phòng giáo dục và đào tạo huyện bá thớc
Trờng THCS Thị trấn cành nàng
Tuyển tập các đề thi học
sinh giỏi lớp 7
Giáo viên: Hoàng Xuân Thìn

Đề số 1:
đề thi học sinh giỏi huyện
Môn Toán Lớp 7
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng:
a)
1
.16 2
8
n n
=
; b) 27 < 3
n
< 243
Bài 2. Thực hiện phép tính:

1 1 1 1 1 3 5 7 49
( )
4.9 9.14 14.19 44.49 89

+ + + +
1
Bài 3. a) Tìm x biết:
2x3x2 +=+
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

n n n n+ +
+
chia ht cho 10
Bi 2:(4 im)
Tỡm x bit:
a.
( )
1 4 2
3,2
3 5 5
x
+ = +
b.
( ) ( )
1 11
7 7 0
x x
x x
+ +
=
Bi 3: (4 im)
a) S A c chia thnh 3 s t l theo
2 3 1
: :
5 4 6
. Bit rng tng cỏc bỡnh phng ca ba s
ú bng 24309. Tỡm s A.
b) Cho
a c
c b

=25
o
.
Tớnh
ã
HEM
v
ã
BME
Bi 5: (4 im)
Cho tam giỏc ABC cõn ti A cú
à
0
A 20=
, v tam giỏc u DBC (D nm trong tam giỏc ABC). Tia
phõn giỏc ca gúc ABD ct AC ti M. Chng minh:
a) Tia AD l phõn giỏc ca gúc BAC
b) AM = BC
Ht
Đáp án đề 1toán 7
Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng: (4 điểm mỗi câu 2 điểm)
a)
1
.16 2
8
n n
=
; => 2
4n-3
= 2

Bài 3. (4 điểm mỗi câu 2 điểm)
a) Tìm x biết:
2x3x2 +=+

Ta có: x + 2

0 => x

- 2.
+ Nếu x

-
2
3
thì
2x3x2 +=+
=> 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn)
+ Nếu - 2

x < -
2
3
Thì
2x3x2 +=+
=> - 2x - 3 = x + 2 => x = -
3
5
(Thoả mãn)
+ Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

3
1
11
yx
1
y
12
x
1
12
y
x
==

===>=
x =
11
4
x)vũng(
33
12
==>
(giờ)
Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên
một đờng thẳng là
11
4
giờ
Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối
tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA,

AFE =

CAB
=>AE = BC
Đề số 2:
đề thi học sinh giỏi huyện
4
D
B
A
H
C
I
F
E
M
M«n To¸n Líp 7
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bài 1:(4 điểm)
a) Thực hiện phép tính:
( )
( )
12 5 6 2 10 3 5 2
6 3
9 3
2 4 5
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49
A
125.7 5 .14
2 .3 8 .3

: :
5 4 6
. Biết rằng tổng các bình phương của ba số
đó bằng 24309. Tìm số A.
d) Cho
a c
c b
=
. Chứng minh rằng:
2 2
2 2
a c a
b c b
+
=
+
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME
= MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba
điểm I , M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ
EH BC
⊥

( )
H BC∈
. Biết
·

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
10
12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 4
6 3
12 6 12 5 9 3 9 3 3
9 3
2 4 5
12 4 10 3
12 5
9 3 3
10 3
12 4
12 5 9 3
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7
2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7
125.7 5 .14
2 .3 8 .3
2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7
2 .3 . 3 1
5 .7 . 1 2
5 .7 . 6
2 .3 .2
2 .3 .4 5 .7 .9
1 10 7

+ − +
=
1
3 10 2 5 3 10 2 10
n n n n−
× − × = × − ×
= 10( 3
n
-2
n
)
Vậy
2 2
3 2 3 2
n n n n+ +
− + −
M
10 với mọi n là số nguyên dương.
Bài 2:(4 điểm)
a) (2 điểm)
6
( )
1
2
3
1
2
3
1 7
2









⇔
b) (2 điểm)

( ) ( )
( ) ( )
1 11
1 10
7 7 0
7 1 7 0
x x
x
x x
x x
+ +
+
− − − =
 
⇔ − − − =
 

( )
( )


⇔




⇔



Bài 3: (4 điểm)
a) (2,5 điểm)
Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A.
Theo đề bài ta có: a : b : c =
2 3 1
: :
5 4 6
(1)
và a
2
+b
2
+c
2
= 24309 (2)
Từ (1)
⇒
2 3 1
5 4 6
a b c

72−
+(
135−
) + (
30−
) =
237−
.
b) (1,5 điểm)
Từ
a c
c b
=
suy ra
2
.c a b=
khi đó
2 2 2
2 2 2
.
.
a c a a b
b c b a b
+ +
=
+ +

=
( )
( )

