn
Loại tam giác này có 4.3 = 12 tam giác.
Vậy tổng cộng có 12 + 18 + 12 = 42 tam giác.
Tổng quát :
Trên Ox lấy m điểm A
1
, A
2
, … , A
m

phân biệt (m ∈ N, m ≥ 1); trên tia Oy lấy n
điểm B
1
, B
2

Trở lại bài toán :
Xét ba trường hợp :
- Các tam giác có đỉnh là O:
+ Đỉnh thứ 2 là một trong các điểm A
1
, A
2
, … , A
m

: có m cách chọn.
+ Đỉnh thứ 3 là một trong các điểm B
1
, B
2
, … , B
n

: có n cách chọn.
Loại tam giác này có m.n = mn tam giác.
- Các tam giác có đỉnh là là một trong các điểm A
1
, A
2
, … , A
m

: có m cách chọn.
Hai đỉnh còn lại là 2 trong các điểm B
1

, … , A
m

(ứng với số cặp hai điểm):
có
m(m 1)
2
−
cách chọn
Loại tam giác này có
m(m 1) mn(m 1)
n.
2 2
− −
=
tam giác.
Vậy tổng cộng có :
mn(n 1) mn(m 1) n 1 m 1 mn(m n)
mn mn 1
2 2 2 2 2
− − − − +
 
+ + = + + =
 ÷
 
tam giác.
class="bi x8 yc3 w24 h10"
class="bi x8 yc4 w24 h11"
class="bi x8 yb8 w24 h12"