LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS. TS. Khuất Văn Ninh. Sự giúp
đỡ và hướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của thầy trong suốt quá
trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều
trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn,
lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường
và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ,
tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD-ĐT tỉnh Vĩnh Phúc, Ban
giám hiệu, các t hầy cô giáo, đồng nghiệp trường Trung cấp kỹ thuật
Vĩnh Phúc cùng gia đình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và
tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa họ c Thạc sĩ và hoàn
thành luận văn này.
Hà Nội, ngày 20 tháng 06 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Thị Bích Nụ
LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Khuất Văn Ninh.
Tôi xin cam đoan luận văn là công tr ình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn t ôi đã kế thừa
những thành quả khoa học của các nhà khoa họ c và đồng nghiệp với sự
trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các thô ng tin t rích dẫn
trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày 20 tháng 06 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Thị Bích Nụ
Mục lục

2.4. Sự kết hợp của phương pháp Newton - Kantorovich và
phương pháp cầu phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Một số ứng dụng của phương pháp giải xấp xỉ phương
trình tích phân phi tuyến 46
3.1. Giải gần đúng phương trình tích phân phi tuyến Fredholm 46
3.1.1. Một số phương pháp giải gần đúng phương trì nh
tích phân phi tuyến Fredholm . . . . . . . . . . . 46
3.1.2. Các ví dụ giải phương trình tích phân phi tuyến
Fr edholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2. Giải gần đúng phương trình tích phân phi tuyến Volterra 62
3.2.1. Một số phương pháp giải gần đúng phương trì nh
tích phân phi tuyến Volterra . . . . . . . . . . . . 62
iv
3.2.2. Các ví dụ giải phương trình tích phân phi tuyến
Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Kết luận 78
Tài liệu tham khảo 79
v
BẢNG KÝ HIỆU
N Tập số tự nhiên
N
∗
Tập số tự nhiên khác không
R Tập số thực
R
+
Tập số thực dương
C Tập số phức
K Tập số thực hoặc phức
R

2
4. Đối tượng và ph ạm vi nghiên cứu
Phương pháp xấp xỉ liên tiếp.
Phương pháp cầu phương.
Phương pháp tuyến tính hóa.
Phương pháp Newton - Kantorovich.
Một số ứng dụng vào các phương trình cụ thể và giải số trên máy.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức, phương pháp của Đại số tuyến tính, Giải
tích hàm, G iải tích số và l ập trình cho máy tính.
Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan.
Suy luận logic, phân tích, tổng hợ p và hệ thống hóa.
6. Dự kiến đóng góp mới
Đề tài nghiên cứu một cách có hệ thống một số phương pháp giải
xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến. Nêu lên các ứng dụng của
phương pháp tuyến tính hóa vào giải một số lớp phương trình tích phân
phi tuyến.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Một số không gian của giải tích hàm
1.1.1. Không gian metric
Cho X là một tập hợp tùy ý và X = φ.
Định nghĩa 1.1.1. Một metric tro ng X là một ánh xạ
d : X × X → R
thỏa mãn các điều kiện sau:
i) d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X;
d (x, y) = 0 ⇔ x = y;
ii) d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ X;
iii) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ X.
Tập hợp X và một metric tro ng X gọi là một không gian met ric, ký

Định lý 1.1.1. Mọi t ập đóng tro ng không gian met ric đầy đủ là k hông
gian metric đầy đủ.
Chứng m i nh. Giả sử F là một tập đóng trong không gia n m etric đầy đủ
(X, d). Giả sử {x
n
} là một dãy cơ bản trong F tức là
lim
m,n→∞
d (x
m
, x
n
) = 0.
Suy ra {x
n
} là một dãy cơ bản trong X.
Do X là không gian đầy đủ nên dãy {x
n
} hội tụ, tức là
∃x
0
∈ X : x
n
→ x
0
, n → ∞
Như vậy (x
n
) ⊂ F : x
n