=
EMB∆

·
MAC⇒
=
·
MEB
(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường
thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE )
Suy ra AC // BE . 0,5 điểm
b/ (1 điểm )
Xét
AMI∆
và
EMK∆
có :
AM = EM (gt )
·
MAI
=
·
MEK
( vì
AMC EMB
∆ = ∆
)
AI = EK (gt )
Nên
AMI EMK∆ = ∆

Trong tam giác vuông BHE (
µ
H
= 90
o
) có
·
HBE
= 50
o
·
HBE⇒
= 90
o
-
·
HBE
= 90
o
- 50
o
=40
o

8
K
H
E
M
B

MHE
= 15
o
+ 90
o
= 105
o
( nh lý gúc ngoi ca tam giỏc )
Bi 5: (4 im)
a) Chng minh

ADB =

ADC (c.c.c)
suy ra
ã
ã
DAB DAC=
Do ú
ã
0 0
20 : 2 10DAB = =
b)

ABC cõn ti A, m
à
0
20A =
(gt) nờn
ã

suy ra AM = BD, m BD = BC (gt) nờn AM = BC
Đề số 3:
đề thi học sinh giỏi
Môn Toán Lớp 7
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết
a 4
Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn
9
10

và nhỏ hơn
9
11

Câu 3. Cho 2 đa thức
P
( )
x
= x
2
+ 2mx + m
2
và
Q
( )
x
= x
2
+ (2m+1)x + m

x
x

Câu 6: Cho tam giác ABC có Â < 90
0
. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD
vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC.
a. Chứng minh: DC = BE và DC

BE
b. Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM.
Chứng minh: AB = ME và ABC = EMA
c. Chứng minh: MA

BC
Đáp án đề 3 toán 7
Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết
a 4
0


a 4
=>
a
= 0; 1; 2; 3 ; 4
*
a
= 0 => a = 0
*
a

M
9 => 9x = -72
=> x = 8
Vậy phân số cần tìm là
7
8

Câu 3. Cho 2 đa thức
P
( )
x
= x
2
+ 2mx + m
2
và
Q
( )
x
= x
2
+ (2m+1)x + m
2
Tìm m biết P (1) = Q (-1)
10
P(1) = 1
2
+ 2m.1 + m
2
= m

= 4.49 = 196 => x =

14
=> y
2
= 4.4 = 16 => x =

4
Do x,y cùng dấu nên:
x = 6; y = 14
x = -6; y = -14
= =
1+3y 1+5y 1+7y
b/
12 5x 4x
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
+ +
= = = = = =

1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y 2y
12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12
=>
2 2
5 12
y y
x x
=

=> -x = 5x -12
=> x = 2. Thay x = 2 vào trên ta đợc:


A

5.
Dấu = xảy ra

x= -1.
Vậy: Min A = 5

x= -1.
11
B =
3
15
2
2
+
+
x
x
=
( )
3
123
2
2
+
++
x
x


3
12
2
+x


4

1+
3
12
2
+x


1+ 4

B

5
Dấu = xảy ra

x = 0
Vậy : Max B = 5

x = 0.
Câu 6:
a/
Xét ADC và BAF ta có:

Vì D
1
= MEN => DA//ME => DAE + AEM = 180
0
( trong cùng phía )
mà BAC + DAE = 180
0
=> BAC = AEM ( 2 )
Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3). Từ (1),(2) và (3) => ABC = EMA ( đpcm)
c/ Kéo dài MA cắt BC tại H. Từ E hạ EP

MH
Xét AHC và EPA có:
CAH = AEP ( do cùng phụ với gPAE )
AE = CA ( gt)
PAE = HCA ( do ABC = EMA câu b)
12
=> AHC = EPA
=> EPA = AHC
=> AHC = 90
0
=> MA

BC (đpcm)
Đề số 4:
đề thi học sinh giỏi
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1 ( 2 điểm)
Thực hiện phép tính :
a-







b-
( )
32
2003
23
12
5
.
5
2
1.
4
3
.
3
2









Câu 3 ( 2 điểm)
a- Chứng minh rằng nếu a + c = 2b và 2bd = c (b+d) thì
d
c
b
a
=
với b,d khác 0
b- Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+ để đợc một số có ba chữ số giống
nhau .
Câu 4 ( 3 điểm)
Cho tam giác ABC có góc B bằng 45
0
, góc C bằng 120
0
. Trên tia đối của tia CB lấy
điểm D sao cho CD = 2CB . Tính góc ADE
Câu 5 ( 1điểm)
Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x
2
- 2y
2
=1
Đáp án đề 4
Câu Hớng dẫn chấm Điểm
1.a Thực hiện theo từng bớc đúng kết quả -2 cho điểm tối đa 1Điểm
1.b Thực hiện theo từng bớc đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa 1Điểm
13
2.a
Ta có :

