Phòng GD&ĐT TP Bắc Ninh THI THỬ VÀO THPT Năm 2010-2011
Trường THCS Đáp cầu
MÔN: TOÁN (ĐỀ SỐ 1)
( Thời gian 120 phút, không kể thời gian giao đề )

Bài 1. ( 3 điểm )
Cho biểu thức
a 1 1 2
K :
a 1
a 1 a a a 1
 
 
  
 
 

  
 
 

a) Rút gọn biểu thức K.
b) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2
2

c) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0.
Bài 2. ( 2 điểm ) Cho hệ phương trình:
mx y 1

Người ta rót đầy nước vào một chiếc ly hình nón thì được 8 cm
3
. Sau đó người ta rót nước từ
ly ra để chiều cao mực nước chỉ còn lại một nửa. Hãy tính thể tích lượng nước còn lại trong
ly.
HẾT

BÀI GIẢI
Bài 1.
a) Rút gọn biểu thức K: Điều kiện a > 0 và a ≠ 1

a 1 1 2
K :
a 1 a( a 1) a 1 ( a 1)( a 1)
 
 
  
 
 
    
 


Do đó:
3 2 2 1 2(1 2)
K 2
1 2 1 2
  
  
 

c) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0.

a 1 0
a 1
K 0 0
a 0
a
 


   




a 1
0 a 1
a 0


   


2x 2y 2
3x 2y 2004
 



 
x 2002
y 2001







b) Tìm giá trị của m để phương trình vô nghiệm.

mx y 1
y mx 1
x y 3
334
y x 1002
2 3 2
 
 

 

 

O
1
I
C
E
N
M
O
B
A
Hệ phương trình vô nghiệm

(*) vô nghiệm
3 3
m 0 m
2 2
    

Bài 3.
a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp:
Ta có:

0

 


MCA AMN
 

∆AME và ∆ACM có

A
chung,


AME ACM


Do đó: ∆AME ∆ACM (góc – góc)
+ Chứng minh AM
2
= AE.AC
Vì ∆AME ∆ACM nên
AM AE
AC AM

hay
2
AM .
AC AE

(1)
c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI

d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
Gọi
1
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCE.
Ta có
 
AME MCE

(chứng minh trên), mà

1
2
MCE

sđ

ME
nên

1
2
AME

sđ

ME

Suy ra: AM là tiếp tuyến của đường tròn (


).
- Dựng đường tròn (
1
O
;
1
O
M) .Gọi C là giao điểm thứ hai của đường tròn
(
1
O
) và đường tròn (O)

Bài 4. (2 điểm)
Phần nước còn lại tạo thành hình nón có chiều cao bằng một nửa chiều cao của hình nón do
8cm
3
nước ban đầu tạo thành. Do đó phần nước còn lại có thể tích bằng
3
1 1
2 8
 

 
 
thể tích
nước ban đầu. Vậy trong ly còn lại 1cm
3
nước

Bài 3. ( 2 điểm )
Cho phương trình: x
2
- 2mx + (m - 1)
3
= 0 với x là ẩn số, m là tham số (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = - 1.
b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng bình
phương của nghiệm còn lại.
Bài 4. ( 3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn,

BAC
= 45
0
. Vẽ các đường cao BD và CE của tam
giác ABC. Gọi H là giao điểm của BD và CE.
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Chứng minh: HD = DC.
c) Tính tỉ số:
DE
BC
.
d) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh OA

DE .
HẾT BÀI GIẢI

.
2 2 2
y ( 2 x) 2 2 x. 2 x ( 2 x)
      2
2 x 2 4 x 2 x
     2
4 2 4 x 4
   
(vì 2
2
4 x

≥ 0).
Đẳng thức xảy ra
x 2
  
.
Bài 2.
Gọi x,y là số sản phẩm của tổ I, II theo kế hoạch .
ĐK: x, y nguyên dương và x < 600; y < 600.
Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm nên ta có phương trình:
x + y = 600 (1)
Số sản phẩm tăng của tổ I là:
18

Bài 3.
a)Giảiphương trình (1) khi m =
1

:
Thay m =
1

vào phương trình (1) ta được phương trình:

2
2 8 0
x x
  2
( 2 1) 9 0
x x
     
2
2
1 3 0
x
   

∆’ = m
2
- (m - 1)
3
> 0 (*)
Giả sử phương trình có hai nghiệm là u; u
2
thì theo định lí Vi-ét ta có:

2
2 3
u u 2m
u.u (m 1)

 


 


(**) O
M
K
45

H





2
2
1
u u m
u m

 

 


 
2
1 1 2
1
m m m
u m

   


 



2

1 2
1; 1
x x
  
thỏa mãn

2
2 1
x x

, m = 3 PT (1) có hai nghiệm
1 2
2; 4
x x
 
thỏa mãn
2
2 1
x x

.
Bài 4.
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp được trong một đường tròn.
Vì BD, CE là các đường cao của tam giác ABC nên:



0
90
BDA CEA 

(gt) nên

0
45
DHC 
.
Tam giác HDC vuông ở D,

0
45
DHC 
nên vuông cân.
Vậy DH = DC.
c) Tính tỉ số:
DE
BC
.
Tứ giác BEDC có


0
90
BEC BDC 
nên nội tiếp được trong một đường tròn.
Suy ra:


ADE ABC

(cùng bù

0
2
osA=cos45
2
AE
c
AC
 
(do tam giác AEC vuông ở E và

0
45
EAC 
)
Vậy:
2
2
DE
BC


d) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh OA

DE .
Cách 1: Kẻ đường kính AK của đường tròn (O) cắt DE tại M.
Ta có:


ADE AKC


xAC ABC

(cùng bằng
1
2
sđ

AC
)



ABC ADE

Do đó:


xAC ADE

. Suy ra xy // DE.
Mà xy

OA nên DE

OA (đpcm)