2
)) ≤ αd
1
(x
1
, x
2
). α gọi là hệ
số co c ủa ánh xạ co A.
Định lý 1.1.2 (Nguyên lý Banach về ánh xạ co). Mọi ánh x ạ co A ánh
xạ khôn g gian metric đầy đủ (X, d) vào chính nó đều có mộ t điểm bất
động duy nhất, ngh ĩ a là tồn tại duy nhất một điểm x
∗
∈ X thỏa mãn
Ax
∗
= x
∗
, x
∗
là giới hạn của dãy (x
n
) , x
n
= A (x
n−1
) , x
0
∈ X tùy ý và
d (x

= A (x
n−1
) ,
n = 1, 2, ta được
d (x
2
, x
1
) = d (Ax
2
, Ax
1
) ≤ αd (x
1
, x
0
) = αd (Ax
0
, x
0
) ,
d (x
3
, x
2
) = d (Ax
2
, Ax
1
) ≤ αd (x

Từ đó suy ra ∀n, p = 1, 2, ta có
d (x
n+p
, x
n
) ≤
p

k=1
d (Ax
n+k
, Ax
n+k−1
) ≤ d (Ax
0
, x
0
)
p

k=1
α
n+k−1
=
α
n
− α
n+p
1 −α
d (Ax

Ta có
d (Ax
∗
, x
∗
) ≤ d (Ax
∗
, x
n
) + d (x
n
, x
∗
) = d (Ax
∗
, Ax
n−1
) + d (x
n
, x
∗
)
≤ αd (x
n−1
, x
∗
) + d (x
n
, x
∗

∗
, y
∗
) ≤ 0 ⇒ d (x
∗
, y
∗
) = 0, (0 ≤ α < 1)
⇒ x
∗
= y
∗
Vậy x
∗
là điểm bất động duy nhất của ánh xạ A.
Nhận xét 1.1. Nếu A là ánh xạ co từ không gian metric đầy (X, d) vào
chính nó thì A cũng là ánh xạ co từ hình cầu đóng
S (x
0
, r) ⊂ X vào
chính nó, nếu d (Ax
0
, x
0
) ≤ (1 − α) r, α là hệ số co của A.
6
Chứng m i nh. i, Theo định lý 1.1.1 thì S (x
0
, r) là không gian metric đầy.
ii, Giả sử A là ánh xạ co với hệ số co α

0
, x
0
) ≤ α.r + d (Ax
0
, x
0
)
Nếu giả thiết d (Ax
0
, x
0
) ≤ (1 − α) r thì d (Ay, x
0
) ≤ α.r + (1 −α) r = r
⇒ Ay ∈
S (x
0
, r) ⇒ A

S (x
0
, r)

⊂ S (x
0
, r)
Như vậy nguyên lý Banach về ánh xạ co có thể áp dụng t rên hình
cầu đóng của không gian metric đầy đủ.
1.1.2. Không gian định chuẩn và không gian Banach

n
} trong không gian định chuẩn X được
gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauc hy) nếu
lim
m,n→∞
x
n
− x
m
 = 0.
Định nghĩa 1.1.9. Một không gian định chuẩn X được gọi là k hông
gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Ví dụ 1.1.2. R
n
- Không gian vectơ Euclide n - chiều là không gian
Banach với chuẩn
x =

n

i=1
|x
i
|
2
, ∀x ∈ R
n
C
[a;b]
- Không gian các hà m số liên tục trên đoạn [a; b] là không gian

