BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN QUỐC VIỆT
GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ
VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG MỘT SỐ
KHÔNG GIAN HÀM Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC


cứu và hoàn thành luận văn.

Hà nội, tháng 7 năm 2013
Học viên

Trần Quốc Việt
LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riên tôi
dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Một số kết quả đã đạt được trong luận văn này là mới và chưa từng
được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác.

Hà nội, tháng 7 năm 2013
Học viên

Trần Quốc Việt
Tài liệu tham khảo .55

1 MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán giải phương trình toán tử có phạm vi ứng dụng lớn và ý nghĩa
thực tiễn cao. Đặc biệt là phương trình toán tử loại hai với toán tử đơn điệu
x Ax f
. Vì trong thực tiễn, có nhiều yếu tố làm cho bài toán chỉ có tính
chất gần đúng do đó nghiên cứu giải xấp xỉ phương trình toán tử luôn là vấn
đề mà nhiều nhà toán học nghiên cứu và đề cập đến.
Việc giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu luôn phụ
thuộc vào không gian hàm chứa miền xác định của toán tử, hơn nữa việc xây
dựng một dãy nghiệm xấp xỉ và đánh giá tốc độ hội tụ là việc rất cần thiết
trong giải xấp xỉ phương trình toán tử. Bởi vậy tôi chọn đề tài là “Giải xấp xỉ
phương trình toán tử với toán tử đơn điệu trong một số không gian hàm” để
thực hiện luận văn của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn trình bày những nghiên cứu về lý thuyết giải xấp xỉ phương
trình toán tử trong các không gian hàm và một số ứng dụng của nó.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu đề ra nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:
- Giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu trong không
gian hàm cụ thể.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu việc giải phương trình toán tử loại hai với toán tử đơn diệu
trong không gian Banach và Hilbert.
5. Phương pháp nghiên cứu

3 Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian metric
1.1.1. Định nghĩa không gian metric
Cho X là một tập khác rỗng.
Hàm
: d X X
được gọi là một khoảng cách (hay một metric) trên X nếu
thỏa mãn các tiên đề sau:
) ( , ) 0, , ; ( , ) 0 .     i d x y x y X d x y x y) ( , ) ( , ) , .  ii d x y d y x x y X) ( , ) ( , ) ( , ) , , .   iii d x z d x y d y z x y z X

Cặp
( , )Xd
trong đó
d
là một khoảng cách trên
X
được gọi là một không gian

Tập con
VX
được gọi là một lân cận của điểm
0
xX
nếu tồn tại số
0r
sao cho:
 
0
, B x r V

Từ định nghĩa về lân cận ta suy ra hình cầu
 
0
,B x r
cũng là lân cận của
0
x
.
4 1.1.3. Sự hội tụ trong không gian metric
Giả sử
 
n
x
là một dãy điểm trong không gian metric
X

1.1.4. Không gian metric đầy
Cho không gian metric
X
. Dãy
 

n
xX
được gọi là dãy Cauchy (hay dãy
cơ bản) nếu:
 
0, : , , , .     
nm
n d x x n m

  

Nếu mọi dãy Cauchy trong không gian metric
X
đều hội tụ thì
X
được gọi là
không gian metric đầy.
1.1.5. Ví dụ
Ví dụ 1.1.1.
Ký hiệu
 
,ab
C
là không gian các hàm số liên tục trên đoạn

,
,
ab
x y C
ta có
   
 
0, , .  x t y t t a b

 
   
,
sup 0.

  
t a b
x t y t

Vậy
 
,
( , ) 0, , ; ( , ) 0 .     
ab
d x y x y C d x y x y

 
,
,
ab
x y C

  
    
t a b t a b t a b
x t z t x t y t y t z t

Tức là
     
 
,
, , , , , , .   
ab
d x z d x y d y z x y z C

Lại có, giả sử
 
 
,

n
ab
xC
là dãy Cauchy tùy ý, nghĩa là
0,  n


sao cho:

   
 
, n n , , , .

 
, , , .     
n
x t x t n n t a b


(1.2)
Chứng tỏ hàm liên tục
 
n
x
hội tụ đều đến hàm
x
, do đó
 
,

ab
xC
.
Từ (1.2) suy ra
 
, , .  
n
d x x n n



lim .


cho bởi:
 
1
2
2
2
1
, , , .



