KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
NĂM HỌC 2013 - 2014
ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 10
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 19/04/2014
(Đề thi co 01 trang)
Câu 1 (4 điểm):
Giải phương trình sau trên tập số thực
.
Câu 2 (4 điểm):
Cho tam giác (). Gọi là trung điểm
của , vuông góc với tại , vuông góc với tại . Giả sử đường thẳng cắt đường thẳng
tại . Chứng minh rằng , trong đó là trực tâm tam giác .
Bài 3 (4 điểm): Cho hàm số (
là tập số thực) thỏa mãn với
mọi . Chứng minh rằng tồn tại 3 số thực phân biệt sao cho .
Bài 4 (4 điểm):
Tìm giá trị lớn nhất của để bất đẳng thức sau đúng với mọi giá trị :
Bài 5 (4 điểm): Tìm số nguyên
dương n nhỏ nhất để chia hết cho
HẾT
( ) ( )
2
6 3 7 3 15 6 3 2 2 9 27 14 11x x x x x x− − + − − = − + − +
ABC
BC AC<
M
ABAP
BC
P

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
NĂM HỌC 2013 - 2014
ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN HỌC LỚP 10
Câu 1 (4 điểm):
Giải phương trình sau trên tập số thực
.
(Quốc học
Huế)
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
Điều kiện: .
Đặt (). Suy ra
1,0
1,0
1,0
Thử lại thỏa mãn. Vậy nghiệm
phương trình là hoặc .
1,0
Câu 2 (4 điểm):
Cho tam giác (). Gọi là trung điểm của ,
vuông góc với tại , vuông góc với tại . Giả sử đường thẳng cắt đường thẳng tại . Chứng
minh rằng , trong đó là trực tâm tam giác .
(Bắc Ninh)
( ) ( )
2
6 3 7 3 15 6 3 2 2 9 27 14 11x x x x x x− − + − − = − + − +
2
3
7
3

2 2
2 5
5 5 11
p s
s s s s

= −

⇔

− + = − +


2
3 2
2 5
4 6 0
p s
s s s

= −
⇔

− − − =

( )
, s a b p ab= + =
( )
( )
2

b
=




=


⇔

=



=



1
2
x
x
=

⇔

=

1x =

Đặt thì . Suy ra .
Dễ thấy là đơn ánh nên từ suy ra
cũng là đơn ánh.
1,0
Gọi là một điểm cố định
của hàm .
1,0
Ta có , suy ra cũng là một
điểm cố định của hàm
1,0
là một song ánh trên tập nên
Từ đó ta có điều phải
chứng minh.
1,0
Bài 4 (4 điểm):
Tìm giá trị lớn nhất của để bất đẳng thức sau đúng với mọi giá trị :
.
(Lê Quí Đôn - Đà Nẵng)
CD AB⊥
D
, ,AP BQ CD
, , ,T B D A
( ) 1TBDA = −
. .TM TD TATB=
CDM
ABPQ
CM
. .TM TD TATB=
. .HP HA HQ HB
=

0 0 0
1 1
( ) ( ) 0; ;
2 2
g x g x x x
 
⇒ = ⇒ ∈ −
 
 
( ) ( )
0 0 0
( ) ( ) ( )f x f g x g f x= =
0
( )f x
( )g x
( )f x
1 1
0; ;
2 2
D
 
= −
 
 
1 1 1 1
(0) 0 0
2 2 2 2
f f f
   
− + + = − + + =

1,0
Bài 5 (4 điểm): Tìm số nguyên dương n nhỏ
nhất để chia hết cho
(Nam Định)
Xét với k, t là các số tự nhiên và t là số lẻ.
Đặt
Do t là số lẻ
nên
Ta có
a chia 4 dư 1 nên chia 4
dư 2
Do đó
Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất
của n cần tìm là .
HẾT
, ,a b c
2
1
3
a b c k= = = Þ £
2
3
k =
2
3
k =
( ) ( )
+ + + + + ³ + +
2
4 4 4

2 .
k
n t=
2013 1 1
n n
a- = -
( ) ( ) ( )
1
2 . 2 2 2 2
1 1 1 1 [ 1]
k k k k k
t t
n t
a a a a a a
-
- = - = - = - + + +
2014 2 2014
1 2 1 2
k
n
a a- Û -M M
1
2 2 2 4 2
1 ( 1)( 1)( 1) ( 1)
k k
a a a a a
-
- = - + + +
1
2