+ h

− f

x
0

= T (h) + α

x
0
, h

và lim
h→0


α(x
0
, h)


h
= 0.
T (h) gọi là vi phân của f tại x
0
, ký hiệu T (h) = df

x
0

chuẩn. Ánh xạ f : X
1
× X
2
× ×X
n
→ Y .
Với mọi x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ X
1
× X
2
× ×X
n
ta cố đ ị nh
x
0
=

x
0
1
, x
0
2

i
, x
0
i+1
, , x
0
n

Nếu f
i
có đạo hàm Frechet tại đ i ể m x
0
i
thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm
riêng Frechet của f theo x
i
tại điểm x
0
, ký hiệu
∂f
∂x
i

x
0

=

f
i

− f

x
0

= f
′
(x
0
)
h + o(h) , với lim
h→0
o(h)
h
= 0
⇒ lim
h→0
f

x
0
+ h

− f

x
0

h
= f

1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
ta có
f
′
(x)
=

∂f
∂x
1
(x) ,
∂f
∂x
2
(x) , ,
∂f
∂x
n
(x)

và ∀h = (h
1
, h
2

→ R, n ≥ 2, i =
1, m, m ≥ 2
có đạo hàm riêng tại x ∈ R
n
thì ánh xạ
f = (f
1
, f
2
, , f
m
) : R
n
→ R
m
, ∀x ∈ R
n
, f (x) = (f
1
(x), f
2
(x), , f
m
(x))
là hàm vectơ nhiều biến có đạo hàm tại x và
9
f
′
(x)
=

∂x
1
∂f
1
∂x
2
···
∂f
1
∂x
n
∂f
2
∂x
1
∂f
2
∂x
2
···
∂f
2
∂x
n
···
∂f
m
∂x
1
∂f





f
′
1(x)
(h)
.
.
.
f
′
m(x)
(h)




m×1
Định nghĩa 1.2.3. Giả sử toá n tử f : X → Y khả vi tại mọi điểm thuộc
tập mở U ⊂ X. Đạo hàm này như đã định nghĩa ở trên l à một toán tử
tuyến tính liên tục từ X → Y , tức là f
′
: U → L (X, Y ). Ta nói toán tử
f hai lầ n khả vi tại x n ế u f
′
khả vi tại x, nghĩa là tồn tại một toán tử
tuyến tín h liên tục P : X → L (X, Y ) sao cho với ∀k ∈ X,
f

(x)
(k, h).
Định nghĩa 1.2.4. Cho X, Y là các không gian định chuẩn. Toán tử
f : X → Y gọi là liên tục Lipsch i t z nếu tồn tại một hằng số dương L
sao cho f (x
1
) −f (x
2
) ≤ L. x
1
− x
2
, ∀x
1
, x
2
∈ X, L gọi là hệ số
Lipschitz.
Nhận xét 1.2. Toán tử f : X → Y có đạo hàm bị chặn thì liên tục
Lipschitz. Toán tử f : X → Y có đạo hàm riêng bị chặn thì liên tục
10
Lipschitz theo biến đó.
1.3. Cơ sở của phươn g pháp tuyến tính hóa
Giả sử toán t ử f : R → R không giả thiết tuyến tính tức phi tuyến
và x
0
∈ R. Ta có
f (x) − f (x
0
) = f

2
→ R có các đạo hàm riêng theo từng biến,
(x
0
, y
0
) ∈ R
2
. Ta có
f (x, y) −f (x
0
, y
0
) = f
′
x
(x
0
, y
0
) (x − x
0
) + f
′
y
(x
0
, y
0
) (y − y

0
, y
0
) (x − x
0
) + f
′
y
(x
0
, y
0
) (y − y
0
)
= ax + by + c là dạng bậc nhất hai biến.
Tương tự với f : R
n
→ R ta lấy xấp xỉ thành dạng tuyến tính n
biến.
Nhà bác học New ton là người đầu tiên đưa ra tư tưởng tuyến tính
hóa trong phương pháp tiếp tuyến ( toán tử f : R → R). Tiếp theo,
nhà toán học Raphson phát t riển tiếp tư tưởng tuyến tính hóa trong
phương pháp Newton - Raphson ( to án tử f : R
n
→ R
m
). Và nhà toán
học Kantorvich đã phát triển lên với các toán tử trên các không gian
Banach f : X → Y thể hiện trong phương pháp N ewton - Kantorvi ch