   



ii
i
d x y x y x y l

Ta có không gian
2
l
là không gian metric đầy.
Thật vậy
Nhận xét rằng:
       
2
, 0; , 0 ; , , , , .      d x y d x y x y d x y d y x x y l

Mặt khác

   
   
   
   
   



     
, , , .  d x y d x z d z y

Lại có, giả sử
 
n
x
là một dãy Cauchy trong không gian
2
l
với
 
,1 ,2
, , 
n n n
x x x
.
Lúc đó ta có:
**
00
0, , , , :       n m n n k


k
bất kỳ thì dãy
 
,nk
x
là một dãy Cauchy trong nên nó
hội tụ.
Đặt
,
lim , 1,2,


k n k
n
x x k
và
 

k
xx
lúc đó ta có:
Từ (1.3) cho
m
ta được:
2
2
,0
1
, .


   

k k n k n k
kk
x x x x 
00
11
2
22
2
11


   
  
   
   

k n k n k
kk
x x x00
11
22
2

 
xt
xác định trên đoạn
 
0,1
thỏa mãn
 
1
2
0
 

x t dt
.
Hai phần tử
   
, x t y t X
được gọi là trùng nhau nếu chúng chỉ khác nhau
trên một tập hợp có độ đo
0
.
Với mọi
, x y X
ta đặt
     
1
1
2
2
0

   

d x y x t y t dt x t z t z t y t dt       
11
11
22
22
00
   
   
   
   

x t z t dt z t y t dt   
,,d x z d z y
.
Vậy
d
là một hàm khoảng cách trên
X
. Lúc đó ta có
X
cùng với
d

f
nếu
 
**
f x x
.
1.2.2. Nguyên lý ánh xạ co
Mọi ánh xạ co từ không gian metric đầy
X
vào chính nó có duy nhất một
điểm bất động.
Chứng minh.
Cho
 
,Xd
là không gian metric đầy và
: f X X
là ánh xạ thỏa mãn (1.4).
Lấy
0
xX
và xác định dãy
 
n
x
bằng quy nạp như sau:
   
1
0,1,2, .


nn
d x x d x x


Từ đó suy ra
 
   
 
1 1 2 1
, , , ,
      
   
n n p n n n n n p n p
d x x d x x d x x d x x 
 
   
11
01
01
,
, 0 .
1
  
   
  

n n n p

Vì ánh xạ co là ánh xạ liên tục nên ta có:
 
 
 
**
1
lim lim lim .

  
   
n n n
n n n
x x f x f x f x

Vậy
*
x
là điểm bất động của ánh xạ
f
.
Ta cần chứng minh
*
x
là duy nhất. Thật vậy giả sử
*
y
cũng là điểm bất động
của
f
. Ta có bất đẳng thức sau:

gọi là một chuẩn trên
X
nếu:

   
) 0 ; 0 0.     i p x x X p x x   
) .    ii p x p x K x X
       
) , .    iii p x y p x p y x y X

Không gian vectơ
X
cùng với một chuẩn
p
trên nó được gọi là không gian
định chuẩn.
Sau này ta luôn dùng ký hiệu
.
để chỉ một chuẩn trên không gian định
chuẩn
X
.
*/ Nhận xét:
Không gian định chuẩn


    
 
) . , , .  ii kx t k x t t a b

Như vậy với hai phép toán trên, không gian
 
,ab
C
là một không gian vectơ
trên .
Với
 
 
,

ab
x t C
, đặt
 
 
,
max


t a b
x x t
lúc đó ta có
.
là một chuẩn trên

2
, , ,    
ii
x x y y l k
ta định nghĩa:
 
*
) , .    
ii
i
i x y x y i

 
*
) . , .  
i
i
ii kx k x i

Khi đó
2
l
là một không gian vectơ trên trường số .
Với
2
xl
đặt
1
2
2



         

p
p
i i i
i
l x x x x x i x p

11 Ta có
p
l
là không gian Banach với chuẩn
1
1







p
p
i
i


   
   
  
pq
pq
i i i i
pq
i i i
x y x y x y
. (1.5)
Ví dụ 1.3.3.
Xét không gian
 
2
0,1
L
, với
   
 
2
0,1
, L , ,    x x t y y t k
ta định nghĩa:
      
 
) ; 0,1i x y t x t y t t    
.
    
