ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH AN GIANG
NĂM HỌC: 2008 – 2009.
Ngày thi: 31/03/2009
Bài 1: (4đ) Rút gọn.
1/.
( )
2 3 2 3 3 2 3
2 24 8 6
3 2
4 2 2 3 2 3 2 3
A
    
+
= + + − + +
 ÷ ÷  ÷
 ÷ ÷  ÷
+ + −
    
2/.
8 2 10 2 5 8 2 10 2 5B = + + − − +
Bài 2: (6đ) Giải phương trình, hệ phương trình sau:
1/.
(
)
2 2 2
2 14 2 8 8 14 8 24 0x x x x x x x
+ − + + − + + =
2/.
2 2
2 2
8

HƯỚNG DẪN
Bài 1: Rút gọn.
1/. HS tự biến đổi. Kết quả A = -5
2/. Tính
2
B
rồi suy ra
2 5 5B = −
Bài 2:Giải phương trình, hệ phương trình sau:
1/.
(
)
2 2 2
2 14 2 8 8 14 8 24 0x x x x x x x+ − + + − + + =
2 2 2 2
2 8 8 14 14 8 24 0x x x x x x x x x⇔ − + + + + − + + =
(
)
(
)
2
2 2
8 14 8 24 0x x x x x x⇔ − + + − + + =
2
2
8 2
8 12
x x x
x x x


x x x x
≥

− + = − ⇔

+ = − +

(vô nghiệm)
Vậy PT đã cho vô nghiệm.
2/.
2 2
2 2
8
7
x y x y
x y xy

+ + + =

+ + =

( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2
1 1 0 1
1
7 2
7
x y

nghĩ tìm lời giải:
( )
2 2 2
2 4 2a b c a b c ab bc ca+ + = ⇔ + + = − + +
.Từ đó :
( )
2 2 2
2 2 4 2 2 2 2 1a b c abc ab bc ca abc ab bc ca abc+ + + < ⇔ − + + + < ⇔ − − − + <
Ta thấy rằng:
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 2 1a b c abc ab bc ca a b c abc ab bc ca− − − = − − − + + + − = − − − + −
Cho nên BĐT ở trên trở thành
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1 1 0a b c a b c− − − + < ⇔ − − − <
Ngoài ra do a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác thỏa
2a b c+ + =
nên
1, 1, 1a b c< < <
Do đó BĐT
( ) ( ) ( )
1 1 1 0a b c− − − <
đúng.
Bài 4: (4đ)
H
D
C
O
A
B
M

Trong tam giác ABQ và APC có:
AB AQ
AM AG
=
,
AC AP
AN AG
=
Hai tam giác IBQ và ICP bằng nhau (g.c.g) nên IP = IQ. Từ đó AP + AQ =
2AI (xét 3 trường hợp)
Bây giờ ta có thể suy ra
3
2 2. 3
2
AB AC AQ AP AI
AM AN AG AG AG
+ = + = = =
Hết