K [x, t, y(t)] gọi là nhân ( hay hạc h) của tích phân.
12
Nhân K [x, t, y(t)] được gọi là suy biến ( hay tách) nếu
K(x, t, y(t)) =
n

k=1
g
k
(x).h
k
(t, y(t))
Định nghĩa 1.4.3. Các phương trình dạng
x

a
K(x, t, y(t))dt = f (x), a ≤ x ≤ b (1.5)
y(x) −
x

a
K [x, t, y(t)] dt = f (x), a ≤ x ≤ b (1.6)
trong đó, K [x, t, y(t)] là hàm số ba biến liên tục trên miền
D = [a; b] ×[a; b] ×R, y(t), f(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b],
(1.5), (1.6) tương ứng gọi là phươn g trình tích phân phi tuyến Volterra
dạng Urysohn loại I và loại II.
Đặt u(x) = y( x) − f (x), phương trình (1.6) rút gọn về dạng chính
tắc
u(x) =
x

a
K [x, t, y(t)] dt = f (x) (1.11 )
y(x) −
b

a
K(x, t, y(t))dt = f (x) (1.12 )
trong đó, K [x, t, y(t)] là hàm số ba biến liên tục trên miền
D = [a; b] ×[a; b] ×R, y(t), f(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b],
(1.11), (1.12) tương ứng gọi là phương trình tích phân phi tuyến Fredholm
dạng Urysohn loại I và loại II.
Phương trình (1.12) có thể rút gọn về dạng chính tắc
u(x) =
b

a
K
∗
[x, t, u(t)] dt (1.13 )
Định nghĩa 1.4.6. Các phương trình dạng
b

a
P (x, t) Φ (t, y(t)) dt = f (x) (1.14 )
y(x) −
b

a
P (x, t)Φ(t, y(t))dt = f(x) (1.15 )
trong đó, hàm số P (x, t) liên tục trên miền [a; b] × [a; b] , y(t), f(x), Φ

K [x, t, y(t)] dt
Nhận xét 1.4. Phương trình tích phân dạng H ammerstein là trường hợp
đặc biệt của phương trình tích phân dạng Urysohn tương ứng.
Nhận xét 1.5. Phương trình tích phân phi tuyến Volterra loại II đều có
thể đưa về phương trình tích phân phi tuyến dạng chính tắc tương ứng
bằng cách đặt u(x) = y(x) − f(x).
Các phương trình tích phân phi tuyến Fredholm loại II
y(x) =
b

a
K(x, t, y(t))dt + f(x)
đều có thể đưa về phương trình tích phân phi tuyến Fredholm dạng chính
tắc
y(x) =
b

a

K [x, t, y(t)] + (b − a)
−1
f(x)

dt
Điều này có nghĩa là sự phân biệt giữa phương trình tích phân phi
tuyến thuần nhất và không thuần nhất là không cần thiết, không giống
như với phương trình tích phân tuyến tính.
Một đặc trưng khác nữa của phương trình tích phân phi tuyến là
nó thường có nhiều nghiệm.
Nhận xét 1.6. Có một số tính chất chỉ có trong phương trình tích phân






b
1−n
+ a(1 −n)x

1
1 −n
, 0 < n < 1
b.e
ax
, n = 1

b
1−n
− a(n −1)x

1
1 −n
, n > 1
(1.19 )
Ta thấy khi 0 < n ≤ 1, nghiệm y tồn tại với ∀x ≥ 0.
Khi 0 < n < 1 và x đủ lớn, hàm số y tăng.
Khi n = 1, hàm số y tăng.
Khi n > 1, nghiệm liên tục tồn tại chỉ trong khoảng hữu hạn
0 ≤ x <
b

2
(t)
dt (1.21 )
Phương trình (1.20) viết thành
y(x) = Aλx
2
(1.22 )
Thế (1.22) vào (1.21), được phương trình bậc hai của hằng số A :
A =
1