 

2
0,1
L

hơn nữa
 
2
0,1
L
cùng với chuẩn đó là một không gian Banach.
Ví dụ 1.3.4.
Xét không gian hữu hạn chiều

n
X
và ánh xạ tuyến tính
: 
nn
A
. Giả
sử với một cơ sở cố định cho trước ánh xạ
A
cho bởi ma trận
 
,1
n
ij
ij
a
.
+
1
max



i
in
xx
.
Ba chuẩn tương ứng của ma trận
A
là:
+
1
1
1
max




n
ij
jn
i
Aa
.






n
ij
in
j
Aa
.
1.4. Không gian Hilbert
1.4.1. Tích vô hướng
Giả sử
X
là không gian vectơ. Ánh xạ
: XX

thỏa mãn:

     
1 2 1 2 1 2
) , , , , , .    i x x y x y x y x x y X
     
) , , ; , .    ii x y x y x y X
   


gọi là tích vô hướng của
x
và
y
.
* Nhận xét: Xét tương ứng
 
, ,   x x x x x X
. Ta thấy tương ứng trên
xác định một chuẩn trên
X
, như vậy không gian tiền Hilbert là không gian định
chuẩn với chuẩn sinh bởi tích vô hướng. Do đó một không gian tiền Hilbert ta có
thể xét tới tính đầy hay không đầy như một không gian định chuẩn.
13 1.4.3. Không gian Hilbert
Một không gian tiền Hilbert đầy được gọi là không gian Hilbert.
1.4.4. Ví dụ
Ví dụ 1.4.1. Xét không gian
 
 
2
2*
12
1
, , , , | , , ,



, , , .


  

ii
i
x y x y x y l


Xác định tích vô hướng trên
2
l
và sinh ra chuẩn của nó, tức là:
 
2
2
, , .  x x x x l


Vậy
2
l
là không gian Hilbert.
Ví dụ 1.4.2. Xét không gian
 
2
0,1
L
với chuẩn


Xác định tích vô hướng trên
 
2
0,1
L
và sinh ra chuẩn của nó, tức là:
 
 
2
2
0,1
, , L .  x x x x


Vậy
 
2
0,1
L
là không gian Hilbert.
1.5. Toán tử đơn điệu
1.5.1. Khái niệm toán tử đơn điệu
Giả sử
X
là không gian định chuẩn thực,
*
X
là không gian liên hợp của
X

,0  A x A y x y
thì toán tử
A
được gọi là
đơn điệu thật sự (nghiêm ngặt).
Ví dụ 1.5.1. Cho không gian Hilbert
H
. Khi đó ta có
*
HH
, xét toán tử
:.A H H

Ta có
       
 
, , .    A x A y x y A x A y x y

Lúc đó
A
là toán tử đơn điệu trong không gian
H
khi và chỉ khi
   
 
, 0, , .    A x A y x y x y H

1.5.2. Một số khái niệm đơn điệu
Toán tử d-đơn điệu
Cho không gian định chuẩn

(1.8)
Toán tử đơn điệu mạnh
Cho không gian định chuẩn
X
, toán tử
*
: A X X
gọi là đơn điệu mạnh nếu
tồn tại hằng số
0m
sao cho:

2
, , , .     Au Av u v m u v u v X
(1.9)
* Nhận xét:
+ Nếu toán tử
A
đơn điệu mạnh thì
A
là toán tử đơn điệu đều với
 
2
s ms

.
15 + Nếu toán tử

được gọi là đêmi liên tục tại
 
0
x D A X
nếu với mọi dãy
 

n
xD
mà
0
0
n
xx
khi
n
thì
 
n
Ax
hội tụ yếu về
 
0
Gx
.
Toán tử hêmi liên tục
Giả sử
,XY
là hai không gian định chuẩn và ánh xạ
:.A X Y

.
Toán tử liên tục Lipschitz
Giả sử
X
là không gian định chuẩn,
*
X
là không gian liên hợp của
X
. Toán
tử
*
: A X X
được gọi là liên tục Lipschitz nếu
const 0  L
sao cho

, , .    Ax Ay L x y x y X
(1.10)
Toán tử liên tục Lipschitz bị chặn
Giả sử
X
là không gian định chuẩn,
*
X
là không gian liên hợp của
X
. Toán
tử
*


xác định trên


0;
sao cho:

 
lim

 
s
s

và
 
,.Au u u u

(1.12)
* Nhận xét:
Theo định nghĩa ta có :
 
,
lim lim .
 
