KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
NĂM HỌC 2013 - 2014
ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 11
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 19/04/2014
Câu 1(4 điểm):
Giải hệ phương
trình:
Câu 2 (4 điểm): Cho dãy : .
a) Chứng minh
dãy hội tụ và tính .
b) Chứng minh .
Câu 3 (4 điểm): Gọi là ba đường phân
giác trong của tam giác vuông ở . Đoạn thẳng cắt tại . Đường thẳng qua song song với cắt lần
lượt ở . Chứng minh rằng:
Câu 4(4 điểm): Tìm tất cả các
hàm số thoả mãn
Câu 5 (4 điểm): Cho 100 số tự nhiên không lớn hơn 100 có tổng bằng 200. Chứng minh rằng từ
các số đó có thể chọn được ít nhất một bộ các số có tổng bằng 100.
HẾT
3
3
2x 2y 2x y 2xy 1 1
3y 1 8x 2y 1
x 0

− + + + + =


+ = − −

n
a
1 2
5 5
1
2
n
a a a
n
n
+ + + −
< ∀ ≥
, ,AD BE CF
ABC
A
AD
EF
KK
BC
,AB AC
,M N
( )
2 2
.
2
MN AB AC
−
≥ +
:f →¡ ¡
( )

a) Chứng minh
dãy hội tụ và tính .
b) Chứng minh .
(Hải Phòng)
a) Bằng phương pháp chứng minh 1,0
3
3
2x 2y 2x y 2xy 1 1
3y 1 8x 2y 1
x 0

− + + + + =


+ = − −


>


3
3
2 2 2 2 1 1 (1)
3 1 8 2 1 (2)
x y x y xy
y x y

− + + + + =



6 1 2x x⇔ + =
3
1
4 3
2
x x⇔ − =
x< ≤
α
0
2
π
α
≤ <
1
cos3
2
α
=
2
9 3
2
9 3
k
k
π π
α
π π
α

= +

1 1
5 10
1; 1
5
n n
n
n
a a
a a n
a
+
− +
= = ∀ ≥
−
( )
n
a
lim
n
a
1 2
5 5
1
2
n
a a a
n
n
+ + + −
< ∀ ≥

(Chu Văn An-Hà Nội)
Đặt ta có suy ra . 1,0
5 5
2
−
2
5 10 10
( ) ( 5)
5 5
x x
f x x x
x x
− +
= = − ≠
− −
( )
2
10
3
'( ) 1 0 [1; ]
2
5
f x x
x
= − < ∀ ∈
−
( )f x
1
[ ;1].
2

2
5 10
5 5
5
2
5 10
5
c c
b
c
b c
b b
c
b

− +
=

−

−
⇔ = =

− +

=

−

lim

2 1
5 5
2
k
a
+
−
<
1 2 2 1 2 2 1
5 5
(2 1)
2
k k k
a a a a a k
− +
−
+ + + + + < +
, ,AD BE CF
ABC
A
AD
EF
KK
BC
,AB AC
,M N
( )
2 2
.
2

Cho , từ suy ra
Cho , từ suy ra .
Do đó (1) trở thành:
thay bởi từ ta được :
, chứng tỏ là hàm số
lẻ. Do đó với mọi ta
có
Với mọi ta có
Kết hợp và ta được .
tínhtheo hai cách. Ta có
Câu 5 (4 điểm): Cho
100 số tự nhiên không
lớn hơn 100 có tổng
bằng 200. Chứng minh
rằng từ các số đó có thể
chọn được một số số có
tổng bằng 100.
(Yên Bái)
Đáp án:
Nếu tất cả các số bằng nhau thì tất cả các số là 2. Khi đó ta lấy 50 số 2 sẽ có tổng
là 100.
1,0
Giả sử ta xét 100 số có dạng 1,0
,
bc bc
AF AE
a b a c
= =
+ +
2 2 . 2

2 2
, , (1)f x y xf x yf y x y+ = + ∀ ∈ ¡
0x =
( )
1
( )
( )
2
,f y yf y y= ∀ ∈¡
0y =
( )
1
( )
( )
2
,f x xf x x= ∀ ∈¡
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
, , , , 0 *f x y f x f y x y f x y f x f y x y+ = + ∀ ∈ ⇒ + = + ∀ ≥¡
y
y−
( )
1
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2

, ,

( ) ( ) ( )
***f x y f x y f x f y f x f y f x f y+ = − − − = − − + − = − − − = +
( ) ( )
* , ** , (***)
( ) ( ) ( )
, ,f x y f x f y x y+ = + ∀ ∈¡
( )
( )
2
1f x +
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
2
1 2 1
1 1 2 1
1 1 2 1
1 ,
, ,
f x f x x