0
t

Aλt
2

2
dt
⇒ A =
1
6
A
2
λ
2
(1.23 )
(1.23 ) có các nghiệm A
1
= 0, A

Suy ra phương trình (1.20) có các kho ảng vô hạn của giá trị đặc
trưng λ là (−∞; 0) , (0; +∞).
Ví dụ 1.4.3. Xét phương trình tích phân dạng Hammerstein với tính
chất phi tuyến siêu việt
y(x) = λ
1

0
f(x).g(t). sin

y(t)
f(t)

y(t)dt (1.24 )
17
có nghiệm tìm thấy từ y( x) = Af(x) , trong đó A là hằng số xác định
bởi phương trình siêu việt
1 = λµ sin A (1.25 )
với µ =
1

0
f(t)g(t)dt.
Không xét đến nghiệm tầm thường khi A = 0 thì :
Nếu |λ| <
1
|µ|
thì phương trình (1.25) và suy ra phươ ng trình (1.24)
không có nghiệm thực ( kể cả trường hợp µ = 0).
Nếu |λ| ≥

|K (x, t, y
1
) −K (x, t, y
2
)| ≤ L |y
1
− y
2
|, ∀y
1
, y
2
∈ C
[a;b]
.
1.4.3.2. Điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình tích p hân
phi tuyến Fredholm
y(x) = f(x) + λ
b

a
K [x, t, y(t)] dt
i, f(x) là hàm bị chặn trên đoạn [a; b], |f(x)| < r;
ii, K [x, t, y(t)] là hàm khả tích và bị chặn |K| < M, a ≤ x, t ≤ b;
iii, K [x, t, y(t)] thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo y
18
|K (x, t, y
1
) −K (x, t, y
2

b

a
P (x, t) Φ (t, y(t)) dt, a ≤ x ≤ b (1.1 6)
• Giả sử nhân P(x, t) của phương trình (1.16) xác định dương, liên
tục và đối xứng, P(x, t) = P(t, x), hàm Φ(t, y) liên tục. Ta có các định
lý sau :
Định lý 1.4.1. Giả sử có bất đ ẳ ng thức |Φ(t, y)| ≤ C
1
|y| + C
2
trong đó, C
1
, C
2
là các hằng số dương và C
1
< λ
1
, λ
1
là giá trị đặc trưng
nhỏ nhất của nhân P (x, t). Khi đó, phương trình tích phân phi tuyế n
(1.16) có ít nhất một ngh i ệm liên tục.
Định lý 1.4.2. Nếu với bất kỳ t cố định thuộc đoạn [a; b], hàm Φ(t, y)
không tăng theo y thì phương t rình tích phân phi tuyến (1.1 6) có khôn g
quá một nghiệm.
Định lý 1.4.3. Phương trình tích phân phi tuyến (1.16) có không quá
một nghiệm nếu hàm Φ(t, y) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo y
|Φ(t, y

0
Φ (t, y) dy ≤
1
2
Ay
2
+ B, (t ∈ Ω, |y| < ∞) (1.26 )
thỏa mãn với hằng số A < λ
1
, trong đó λ
1
là g i á trị đặc trưng nhỏ nhất
của nhân P(x, t), thì phương t rình (1.16) có ít nhất m ột nghiệm liên tục.
Khi nhân P(x, t) xác định dương và không bị chặn thì ta có các
kết quả :
Định lý 1.4.6. Giả thiết nhân P (x, t) thỏa mãn điều kiện
b

a
b

a
|P (x, t)|
n
dxdt < ∞, n ≥ 2
hàm Φ(t, y) thỏa mãn bất đẳng thức (1.26) và điều kiện
|Φ(t, y)| ≤ a + b|y|
n−1
, a ≤ x, t ≤ b, |y| < ∞
thì phương trình (1.16) có í t nhất một nghiệm.