  
uu
Au u
u
u

,

ab
XC
, hàm số
 
,K t s
liên tục theo
hai biến
,ts
trên
   
,,a b a b
. Xét phương trình toán tử tích phân
         
 
,
, , .  

b
ab
a
x t K t s x s ds f t f t C


Phương trình trên gọi là phương trình tích phân Fredholm loại 2.
Định lý 1.5.1. Giả sử
*
: A X X
(

nn
Au u u


Do
A
đơn điệu nên
vX
ta có
 
 
11
, , ,     
n n n n
nn
Au v Au u u A u v v u u
 
 
1
*
1
1.     
n
n
A u v v u u M



.
Nghĩa là
 
**
1   
n n n
Au M Au u u

. Chọn
*
0
n
sao cho
0
nn

thì ta có
1
2

n
M u u
. Điều này thực hiện được vì

n
uu
nên tồn tại
*
0
n

Cho toán tử đơn điệu
*
: A X X
. Khi đó các mệnh đề sau tương đương với
nhau:
a) Toán tử
A
là rađian liên tục.
b) Từ điều kiện
, 0,     f Ay x y y X
suy ra
Ax f
.
c) Từ các điều kiện
n
x
hội tụ yếu đến
x
trong
X
,
n
Ax
hội tụ yếu đến
f

trong
*
X
và

0,
t
t f Ay y0,  
t
f Ay y
.
Cho
0t
ta được
,0f Ax y
. (vì
A
là toán tử rađian liên tục)
Do
y
tùy ý thuộc vào
X
suy ra
Ax f
.
(b) (c)
. Giả sử
n
x
hội tụ yếu đến
x
trong


 
lim , , ,

   
n n n n
n
Ax x Ax y Ay x y 
lim , 0

   
nn
n
Ax Ay x y
.
19 Suy ra
, 0,     f Ay x y y X
nên theo
(b)
suy ra
Ax f
.
(c) (d)
. Giả sử

X
.
Khi đó
lim , ,


nn
n
Ax x f x
. Theo
(c)
thì
Ax f
và
n
Ax
hội tụ yếu đến
f

trong
*
X
từ đó suy ra
 
n
Ax
hội tụ yếu đến
Ax
, điều này chứng tỏ
A

.
Kết hợp với tính chất
A
là toán tử rađian liên tục suy ra
Ax f
.
(e) (a)
. Trong trường hợp đặc biệt khi
KX
thì ta có
(e) (b)
. Nhưng từ
(b)
theo chứng minh trên ta suy ra
A
là toán tử đêmi liên tục, từ đó suy ra
A

là toán tử rađian liên tục.
20 Chương 2
Giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu

tùy ý
thuộc vào
 
DA
ta có bất đẳng thức

 
,0  Ax Ay x y
(2.2)
là đúng.
Toán tử đơn điệu
A
được gọi là đơn điệu ngặt nếu đẳng thức trong (2.2) đạt
được khi
xy
.
Ví dụ 2.1.1. Cho không gian Hilbert
X
với
X
cùng tích vô hướng thông
thường và toán tử
A
là hàm số thực
f
. Khi đó ta có bất đẳng thức (2.2)
tương đương với
   
 
 

 
*
,S x r
với tâm
*
x
, bán kính
r
và số dương
K
sao
cho đối với số
C
tùy ý lớn hơn
K
và đối với xấp xỉ ban đầu tùy ý
 
*
1
,x S x r
dãy
 
n
x
được xây dựng theo công thức

   
1
1
, 1,2, ,

x
của phương trình (2.1) là duy nhất. Thật vậy, giả sử
nếu phương trình (2.1) còn tồn tại nghiệm
**
yx
lúc đó ta có các đẳng thức:
**
x Ax f
và
**
.y Ay f

Lại có
A
là toán tử đơn điệu nên:
     
* * * * * * * * * * * *
0 , , , 0.            Ax Ay x y f x f y x y x y x y

Từ đó ta có nghiệm
*
x
là duy nhất.
Mặt khác, cũng vì
A
là toán tử đơn điệu nên theo định lý (1.5.1) tại mỗi điểm
trong của
 
DA
thì

CK
thì
 
1
2
diam .A S rC

Đặt
   
1
1
2
, 1


    
nn
t n C d n C
. Lấy
1
xS
tùy ý và xây dựng dãy
 
n
x

theo công thức (2.3). Ta có
 
 
*