3
+a
là số
nguyên hay a+1 là ớc của 3 do đó ta có bảng sau :
a+1 -3 -1 1 3
a -4 -2 0 2
Vậy với a
{ }
2,0,2,4
thì
1
3
2
+
++
a
aa
là số nguyên
0,25
0,25
0,25
0,25
2.b Từ : x-2xy+y=0
Hay (1-2y)(2x-1) = -1
Vì x,y là các số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) là các số nguyên
do đó ta có các trờng hợp sau :



=

121
y
x
x
y
Vậy có 2 cặp số x, y nh trên thoả mãn điều kiện đầu bài
0,25
0,25
0,25
0,25
3.a Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d=c(b+d)
Hay ad=bc Suy ra
d
c
b
a
=
( ĐPCM)
0,5
0,5
3.b
Giả sử số có 3 chữ số là
aaa
=111.a ( a là chữ số khác 0)
Gọi số số hạng của tổng là n , ta có :
aa
nn
.37.3111
2
)1(

Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =60
0
do đó CDH = 30
0
Nên CH =
2
CD


CH = BC
Tam giác BCH cân tại C

CBH = 30
0


ABH = 15
0
Mà BAH = 15
0
nên tam giác AHB cân tại H
Do đó tam giác AHD vuông cân tại H Vậy ADB =
45
0
+30
0
=75
0
0,5
0,5

1, Tớnh: P =
1 1 1 2 2 2
2003 2004 2005 2002 2003 2004
5 5 5 3 3 3
2003 2004 2005 2002 2003 2004
+ +

+ +
2, Bit: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025.
Tớnh: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203
3, Cho: A =
3 2 2
2
3 0,25 4x x xy
x y
+
+
Tớnh giỏ tr ca A bit
1
;
2
x y=
l s nguyờn õm ln nht.
15
Bài 2 (1đ):
Tìm x biết:
3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117
Bài 3 (1đ):
Một con thỏ chạy trên một con đường mà hai phần ba con đường băng qua đồng cỏ
và đoạn đường còn lại đi qua đầm lầy. Thời gian con thỏ chạy trên đồng cỏ bằng nửa thời

B(x) = x
5
– 2x
4
+ x
2
– 5x + 3
C(x) = x
4
+ 4x
3
+ 3x
2
– 8x +
3
4
16
1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x)
2, Tính giá trị của M(x) khi x =
0,25−
3, Có giá trị nào của x để M(x) = 0 không ?
Bài 2 (4đ):
1, Tìm ba số a, b, c biết:
3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60
2, Tìm x biết:
2 3 2x x x− − = −
Bài 3 (4đ):
Tìm giá trị nguyên của m và n để biểu thức
16
1, P =

®Ò thi häc sinh giái
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bài 1 (3đ): Tính:
1,
3
1 1 1
6. 3. 1 1
3 3 3
 
− − −
     
− + − −
 
 ÷  ÷  ÷
     
 
 
2, (6
3
+ 3. 6
2
+ 3
3
) : 13
3,
9 1 1 1 1 1 1 1 1 1
10 90 72 56 42 30 20 12 6 2
− − − − − − − − −
Bài 2 (3đ):
1, Cho

17
Bài 5 (3đ):
Chứng tỏ rằng:
A = 75. (4
2004
+ 4
2003
+ . . . . . + 4
2
+ 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100
Bài 6 (4đ):
Cho tam giác ABC có góc A = 60
0
. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D, tia phân
giác của góc C cắt AB tại E. Các tia phân giác đó cắt nhau tại I.
Chứng minh: ID = IE
§Ò sè 8:
®Ò thi häc sinh giái
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bài 1 (5đ):
1, Tìm n
∈
N biết (3
3
: 9)3
n
= 729

2, Tính :
A =

+
Bài 2 (3đ):
Cho a,b,c
∈
R và a,b,c
≠
0 thoả mãn b
2
= ac. Chứng minh rằng:

c
a
=
2
2
)2007(
)2007(
cb
ba
+
+
Bài 3 (4đ):
Ba đội công nhân làm 3 công việc có khối lượng như nhau. Thời gian hoàn thành
công việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày. Biêt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ là 2 người
và năng suất của mỗi công nhân là bằng nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu công nhân ?
Câu 4 (6đ):
Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE.
1, Chứng minh: BE = DC.
2, Gọi H là giao điểm của BE và CD. Tính số đo góc BHC.
Bài 5 (2đ):

410
1998
=A
có chia hết cho 3 không ? Có chia hết cho 9 không ?
Câu 2: (2 điểm)
Trên quãng đờng AB dài 31,5 km. An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A. Vận tốc An
so với Bình là 2: 3. Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4.
Tính quãng đờng mỗi ngời đi tới lúc gặp nhau ?
Câu 3:
a) Cho
cbxaxxf ++=
2
)(
với a, b, c là các số hữu tỉ.
Chứng tỏ rằng:
0)3().2( ff
. Biết rằng
0213
=++
cba
b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức
x
A

=
6
2
có giá trị lớn nhất.
Câu 4: (3 điểm)
Cho ABC dựng tam giác vuông cân BAE; BAE = 90

1890
:
12
5
11
5
5,0625,0
12
3
11
3
3,0375,0
25,1
3
5
5,2
75,015,1
+













c
b
a
=
thì
dc
dc
ba
ba
35
35
35
35

+
=

+

(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
b) Tìm x biết:
2001
4
2002
3
2003
2
2004
1
=

n
có giá trị lớn nhất.
20
Đề số 11:
đề thi học sinh giỏi
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính:
A =






++






++ 2,275,2
13
11
7
11
:
13
3

21,110
b) Tìm các giá trị của x để:
xxx 313 =+++
Câu 2: (2 điểm)
a) Cho a, b, c > 0 . Chứng tỏ rằng:
ac
c
cb
b
ba
a
M
+
+
+
+
+
=
không là số nguyên.
b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
0
++
cabcab
.
Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm hai số dơng khác nhau x, y biết rằng tổng, hiệu và tích của chúng lần lợt tỉ lệ
nghịch với 35; 210 và 12.
b) Vận tốc của máy bay, ô tô và tàu hoả tỉ lệ với các số 10; 2 và 1. Thời gian máy
bay bay từ A đến B ít hơn thời gian ô tô chạy từ A đến B là 16 giờ.
Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B mất bao lâu ?

2
+P
là số nguyên tố.
Bài 2: ( 2 điểm)
a) Tìm số nguyên n sao cho
13
2
+ nn
b) Biết
c
bxay
b
azcx
a
cybz
=

=

Chứng minh rằng:
z
c
y
b
x
a
==
Bài 3: (2 điểm)
An và Bách có một số bu ảnh, số bu ảnh của mỗi ngời cha đến 100. Số bu ảnh hoa
của An bằng số bu ảnh thú rừng của Bách.








+
+







7
2
14
3
1
12:
3
10
10
3
1
4
3
46

a
=
. Chứng minh rằng:

22
22
dc
ba
cd
ab


=
và
22
22
2
dc
ba
dc
ba
+
+
=







2004
2005
1

4
1
3
1
2
1
++++
++++
=P
Bài 2: (2 điểm)
Cho
zyx
t
yxt
z
xtz
y
tzy
x
++
=
++
=
++
=
++

khác phía đối với AC). Kẻ EM và FN cùng vuông góc với đờng thẳng AH (M, N AH).
EF cắt AH ở O.
Chứng minh rằng O là trung điểm của EF.
Bài 5: (1 điểm)
So sánh:
255
5
và
579
2
23
Đề số 15:
đề thi học sinh giỏi
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1: (2 điểm)
Tính :
68
1
52
1
8
1
51
1
39
1
6
1
+
+

0
)
Câu 3: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng: Với n nguyên dơng ta có:

nnnn
S 2323
22
+=
++
chia hết cho 10.
b) Tìm số tự nhiên x, y biết:
22
23)2004(7 yx =
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC, AK là trung tuyến. Trên nửa mặt phẳng không chứa B, bờ là AC,
kẻ tia Ax vuông góc với AC; trên tia Ax lấy điểm M sao cho AM = AC. Trên nửa mặt
phẳng không chứa C, bờ là AB, kẻ tia Ay vuông góc với AB và lấy điểm N thuộc Ay sao
cho AN = AB. Lấy điểm P trên tia AK sao cho AK = KP. Chứng minh:
a) AC // BP.
b) AK MN.
Câu 5: (1 điểm)
Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của một tam giác vuông với c là số đo cạnh huyền.
Chứng minh rằng:

nnn
cba
222
+
; n là số tự nhiên lớn hơn 0.





+
=A
378
1
270
1
180
1
108
1
54
1
8
1
3
1
=B
Câu 2: ( 2, 5 điểm)
1) Tìm số nguyên m để:
a) Giá trị của biểu thức m -1 chia hết cho giá trị của biểu thức 2m + 1.
b)
313 <m
2) Chứng minh rằng:
nnnn
2323
42

Câu 5: (1 điểm)
Cho
12 +
n
là số nguyên tố (n > 2). Chứng minh
12
n
là hợp số.
Đề số 17:
đề thi học sinh giỏi
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1: (2 điểm) Tính nhanh:
10099 4321
)6,3.212,1.63(
9
1
7
1
3
1
2
1
)10099 321(
+++







+









+
=B
Câu 2: (2 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức
123
2
+= xxA
với
2
1
=x
b) Tìm x nguyên để
1+x
chia hết cho
3x
Câu 3: ( 2 điểm)
a) Tìm x, y, z biết
216
3
64